数学分析习题练习七

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数学分析习题练习七
目录

杨州大学2021年601数学分析试题-------------1#
广东财经大学2021年601数学分析-------------1#
广东工业大学2021年602数学分析-------------1#
中国矿业大学2021年数学分析真题------------1~2#
安徽师范大学2021年601数学分析-------------2~3#
暨南大学2021年709数学分析-----------------3#
中国科学技术大学极限论试题-----------------3~4#
复旦大学2020-2021学年第二学期期中试题(英才班)--4~5#
几个n项和的三角求和公式---------------------7#
中国海洋大学2018年617数学分析真题---------8#
中国海洋大学2020年617数学分析真题---------9#
中国海洋大学2021年617数学分析真题---------9~10#
浙江大学2019年数学分析真题-----------------10~11#
上海财经大学2021年数学分析-----------------11~12#
同济大学2021年数学分析真题-------------------13#
南开大学2019年数学分析真题-------------------14#
南京大学2016（8）年数学分析---------------14~15#
华东师范大学2016年数学分析-------------------15#
中国科学技术大学2022年数学分析------------15~16#
上海财经大学2022年数学分析-----------------16~17#
北京大学实验班数学分析2020-2021秋季学期数学分析一期末模拟卷--17~18#
2022湖南大学数学竞赛试题--------------------19~20#
厦门大学2023数学分析-------------------------32~33#
电子科技大学2009数学分析--------------------33~354#







数学分析习题练习六
https://bbs.pinggu.org/thread-10261330-1-1.html
数学分析习题练习五
https://bbs.pinggu.org/forum-61-1.html
数学分析习题练习四
https://bbs.pinggu.org/thread-7967903-1-1.html
数学分析习题练习三
https://bbs.pinggu.org/thread-7388050-1-1.html
数学分析考研真题练习二
https://bbs.pinggu.org/thread-7210706-1-1.html
数学分析考研真题练习一
https://bbs.pinggu.org/thread-7048372-1-1.html


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杨州大学2021年601-数学分析
三、综合题


证明：
               由已知，若$f''(x)$在$R$上变号，设有$f''(a)f''(b)<0,$由导函数的介入性，得
                                            
                                                   $\exists \xi\in(a,b),s.t.f''(\xi)=0.$

                            若$f''(x)$在$R$上不变号。则不失一般性，当$f''(x)>0$，由此可知$f'(x)>0.$取$\forall x_0,f(x_0)\neq 0.$则

                                                    $\exists\xi\in(x_0,x),s.t.f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)>f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\rightarrow +\infty.(x\rightarrow +\infty)$

                             同理，当$f''(x)<0,$取$\forall x_0,f(x_0)\neq 0.$则

                                                    $\exists\xi\in(x_0,x),s.t.f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)< f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\rightarrow -\infty.(x\rightarrow +\infty)$

                            上术两种情形，均与已知条件函数有界矛盾。所以有

                                                   $\exists \xi\in(a,b),s.t.f''(\xi)=0.$

杨州大学2021年601-数学分析
三、综合题


证明：
              收已知，$f'(x)\in C^1[a,b]$，推知$f(x)\in C^1[a,b]$，而由已知
                                        $\because \int_{a}^{b}f(x)=0,$

                 则由定积分性质，$f(x)$在$[a,b]$上必有正负。即
                                       $\exists x_1,x_2,f(x_1)>0,f(x_2)<0.$

                  由连续函数的介值定理知，
                                        $\exists x'\(x_1,x_2),s.t.f(x')=0,$

                 再由已知，
                                          $\int_{a}^{b}xf(x)=0,$

                  由积分第一中值定理，有
                                         $\exists x''\in(a,b),s.t.f(x'')(b-a)=0,$  

                         得
                                         $f(x'')=0.$

               由上面的计论，可知：
                                若有$x'=x''$,则取$\xi=x'=x'',f'(\xi)=0.$

                                  若$x'\neq x'',$则由Rpll定理，得
                                        $\exists \xi\in(a,b),s.t.f'(\xi)=0.$

杨州大学2021年601-数学分析
三、综合题


证明：
            将$f(x)$在$x=a$处泰勒展开，得

                                     $\displaystyle f(a)=f(x)+f'(x)(a-x)+R_n(x),$

                                      $\displaystyle \therefore f(x)=f'(x)(x-a)-R_n(x)\leq f'(x)(x-a),$

                         即
                                     $\displaystyle  |f(x)|\leq |f'(x)(x-a)|,$

                                  $\displaystyle \Rightarrow  |f(x)|^2\leq |f'^2(x)|(x-a)^2\leq \frac{(b-a)^2}{2}|f'(x)|^2,$

                  两端积分
                                      $\displaystyle \int_{a}^{b}f^2(x)dx \leq \frac{(b-a)^2}{2}\int_{a}^{b}|f'(x)|^2dx.$

广东财经大学2021年601数学分析
三、


证明：
                由已知条件，得泰勒展开式
                                    $\displaystyle f(x)\leq f(t)+f'(t)(x-t),$

                      其中令
                                     $\displaystyle t=\frac{a+b}{2}=x_0,$

                      代入上式，并对其积分
                                     $\begin{align*}\int_{a}^{b}f(x)dx&\leq f(x_0)(b-a)+f'(x_0)\int_{a}^{b}(x-x_0)dx\\\\&=f(x_0)(b-a)+\frac{1}{2}f'(x_0)[(b-x_0)^2-(a-x_0)^2]\\\\&=f(x_0)(b-a),\end{align*}$

                                        $\displaystyle \therefore f(\frac{a+b}{2})\leq \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx.$

广东工业大学2021年602数学分析
二、


解：
             由积分轮换对称，故由其性质得
                          $\displaystyle \int_lx^2ds=\frac{1}{3}\int_l (x^2+y^2+z^2) ds=\frac{1}{3}\int_lds=\frac{2}{3}\pi.$

广东工业大学2021年602数学分析
三、


证明：
                 设$c$为函数的极大值点，则有
                                      $\displaystyle \exists c\in (0,a),s.t.f'(c)=0.$

                      分别在$x=0,a$点将导函数泰勒展开，得
                                        $\displaystyle f'(0)=f'(c)+f''(\xi_1)(0-c),\xi_1\in(0,c),$

                                        $\displaystyle f'(a)=f'(c)+f''(\xi_2)(a-c),\xi_2\in(c,a),$

                                    $\displaystyle \therefore |f'(0)|\leq c|f''(\xi_1)|,$

                                        $\displaystyle |f'(a)|\leq (a-c)|f''(\xi_2)|,$

                                  $\displaystyle \Rightarrow |f'(0)|+|f'(a)|\leq c|f''(\xi_1)|+(a-c)|f''(\xi_2)|=aM.$

中国矿业大学2021年数学分析真题
二、


解：先利用闭合曲面的高斯公式，再利用轮换对称性，得

                    $\displaystyle I=\iiint_\Sigma (x+y+z)dV=3\iiint_\Sigma xdV=3\int_{0}^{1}xdx\int_{0}^{1-x}dy\int_{0}^{1-x-y}dz=\frac{1}{8}.$

中国矿业大学2021年数学分析真题
二、3.
                   $\displaystyle \int \frac{1}{5-3\cos x}dx.$

解
                用万能公式：                                      $\displaystyle \cos x=\frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}},$

                 所以
                                      $\begin{align*}\int \frac{1}{5-3\cos x}dx&=\int \frac{dx}{5-\frac{3-3\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}}\\\\&=\int \frac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{2+8\tan^2\frac{x}{2}}dx\\\\&=\int \frac{d\tan\frac{x}{2}}{1+4\tan^2\frac{x}{2}}\\\\&=\frac{1}{2}\arctan(2\tan \frac{x}{2})+C.\end{align*}$

中国矿业大学2021年数学分析真题
四、


证明：
                在$x=0,1$分别泰勒展开，得
                              $\displaystyle f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+\frac{1}{2}f''(c_1)(0-x)^2,c_1\in(0,x)$

                              $\displaystyle f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+\frac{1}{2}f''(c_2)(1-x)^2,c_2\in(x,1)$

                两式相减，得
                               $\displaystyle f(1)-f(0)=f'(x)+\frac{1}{2}f''(c_2)(1-x)^2-\frac{1}{2}f''(c_1)(0-x)^2,$

                              $\displaystyle \therefore |f'(x)|\leq |f(1)|+|f(0)|+\frac{1}{2}b|[(1-x)^2-x^2]|\leq 2a+\frac{b}{2}.$