空间处理的因果推理

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摘要翻译：
我提出了一个框架，估计器，和推理程序，以分析因果影响的设置与空间处理。许多事件和政策（治疗），如开业、医院建设和污染源，发生在特定的空间位置，研究人员感兴趣的是它们对附近个人或企业的影响（结果单位）。然而，现有的治疗效果文献主要考虑可以直接在结果单元级别分配的治疗，潜在的溢出效应。我从一个类似的实验角度来研究空间治疗环境：我们会设计什么样的理想实验来估计空间治疗的因果效应？这一观点激发了在已实现治疗地点附近的个体和未实现候选地点附近的个体之间的比较，这与当前的经验实践不同。此外，我展示了如何找到这样的候选位置，并应用所提出的方法与观测数据。我应用所提出的方法来研究新冠肺炎封锁期间杂货店对附近企业步行交通的因果影响。
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英文标题：
《Causal Inference for Spatial Treatments》
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作者：
Michael Pollmann
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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英文摘要：
  I propose a framework, estimators, and inference procedures for the analysis of causal effects in a setting with spatial treatments. Many events and policies (treatments), such as opening of businesses, building of hospitals, and sources of pollution, occur at specific spatial locations, with researchers interested in their effects on nearby individuals or businesses (outcome units). However, the existing treatment effects literature primarily considers treatments that could be assigned directly at the level of the outcome units, potentially with spillover effects. I approach the spatial treatment setting from a similar experimental perspective: What ideal experiment would we design to estimate the causal effects of spatial treatments? This perspective motivates a comparison between individuals near realized treatment locations and individuals near unrealized candidate locations, which is distinct from current empirical practice. Furthermore, I show how to find such candidate locations and apply the proposed methods with observational data. I apply the proposed methods to study the causal effects of grocery stores on foot traffic to nearby businesses during COVID-19 lockdowns.
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关键词：econometrics Multivariate Experimental Econometric Individuals

空间处理的因果推论Smichael Pollmann*2020年11月3日抽象空间位置，研究人员对他们对附近个人或企业（结果单位）的兴趣。然而，现有的治疗E-CENTS文献主要考虑可以直接在结果单位水平分配的治疗，实验观点：我们设计什么理想的实验来估计空间治疗的围手术期E-CENTS？这一观点激发了对接近已实现治疗地点的个体和接近未实现候选地点的个体之间的比较，这与当前的经验实践不同。此外，我还展示了如何筛选这些候选位置，并将所提出的方法应用于ObservationalData。我应用所提出的方法来研究在新冠肺炎封锁期间，食品杂货店对附近企业的因果关系。*斯坦福大学经济系，简·斯坦福路579号，加利福尼亚州斯坦福，94305。电子邮件:pollmann@stanford.edu。我感谢我的导师吉多·因本斯给予我的宝贵鼓励和指导。我感谢Tim Armstrong、Eric Auerbach、Ivan Canay、Caroline Hoxby、Joshua Kim、ElenaManresa、Konrad Menzel、Daniel Pollmann、Jann Spiess、Stefan Wager和Frank Wolak，以及斯坦福大学和伯克利大学的Seminarartners的许多评论和富有见地的讨论。Arxiv:2011.00373 v1[econ.em]2020年10月31日介绍治疗，如一家“百万美元工厂”的开业（Greenstone and Moretti,2003；Greenstone et al.,2010）发生在一个地理位置，兴趣的结果，如收入，是为附近的不同个人衡量的在因果推论的理论工作中，治疗分配单位和结果单位之间的这种区别很少受到关注。在缺乏理论工作指导的情况下，最近使用高度详细的位置数据进行的经验研究大多依赖于对熟悉的直接关系方法的调整。不幸的是，这些对空间处理设置的适应隐含地要么严重依赖于函数形式假设，要么依赖于部分不一致的非参数假设来识别因果关系。这与个体水平的治疗形成鲜明对比，在个体水平的治疗中，许多研究人员更喜欢基于更简单、更透明的假设的准实验方法的因果推论，这些假设通过模拟研究人员希望进行的“理想实验”来获得可信度。在本文中，我提出了空间治疗的（准）实验方法，该方法将实验与个体水平的治疗分配结合在一起。经验工作采取了一种概念上不同的方法。假设我们想估计一棵价值百万美元的植物在1英里外的个体身上的平均能量。最近的经验研究将位于价值百万美元的工厂周围半径为1英里的“内环”上的个体与位于“外环”上的个体进行了比较，这些个体的特征与空间中任何一点的距离相关（Lee and Ogburn，2020；为了改善这一问题，在一个“内环”水平上增加了一个“前”与“后”的比较，但必须沿着平行的趋势发展。相比之下，Greenstone and Moretti(2003)在一个百万美元工厂的竞标战中“赢得”了“亚军”县，这些县也非常认真地被认为是百万美元工厂的所在地，但最终“失败”了（Greenstone and Moretti，2003)。简而言之，我提出的方法将离百万美元工厂1英里远的个体与离损失县工厂选择的地点1英里远的个体进行比较。因为这些地方在实践中。该方法利用微观位置数据，通过直接-间接方法估计出目标的详细位置。

它们在一组似然的候选位置中具有同位性和随机性。不完全一致的、非参数的或泛函形式的假设，如果不能保证是内外环上的个体，则必须具有可比性。这是最容易实现的选择外环靠近内环，在con curitict假设。即使是在面板数据中，平行趋势假设在空间上特别强，在一个距离但在多个距离上，通常使用相同的外环控制组。这就要求在直到外环区域的所有距离上的个体不仅仅是使有限样本分析可行的近似，而渐近方法甚至是渐近地依赖于函数形式假设，即使有实验数据。相反，我推荐在准实验条件下正式有效的估计，治疗位置的变化有时被用来非正式地证明治疗的假设是正确的，然后由这样一个事实来确定治疗的确切位置，即选择具有特定特征的邻区，但是，在不到一英里的范围内，当个人试图搬进一个社区时，可用的准确位置可以说是外生的。“本文提出的估计量允许研究人员利用suching。我展示了我在一份申请中提出的准实验方法，该申请研究了2020年4月COVID-19封锁期间，足下杂货店对附近餐馆的因果关系。在这个应用程序中，我观察了旧金山湾区杂货店和其他企业的确切空间位置。我展示了如何筛选类似于实际杂货店街坊的“控制”街坊，除了缺少一个边缘杂货店。foot-tra with c to wastrators的兴趣结果是以其智能手机位置与Safegraph共享的客户数量来衡量的。我发现，距离杂货店不到0.05英里的餐馆每周的顾客比反事实杂货店附近的餐馆多得多，至少在新冠肺炎疫情期间顾客流动性减少的情况下是这样。虽然我在本文中主张基于设计的准实验方法，但这种方法有自己的优势，所以两种方法是互补的。具体而言，与“外环”的比较有选择性地消除了治疗和控制个体的空间邻近，如人口密度。无论空间变化、时间变化还是功能形式假设产生最大得分），都可能在方法之间建立一个有吸引力的桥梁。本文开发的框架允许我将所建议的方法扩展到多个治疗地点彼此靠近的环境，相反，在治疗地点彼此过于靠近的应用中，Todi herence-in-di herences方法不适用。在本文的框架内，我可以允许这样的干扰治疗设置。他们推导出平均的E&ect Estimat，这些E&ect Estimats是经过试验的，排除了设计上的干扰。在补充工作环境的扩展中，即使有干扰，这些Estimats也是IDENTI的。此外，我还讨论了如何利用观测数据发现可能发生治疗但没有发生治疗的额外候选治疗地点，从而增加了所提出方法可以应用的设置的数量。此外，我认为本文开发的框架特别有助于推导空间治疗的E----估计量的标准误差。通过提供几乎任何使用观察之间的空间关系的应用程序。

Aronow et al.(2020)也提供了一些基于设计的标准误差，但对于与本文提出的估计量最相似的估计量，主要集中在渐近正态性和基于抽样的方差上，这是Conley(1999)的风格。因此，他们的工作结果补充了本文的内容。我所提出的标准错误的解释很简单：它们是因果E-ECT估计的范围（Abadie et al.，2020)。在基线设置中，我导出的varianceestimators类似于在治疗分配水平上的聚类（Abadiea邻近区域或多个治疗彼此接近）。相比之下，聚类是基于尖锐的、有时是任意的边界和聚类之间的无干扰。最后，该框架强调了在多个距离上接收到的微小信息的解释中的细微差别。然而，在不同的距离上，平均电位是不可比较的。由于某些个体往往更有可能--在认识到任何一个治疗地点附近的个体的总重量随距离而变化之前。这两个e-ects都可以导致平均治疗e-ects的估计，这些估计增加到总个体水平的治疗e-ects来估计所有附近个体在一个地点的治疗的总e-ects。本文讨论的框架和方法也可能被证明是有用的，因为这些“治疗”不是直接分配给个体的，而是基于某种距离的度量来确定它们。在本文中，我将讨论Bartik(1991)-或转移-共享工具，例如，工业水平的冲击和依赖于工业方法的所有城市可能会扩展到具有观测之间依赖性的其他设置，在这些设置中，有时很难收集（好的）控制观测，如事件研究和其他时间序列设置。第三，在此分离治疗分配和结果个体（Abadie et al.，2020)。虽然基于设计的推断捕捉了治疗位置、区域（在空间统计学文献中的渐近性(Cressie，1993)中）的变化，但却捕捉到了增长（聚类）的变化。本文重点讨论了基于设计的推理；对直接推理模式的深入比较超出了它的范围。我目前的分析至少在三个重要方面受到限制。首先，我假设Tatadao等人。（2019年）和Borusyak等人（2019）采取类似的基于设计的观点，其中“转移”的arerandom。参见Goldsmith-Pinkham等人。（2020）作为一种替代方案，认为“股份”是随机的。策略性地应对治疗。第二，该框架并不直接适用于某些地方，例如在关于社会流动的文献中（例如Chetty et al.，2014)。相反，随机化治疗地点的实验也产生了一个空间相关的兴趣协变量（与治疗的距离），它诱导的随机化分布是在一定的环境下可能存在的。当我试图为各种空间处理设置提供ER理论和估计量时，本文的主要焦点在于开发一个与空间处理相关的理论和估计量。特别地，本论文没有提供正式的使用方法从文献中的样本分裂和双鲁棒性（例如，适当的未实现的候选位置使这是一个高维估计问题，在本文的其余部分组织如下。理想实验下的引言部分。第4节讨论如何将这些结果扩展到经验相关性的其他设置。第五节将重点从实验转移到讨论本论文的局限性和未来空间处理因果关系研究的丰硕方向。1.1实证相关性和相关理论文献，这些文献来自经济学和其他社会科学的许多应用领域。

最近的研究利用个体水平的结果和地点数据估计空间治疗的e-效价，包括Stock(1989，1991)；林登和罗科(2008)；柯里等人。（2015年）；阿利普兰蒂斯和哈特利（2015年）；桑德勒（2017）；戴蒙德和麦奎德（2019）；查尔芬等人。（2019年）；罗辛-斯莱特。（2019年）。值得注意的是，Dell和Olken(2020)明确考虑了反事实处理反事实分配。现有的更多研究空间处理的经验工作仅限于聚合结果数据。如果当时这些研究有微观位置数据，研究人员可能会提出一些问题，这些问题可以使用本文提出的方法来回答。inMiguel和Kremer(2004)空间处理的实验和观测研究；科恩和杜帕斯（2010）在《发展经济学》，Greenstoneet al.（2010年）；费勒等人。（2017）公共与劳动经济学，(Jia，2008)in industrialAronow et al.（2020）还推荐了针对尖锐零假设的费雪型排列检验。组织和环境经济学（Keiser and Shapiro,2019）。不平等以及许多潜在的补救措施，如基于地点的政策，涉及空间处理。关于因果推断、空间统计学和经济计量学。最近的一小部分理论论文类似地研究了空间处理，尽管重点不明确。关系最密切的Zigler和Papadogeorgou(2018)，Aronowet Al(2020)，以及Imai等人。（2018）聚焦于治疗与干扰之间的设置，并讨论应用程序--特定假设，以保留干扰下这些设备的识别。此外，我还讨论了在干扰的存在下被遮蔽的更广泛的estimands和Dissures。帕帕多乔尔古等人。（2020）以aCressie，1993)而不是被定义的观察单位来回答一个不同的问题。对他们来说，他们的估计和对比整个分配机制（随机干预，Mu~noz和van der Laan，2012)。McIntosh(2008)为已知被治疗所限制的个体作为自然群体组存在的环境提出了一个估计器。Pouliot(2018)还研究了一种结果和协变量的位置在空间上失调的环境，但不是在空间治疗和因果推断的背景下。关于干扰和网络。因果推断的一些工作明确考虑了空间相关的治疗（Delgado和Florax，2015；Druckenmiller and Hsiang,2019）,butis不直接适用于空间处理产生的模式。文学上的干扰涉及溢出，或间接的，违反稳定单位处理值假设分配给个体的处理（Rosenbaum,2007；Hudgens and Halloran,2008；Tchetgen Tchetgen和VanderWeele，2012年；阿罗诺和萨米，2017年；巴斯克斯-巴尔，2017年；S"avje等人，2017年；2019年，S"avje；Basse et al.，2019).网络设置中的治疗方法通常源于个人级别的治疗分配，并通过网络传播（例如。Athey等人，2018年；Basse et al.，2019)。与干涉和网络文献相比，本论文所关注的是治疗单元与结果单元分开的设置。虽然ECT“溢出”到结果单元，但如果两个治疗单元之间很少且相隔很远，就不会像本文的基线设置那样产生干涉。因此，空间（CF。Ho the et al.，2002)作为本文使用的地理距离。在空间处理环境中感兴趣的评估和估计通常与限制干扰的假设不同；详细情况见第4.2节。类似的假设也适用于其他个体。基于大样本渐近理论在GMM框架中的空间统计和经济相关性中发展；另见Case(1991)；Lahiri et al.(2002)；Lee(2004)；Andrews(2005)；Kelejian and Prucha(2007)；Bester et al。

（2011年）；Lahiri和Robinsonproximity也常被用于在文献聚类抽样中激励横截面依赖性(Moulton，1986，1990；Moulton和Randolph，1989；Hansen，2007；Donald和Lang，2007；Barrios等人，2012；Cameron和Miller，2015；Abadie等人，2017)。空间统计和计量经济学文献主要涉及descriptiveand Rey(2010)；LeSage和Pace(2004)；阿尔比亚（2014年）。由于治疗分配（或与治疗的距离）在地点内不变，为了因果E-ECT估计的一致性，可能需要“递增域渐近性”(Cressie，1993)（区域或簇的数量或大小的渐近性）。然而，空间处理的应用，这篇论文对这篇文献的典型贡献是集中在因果关系和基于设计的样本内推断的估计上，而不是描述性结果和基于抽样的推断。本文还联系了关于处理的欠清晰度和双重稳健估计的估计的文献。具体来说，我提出了一个正式的不混淆性概念（参见Rosenbaum and Rubin，1983；Imbens and Rubin，2015)，即距离，可以预测结果和治疗分配的概率。双重处理（倾向评分）模型。最近的工作已经对这些估计器进行了调整，toAthey et al.，2018)。初步结果表明，这种估计器也可能在空间处理环境中表现良好。处理位置。最密切相关的是，Athey et al.(2019)使用生成对抗性类似地提出了“对抗性估计”，使用看起来与真实数据难以区分的生成来估计结构模型。在本文的应用中，只有它周围的是真实的。图像。对于使用卫星数据的经济应用（参见Donaldson和Storeygard，2016年，综述），卷积神经网络也显示出了希望（例如。Jean et al.，2016；Engstrom et al.，2017)。卷积神经网络对spatialsettings特别有吸引力，因为它们建立在正则化的相关经济直觉上：虽然通过谨慎的设计决策，我为空间处理设置提出的方法除了通常与“黑箱”机器学习算法相关的良好性能之外，还保留了一些可解释性。我们衡量结果的IMBEN和级别。这一区别将作为e-ect的顶点的干预与为其测量e-ect的个体分开。它允许我正式地描述感兴趣的Estimat，并在下面的部分中导出估计量及其性质。对于空间治疗，个体的潜在结果不是个体水平的二元或连续治疗的函数，而是一组候选治疗位置的函数。lets表示候选治疗位置的集合，在Figurgure1中显示为三角形。假设第1组候选治疗位置为firenite；在figygure1的示例中，仅在所示区域中进行了两次定位。这导致了大多数应用程序所普遍存在的一个固有的稀缺性：最终只实现了一小部分位置，而大多数位置是不可行的、不合适的、不可信的或不太可能进行处理的。这很方便，因为通常用他们的“GPS坐标”给出经纬度。在图中，治疗可能发生的位置用三角形给出。购物中心圆圈表示个人的位置。研究人员通常根据与治疗的距离来估计这些个体。

当使用（加权）欧几里得距离函数时，在离候选位置度量距离较窄距离内的个体，在给定距离处的个体不必位于圆环上。这是在同一区域内的多个（两个）候选位置（三角形）实现的，存在区域。在第二阶段，随机选择每个选定区域中的单个候选位置接受治疗，概念化治疗可以在任何地方实现的情况下具有一定的正概率。随机变量TS表示已实现的治疗位置的集合。表示所有个体的集合BYI。个人的空间位置或住所，在figurgure1中显示为小圆圈。在本文中，我是稀有经纬度的。对每个个体的潜在结果进行筛选如果治疗是在位置上实现的，则个体的结果。在没有实现任何治疗的情况下，个体的简化是(0)()。关于个体的治疗矢量是一个单例，={}对于单个候选项的定位是∈S，略有符号滥用，则definnetreatment e-ects:()()-(0)(0)π，εI在第3节中定义有意义的平均治疗e-ects。在个体和治疗载体上，这些平均治疗e-ectverage。距离治疗地点和个体之间的距离是确定1英里距离上治疗的平均e-ectverage的核心。在图1中，灰色阴影区域突出显示离任何候选治疗位置约1英里的所有位置。治疗位置∈Sand个体∈Iis之间的距离由distancefunctionDistance函数给出:(，)≥0的区域中实现的位置在第3节的基线设置中是一个特定的位置，在第4节的一些扩展中是一组位置。重要的是，两个位置之间的距离必须是可观察的（对研究人员来说），并且不能通过治疗分配来确定，从而排除了响应该结果的迁移。距离函数用于两个目的。首先，估计异质平均没有限制干扰从而帮助估计和推断。R：欧几里得距离:(，)=(-，1)+(-，2)比在纬度和经度上有规定权重的欧几里得距离。对于社会科学中的一些应用来说，驱动距离可以说更相关。有些可解释性，但不是有效性。我们还可以研究全州范围的政策和其他簇分配的e-ects（或state）。此设置的适当距离函数是集群成员:(，)=0，如果和在同一个集群中。另外，在最简单的州域策略情况下，我们使用此距离函数来估计距离为0的区域。这相当于通过比较处于治疗状态的个体和处于未治疗状态的个体来估计策略的治疗效果。我们可以将聚类隶属度函数推广为在到治疗状态的距离上平滑，当它们暴露在治疗状态的最多时，距离最小。暴露可以衡量，例如，到州边界的距离、共享媒体市场、机场之间的交通次数或成本，或者被治疗州的行业与职业的相关性。即使存在迁移，治疗也是如此。例如，在纽约市向西移动0.01度相当于大约0.52英里的距离。在迈阿密向西移动0.01度相当于0.62英里的距离。

这是因为经度之间的距离在赤道处最大，在两极处收敛到0，而纬度之间的距离（大约）是有限的。工业的例子是Bartik(1991)的原始灵感，或称移位共享工具。参见Adao等人。（2019年）；戈德史密斯-平克姆等人。（2020年）；博鲁西亚克等人。（2019）用于计量经济学中最近的治疗，以及4.3节用于本文的框架如何相关。来自两个或更多不同区域的候选治疗位置由两者进行了分析。图1显示了来自其中一个区域的数据。在本文的基线设置中，第4.2条。在整个过程中，我用下标=1表示区域。.....Letsbe区域的集合是。如果处理是在区域内实现的，则=，let=1，否则，则=，let=0。如果=1，我说那个区域“被治疗”或“是一个被治疗的区域”。类似地，如果=0，我说那个区域“是一个控制区域”。个体所处的区域由（）给出，使得∈I().干涉本文中的符号可以看作是文献中关于干涉的符号（参见Aronow和Samii,2017）的推广。考虑使用个人级别治疗的设置。设分配给个人的治疗=1，....,和∈{,}是向量叠加所有的。在没有干扰的情况下，即个体的结果是=()。在干扰下，个体的治疗结果不仅取决于自身的治疗任务，还取决于其他个体的治疗任务。也就是说，潜在的结果是整个函数而不是她自己的函数，她观察到的结果是=()。不是这样，by=1，，..，其中是候选治疗位置的实际数目。已实现的处理位置的变量取值∈{，}，使得无论何时处理k个候选位置，均为∑，否则为∑0。实现的个人输出是then=()，其中是维数而不是维数。一些人在距离两个候选地点1英里的地方共同决定观察结果。这两个候选位置可以干扰，因为条件是其中一个的治疗状态，一些个人的结果仍然取决于另一个候选位置的治疗状态。关于干扰的文献通常感兴趣的是回答（至少）邻居的两个状态中的一个？第二，如何改变邻居的治疗状态，保持固定的治疗状态？对于空间治疗，这两个问题都不是主要的兴趣。如果距离一个已实现的治疗地点1英里，那么一个邻居，比如说‘也离同一个已实现的治疗地点大约1英里。一个反事实，如果离一个已实现的治疗地点1英里远，而她的邻居不是，在实践中通常是不可行的或相关的。治疗不会从‘溢出，它是一个固定的两个2008）不是很好的调整。同一个人，而不是一个人的治疗或e-ect溢出到另一个人。从形式上说，一个治疗地点a限制了一个个体，如果对某些治疗地点的集合来说，当被包括或排除时，变化的结果:({}）=（{}）。如果在两个位置上都有一个被治疗所固定的个体A,那么两个治疗位置是相互干扰的，这两个治疗位置是存在着（{}）=（{}）和（{}）=（{}）的。在空间治疗环境中，通常很自然地假设远离个体的治疗位置不会被固定。在形式上，假定每当(，)>max，对于某个su,ciently大距离max，对于所有的rs,(ul{}）=({}）。

假设1正式声明不存在跨区域的干扰。假设1.治疗地点在区域内\'=。也就是说，对于∈I和As,()=(\'),只要存在于另一个区域中。然而，本文的结果从根本上依赖于相距较远的治疗地点之间的无干扰，而不是依赖于单个大的毗连区域的分离。如果该地区面积很大，而已实现的治疗地点很少，则仍有可能在没有强有力的额外假设的情况下估计因果关系。然而，分离区域框架通过简化估计量有助于澄清关键概念，并适用于大量的实证研究。治疗概率分配机制（Imbens和Rubin，2015)确定在每个候选治疗位置实现治疗的概率。在给定旁路(∈)的位置实现治疗的边际概率。在本文的主要部分，我考虑了一个两阶段的分配机制，它在条件概率上给出了结构pr(∈)和pr(∈\'∈)。在治疗阶段，如果一些个人被选择性地排除在治疗地点之外，我们可以认为他们是“去地点，但不是去地点”。然后（）是在该地理位置上的可访问处理的e-ect。相反，(\')是在该地理位置的空间处理的e和ect，该地理位置不能访问，但某些邻居可以访问。松散地说，(\')是溢出，或间接的，在。阶段上，在每个被处理的区域中，单个位置接受处理。我在第4.2节中讨论了偏离这种分配机制的一些观察设置的方法。假设跨区域治疗的随机化采取完全设计的形式，并假设每个区域都有平等的可能性接受治疗。definnePr(=1)为=1,。...是一个区域接受治疗的概率。注意，完全随机化设计将来自配对实验的ERS用于配对设计下估计量方差的重新估计通常是di-the cult（例如，Bai et al.，2019年，用于个体水平的治疗分配），但在概念上不有助于我们对空间治疗设置的理解。假设2（完全随机化实验）。为治疗区域选择区域。也就是说，所有赋值向量∈{,}都是相等似然的，并且赋值向量=具有零概率:PR()=-1，如果=1=0。另外，还考虑了每个区域的处理由独立的coin prisip决定的设计，潜在的概率为di。下面的假设3正式化了这一假设。假设3（伯努利试验）。根据伯努利试验（例如Imbens and Rubin，2015,Ch.4.3）选择区域进行治疗，其中区域在某个地方接受治疗的可能性很小，并且分配是独立于区域的。即赋值概率∈0,1}ispr()==1(1-)使得处理区域的数目发生变化。在本文的主要部分，我考虑了一个在设计中只有一个处理位置的设置，在最小的假设下，处理没有跨区域的e-ects。Foreach在一个区域中的候选处理位置，∈S，将接受处理的区域的处理概率条件化为()Pr(∈=1)。

然后，通过pr的pr的pr的pr的控制区域，观察所有个体的控制电位结果，观察与一个特定治疗位置对应的每一个电位结果，在所有3.3实验设置中：估计和推断在理想的实验中，治疗在候选位置之间随机化，通过设计排除干扰。在此基线设置中，地点被分组为不同的区域，一些区域被随机选择进行治疗分配，followedregion，如第2节所述。我展示了如何利用这种随机变异来识别、估计和推断个体水平和总体治疗效果。3.1个体水平效应的估计个体水平的治疗效果表示个体在治疗地点上的平均治疗效果。3.1.1治疗地点上的平均治疗效果取接近实现治疗的个体的简单平均值，并从中减去适当的对照个体在理想的治疗地点随机变异实验下。然后给出了这个估计量的性质，并讨论了它作为被治疗者的平均治疗量E和Ect的解释。在距离被治疗的位置±1的距离上被治疗的个体的平均值是()=∈I(){（（），)-≤}∈I(){（（），)-≤}，其中()=1当且仅当个体在被治疗的区域（）内。她所在区域（）中的指示器位置位于-和+之间的距离范围内。例如，为了估计距离治疗1到2英里的患者的平均结果，可以用=0.5计算(1.5)。显然。最近的实证研究比较了外环治疗与对照；那是，治疗区域((\')=1)中离治疗更远的个体。有选择性地，这将治疗E与ECT的距离估计为()-(\')where\'。与个体水平的随机实验类似，我们还可以考虑取-()/-()来支持一种实验设计所确定的直接策略，但是，本文所考虑的理想实验的实验设计所确定的（加权）控制平均值的一个特殊选择是:()=∈I1-()1-()1-()()∈S()()(){(，)-≤}∈I1-()1-()()∈S()()(){(，)-≤}。与某个候选位置的距离∈S()。其余的权重类似于在个体水平治疗的设置中，被治疗者(ATT)的治疗平均e-ect的逆概率权重估计值（参见Imbens，2004)。为了确保控制平均值()为后者提供了适当的反事实。可以简单地说明（）{（（），)-≤}=()∈S()()(){（，)-≤}()详见附录A.1。