新兴全球加密货币市场的多尺度特征

来自位戳平台的报价被转换为绝对对数回报，然后被削减以消除季节性。与CDF尾部类似，自相关性在2012年和随后几年中观察到一个显著的变化。在前者中，C(τ)只是短程相关，记忆在几分钟后消失。然而，长程内存为0 2 468 10 12 141 618τ[10S]-0.200.20.40.60.81C(τ)2012201320142015201620172018BTC/USD（双图章交易所）图18：比特币在随后几年的双图章交易所上的归一化对数返回的自相关函数Rt=10SN。幂律形式：因此，C(τ)ττ-β已经在2013年开始出现，并在2018年系统地建立起来，即使间隔时间长达τ>10min，也达到了相当大的强度。波动率自相关时间长度的增加可以用单位交易次数的增加来解释，波动率的长期线性自相关对应于符号收益水平的非线性相关。反过来，非线性相关导致了多重分形的e-certs（见第4节）。另一方面，为原来的signedreturns计算的自相关函数并不表示对于ut=10s的任何线性记忆e-certs（图18）。C(1)的负值是与孤立的价格跳跃相关的统计伪影，随后价格回归到以前的水平；这些事件在与平均事务间间隔相当的采样频率上是频繁的。观察到的收益率和波动率的自相关函数行为类似于其他成熟市场的对应行为。以美元和欧元表示的BTC和ETH的波动率自相关函数，以及BTC/ETH（Kraken）的波动率自相关函数显示在图19中。对于所考虑的所有加密货币汇率，它在大约一周内按照幂律与τ近似衰减。然而，在欧元/美元（Dukascopy）的情况下，幂律机制在大约一天后就打破了，这可以用波动率集群长度较短来解释。图19：从2016年7月到2018年12月，Kraken交易所的BTC/EUR、BTC/USD、ETH/EUR、ETH/USD、BTC/ETH和EUR/USD汇率的归一化绝对log-returns的自相关函数R@t=10s和归一化log-returns的归一化绝对log-returns的自相关函数（插图）。对于涉及加密货币的汇率，集群长度比欧元/美元大一个数量级。欧元/美元一周内可以区分出五个高/低挥发周期，而加密货币每月只能看到三个周期（图20中的插图）。同样，这可以解释为外汇交易频率高于海怪交易频率。Kraken上的平均交易时间是几秒钟，而外汇交易发生得至少快一个数量级。类似于Bitstamp BTC/USD数据，实际上是所有成熟的金融市场，欧元/美元收益率的自相关函数（见图19）立即降至零，加密货币利率的自相关函数甚至降至零以下，这表明签名收益率不存在线性相关。Binance和Kraken之间的平均交易频率的关系不仅包括收益率CDFs，还包括波动率自相关函数。在这两种情况下，我们可以观察到它的幂律衰减（图21)，但在Binance上，它更快：它在大约1,000分钟后就分解了，而在Onkraken上大约10,000分钟。在有符号回报的情况下，自相关函数表现出典型的行为：它立即下降到负值，然后在零附近振荡（未示出）。图20：2016年7月至2018年12月BTC/EUR、BTC/USD、ETH/EUR、ETH/USD和EUR/USD汇率的对数回报的绝对值R@t=10SN。

插图显示了Magni所选的周期。多尺度相关：时间序列分析中常用的相关度量，如自相关函数、谱密度[115]和皮尔森相关[116]，只提供数据中线性相互依赖的信息。然而，金融市场的一个典型特征是非线性相关的出现[96，117]，这是其时间动力学中多重分形性的主要来源（增强多重分形性的一个额外因素与概率密度函数的“肥尾”有关）[118，119，120，121，122，117]。多重分形是许多复杂系统的一个属性，其中大量元素根据非线性规律相互作用[123]。这种系统组织是金融市场的一个明显的特征，在本研究中，加密货币市场给出了这种特征。在3.4节中，证明了对数收益绝对值估计的自相关函数的幂律衰减揭示了非线性相关。在本研究中，对数收益绝对值估计的自相关函数的幂律衰减揭示了对数收益绝对值估计的幂律衰减揭示了对数收益绝对值估计的幂律衰减揭示了对数收益绝对值估计的幂律衰减揭示了对数收益绝对值估计的幂律衰减。因此，多重尺度的签名也可以在解密货币市场上预期。在下一节中，本文提出了基于多重分形方法的非线性相关性定量描述的先进方法：即多重分形减量化分析(MFDFA)，它在互相关情况下的推广，称为多重分形交叉相关分析(MFCCA)，以及q相关的减量化互相关Coecientρ(q,s）。图21：同时在Binance和Kraken上列出的汇率的归一化绝对对数收益Rt=1min(USD*在Kraken的情况下表示美元，在Binance的情况下表示USDT）的自相关函数的比较。通过这些方法对加密货币市场的时间序列数据进行了分析。历史上，英国水文学家Harold Edwin Hurst[124]提出的rescaledrange分析（rescaledrange analysis,R/S）是分析分形时间序列的最常用方法。在非平稳数据的情况下，为了正确地量化信号中的相关性，需要识别和去除特征，这是用R/S算法无法实现的。为了解决这一根本缺陷，1995年，彭等人。提出了可应用于非平稳数据的detrendeducationanalysis（detrendeducationanalysis,DFA）[125，126]。在DFA方法中，用n次多项式表示的趋势被减去，这一过程导致从数据中去除非平稳性。然而，多项式次的回声是获得可靠结果的关键。如果多项式度过高，则会破坏材料的结构。另一方面，如果次数太低，多项式可能不能选择性地去除非平稳性[126，127]。在大多数情况下，二阶多项式被用于对数据的分析。备选方案已在参考文献中讨论过。[127].多重分形减量化分析(MFDFA)是DFA算法的最新发展，涵盖了非线性相关的情形[128]。利用MFDFA,时间序列中的非线性组织在分形形式下被定量地描述。近年来，也提出了theDFA和MFDFA方法的互相关版本。DFA在互相关情况下的推广称为detrended互相关分析(DCCA)方法[129],而多重分形detrended互相关分析（MF-DXA）是MFDFA方法[119]的推广。

为了避免这种情况，许多作者采用了互相关函数的绝对值，这可能会导致对不相关信号的多重分形互相关的伪检测[130]。利用多重分形互相关分析(MFCCA)算法解决了这一问题，在文献[130]中提出的一种替代基于DFA的量化多尺度相关性的方法，这些方法由使用小波变换的算法提供，例如，小波变换模极大值(WTMM)[131,132，133]和多重分形交叉小波变换(MFXWT)[134]用于自相关和互相关情况，相对来说。然而，这就是MFCCA目前被认为是研究时间序列中多尺度相关性的最可靠的方法[135，114].通过多重分形方法进行的时间序列分析的稳健性推动了相应方法的相当流行，并在生物学等高度多样化的科学领域中得到了应用[123][136，137],化学[138,139],物理学[140,141],地球物理学[142,143],水文学[144,145],定量语言学[146,147],医学[148,149],气象学[150,151],音乐[152,153],心理学[154,155],特别是气象学[156,157,158,159,160,161,162,117]。有一点需要认识到，并不是所有在数据中发现的多重尺度的迹象都可以被认为是严格数学意义上的多重分形的实际表现。文献表明，多尺度法也可以是一种新的样本分析方法，特别是当被分析的数据有一个胖尾PDF[114]时。在许多经验数据的例子中，包括数据，多尺度是在相当适度的可用尺度范围内观察到的，例如，一个十年，而在其余的尺度上，可以看到其他e-ects，如PDF尾的指数切割或异常事件，这些事件不属于数据的任何分形组织。多重分形方法允许人们对非平稳信号的时间组织，包括其奇异性的异质性进行可靠和方便的定量描述，但只是有时它也允许对真正的分形结构进行毫无疑问的识别。MFCCA是MFDFA和DCCAA的推广，多重分形互相关分析(MFCCA)[130]可以定量地描述数据的尺度特性和两个时间序列之间的多尺度去相关程度。给定两个时间序列xi,yi,其中i=1,2...t,根据X(j)=jxi=1[xi-hxi],Y(j)=jxi=1[yi-hyi],（3）计算相应的profire，其中hxi和hyi分别表示xi和yi时间序列的平均值，然后将profirex(j)和Y(j)分成2ms段，从时间序列的开始和结束开始，长度为s,其中s=bt/sc。在每一个线段§，通过分别对级数x-p(m)X，§i-y-p(m)Y，§，求一个m次多项式来表示一个趋势。如前所述，对于有限的时间序列，一个典型的选择是m=2[135]。去势之后，互协方差为fxy(v，s)=ssxk=1{(X((Ⅴ-1)s+k)-P(m)X,v(k))×(Y((Ⅴ-1)s+k)-P(m)Y,v(k))},（4）对于线段v=1，...，MsandFxy(v，s)=ssxk=1{(X(t-(v-ms)s+k)-P(m)X,v(k))×(Y(t-(v-ms)s+k)-P(m)Y,v(k))}，(5)对于v=Ms+1，...，2Ms，然后用它来计算q次序协方差函数[130]fqxy(s)=2ms2msxè=1sign(Fxy(v，s))Fxy(v，s)q/2，(6)，其中sign(Fxy(v，s))表示Fxy(v，s))的符号。

两个时间序列之间的分形消去互相关关系表现为标度关系fqxy(s)1/q=Fxy(q,s）=sλ(q),(7),其中q6=0和λ(q)为标度指数。参数q作为一个参数，它加强或抑制在具有长度的段上计算的协方差。对于正q而言，含有大果的片段在等式（6）中占主导地位，而对于负q而言，含有小果的片段在Fqxy(s)中占主导地位。当存在多重分形互相关时，λ(q)对q有依赖性，而对于单分形情况，λ(q)与q无关。用MFDFA[128]对单个时间序列进行多重分形分析对应于MFCCA过程的一个特例，其中xi=yi。则等式（6）约化了toF(q，s)=h2ms2msx'A=1[f(v，s)]qiq。（8）如方程（7）一样，分形以幂律关系f(q，s)→sh(q)，(9)表示，其中h(q)是广义Hurst指数，对于q=2，它对应于标准Hurst指数[163]。对于单分形时间序列，h(q)是常数，而对于多重分形时间序列，h(q)依赖于q。在后一种情况下，时间序列揭示了收益的一种层次结构[164]，奇异性谱f(α)可以通过勒让德变换计算:α=h(q)+qh(q),f(α)=q[α-h(q)]+1,(10),其中α是h"older指数，f(α)是具有奇异性α的时间序列点的分形维数。在多重分形的情况下，奇异谱的形状特征上类似于一个倒抛物线。奇异谱的宽度Δα=αmax-αmin，(11)其中αmin和αmax是α的最小值和最大值，是用来度量时间序列中奇异点多样性的一个量度。F(α)谱的另一个重要特征是它的非对称性（偏度），它可以用非对称性coe-cient[164]aα=@αl-@αr-@αl+@αr，(12)来度量，其中@αl=α-αmin,@αr=αmax-α，α对应于q=0时观察到的最大值F(α)。正coe_cient Aα表示谱的左侧不对称性。这对应于更发达的多尺度（强相关性）在大的结果水平上。为了评价多重分形互相关的强度，必须比较每个时间序列计算的尺度指数λ(q)和广义Hurst指数平均值yhxy(q)=(hx(q)+hy(q))/2(13)。从而计算出λ(q)与hxy(q)之间的关系为dXY(q)=λ(q)-hxy(q)。（14）对于完美的多尺度互相关，dxy(q)=0，而对于时间序列之间的去同步，dxy(q)6=0[71,98]。关于dxy(q)的其他概念在子节中给出。4.1.3.4.1.2.由等式（7）所定义的去除了互相关coe-cient(qDCCA)[123]ρ(q，s)=fqxy(s)pFqxx(s)Fqyy(s)，(15)，其中fxx和fyyy(s)是由等式（8）计算出来的，也可以用作确定依赖q的去除了相关coe-cient(qDCCA)[123]ρ(q，s)=fqxy(s)的基础。该测度可以定量地描述两个时间序列xi和yi之间的互相关，并在不同的时间尺度上去除一个多项式趋势。此外，参数q允许信号Xi、Yii最强相关的去量化幅度范围。

由于经验时间序列之间的相关性通常不是均匀地分布在双尺度和双尺度上[165],所以这种将整体相关性分解为对应于特定幅度和尺度的分量的二维分解比标准相关度量具有显著的优势。ρ(q，s)可以用来研究不一定是分形的非平稳时间序列[123]。对于q>0，COE cientρ(q,s）假定取值范围为-1到1[123]，它们的解释与皮尔逊相关COE cient[116]相同。对于q<0的情况下，小果对ρ(q，s)的贡献最大，q>0的情况下，小果对ρ(q，s)的贡献反之亦然。在q=2的情况下，COE参数ρ(q，s)约化为ρdcca[166].4.1.3。λ(q)与ρ(q，s)之间的关系在前一节中，我们已经证明了ρ(q，s)与时间尺度s之间的关系。纵观有关交叉相关性的文献，Epps E ect[167，168，169，23]是很好的，它涉及到随着回报之间时间间隔的增加而增加的相关性水平（与分钟回报相比，每小时回报的相关性水平更高）。类似地，对于COE（Cient）ρDCCA，以及其更一般的版本ρ(q，s)，在[170，171，172，173，123，174，175，176，177，161，178]尺度上出现了间接的相关水平。由于λ(q)和ρ(q，s)是从给定的byeq.（7）的相同的结果函数中推导出来的，因此它们之间通过一个有意义的关系联系起来。如果互相关函数Fxy(q，s)=axy(q)sλ(q)和单时序函数Fxx(q，s)=ax(q)shx(q)和Fyy(q，s)=ay(q)shy(q)的定标条件是完全的，则可以确定成比例性Coe-cients axy(q)、ax(q)、ay(q)。根据关系式（15）和ρ(q，s)(q≥0,-1≤ρ(q，s)≤1)的性质，可写出如下关系式[123]:fqxy(s)≤pfqxx(s)Fqyy(s)，(16)，代换后:(axy(q))qsqλ(q)≤(ax(q)ay(q))q/2sq(hx(q)+hy(q))/2。(17)q>0时，λ(q)≤logs(pax(q)ay(q)axy(q))+Hx(q)+hy(q)。（18）为了满足式（16）和式（17）,对于q>0,比例COE必须满足关系式axy(q)≤Pax(q)ay(q)[130]。因此，对数(√Ax(q)ay(q)axy(q))是正的，而dxy(q)是λ(q)与hxy(q)之间的关系，可以是正的，也可以是负的[130]。对于正dxy(q),即λ(q)>(hx(q)+hy(q))/2,Fxy(q，s)随s的增加而比Pfqxx(s)Fqyy(s)快。因此，ρ(q，s)也随着增加而增加。当dxy(q)为负值时，则出现相反的情况[98]。在这种情况下，ρ(q，s)随s的增加而减小。当dxy(q)=0时，ρ(q，s)不随时间序列的增加而变化。对于s→∞只允许λ(q)≤hxy(q))[179,180]。这些关系将在以下章节中为经验数据进行研究。对加密货币市场Hurst指数的分析第3.4节表明，绝对收益（波动率）的自相关函数按照幂律关系（“长记忆”）衰减[181]。Hurst指数[124]是定量描述长记忆的一个众所周知的度量。它包含了时间序列中的自相似性以及相关的持久性程度。H=0.5表示没有自相关，即连续的结果是不相关的。0.5≤H≤1意味着一个持续的正自相关时间序列：与前一个方向相同的价格变化比与前一个方向相反的价格变化更有可能。

另一方面，H<0.5表示一个具有负自相关的反持续时间序列：相反方向的价格变动比与前一个方向相同的价格变动更有可能。成熟的金融市场的Hurst指数通常位于0.5[21,182]附近，这就意味着在任何时间点都不可能预测下一个价格变动的方向。相反，新兴市场往往出现偏离这一水平的迹象[182,183]，这是市场的标志[184]。因此，H→0.5可以作为市场成熟的标志[185,68]。此外，在短时间内跌破0.5可能预示着即将到来的趋势变化[186,187]。在整个研究中，Hurst指数是使用MFDFA方法在q=2(eq.(9))下计算的。从2013年3月到2018年12月，在BTC/USD汇率的10秒日志返回中，Hurst指数的时间演变如图所示。22（顶部面板）。较早的时段（见图11）被相当长的交易间时间所取代，因此，零回报的数量也较大。Hurst指数是在每个月的窗口中计算的，每个月的窗口包含大约26万个观测，结果显示在图中。22（顶部面板）。到2016年底，该指数达到了反持久性(H<0.5)，这是风险较大、增长较快的市场的典型特征。随着交易频率的增加（即交易间时间的缩短），该指数在2018年接近0.5。这与sect中的returnPDFs和自相关函数的结果是一致的。3,其中2018年也被指示为BTC/USD汇率达到与前面通常观察到的特征接近的一年。更多汇率的赫斯特指数演变：BTC/EUR、BTC/USD、ETH/EUR、ETH/USD和BTC/ETH可以根据Kraken平台的数据显示。然而，这是以较短的可用间隔为代价的：2016年7月至2018年12月。回报是用Δt=10s构造的，而H是在每月窗口上计算的-图。22（底板）。就像比特币/美元一样，在2017年年中之前，Kraken的汇率与H<0.5相关联。然后从2018年开始，包括美元和欧元在内的所有汇率的赫斯特指数都上升到0.5水平，而BTC/ETHE一直处于反持久性机制，直到2018年年中。H的这种变化与2017年4月开始的Kraken交易时间缩短是平行的。为了进行比较，还显示了欧元/美元汇率的H-图。22（底部面板）。这清楚地表明了加密货币市场的发展[71].20142015 20162017 2018 2019time 0.250.30.350.40.450.5 HBTC/USDJUL 2016Jan 2017Jul 2017Jan 2018Jul 2018Jan 20191time 0.30.350.40.450.5HBTC/EURBTC/USDETH/EURETH/USDBTC/ETHEUR/USDD图22：按月计算的t=10s收益率的赫斯特指数。（上）Bitstamp（2013年3月-2018年12月）的比特币/美元汇率。（下）来自Kraken的BTC/EUR、BTC/USD、ETH/EUR、ETH/USD和BTC/ETH（2016年7月-2018年12月），连同EUR/USD，以供比较。在两个面板中，误差都是线性回归的标准误差。表2显示了为回报计算的赫斯特指数值(Δt=1表2:2018年Binance和Kraken上列出的汇率得出的赫斯特指数。估计误差是小数点后第三位的顺序，因此不报告。

(USD*在Kraken的情况下表示美国元，在Binance的情况下表示USDT）。HNAME Binance KrakenBTC/USD*0.47 0.48 ETH/USD*0.48 0.49 ETH/BTC 0.51 0.48 XRP/BTC 0.46 0.45 BCH/BTC 0.48 0.43 BCH/USD*0.48 0.48 LTC/BTC 0.47 0.45 XMR/BTC 0.46 0.43 DASH/BTC 0.46 0.44 ETH/ETH 0.42 0.41平均值0.47 0.45 min）独立于两个平台：Binance和Kraken获得的几个等值汇率。时间序列涵盖2018年全年。在平均值下，可以观察到密码的更大指数在Binance上列出的货币对，其中H接近0.5。这与在这个平台上比在Kraken上更高的交易频率平行（见第1节）。3)ETC/ETH在两个平台上都得到了最小的Hurst指数，其特征是Kraken\'s BCH/BTC、XMR/BTC、DASH/BTC的最小交易频率也与相对较小的Hurst指数相关（在每种情况下H<0.5)。交换率的多尺度上一小节讨论的Hurst指数只能说明线性相关性。时间序列复杂性的一个更微妙的特征是多尺度自相关的出现。它们可以用广义Hurst指数族h(q)来描述，q属于与返回PDF尾的性质有关的一个预先定义的范围。h(q)可以根据公式（9）在MFDFai的帮助下计算。在奇异谱f(α)中可以找到互补信息，其宽度由式（11）给出，可以认为是时间序列复杂度或其内部结构多样性的度量[114,188,117].4.3.1。多尺度自相关关系的时间演化图23给出了由EQ定义的结果函数F(q，s)。8和将BTC/USD汇率分为2012-2018年年度区间(Bitstampdata)=10s回报时间序列计算的广义Hurst指数h(q)。F(q，s)标度质量的系统改进可以在以后的一年中观察到，特别是对于q<0（小收益）。这种改进与这种交换器上的交易间时间的逐渐缩短密切相关，从而也缩短了算法输出的归零序列。在2012年，这种不交易的间隔达到600分钟，因此在这种情况下，令人满意的缩放范围F(q，s)非常短。10-410-310-210-110-410-310-210-110-410-310-210-110-410-310-310-210-110-410-310-210-1f（q,s）10-410-310-210-110210-210-110210310-110210310-1f（q,s）10-410-310-210-1f（q,s）10-410-310-210-1f（q,s）10-410-310-210-1f（q,s）10-410-210-210-1f（q,s）10-410-210-1f（q,s）10-410-210-1f H(q)-4-2 0 2 4Q0.30.40.50.6H(q)-4-2 0 2 4Q0.30.40.50.6H(q)2012201320142015201620172018q=-2q=-3q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=2q=3q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4在2012年至2018年以后的年度间隔内，为比特币/美元汇率计算的波动函数F(q，s)(q=0.2)。为计算h(q)而选择的标度范围用虚线表示。Inset给出了从标度范围中用虚线标出的广义Hurst指数(q)。误差条表示直到2017年负qs上线性回归的standarderror。h(q)（见图23中的插图）。因此，在早些年，F(q，s)对s的幂律依赖关系只构成了较大的结果的组织。还可以回顾，BTC/USD的CDF尾从2012年的γ≈2增加到2014年的3以上（第3节）。这一结果将h(q)中的q范围从2012年的[-2,2]限制到2013年的[-3,3]，再到2014年和随后几年的[-4,4]（因为响应PDF的高阶矩不存在）。图24给出了相同年份的奇异性谱f(α)。23.

从2013年到2017年，光谱不对称，左翼占主导地位，对应于大收益，只有在2018年，右翼占主导地位，对应于小收益。在2013-2016年间，非对称性Coe-cient aα的假设值在0.7至0.8之间。2017年波谱最宽，达到宽度Δα≈0.5，Aα≈0.34，而2018年波谱最宽，宽度Δα≈-0.03和Δα≈0.41。基于这些值，2018年的f(α)可以被归类为多重分形，无论是小收益还是大收益，其层次结构都很发达。这意味着，随着BTC/USD交易频率的增加，小收益不再表现为噪声，非线性相关最终也在这种情况下建立起来。在外汇市场[23，189]和其他成熟市场[117，98]上的观察表明，这种巨大的财富之间的对称性是有充分根据的。2012年和2013年的结果的特点是误差最大，这与可用于评估标度指数h(q)和f(α)的标度ins的范围较短有关。此外，考虑到2012年缺乏长期非线性相关（见第3.4节），这一时期的时间序列可以被认为是单分形（如果有分形的话），当考虑数据[190]或时间序列的傅里叶替代项时，观察到的多尺度特征消失了。在前一种情况下，通过对原始数据进行傅里叶相位随机化，非线性相关被破坏，只有线性相关幸存。它们的奇异性谱很窄，位于与原始时间序列的Hurst指数H相匹配的α值处（见图24）。在后一种情况下，Shu ing破坏了所有相关（即线性和非线性），但保留了回报分布。f(α)的光谱也很窄，大致位于α=0.5处。需要指出的是，2012年和2013年的光谱略宽是由相应PDF的大尾造成的数字伪影（更多细节见参考文献[114、191、121、122]）。为了更广泛地观察情况，我们还可以将BTC/USD的多尺度特性与其他汇率或其他交易平台的相同汇率进行比较。无花果。25展示了从Binance和Kraken所列最具流动性的汇率:btc/USD*、eth/USD*、btc/ETH和xrp/BTC，计算出的F(q，s)函数，其中usds*表示美国元（Kraken）或USDT（Binance）。数据涵盖2018年，由于相关PDF是重尾γ≈3，所以q的范围限制在[-4,4][192]。函数F(q，s)适用于小s和负q，因为所考虑的汇率交易频率适中，特别是在非交易间隔长达100分钟的情况下。幸运的是，s>100分钟的缩放质量在两个交换之间是可比的。图25中的虚线标记了标度s的范围，在图25中描述了奇异性谱。估计有26个。这些光谱在两个平台上都具有左侧不对称性。对于Binance来说，它们略宽且更多sym0.20.30.40.50.60.7α0.20.40.60.81f(α)2018201720162015201320120.20.30.40.50.60.7α0.20.40.60.81f(α)图24:BTC/USD在随后年度的汇率回报中计算的奇点谱f(α)，但2012年(q∈[-2,2])和2013年(q∈[-3,3])除外。Insets显示了Fourier代理（虚线）和Shu Ed代理（虚线）的f(α)。度量比Kraken的度量更好，这表明由于前一个平台的交易频率更高，小果实的非线性组织在前一个平台上得到了更好的发展。与BTC/USD的情况一样，当考虑傅里叶和Shu Ed代理时，观察到的多尺度e-ects在这里消失。表中列出的其他汇率。1（第1节）。

3.4)，由于Kraken上的交易频率较低，且相应时间序列的PDF重尾，因此两者之间无法进行比较，但总的来说，这些汇率的收益率是单分形的，它们已经用Hurst指数（Tab.2).4.3.2.货币和加密货币的多尺度特征图27显示计算出的F(q，s)和h(q)或最具流动性的加密货币：来自Krakenbtc/EUR、Btc/USD、ETH/EUR、ETH/USD和Btc/ETH，对于基准，来自Forex的EUR/USD货币对。以Δt=10s计算的时间间隔为2016年7月至2018年12月。在每种情况下，用于计算h(q)的尺度范围用垂直虚线表示。用于估计h(q)的最大值不应长于借助自相关函数评估的波动率平均集群的长度（第1节）。3.4)，否则估计的h(q)是不可信的[114]。类似于BTC/美国从Bitstamp讨论在节。4.3.1，在Kraken上，无事务的长周期导致F（q,s）对于负qs和小尺度s的值是不确定的。在欧元/美元的情况下，因为外汇是一个流动性更强的市场。BTC/USD*10-410-310-2F(q,s）ETH/USD*ETH/BTC 2018年Binance（上图）和Kraken（下图）上的BTC（美元*在Kraken的情况下表示美元，在Binance的情况下表示USDT）。对于负qs，h(q)对q缺乏依赖性，q>0则有明显的依赖性（图中插图）。27）表明只有中、大收益的层次结构才是异构的，而小收益的层次结构才是同质的。相反，EUR/USD的h(q)是对称的，证明了数据的多尺度组织是由所有大小的值所决定的。值得注意的是，对称f(α)也表征了BTC/USDIN 2018。图28显示了表征加密货币汇率的多尺度特性，并比较了它们的奇异性谱。EUR/USD的谱线最宽，为Δα≈0.75，最对称，为α≈-0.02。最宽谱forKraken表示密码-密码对BTC/ETH，是f(α)最长右侧翼的结果，其参数为Δα≈0.42。然而，与欧元/美元相比，这一范围仍然要窄得多。另一种加密货币/汇率也具有左侧非对称性:aα∈[0.7,0.9]和α≈0.35。因此，由f(α)的轻翼所捕获的小回波量子表现为单分形噪声。这一结果表明，外汇汇率表现出比密码汇率更复杂的动态变化。如果非线性相关系数0.20.30.40.50.60.81F(α)BTC/USD*BTC/ETHETH/USD*XRP/BTC0.20.30.40.50.6α0.40.60.81F(α)0.20.30.40.50.6α0.40.81F(α)KrakenBinanceFigure 26：在Binance（左图）上计算出BTC/USD*ETH/USD*、BTC/ETH/USD*、BTC/ETH/XRP/BTC和BTC/USD*XRP/BTC的奇异谱，则观察到的多尺度E ects完全消失2018年Kraken（右图），表示q∈[-4,4](USD*在Kraken的情况下表示美元，在Binance的情况下表示USDT）。在插图中，显示了Fourier代理（虚线）和随机Shu ing代理（dashedline）的返回谱。通过Fourier代理或如果返回是Shu ed,则有选择地销毁。在后一种情况下，重尾对奇异谱的影响是明显的（图28的插图）。如果与傅里叶代用品的情况相比，舒埃德数据的光谱要宽一些。

然而，它们比2012年和2013年从Bitstamp中得到的对应BTC/USD更窄，这源于Kraken上更细的回报PDF尾。综上所述，BTC/USD汇率回报的复杂性在一段时间内发生了变化，到2017年，它接近了通常在外汇上观察到的复杂性，并在2018年达到了这一水平。对于Kraken上列出的交换器也可以得出类似的结论，其中ETH/USD显示了与TOBTC/USD类似的多尺度特性。一个不涉及任何其他货币的汇率--BTC/ETH--也揭示了外汇交易的复杂性。允许区分加密货币汇率和外汇汇率的例外是，在前一种情况下，小工具的组织不太明显。这是因为高交易频率需要发展多尺度在小的水果水平。交易频率的影响也可以在比较上市交易平台上的汇率时看到。在Binance上，在频率较大的地方，返回的时间序列显示了与Kraken上的对应序列相比，外汇上典型观察到的多尺度特性。10-510-410-310-2F(q，s)10210310410-310-310-2102103103104104104104104104104103104scale s[min]-4-2 0 2 4q0.40.50.6H(q)-4-2 0 2 4q0.40.50.6H(q)-4-2 0 2 4q0.40.50.6H(q)-4-2 0 2 4q0.40.50.6H(q)-4-2 0 2 4q0.40.40.50.6H(q)-4-2 0 2 Q0.40.56.6H(q)BTC/EURBTC/USDBTC/ETHETH/EURETH/USDEUR/USDQ=4q=4q=4q=4q=4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4q=-4qKraken交易所的汇率收益率BTC/EUR、BTC/USD、ETH/EUR、ETH/USD、BTC/ETH和外汇市场的汇率收益率ANDEUR/USD计算的波动函数F(q，s)(Δq=0.2)。计算包括2016年7月至2018年12月记录的回报。内嵌表示从虚线指示的尺度范围估计的广义Hurst指数h(q)。误差条表示线性回归的标准误差。0.2 0.3 0.40.50.60.70.8α60.7 0.8α00.20.40.60.81F(α)BTC/EURBTC/USDETH/EURETH/USDBTC/ETHEUR/USD0.2 0.3 0.40.5 0.8α00.20.40.60.81F(α)图28:2016.7至2018年12月Kraken交易所在嵌入式中，给出了Fourier代理（虚线）和随机Shuing代理（虚线）的谱图。在前两节中，我们发现，密码货币汇率具有收益率概率分布的重尾特征，以及与收益率非线性时间相关性相关的波动率聚类特征和多重分形特征。当考虑由两个或多个汇率组成的多元数据时，还揭示了额外的性质。INSEC.5.1，加密货币和加密货币之间的相互关联将使用前面提出的基于去分离的方法进行分析，即FCCA（Sect.4.1.1)和ρ(q，s)(4.1.2)。这些方法可以定量地描述在不同的时间尺度和数量上的非线性相互依赖关系，从而赋予经典线性相关[116]以显著的优势。对于线性互相关，单个时间序列的多重分形特征并不意味着这些时间序列也是多重分形互相关的。将讨论三角套利机会数据的多重分形交叉相关性。5.2.3.本节报告的结果基于三个数据集:oKraken-2:BTC和ETH报价，以美元和欧元表示，取自Kraken，涵盖2016年7月至2018年12月，转换为Δt=10s的返回时间序列；oKraken-11:BCH、BTC、DASH等、ETH、LTC、REP、USDT、XMR、XRP、ZEC报价，以美元和欧元表示，取自Kraken，涵盖2018年1月至12月的区间。