四色定理的一个逻辑证明

国家1填涂红色，国家1有多个邻国，许多邻国，许许多多的邻国，很多很多的邻国，这些邻国各有任意形状，这些情况下，这些邻国是黄蓝绿三色够用。总体来看，整个邻国圈四色足够。

首先，从外圈上的国家开始填涂。完了之后，再从高到低，从上往下，按批次分层次填涂下去。

外圈上的国家数量=外圈上的国界数量，总是如此。外圈上一个国家只占据一段边界，只占据外圈上的一条线段，这些线段首尾衔接，围成圆周，形成闭合。它们互相之间也总是比肩而邻，左右相邻。它们共同扎根在里圈上，一起和国家1相邻。

当外圈上有一个国家，可填涂黄色，用一色。
当外圈上有二个国家，可填涂黄蓝，用二色。
当外圈上有三个国家，可填涂黄蓝绿，用三色。
当外圈上有四个国家，可填涂成黄蓝黄蓝，共二色。另外，也可填涂成黄蓝黄绿，等等，共三色。
当外圈上有五个国家，可填涂成黄蓝黄蓝绿，共三色。或者，可填涂成黄蓝绿黄蓝，等等，等等。
当外圈上有六个国家，可填涂成黄蓝黄蓝黄蓝，共二色。另外，也可用黄蓝绿三色填涂，且可以有各种顺序。
当外圈上有七个国家，可填涂成黄蓝黄蓝黄蓝绿，共三色。或者，改变黄蓝绿三色出现的顺序，这还是三色。

从以上简单情况有限数量来看，就是说，完全可以说：当外圈上的国家数量＞3个，则国家数量是偶数的时候，用黄蓝绿当中的二色填涂即可，也可用三色填涂；则国家数量是单数的时候，用黄蓝绿三色填涂即可。合计来说，外圈上有众多国家，有任意数量的国家，总是黄蓝绿三色够用。

当外圈上的国家完成了填涂，这些国家又扎根在里圈上，这样就把外圈里圈的圆环给切分了分段了，黄色的段，蓝色的段等等。

若外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量，则整个邻国圈就已经完成了上色，红黄蓝绿四色足够用。

若外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量，则整个邻国圈当中有或多或少的拱桥，为一层或多层。此时，外圈上的国家已经上色，其中构造了拱桥的那些，会把自己的颜色传承到桥墩和拱顶，而桥洞里面的国家尚未填涂。
在外圈上的国家所构造的桥洞里面，拱顶下面，有第一批第一层的尚未填涂的国家，其中可能有邻国圈的成员国，可能有前面说过的环中之国（这些不是邻国圈的成员国），可能兼有。环中之国可能形成吊顶，在拱顶下面的吊顶，但是不会形成地板，因为地板意味着接壤国家1，接壤里圈了。那么第一批第一层的尚未填涂的成员国，和外圈上的国家，构造了拱桥的那些外圈国家，作为桥墩、拱顶的那些外圈国家，可能有直接接壤，也可能并没有相邻。其中没有相邻的成员国，是因为距离桥墩较远，和桥墩互相隔离着，是因为上面有环中之国构造的吊顶，和拱顶互相隔离着。那么第一批第一层的尚未填涂的成员国，内部之间总是比肩而邻，左右相邻，加上两边的桥墩并暂时忽略拱顶来看也是如此。那么第一批第一层的尚未填涂的成员国，可能自己也构造了拱桥，是桥下之桥，这就有第二批第二层了。而这个第二批第二层的有关国家，在同层内部来看，加上两边的桥墩并暂时忽略拱顶来看，内部之间也总是比肩而邻，左右相邻。以此类推，会有第三批第三层，第四批第四层等等，层层叠叠，都是这样，都是如上。

在同一批同一层来看，拱顶下面，桥洞里面，会有尚未填涂的邻国圈成员国。加上两边的桥墩并暂时忽略拱顶来看，它们作为同一个拱顶下面的同一批同一层的国家，总是比肩而邻，左右相邻的关系。此时，桥墩已经上色，拱顶已经上色。一个国家单独构造拱桥的，二个桥墩一个拱顶是同一种颜色。二个国家合力构造拱桥的，二个桥墩是二种颜色，拱顶也是二种颜色。所以，拱桥的上色问题，就是在桥墩颜色既定，拱顶颜色既定，在这样的前提之下，来对一个或多个比肩而邻、尚未填涂的成员国，来进行上色。那么，这个问题可以看成一条较长线段上，二个端点（即二个桥墩）颜色既定，中间的比肩而邻的那些国家如何来上色，这么一个问题。这个问题就很简单了。

譬如，二个端点颜色一致，都是黄色，再引入拱顶，拱顶也是黄色。此时，桥墩中间若有一个国家可以填涂蓝色，若有二个国家可以填涂蓝绿，若有三个国家可以填涂蓝绿蓝，若有四个国家可以填涂蓝绿蓝绿，若有五个国家可以填涂蓝绿蓝绿蓝，以此类推，都可以填涂，合计预备黄蓝绿三色即可。

又如，二个端点颜色不一，左边的一个是黄色，右边的一个是蓝色。拱顶也是如此，左边黄色，右边蓝色，且在拱顶某处有一个接缝，且只有这一个接缝，黄蓝二色在此交汇。此时，桥墩中间若有一个国家则可以填涂绿色。若有二个国家，此时需要专门考虑上方的拱顶及吊顶了。若有吊顶，构造吊顶的是环中之国（这不是邻国圈的成员国，尚未填涂，是无色的，留待将来才填涂，且将来可以有效填涂，符合要求）。这个或这些环中之国作为吊顶，贴在拱顶下面，会形成无色的隔离带、隔离层，相当于无拱顶，也就不需要考虑拱顶的颜色了。那么，此时，桥墩中间若有二个国家，则顶多有其中之一，会紧贴拱顶某处的接缝，贴合黄蓝二色的交汇处，不会二个国家都如此，都紧贴接缝，都贴合黄蓝二色的交汇处。换言之，桥墩中间若有二个国家，要么一个紧贴拱顶的黄色，另一个紧贴拱顶的蓝色，要么一个紧贴拱顶的黄蓝二色交汇处，另一个紧贴拱顶的黄色（或蓝色）。再换言之，桥墩中间若有二个国家，则其中必有一个国家，只贴合拱顶上的一种颜色，为黄色（或蓝色）。所以，桥墩中间若有二个国家，其中只贴合拱顶上一种颜色（设为黄色）的，可以填涂蓝色；而另一个（这个贴合拱顶上的黄蓝二色）可以填涂绿色，或者，这另一个（这个只贴合拱顶上的蓝色）也可以填涂黄色。这样来看，此时预备黄蓝绿三色即可。若有三个国家，情况类似，其中必有二个国家，只贴合拱顶上的一种颜色，为黄色或蓝色，而第三个国家，要么贴合拱顶上的黄蓝二色，要么只贴合拱顶上的一种颜色，为黄色或蓝色。所以，桥墩中间若有三个国家，如果左边位置的国家恰好头顶着贴合着拱顶上黄蓝二色的交汇处，则填涂为绿色，而中间位置的国家头顶着拱顶上的蓝色就填涂为黄色，右边位置的国家头顶着拱顶上的蓝色就填涂为绿色。如果中间位置的国家，恰好头顶着贴合着拱顶上黄蓝二色的交汇处，则填涂为绿色，而左边位置的国家头顶着黄色就填涂为蓝色，右边位置的国家头顶着蓝色就填涂为黄色。如果右边位置的国家，恰好头顶着贴合着拱桥上黄蓝二色的交汇处，则填涂为绿色，而中间位置的国家头顶着黄色就填涂为蓝色，左边位置的国家头顶着黄色就填涂为绿色。如果，桥墩中间的左中右三个位置的三个国家，都没有头顶拱顶上的接缝，都没有贴合拱顶上黄蓝二色交汇处，则方法同上，结论同上。桥墩的中间，若有四个国家，或五个国家，或六个国家，等等，方法也是同上，结论都是如上。黄蓝二色的桥墩中间，黄蓝二色的拱顶下面，有若干个尚未填涂的成员国，其中顶多只有一个成员国和黄蓝二色一起接壤，必须填涂为绿色，且可以率先填涂，填涂为绿色。而其余成员国的上边只有一种颜色是黄或蓝，左边只有一种颜色是黄或蓝或绿，其邻接的颜色组合顶多只有二种是黄蓝，或黄绿，或蓝绿，从而也能填涂黄蓝绿三者之一，不需要引入第五种颜色。

那么也就是说，在里圈外圈的圆环上来看，针对任一拱桥来看，针对一个拱桥的自身来看，那些构成桥墩、拱顶的成员国，那些在桥洞里面的成员国，它们总是能够用黄蓝绿三色填涂。无论拱桥有多少处，有多少层，各自都能完成上色，分别都能完成上色，三色完全够用。

当出现了拱桥，桥墩和拱顶封闭隔离了桥洞。当桥外有桥，当桥下有桥，只有各自的桥墩、拱顶暴露在外面，有可能互相邻接。而最高层最顶层的拱桥，是由外圈上的国家构造，并且这些外圈上的国家把圆环切分切段，构造了整体框架，构造了整体布局。

当外圈上的国家完成了填涂，这样就把外圈里圈的圆环给切分了分段了，分成黄色的段，蓝色的段，等等，一段一段首尾相连，构成整个圆环。此时，外圈上的国家当中，有的构造了拱桥，拱桥的下面里面是一些成员国，即将被填涂上色。此时，拱桥内部可以被缩微，收缩成点（暂且忽略由此可能造成的圆环变形，或者假设弹性十足），暂时被看成点。各处拱桥，各层的拱桥，也都是这样。等到专门考察拱桥的时候，给拱桥下面里面的成员国填涂上色的时候，这些点再舒展开来，一个个舒展开来，一层层舒展开来，这样逐个逐层，依次展开。

当对外圈上的国家进行填涂，总是三色够用，并且，能够用二色填涂的，也可以改成三色填涂，而能够用黄蓝绿三色填涂的，都可以只使用一次绿色（或只使用一次黄色、蓝色），使得外圈上只有一个国家是绿色（或只有一个国家是黄色、蓝色）。

外圈是一个圆周，拱桥、桥洞也可以看成半圆，二个桥墩是半圆的二个端点，二个桥墩延展交汇成拱顶（有时，环中之国作为吊顶，会充当下一层国家的拱顶）。当提前给定了二个桥墩的颜色（例如都是黄色，或黄蓝二色），被桥墩、拱顶所包裹且和桥墩、拱顶有接壤的那些国家（其中可能会有环中之国），也总是能够被随之填涂。此时，可能出现的那些环中之国，不是邻国圈的成员国，是等到以后未来时候才被填涂，就被暂时涂成透明色。各处拱桥，各层拱桥，都是如上，且三色总是够用。

就此来看，此时来看，以国家1为中心，有国家2等等邻国，邻国数量任意，邻国形状任意，这样的一个邻国圈，用红黄蓝绿四种颜色来填涂，就很简单了。

1993110 发表于 2021-2-19 13:11
上述话应该没错。一个天花板上随机布满白色和粉色的斑点，地板上随机布放一些可伸缩的立柱，立柱直 ...

桥墩，特指扎根在里圈上的，总是由邻国圈的成员国构造。里圈外圈这个圆环当中的那些环中之国，不会构造桥墩。

拱顶，许多是桥墩的延展交汇，但是，环中之国有可能作为吊顶，而充当其下国家的拱顶。

吊顶，环中之国没有扎根在里圈上，是被邻国圈的成员国给托举起来的，给吸附黏贴起来的，所以有可能是吊顶。

桥洞，二个桥墩和拱顶（有时环中之国会充当某层拱桥的拱顶，或参与构造拱顶）形成一个桥洞，桥洞里面包裹了一些国家（其中也可能有环中之国）。对于特定指定的桥墩拱顶来说，该桥墩拱顶所包裹的国家当中，有的和该桥墩拱顶有接壤。这样，忽略拱顶来看，作为该桥墩的国家，和该桥墩拱顶有接壤的国家，互相之间就处于并列并立状态，是处于同层。该桥墩拱顶所包裹的国家当中，有的和该桥墩拱顶没有接壤，这就是桥下有桥了，是有多层的拱桥了，是处于异层。忽略拱顶来看，同一桥洞同一层的国家，总是并列并立的关系，总是比肩而邻，左右相邻。假若同一桥洞同一层的国家（不含桥墩拱顶），互相之间存在包裹关系，不是并列并立的比肩而邻、左右相邻的关系，那么被包裹的国家其实处于下一层，一定处于下一层了。

当外圈上的国家完成了填涂，这是用了黄蓝绿之三种颜色，或二种颜色，及一种颜色，总是三色够用。此时，外圈上国家的下面，会有多处多层的拱桥，或者较少，以及没有拱桥。拱桥可以被看成缩微的点，桥墩拱顶可以“弥合”，桥洞可以“闭塞”，这样外圈到里圈的整个圆环就被看成已经上色的段，一段一段，首尾相连，左右相邻，其中夹杂着一些看不清的缩微点，缩微点可以层层叠叠，可能密密麻麻。

现在，从外圈到里圈，从上到下，从高到低，从第一层开始，将第一层的缩微点展开，第二层、第三层等等的缩微点保持不变。此时，第一层的拱桥是由外圈上的国家构造，这也是从外圈到里圈的圆环上所有拱桥当中，那些最高层且最宽大的拱桥。此时，这第一层的桥墩、拱桥已经上色，颜色已定，只需要对桥洞里桥下之国（其中的环中之国及其影响作用被忽略，下同）的第一批来填涂上色。如前面所说，桥下之国当中的这第一批的国家，都是和外圈上构造拱桥的第一层国家分别接壤的，都和第一层拱桥有着接壤，亦即第一批对接第一层（其他批、其他层也如此）。在桥墩、拱顶的颜色既定的前提下，这第一批的桥下之国连同桥墩、拱顶一起，总是能够填涂，黄蓝绿三色总是够用。这样第一层拱桥及第一批国家，就完成了上色。这第一批国家当中，有的也构造了拱桥，是桥下有桥，是第二层的拱桥，其桥洞里有第二批的国家（第二批的国家被第二层的拱桥遮盖封闭，和第一层拱桥即上一层的拱桥没有接壤，下同）。此时，就把这第二层的缩微点展开，第三层、第四层等等的缩微点保持不变。这构造第二层拱桥的第一批国家也已经上色，相应的桥墩及拱顶颜色也是一定，则第二批国家也是能够填涂，第二层也总是三色够用。以此类推，第三层、第三批也是如此，第四层、第四批也是如此，一直到没有新的拱桥出现，所有的缩微点都已经渐次展开。此时，以国家1为中心，有国家2等等邻国的任意一个邻国圈，总是红黄蓝绿四色够用。

那么，环中之国会不会影响上述填涂过程？会不会扰动上述的四色够用？环中之国是上述圆环中，被二个或多个邻国圈成员国所包围的区域，区域里面有邻国圈之外的一个或多个其他国家。上述圆环当中可以有多处环中之国。环中之国当然影响上述填涂过程，但是四色总是够用。但是，特别是，上述其实是说：单独看任意一国及其邻国，是否四色够用？专门看任一邻国圈，是否四色够用？则结论就是：能。

那么，国中之国会不会影响上述填涂过程？会不会扰动上述的四色够用？国中之国是被一个国家所包围的区域，区域里面另有一个或多个国家。国中之国也可以有多处。那么国中之国完全可以被省略，可以不做考虑，视同为不存在。因为在上述圆环中，在国家1中，在国家2等等当中，如果有一处或多处国中之国，则这相当于是孤立区域，特别是，这不过就是另外一个邻国圈而已，是任意邻国圈之一。就是说，照搬上述结论就可以了。

回顾一下来说，
国家1是中心，设为红色，形成里圈。国家1有国家2等等邻国，可能各有国中之国，这些可省略。国家1和国家2等等一起组成了邻国圈，邻国圈有对外的边界是外圈。外圈到里圈的圆环上，可能另外还有一条或多条其他对外边界，界内有环中之国，国家个数是一个或多个。这些环中之国不是邻国圈的成员国，是其他国家，暂时被忽略。
首先，对外圈上的那些邻国圈成员国进行填涂，这总是黄蓝绿三色够用。
外圈上的成员国中，有的构造了拱桥，是第一层拱桥。第一层的这些拱桥也是邻国圈圆环上最高层最宽大的拱桥，其桥洞里是所有的桥下之国，这所有的桥下之国又分层分批。第一层拱桥有第一批桥下之国，第一批桥下之国也可能构造了第二层拱桥，第二层拱桥又覆盖了第二批桥下之国，这样桥下有桥，层层叠叠，一直到国家2等等成员国渐次出现全部出现，共同扎根于里圈上，围绕着国家1。
其次，就是逐层逐批，一层一层，一批一批，一个桥洞一个桥洞的，渐次对桥下之国当中的各个邻国圈成员国进行填涂，这也总是黄蓝绿三色够用。
这样，从外圈到里圈的整个圆环整个邻国圈，从国家1到国家2等等的所有成员国，都被填涂完毕，总是红黄蓝绿四色够用。
而且，这整个填涂过程当中不会有内部的矛盾，不会有上色的冲突。因为，复杂的相邻关系可以归结为拱桥，而层层叠叠密密麻麻的拱桥总是各自封闭，互相隔离，从而归结为：在一个蓝色国家下面嵌入、接壤若干个无色国家，在黄蓝二个国家下面嵌入、接壤若干个无色国家，且这所有的国家都扎根于同一条线上，之后再来填涂。这是已经上色成功的一个国家或二个国家底下，点缀着有待于上色的“小点”，包裹着有待于上色的“小洞”，如此而已，就是一个单纯性孤立性的事情了，这无关整体大局，总是黄蓝绿三色够用。再比方来说，有一个矩形，上边是蓝色（或黄蓝二色各占半边），左边是蓝色（或黄色），右边是蓝色，底边是红色（或透明，因为立柱们的底边相连可以充当矩形底边），有这么既定的二种颜色或三种颜色的四条边框。当把矩形划分成若干条立柱，立柱平行于左边右边，垂直于上边下边，之后给立柱填涂上色，使得立柱和接壤的边框异色，使得相邻的立柱异色，则对于立柱的填涂上色来说，黄蓝绿三色够用吗？这很简单，当然够用。当任一拱桥及“小点、小洞”总是三色够用，当一些拱桥及“小点、小洞”一再出现，当这种单纯性孤立性的事情层出不穷，就是一再的三色够用，始终的三色够用。

上面完成了上色。

前面的结论说，对任一国家和其邻国上色，总是四色够用，不需要引入第五种颜色。这是单独来看任一国家及其邻国。单独看国家1的邻国圈，四色够用。单独看国家2的邻国圈，四色够用。单独看国家3的邻国圈，红黄蓝绿够用。单独看国家4的邻国圈，赤橙蓝绿够用。单独看国家5的邻国圈，绿青蓝紫够用，等等。如果同时看许多国家、一切国家呢？如果二个邻国圈、三个邻国圈、四个邻国圈交织在一起呢？这就不好说了。打比方来说，100个旅客买票，每个人都能买到火车票，一种票即可。如果一亿个旅客都买票呢？就需要买飞机票、汽车票，需要好几种票，一种票不够用了。所以，任一国家和其邻国都可以用四色填涂，各自可以四色填涂，独自可以四色填涂，这个邻国圈单独四色够用，那独一个的邻国圈四色够用，不能证明一幅地图也是如此，这还需要看整体的情况，看一切国家的情况，使得“任一国家和其邻国可以四色填涂”，推广到“任意国家和其邻国可以四色填涂”，等等。

1993110 发表于 2021-2-16 21:50
当一个国家或二个国家构建了拱桥，桥洞里面接壤着覆盖着一个或多个国家，此时，单独看这被接壤被覆盖的一个 ...

外圈上的国界数量＝外圈上的国家数量，总是如此。

外圈上的国家数量≤里圈上的国家数量，这说明国家2等等当中，可能有一个或多个国家，底下覆盖了封闭了一个或多个国家，在外圈到里圈上形成了拱桥，有桥下之国。

里圈上的国家数量≤里圈上的国界数量，这说明国家2等等当中，可能有一个或多个国家，在里圈上各有二处或多处国界，在里圈上形成了拱桥，有桥下之国。


外圈到里圈的圆环上，拱桥可能有一处或多处，一处拱桥可能有一个或多个桥洞，一个桥洞里面可能有一个或多个桥下之国。一处拱桥可能是一个国家独自构造的，也可能是二个国家合力构造的。构造拱桥的国家，提供了桥墩和拱顶。桥墩都是扎根在里圈上。二个国家合力构造拱桥的，各自提供了或多或少或长或短的拱顶。拱顶下面，桥墩中间，就是桥下之国了。桥下之国可能又构造了新的拱桥，是桥下有桥，桥下之桥了。

外圈到里圈的圆环上，可能有一处或多处环中之国。环中之国处于外圈里圈之间，居于圆环之中，属于桥下之国。其中，有的作为吊顶而充当了某层拱顶，就是说，一个或多个环中之国在拱桥下面，紧贴着拱顶，好比是吊顶，吊顶下面可能另有桥下之国。在给该邻国圈单独上色的时候，环中之国不是该邻国圈的成员国，可以一律被暂时填涂成第五种颜色，亦即透明色。当给地图上所有国家渐次填涂的时候，再重新给这些环中之国上色。

那么这样一来，任一邻国圈内部的一切相邻关系，可以非常错综复杂的相邻关系，就被处理成拱桥问题了，要么有拱桥，要么没有拱桥。有拱桥的话，无非是一层或多层，一处或多处，如此而已。当然，层层叠叠密密麻麻的拱桥，很可能呈现为不规则的形状，拱桥的形状不规则，桥下之国的形状不规则，桥墩不规则，拱顶不规则，局部不规则，整体不规则。但是，所有的任何的拱桥等等，都可以看成规则圆环上散布着一些小点，呈现出规则局面。首先，按照外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量，把圆环画成规则的段，一国一段。进而，对扎根于里圈的那些外圈国家的底下，一个国家底下或二个国家底下，镶嵌一个小点。并且，在始终被覆盖封闭的前提下，小点再在底下进行任意膨胀伸展，新增出来一个国家，使得外圈上的国家数量＜（外圈上的国家数量+1）。那么，小点被严密约束限制下的任意膨胀伸展，实质来看，也就相当于一个小点膨大了一点，从无面积小点变成有面积的小点、小洞，洞里是桥下之国。这样的过程不断进行，逐个进行，逐层进行，渐次进行，直至完成，使得外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量＜里圈上的国界数量。所以，为了直观简便，完全可以把任意邻国圈成员国的任意形状的任意相邻，完全可以把不规则的层层叠叠密密麻麻的拱桥，一律看成规则的：规则圆环上散布着一些小点，小点可以放大了来看。

三、一切国家的情况

国家1是中心，国家1的所有邻国是国家2等等。国家2等等环绕着国家1，二方面有共同边界（前面叫做里圈），这样就构成了一个邻国圈，叫邻国圈1。邻国圈1作为一个整体，有对外的边界（前面叫做外圈），边界上有其他国家前来接壤。接壤的这些其他国家环绕着邻国圈1，也构成了一个邻国圈，叫邻国圈2。邻国圈2作为一个整体，也有对外边界，也有国家环绕着邻国圈2，又出现了一个新的邻国圈，叫邻国圈3。以此类推，会有邻国圈4，邻国圈5，邻国圈6等等。渐次推进，直至球面地图上的所有国家都被纳入了某个邻国圈（任一邻国圈可以只有一个成员国）。这样，球面就被分成了一系列的环面。当然，这也是不规则的环面。

邻国圈1是“实心”的，国家1是中心，也是邻国圈1的中心国、成员国。邻国圈2，邻国圈3，邻国圈4等等，都是“空心”的。邻国圈2的中心是邻国圈1，各有各的圈子，各有各的成员国。邻国圈3的中心是邻国圈2，邻国圈2又包裹着邻国圈1，诸如此类。

这里省略了国中之国，暂时忽略了环中之国。国中之国在任一国家都可能出现，环中之国在任一邻国圈都可能出现。

这些邻国圈是不规则的环面，这可以在面积和形状上有所改变，恰当变形，变为相当规则的环形，且不会改变既有的相邻关系。

在任意一副球面地图上，可以从北半球开始，把占据北极点的国家叫做国家1，以此为中心得到邻国圈1，进而得到邻国圈2，邻国圈3等等，直至推进到南极点一带或者南半球某地，使得一切国家分别纳入某个邻国圈。此时，整个球面被分成一系列环面，这些环形可以被看成相当规则，这些圆环从小到大，从大到小，填充了整个球面，如图2所示。

1993110 发表于 2021-3-3 10:18
三、一切国家的情况

国家1是中心，国家1的所有邻国是国家2等等。国家2等等环绕着国家1，二方面有共同边界 ...

这些邻国圈是不规则的环面，这可以在面积和形状上有所改变，恰当变形，变为相当规则的环形，且不会改变既有的相邻关系。

上述这样做，仅仅是为了直观，简便。
二个国家在一千公里边界线上接壤，和在一公里上接壤，都是相邻。一万平方公里的国土，有十个国家相邻，这和一平方公里的国土，有十个国家的近似相邻、类似相邻，也是一样的。就是说，国家的面积和形状，都可以假设为弹性十足，非常有可塑性，可以变动变形，可以任意拉扯收缩，且可以不改变既有的相邻关系。那就是整个球体球面，也可以变动变形，变为椭圆等等，变为其他等等，都可以整体变动，都可以局部变动。对任意拱桥来说，这个拱桥本身是像一颗枝繁叶茂的大树，桥下之国是像四通八达的河流，也都可以看成面积足够小的小圆洞、小圆点，且可以不因此改变一切的有关的相邻关系。