【求解】一个现实中的数学问题。。。

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2011-3-31 10:30




AB和A’B’是两条相互平行的线段，假设所有人在AB上连续均匀分布，请在A’B’找到一点C，让AB上所有的人到该点的距离之和最短。请构建数学模型证明 。。。。

看下这个图你就懂了，和最短的就是C点
在C点之外任取一个C'点，然后我们考虑任意一点D和D对称的D'点到C'的距离和
我们把整个图形关于A'B'做一个镜像，很容易知道D'C=D''C,D'C'=D''C'
所以DC+D'C=DC+D''C=DD''而DC'+D'C'=DC'+D''C'
由三角形两边之和大于第三边就可以得出任意一点D和D对称的D'点到C'的距离和比他们到C的距离和要长
所以最短的必然是到C点

画多一条对称线，然后两点之间线段最短
done

以A为原点，AB为X正轴方向作直角坐标系
任取AB上一点P（x，0），计算CP距离
然后对x求0到B的积分，得出距离之和F，F是以C的横坐标为变量的函数
再求F的最小值
由于旁边没笔，因此不知道计算量大不大

这样建模型我也想过，但是总感觉不太对，我再仔细想想
3# zlswd2003

用积分算很麻烦的
设长a,宽b，设C点距B为y,任一点距B为x
那么总的距离为
然后对y求导使导数为零

解出这个y就是答案了
然后这样解出来其实就是 y=a/2
明显比前面的分析方法复杂多了

这种方法确实可以

5# roger309

roger309 发表于 2011-3-31 12:21
用积分算很麻烦的
设长a,宽b，设C点距B为y,任一点距B为x
那么总的距离为
然后对y求导使导数为零

解出这个y就是答案了
然后这样解出来其实就是 y=a/2
明显比前面的分析方法复杂多了

这个积分模型，应该是错的，你可以用特殊值代进去检验一下看看

8# stubon
这个错倒是没错
只是那个积分在计算过程中很容易出错
因为积分域[0,a]过程中y-x的值实际上会变号，从积分原式看好像没有问题
但是实际计算时候需要做代换令tanQ=(y-x)/b，所以代换后就需要把积分分成2段，也就是[0,y],[y,a]分别积分再加起来
最后算出来的结果求导为零解出来y=a/2
当然，这是纯数学演算出来的，你如果用软件计算的话就很有可能出问题，因为软件计算积分即使细分再细也难以避免误差

貌似是中小学数学里面一个例题，考察对称和两点之间线段最短的。。。。。。。