数学分析习题练习七

中国矿业大学2021年数学分析真题
四、


证明：
                  $\displaystyle \because f'(x)\leq 0,\therefore f(x)\downarrow ,\Rightarrow f(1)< f(x)< f(0),\Rightarrow F(x)\downarrow.$

                   $\displaystyle \therefore xF(1)\leq xF(x)\leq F(x)\leq 2F(x)=2\int_{0}^{1}F(x)dx,x\in (0,1).$

安徽师范大学2021年601数学分析


解：
                 $\displaystyle \because f(x)=\lim_{n \to \infty }\frac{4(1-\cos x)+2e^{-nx}\cos x}{x^2+e^{-nx}}=\frac{4(1-\cos x)}{x^2}=2-\frac{1}{6}x^2+o(x^2),(x\to 0)$

                             $\displaystyle f(0)=2,$

                   $\displaystyle \therefore f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{2-\frac{1}{6}x^2-2}{x}=0.$

安徽师范大学2021年601数学分析


解：
          由比值判别法知道
                      当$p>1$时，${a_n}$是以$\displaystyle {\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{1+\alpha }}}$为优级数的级数，因此收敛；

                       而当$p\leq 1$时，${a_n}$大于调和级数，所以发散。

安徽师范大学2021年601数学分析


解：由泰勒公式，在$x$的附近展开
                           $\displaystyle f(x+1)=f(x)+f'(x)+\frac{1}{2}f''(\xi),\xi\in(x,x+1)$

              由已知$\displaystyle f(x),f''(x)$有界，故从上述线性方程可知，$\displaystyle f'(x)$必有界。

安徽师范大学2021年601数学分析


证明
                    当$\displaystyle k=0,\int_{a}^{b}f(x)dx=0$时，用反证法知结论成立；

                    假设$k=n$时，由$\displaystyle \int_{a}^{b}x^nf(x)dx=0$,结论不成立。设$f(x)$在$[a,b]$内至多只有$n$次变号，即只有$n$个根，分别为$\displaystyle x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1}$,则由多项式性质$\displaystyle f(x)(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{n-1})$不变号。再由
                      $\displaystyle f(x)(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{n-1})=\sum_{k=0}^{n-1}a_kx^kf(x),$

                 而根据假设，得:

                       $\displaystyle 0\neq \int_{a}^{b}\sum_{k=0}^{n-1}a_kx^kf(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}a_k\int_{a}^{b}x^kf(x)=0,$

                 矛盾。因此结论成立。

安徽师范大学2021年601数学分析


解：
               将函数以周期$2\pi$进行展开，有
                             $\displaystyle a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x(2\pi-x)dx=\frac{4}{3}\pi^2.$

                              $\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x(2\pi-x)\cos nxdx=-\frac{4}{n^2}.$

                               $\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x(2\pi-x)\sin nxdx=0.$

                          $\displaystyle \therefore x(2\pi-x)=\frac{2}{3}\pi^2-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{4}{n^2}\cos nx.$

                 令$x=0,$因此可得

                               $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$

安徽师范大学2021年601数学分析


证明：
                         $\displaystyle \because |f(x)|\leq M,x\in[a,b]$

                         $\displaystyle \therefore f_2(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\leq M(x-a);$

           依此类推，得

                        $\begin{align*}f_{n+1}(x)&=\int_{a}^{x}dx_{n-1}\int_{a}^{x_{n-1}}\cdots \int_{a}^{x_1}f(x)dx\\\\&\leq \frac{M}{n!}(x-a)^n\\\\&=\frac{M}{\sqrt{2\pi n}}(\frac{e(x-a)}{n})^n\\\\&\leq \frac{M}{\sqrt{2\pi n}}(\frac{e(b-a)}{n})^n\rightarrow 0,(n\to\infty)\end{align*}$

             由Cauchy定理得
                      $\displaystyle |f_{n+p}(x)-f_n(x)|\leq \frac{Mp}{\sqrt{2\pi n}}(\frac{e(b-a)}{n})^n\rightarrow 0.$

               所以，命题成立。

安徽师范大学2021年601数学分析


解：例
                              $\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}
\frac{1}{xy}\sin xy,& (x,y)\neq (0,0)\\
1, & (x,y)=(0,0)
\end{cases}$

                    则有
                                 $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x,y_0)=\lim_{x\to0}\frac{1}{xy_0}\sin xy_0=1=f(0,0),$

                                 $\displaystyle \lim_{y\to0}f(x_0,y)=\lim_{y\to0}\frac{1}{x_0y}\sin x_0y=1=f(0,0),$

                   函数对任意一个自变量在原点都连续。

                  令$\displaystyle y=\frac{1}{x},$此时，则
                                  $\displaystyle \lim_{y\to0,x\to0}\frac{1}{xy}\sin xy=\lim_{y\to0,x\to0}\frac{1}{x\cdot \frac{1}{x}}\sin (x\cdot \frac{1}{x})=\sin 1\neq f(0,0).$

                   即知函数在原点不连续。

安徽师范大学2021年601数学分析


解：（1）、
                       
                       
                                                                               参考《数学分析精选习题全解》(上)-薛春华,徐森林 编,2009。352题。

       （2）、利用上面结论，有
                          $\displaystyle \because \frac{\mathrm{d} r^{2-n}}{\mathrm{d} r}=(2-n)r^{1-n},$

                           $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 r^{2-n}}{\mathrm{d} r^2}=(2-n)(1-n)r^{-n},$

                         $\displaystyle \therefore \Delta (r^{2-n})=(2-n)(1-n)r^{-n}+\frac{n-1}{r}\cdot (2-n)r^{1-n}=0.$

安徽师范大学2021年601数学分析


解：