空间处理的因果推理

上面的表达式和估计器（）的theters之间的差异在于，后者只能对控制（）（）的结果（0）中的个体与被（）置于相应处理的潜在结果（）上的个体进行平均。因此，估计器^()=()-()(1)估计di值的加权平均值()-(0)，定理1证明了该估计的样本性质。定理1.^att(^())≈=1∈S∈i(){(，)，具有(i)无偏性的分配分布:(^())≈=1∈S∈i(){，）-≤}()=1∈S∈I(){（,）-≤}(ii)方差：var(^())≈～()()+～(0)()-()()+()-～()，其中～()()=1-()=1∈()(，）~(，）-～()～(0)()=1--1()=1()～()-～()()=1-()=1∈()()，）~(，）-~()-~()~()~()-~()()=1--1-1()=1∈()(，）(～(，)-～())-()(～()-～())=1--1-1()=1∈()(，)(～(，)-～())和～(，)是与位置处的治疗相对应的位置距离处的个体的平均潜在结果，～()是区域内的平均潜在结果，具有相同个体在没有治疗的情况下的区域平均潜在结果。～()（）和~()类似地对跨区域的区域内平均值进行平均。当在区域内平均时，距离位置的个体数为(，)，()。该定理是下面定理3的特例，权重()=(){(，)-≤}^～^-～-1，其中区域数；详情载于附录。即使在相对个体水平的治疗中，如果治疗是通过连续的投币来决定的，而不是在随机分配时通过保留接近治疗的个体数量来决定，替代方法是将期望中的权重标准化，而不是将样本中的权重标准化，从而得到个体水平的治疗分配（Imbens,2004；Busso et al.，2014)。当所有候选位置在距离箱中的个数相等时，上述定理中的近似成立相等。注2。定理1给出的期望值也适用于其他估计者，它们使用()作为治疗的平均值，但依赖于一个独立的对照对照组，并且在治疗的空间位置允许他们使用()（或类似物）估计治疗的平均治疗E-ECT。因此，他们隐含地估计了治疗的平均治疗E-ECT。我相信把估计目标明确化是有价值的：正如我所说的那样，在不同的距离上，两者之间存在着不可比较性。被提议的估计器^()对-（）/-（）个体使用的控制平均值()，同样可能是与实现治疗的距离。这通常要求治疗可以在区域内的任何位置以与面积成正比的等概率（（）实现。那么无条件处理概率（）对于所有位置都是恒定的，而不仅仅是对于一个小的候选位置集合。图2illustrateslocations具有接受治疗的正概率。在一组随机选择的区域中，随机地对一个候选位置进行治疗。样本之间的差异在于观察每个个体的潜在结果。因此，上述差异背后的思想实验类似于进行apermutation或安慰剂测试。阿罗诺等人。（2020）还提出了置换检验作为空间处理设置中推理的替代依据。

方差表达式中的三个项与完全随机的个体水平处理实验中均值估计器中的方差相似（参见Imbens and Rubin，2015,Ch.6）。在本节考虑的理想空间实验中，处理是随机化的，类似于完全随机化的实验～()聚合处理潜在结果的方差，～(0)()是聚合控制潜在结果的方差，()()类似于处理的方差，因此～()()+～(0)()-()()类似于本文中方法的方差。在治疗和控制结果的方差表达式中存在明显的不对称性：有两个项描述治疗潜在结果的直接方差，而只有一个控制潜在结果的方差。在已处理区域中，但不在其他未实现的候选处理位置中。因此，这个估计量的方差既取决于不同地区处理的潜在结果的差异，也取决于不同候选地点的区域内处理的潜在结果的差异。如果大部分方差是跨区域的，则术语-～()大（负），减少估计量的总体方差，这是由于经处理的潜在结果的方差，～()()。由于大多数差异是跨地区的，所以在接受治疗的地区只观察与一个治疗地点相对应的结果几乎没有损失。相反，在对照区域中，我们观察到该区域中的对照s（）。因此，()对所有候选位置的潜在结果进行平均值～(0)候选位置。在每个治疗区域内的候选治疗位置之间随机化。当估计方差时，如果没有进一步的假设，人们只能估计方差的两个项～()()和～(0)()，以形成近似样本方差^()的保守估计量。如果存在单个候选治疗定位区域，则第4项可以与第1项（和第2项）合并和估计。第3项和第4项是治疗e-ects的（近似）方差，它们是治疗e-ects的-（）≤(）期望（以区域为条件）。如果每个区域有多个候选治疗地点，那么在潜在结果的半参数假设下，如ConstantTreathy E-ects下，仍然可以估计出第4项，根据总方差定律，删除这两个项可以得到方差的保守估计。具体来说，请注意fitth项由区域的方差≈var′，≈var(((，))))组成，就像在估计≈~()()中一样。人们还可以估计控制潜在结果的两种类型的方差，因为在控制区域，相关的控制被观察到。如果治疗e-ects是不变的，可以通过缩放^()来估计潜在的结果。3.1.2治疗的ATT e-ects的加权考虑因素随着距离治疗的距离而变化。作为另一种选择，我用一种更有吸引力的解释提出了Estimation and-（），当比较e-ects atenvielatitude(a)距离1的没有个体与其他位置的距离1的所有个体与Estimation and（）中的相等多个位置的权重时。在估计中，如果该地区是在对照组，我们采取简单的平均结果的突出显示的个人。在小组b中，一些小组，我们取突出显示的个体结果的平均值，但位于两个灰色环中的个体得到两倍的权重。在面板c中，候选处理显示）。

如果我们假设候选治疗位置延伸超过所有个体的边界，从治疗的距离治疗效果估计和τatt(d)τatt-eq(d)区域1ATE(d)区域2ATE(d)(a)stimmands从治疗的距离个数区域1regionregion1region2(b)每个区域中每一距离的个体-平均治疗量在两个有实线区域的距离上的衰减。虚线显示了Estimand()，它根据单个卫星距离的相对数量进行加权，如图B所示。虚线显示了估计和-（），经验方法隐式地以（）为目标。另外，可以将-（）解释为一个新的治疗地点的预期平均e-ectat距离。图3说明了将Estimands（）和(\')之间的di-ectat关系解释为治疗模式e-ects跨越治疗距离的问题。假设研究人员感兴趣的是比较近距离、短时间、长时间治疗的平均治疗效果，每种类型都有同样的可能性实现。鱼类类型的候选吃两种距离，但从治疗的距离减少。第二种类型的候选人吃长距离。这些第二候选位置在两个距离上都有相对较大的治疗和ECT,但离治疗的距离也在减小。任何单一治疗位置的治疗和ECT都在离治疗的距离上减小。估计和（短）将最大的权重放在候选位置的类型上，因为离治疗近距离的个体靠近这类位置。在longhence中，(long)>(short)。该不等式表明，对于在短距离和长距离的平均个体而言，平均治疗E和ECT的长度大于在短距离的平均治疗E和ECT的长度，可能简单地既是一种独立治疗类型的个体（就可观察和不可观察而言），也可能暴露于平均独立治疗位置。-通过对每个候选治疗位置放置相同的总权重而不考虑距离，解释中的问题。估计和-（）分别平均每个候选治疗地点附近个体的潜在结果。然后再对这些平均值进行平均，权重只与该位置的治疗概率成正比。相反，estimand()使用的权重与治疗概率和TreatmentLocation附近的个体数量的乘积成正比。形式上，-()==1∈S()_(，)=1∈S()_(，)=∈I{(，)-≤}()∈I{(，)-≤}(2)，其中，(，)是给定候选位置在离该位置距离为±1的个体上的平均E&ect。然后用权重（）对这些平均的E-能分泌的ECTS进行平均，权重不依赖于与治疗的距离。因此，对每个治疗地点和类似的个体特征暴露的平均e-e-ect施加的权重。保持每个治疗地点的总权重在距离上保持不变，每个治疗地点由不同的公司经营，这些公司可能在其劳动力需求和工资分配中都可以使用。因此，异质性治疗的出现不仅仅是由于治疗之间的差异较大、较少和较复杂，它们的实施往往比医学试验中给患者服用药物或跨培训地点或队列进行工作培训计划更多。此外，估计和-（）作为新治疗地点距离上预期的ECT有一个吸引人的解释。考虑下面的层次模型。首先，当在位置上实现治疗时，它在距离上的平均e-ect被绘制为。

其次，个体上位置的个体级别e-ect由()=()+()给出，其中（）是平均零个体指定分量。那么，作为距离bin的宽度，2、变为0，估计值和-（）接近分布的均值。-我提出以下估计值来估计-（）:^-()=~-,()~~-,()~~-,()==1∈i{(，)~≤}∈i{(，)~≤}=1~-,()==1(1-)∈S（）1邻i{（,）邻≤}邻i{（,）邻=1（1-）邻S()1邻（3）定理2给出了邻（）的样本分布的近似性质。定理2.邻（i）无偏的赋值分布：(^-())=-()(ii)和由定理3给出的方差()=(){(，)-≤}\'∈I(){(，\')-≤}该定理是下面定理3的特例，权重如上所述。注8。这里的估计量是无偏的，因为在完全随机化的设计下，权重之和在分配实现中是恒定的。这是根据假设2.3.1.3一般加权平均治疗效果的实现，即只对具有正实现概率的候选治疗位置的e-ects赋予非零权重。将这些空间治疗在离治疗距离的个体上的个体水平平均E-列式写为:()=∈S∈I(，)∈S∈I(，)()(4)其中（）是个体在位置上的治疗E-列式，(，)是研究者指定的权重。因此，这里的估计可以是距离处处理的平均e-ect的任何加权平均，只有当位置和个体（近似）相距时，权值(，)才是非零。虽然我使用矩形或均匀核函数{(，)-≤}来定义上述距离区间的注意事项（）和-（），但权重(，)通常可以使用任意核函数(，)-来代替距离区间来估计距离上的e-ects。在方程(I)和2个4的情况下，处理对处理后的e-ect的平均e-ect。对于与^()相对应的ATT估计，选择权重(，)=()()()(){(，-≤)}。对于与^-()相对应的ATT估计，选择权重(，)=()()()(){(，-≤)}\'∈I(){(，\'-≤}。Imbens，2004)估计在已实现治疗地点附近的个体的加权平均结果与未治疗地区的个体的加权平均结果之间的关系。所指定的权重用于说明两个方面：首先，研究者在估计中指定所需的权重(，)。其次，由于实验设计的原因，靠近治疗概率高的地方的个体“被治疗”个体的总和比“对照”个体的总和多。该估计器抵消了由于对被处理的处理的过平均值e-ect进行平均而产生的概率加权，处理概率（）（）（）（）（）（）（）（（））可以包括在权重（,）中。4中加权平均处理的估计量是^()§∈S()()(，)∈S()(，)∈S()(，)§{∈()}Pr(∈()()=1)Pr()=1)。()=1)Pr()=1)Pr()=1)Pr()=1)Pr()=1)Pr()=1)1-（）1-Pr（（））=1）（5）权重（,）由研究人员确定。与此相反，权重（）是随机的，因为它们依赖于治疗分配随机情况，它等于此事件概率的反比。类似地，=0，除非在个体区域中没有治疗，在这种情况下，它等于预期的反比。

估计器将每个项除以已实现权重的和，()(，），和控制结果的凸组合。定理3给出了估计量^()的近似样本性质。定理3。在假设1（无跨区域干扰）和假设2（完全随机设计）或假设3（伯努利试验）下，估计量^()在赋值分布上具有(i)无偏性的近似样本分布：(^())≈()(ii)variancevar(^())≈2=1∈S()∈I(，）（（）-,（））(\'=1\'∈S\'∈I\'(\'，))+2=1(1-)+(1-)∈I\'∈S(\',）((0)-,())(\'=1\'∈S\'∈I\'(\',）))-2=1-∈S∈I(，)(()-())(\'=1\'∈S\'∈I\'(\',）)-=1∈S\'∈I\'(\',）)-=1∈S()∈I\'(\',）（,）（）（（）-,（））-\'∈S(\',）1-（（0）-,（））(\'=1\'∈S\'∈I\'(\',）)+=1-∈S()∈I（,）（）（（）-,())∈I\'∈S(\',）1-（（0）-,（）））(\'=1\'∈S\'∈I\'(\'，))其中在假设20下，在假设3下，证明：见附录A.2。注9。在完全随机设计下，定理3的方差可以与定理1的方差相似地估计，也见附录a.2.6。这是由于近似的性质，它不会严重地惩罚方差，例如，当由于分母中的因子-1而使少数被处理的区域变得可忽略时，例如，在区域数目的标准渐近性下，两种设计之间没有差异。3.2聚合效应的估计单一处理对所有被处理个体的聚合效应在成本收益和福利分析中具有重要意义。在这一节中，我提出了集合e-ects的估计量，它建立在个体水平e-ects的估计量基础上。在空间处理的实验中，有两个观察单位：输出个体和空间处理。前组的个体水平治疗是平均每一个空间治疗的治疗。在所有的A位点个体上都有。对估计进行修正，并按前面的方法，()=()∈S()(6)，其中()=()-(0)是个体治疗位置的E_ect。聚合治疗E_ect将个体间的这些E_ect相加，并对候选治疗位置的E_ect进行平均值，权重为（）。在本节中，我将重点放在治疗位置的平均聚合治疗E_ect上，权重为()Pr(==1)Pr(=1)这些权重对更有可能的治疗位置的E_ect赋予更大的权重要实现。这一估计并因此回答了这样一个问题：在观察到的分配治疗的政策下，一个治疗地点的预期总E_ect是多少？人们可以通过在区域水平上聚合结果来估计总E_ect:^，1-(1-)Pr(=1)1-Pr(=1)1-Pr(=1)1-Pr(=1)≈i一个区域内的所有个体。当每个地区有一个候选治疗地点时，应用来自个体水平治疗实验文献的标准结果（参见Imbens，2004)，区域扮演个体的角色。基于区域聚合结果的估计器可能有非常大的差异。每个地区的个体数量和结果的显著差异是正的，每个地区是Poisson分布和均值，个体水平结果是I.I.D。带均值和方差的区域内和跨区域。然后，区域聚集结果具有·大的方差，这导致估计量的大方差（参见Imbens，2004)。区域大小的变化在处理区域中产生的区域聚集估计量^，1的方差比在控制区域大。假设结果是正的和恒定的，在实验设计或分析中的分层是一种替代解决方案。

然而，例如，当所有个体对结果具有完全相同的值时。然后，在这样的样本中，治疗和ECT估计^，1是阳性的，并对结果^，1区域思维实验的规模敏感。即使已知ECT的平均个体水平治疗，也有很大的差异。本文所考虑的基于设计的方差对样本中的个体有影响。在已知个体数和已知个体水平平均处理E-ECT的情况下，通过在一定距离上建立平均个体水平E-ECT的估计量，可以形成上述总处理E-ECT的估计量。设^,2∑∈D()^()(7)其中，^()是与候选处理距离的平均个体数位置:^()=∈S Pr(==1)Pr(=1)∈I((，)-)/∈S Pr(=1)Pr(=1)使用对^()和^()都具有相同距离的bins（均匀核和带宽等于bin宽度）。distancesds集合包含将整个空间划分为距离bins的bins的中点。例如，如果使用距离箱[0,1]，(1,2]，..。，(9,10]对于一种已知在10英里以外没有E的治疗，thenD={0.5,1.5,。在理想实验条件下，估计量^，2在赋值分布上具有近似的充分分布，且(i)无偏性:(^，2)≈(ii)方差:var(^，2)≈d()var^()+2∈d′∈D，\'=()(\')cov^()，^(\')^，^(\')^，2^not^-()。直观地说，当“积分”e-e-ect^()与这些特定的()个体的^e-e-ect个数时。备注12。方差由定理3和定理1得出。协方差可以是^，2项。在基于设计的视角下，分析是以个体为条件的。因此，每个bin（）中的个体数是有限的。因此距离∈D的估计量^()是唯一的随机分量。注13。距离箱（和带宽）的最优选择仍然是一个悬而未决的问题。箱可能是更好的，并且在适当的总体序列下（在渐近性或增加方差var^()的→D→∞中）。3.3参数估计i讨论了对治疗的衰减施加参数假设的问题，这些参数假设与治疗和最小二乘回归估计的超距离。首先，我展示了如何将一个参数模型强加于个体水平上，在不确定的距离上。第二，如何基于这样的模型估计总的e-ects。关于平均治疗e-ects与治疗的超距离衰减的大多数简单线性参数模型采取()=~()的形式，其中~是已知的距离函数，并且是需要估计的Coe-cients。在许多情况下，人们需要施加一个距离，在该距离之后治疗没有e-ects，即使在区域内，以从参数模型中获得合理的估计。下面的假设4正式化了这个假设。假设4.治疗地点的max∈Iset，和位置，使得(，)>max，()=({}）没有这样的限制，任何简单的函数形式对于至少离治疗的某些距离来说通常都是差逼近。可以通过使用只将治疗e-ect模式调整到最大距离max的函数来改进对治疗e-ect的近似值:()=(){≤max}，max max然后没有（参数）估计器能很好地执行。例如，可以通过选择=1,=来对治疗e-ect衰减施加线性函数形式。然后COE cient估计衰减率。一个二次泛函形式是由=1，=，=强加的。

原则上，本节中的分析也可以扩展到参数非线性的函数形式，例如具有未知衰减率的治疗e-ects的指数衰减，()=exp((-))。为了估计参数，最初假设每个区域中只有一个候选治疗位置。这使得个人与候选治疗地点的距离可以唯一地确定为，而不考虑已实现的治疗。然后估计加权线性回归=()(，){≤max}+()+，其权重根据估计值，如（）或-（）对被治疗者的治疗平均ECT的不同版本。该函数对离候选治疗地点每一距离的平均控制潜在结果进行建模。对于半参数估计，将处理e-ectdecay（）参数化，非参数化，指定为部分线性模型（例如，已知参数函数和估计它们的coe-cient:=+()(，){≤max}+{≤max}+关于设置最大距离的相同警告也适用于。由于在如此大的距离上个体不存在最大值。最大值（假设4)，但在最大值处有一个连续趋于零的处理。为此，用变换协变量=+()((，)-(max，)){≤max}+8)估计线性回归，它施加了限制(max)=(max)=0。图4说明了在最大值下ITE的ECT会不连续地跳到0。施加图(b)中的限制，估计的处理E和ECT在最大值也是连续的。在实际中，大多数函数形式不仅意味着距离max之后的零e-ect,而且还意味着距离略短于max时的非零e-ect。原则上，人们可以附加更高阶光滑性，如max时的di-ect。然而，这通常需要更复杂的函数形式来保持短距离时的su-cient-ect。在实践中，这可能会否定精度上的任何改进。与治疗结果的距离(a)不受限制的估计与治疗结果的距离(b)受限制的估计函数不受限制（面板a）并限制治疗e-ect在最大值处是连续的，以便函数在最大值处是连续的。可以施加相同的参数函数形式来估计处理后的平均总量=((，）-（最大，））{≤max}解决将此插入到上面的回归指定中，获得单步进特性=+()((，)-(max，)){≤max}\'((\'，\')-(max，\')){\'≤max}+()((，)-(max，)){≤max}-()((，)-(max，)){≤max}·\'((\'，\')-(max，\')){≤max}·\'((\'，\')-(max，\'){≤max}。\')){\'≤max}\'((\',\')-(max,\')){\'≤max}+}}{≤max}+(9)，其中（转换后的）协变量上的Coe=cient是对平均值的估计，等于原始协变量乘以或移位的平均协变量。在所有区域中取平均值，包括处理和未处理的区域，这样在分配的杠杆作用下，它估计了许多吸引人的性质，就像上面的非参数估计量^，2一样。当每个区域有多个候选处理位置时，按以下方法增加该方法。该变量不是唯一定义的，因为在一个控制区域(()=0)距离一个候选治疗位置1英里，距离另一个候选治疗位置5英里。然后应该用来估计两个距离=1和=5的控制均值（）。一个人因此可以重复观察。

具体来说，如果个人位于具有（）候选治疗位置的区域，则在回归中包括s（）次。每个版本都使用对应于一个di？everent候选治疗位置的。这确保了(=，=)=0，从而得到一致的线性回归估计。4扩展性：与经验相关的设置中的变化，如面板数据和有干扰的设置。4.1面板数据和现有方法使用预处理结果来减少治疗方差。二是常见的直角坐标系中直角坐标系方法。在理想实验条件下，减少方差，上述非参数估计量（近似）无偏，但可能存在较大的方差。方差可能是真正的平均处理。对称地说，在这一分配的逆项下，治疗主要在潜在结果较小的区域实现，并且该估计低估了真正的ECT。事前（平均跨治疗任务）估计量是无偏见的。然而，治疗分配的估计值之间的巨大差异表明，估计值的设计方差很大。在治疗分配区域，潜在结果的差异水平很低。为了实现这一点，Simpleys对每个人的治疗后和治疗前的结果进行di-pre，然后使用与以前相同的估计量。这并不实质上是非参数估计的近似无偏性。例如，将带有di-erenced结果的theestimator^()表示为^di-()。紧接着，^di her()=^()+∈I((),（）,）-（（）,）prepre和控制权重，((),（）,）和（（）,）分别镜像了()和()中的权重。因此，根据^()本身无偏性的论证（附录A.2.4)，它们在预期中（近似）是相等的。因此，第二项在治疗的潜在结果和控制的潜在结果之间的抵消等于零。对于回归估计量，可以选择使用前结果和后结果作为分离的观察，并在类似的e-ect的回归中包括单独的e-ect。()(0)对^di-ect（）的方差的估计。简单地说，如果治疗前结果的边际方差较小，^di（）的方差较小：治疗前结果的var(()-pre)<var(())和Var-pre<var至少为0.5。这有助于更准确地确定潜在结果的水平。具体而言，如果有期间特定的不可观察的组成部分a确定结果，多个前期的超额结果的平均值可以提供对后期潜在控制结果水平的更精确的估计。然而，由于估计的目标是后期，所以对更接近后期的前期给予更大的权重是有吸引力的。直观地说，目标是利用前期结果提前一步预测后（0）。如果前期数据是针对不同个体的，则必须比后时期观察到的数据做一些小的调整。由于个人是不同的，所以没有一个期后个人的PRE。取而代之的是，目标是确定地构建ANESTIMATE^PRE，其基础是位置在，位置附近的个体的前期结果。然后，我们可以对变换后的结果使用与以前相同的估计量-^pre^pre，正式的结果，如定理3，对已确定的结果继续成立。以位置为条件。但是，它无法删除分别为()(0)和region的单独指定的e-指定的ects。

为了便于标注，该段显示了个体水平潜在结果的方差。与个体的位置无关。直观地说，如果个体特定的成分较大，而个体特定的时间“噪声”较小，则由于只对独立个体产生前期结果而造成的损失较大。在实践中，只要邻居的结果能直接预测自己的结果，而且邻居级的结果在时间上是稳定的，那么，环境个体的前期结果仍然是有用的。基于平行趋势的识别人们可以选择使用数据的小组结构来依赖于“平行趋势”假设，以便在一种独立的环境中对因果关系进行识别。在实践中，这种方法使用了方差减少所建议的相同估计量。在理想的实验中，treatmentassignment既独立于期后的潜在结果，也独立于期前和期后之间的趋势，条件是已知的随机化概率。因此，实验环境允许使用期前数据，但不需要，正如前面讨论的那样。在第5节讨论的观测环境中，使用前期数据增强了数据基础上的假设。治疗分配是否更合理地与水平或趋势有条件的独立取决于设置。用面板数据进行内环与外环的比较现有的经验工作经常使用Rocko，2008年；Currie等人，2015年；戴蒙德和麦奎德，2019年）。相反，这些文件。这些较远的个体为对照组，在一个直接作用的条件下，构成治疗组。在同一已实现的治疗位置周围的“外环”上距离较远的个体构成控制组。通常，相同的外环个体作为控制单元，而与估计治疗的距离无关。依赖于直接平行趋势假设。具体来说，内环上的个体需要与外环上的个体处于相同的趋势。对于每一个距离，她估计了一个e？ect，她得到了一个内环个体的di？ecent集。当假设个体在任何距离治疗（直到更远的距离）是平行的趋势。这是一个半参数泛函形式假设，即控制一个区域内所有邻域的潜在结果共享相同的额外可分离的时间特性分量。对于这些已有的估计量，还需要假设更远的个体不受治疗的影响。如果外环上的个体是内环上个体的直接结果，即使平行趋势假设成立。与平行趋势假设不一致的是：对照个体越远。对于短距离，短的是纵向的(a)^(short)，中距离的是纵向的(b)^(med)图5：现有的估计只关注接受治疗的区域。在这种情况下，个人在一个“内环”在给定的距离感兴趣的治疗，在这里被发现为小的被发现的圆圈。对照组由处于“外环”中的个体组成，当研究人员估计多个距离时，同一对照组用于所有距离。面板a显示短距离的估计量^(short)。面板B显示了中等距离MED的估计量^(MED)。外环的距离需要仔细平衡这两个相互竞争的假设。可以加强平行趋势假设的可信度。对于内环估计器和外环估计器，研究人员需要证明，前期趋势的缺乏表明，基于时间的随机性，而不是治疗地点的随机性，治疗后阶段的趋势是平行的。

当估计治疗E在多个距离上的ECTs时，每个距离上的控制潜能结果必须与彼此和与外环对照个体呈平行趋势。例如，（Diamond and McQuade,2019,figurgures 3,4,5）说明了三维数据（治疗后的时间、与治疗的地理距离、结果）图中缺乏前趋势。与来自非空间环境的更熟悉的二维图相比，在这样的图中包含标准错误是不幸的挑战。因此，经常需要准确地评估可能的前趋势的大小，有时甚至方向。因此，我建议在轻微违反平行趋势假设的情况下，对部分合格的治疗组进行正式的敏感性分析和估计。RecentFreyaldenhoven等人，2019年；Rambachan和Roth，2019)。对于本文提出的估计量，遥远的个体位于其他未经治疗的区域，靠近看起来与真实治疗地点相似的候选治疗地点。群体通常不是通过随机化治疗地点的理想实验来筛选的。假设研究人员对一段距离内的治疗感兴趣。在理想的实验条件下，外环上的个体是适当的对照个体，位置与个体有一定的距离。同样，也必须有候选处理，下面给出一个例子。因此，这些估计通常基于函数形式假设，如时间特性的加性可分性，而不是基于涉及随机治疗地点的理想实验。距离0.1英里，并知道距离0.3英里的个体在同一邻域内生存，除了暴露于治疗之外经历相同的条件。内环和外环个体之间的平行趋势假设在距离0.3英里后不存在。第二个例子说明了当本文提出的基于离治疗中心近的个体与离治疗中心10英里远的个体比较的估计器可以将住在市中心附近的个体与住在郊区的个体进行比较时。这些人在农村地区接受治疗的平行趋势假设是从多重信息的一组候选治疗地点中随机选择的（准），直接用于识别和估计因果关系。4.2治疗地点之间的干扰相互干扰。在这两种假设中的任何一种下，与第3节中的那些非常相似的平均处理e----可分离的e-----e----------------------------------及(ii)只有最近的已实现治疗地点才重要。额外独立于其他治疗的实现。例如，有毒废物厂（参见Currie et al.，2015)或空气污染发电厂（参见Zigler and Papadogeorgou，2018)在接触污染时的e-collects可能大致是附加的。通常，在通勤时间和房地产价格上，如果个人只访问或访问一个已实现的公共汽车或地铁车站，只有新实现的治疗位置才重要（参见Gupta et al.，2020)，如果每个车站为同一线路的车站提供accessappical,公共汽车或地铁车站的特殊配置可能是一个很好的近似值。相反，如果治疗以某种方式相互作用，导致附近治疗地点数量的收益递减或递增，则可能需要对这些收益的函数形式进行参数假设。在因果关系分析中，我关注两个设置：一个设置，如果一个区域被治疗，该区域中的候选地点的数量被实现（区域内完全随机设计），以及来自未治疗区域的数据可用。