数学分析习题练习七

中国科学技术大学极限论试题




网友的解答

中国科学技术大学极限论试题


解：
               由等价无穷小可知
                               $\displaystyle \because x^m-1=e^{m\ln x}-1=m\ln x+o(m\ln x),$

                                  $\displaystyle  x^n-1=e^{n\ln x}-1=n\ln x+o(n\ln x),$

                                $\displaystyle \therefore \lim_{x\to1}\left ( \frac{m}{x^m-1}-\frac{n}{x^m-1} \right )=\lim_{x\to1}\left ( \frac{1}{\ln x}-\frac{1}{\ln x} \right )=0.$

中国科学技术大学极限论试题

中国科学技术大学极限论试题


证明
              由二项式展开公式，得
                             $\begin{align*}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n&=1+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\\\\&=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}\left ( 1-\frac{1}{n} \right )+\frac{1}{3!}\left ( 1-\frac{1}{n} \right )\left ( 1-\frac{2}{n} \right )+\\\\&\cdots +\frac{1}{n!}\left ( 1-\frac{1}{n} \right )\left ( 1-\frac{2}{n} \right )\cdots \left ( 1-\frac{n-1}{n} \right )\\\\&< \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}.\end{align*}$

             而
                            $\displaystyle \because \left ( 1-\frac{1}{n} \right )\left ( 1-\frac{2}{n} \right )\cdots \left ( 1-\frac{k}{n} \right )> 1-\frac{1+2+3+\cdots +k}{n}=1-\frac{k(k+1)}{2n}.$

                            $\begin{align*}\therefore \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n&> \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}-\sum_{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{2nk!}\\\\&=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}-\frac{1}{2n}\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{(k-2)!}\\\\&> \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}-\frac{e}{2n}\\\\&> \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}-\frac{3}{2n}.\end{align*}$

                  综上，即得命题结论。

中国科学技术大学极限论试题


解：
             令
                             $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=0,$

               利用Abel求和公式，有
                               $\begin{align*}\therefore \sum_{k=1}^{n}a_k\sin\sqrt{x+k}&=S_n\sin\sqrt{x+n}+\sum_{k=1}^{n-1}S_k(\sin\sqrt{x+k}-\sin\sqrt{x+k-1})\\\\&=\sum_{k=1}^{n-1}S_k\cdot
2\cos\frac{\sqrt{x+k}+\sqrt{x+k-1}}{2}\sin\frac{\sqrt{x+k}-\sqrt{x+k-1}}{2}\\\\&=\sum_{k=1}^{n-1}S_k\cdot
2\cos\frac{\sqrt{x+k}+\sqrt{x+k-1}}{2}\sin\frac{1}{2(\sqrt{x+k}+\sqrt{x+k-1})}\\\\&=2\sum_{k=1}^{n-1}S_k\cos\frac{\sqrt{x+k}+\sqrt{x+k-1}}{2}\cdot 0\\\\&=0,(x \to +\infty)\end{align*}$

                 因此得
                                $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k\sin\sqrt{x+k}=0.$

中国科学技术大学极限论试题


看到一个现成的解答，偷懒了
      

注：中科大的这张试卷，基本上全是史济怀书上的习题或问题。参见：
               
                    《数学分析教程 上》（第三版） [常庚哲，史济怀编著][中国科学技术大学出版社][2012.08][499页]

复旦大学2020-2021学年第二学期期中(英才班)



解：
                                 $\begin{align*}I&=\int_{0}^{\pi} \overset{x=\pi-t}{=}\int_{0}^{\pi}\frac{(\pi-t)\sin t}{1+\sin t}dt\\\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{\pi\sin t}{1+\sin t}dt\\\\&=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}(1-\frac{1}{1+\sin t})dt\\\\&=\frac{\pi^2}{2}-\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{2}{\cos^2\frac{t}{2}(1+\tan \frac{t}{2})^2}d(\frac{t}{2})\\\\&=\frac{\pi^2}{2}+\pi(\frac{1}{1+\tan \frac{t}{2}})|_0^\pi\\\\&=\frac{\pi^2}{2}-\pi.\end{align*}$

复旦大学2020-2021学年第二学期期中(英才班)


解：
                      $\displaystyle D:\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(y-\frac{1}{2})^2}{\frac{1}{2}}\leq 1,$

            令
                      $\displaystyle x=1+\sqrt{2}r\cos t,y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}r\sin t,$

                   则：
                         $\displaystyle |J|=\frac{\partial(x,y )}{\partial (r,t)}=r.$

                       $\begin{align*}\therefore I&=\iint_D=\iint_{D'} \left ((1+\sqrt{2}r\cos t)^2 +(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}r\sin t)^2 \right )rdrdt\\\\&=\frac{5}{4}\pi+\frac{1}{8}\pi+\frac{1}{2}\pi=\frac{15}{2}\pi.\end{align*}$

复旦大学2020-2021学年第二学期期中(英才班)


解：
                           $\displaystyle (1-x)^\alpha x^{n^2}\sim -x^{\alpha +n^2},x\in(0,1)$

                   因此，当
                            $\displaystyle \alpha +n^2> 0,\alpha > -n^2,$发散；

                             $\displaystyle -1\leq \alpha +n^2< 0,-n^2-1\leq \alpha < -n^2,$发散；

                             $\displaystyle \alpha +n^2< -1,\alpha > -n^2-1,$收敛。