动态方差分解的工具变量辨识

问题不在于IV在非可逆性下选择预报残差的最优线性组合γ，因为无论可逆性如何，它都可以验证γuT_e(ε1,t ut）。相反，SVAR方法失败了，因为它们假设时间t预报残差su-ce恢复ε1,t（Lippi&Reichlin,1994）。只有在可逆性（即，r=1)下，对于所有(j，`)6=(1，0)，我们才有aj，`=0，这样SVAR-IV激波～ε1才等于真激波ε1，t。正如Sims&Zha(2006)，Forni等人所讨论的那样，可逆度R的程度越高，SVAR-IV偏差的程度越小。（2019年），和《狼》(2020)。附录B.5.B.7提供了SVAR-IVMIS-IDENTI的明确说明。特别是，没有其他线性组合γ能产生权重a1,0exceedspr（服从Var(～ε1,t)=1)的表示(b.15)。因此，IV处理IDENTI问题以及可能的Ubject由（错误的）可逆性假设所施加的约束。正如第2.1节所讨论的，动态旋转通过获得激波～ε1，tas是当前和未来导出形式残差{uτ}τ≥t的函数来绕过这个问题。一个类似于B.3命题证明中的论点表明，在这样的动态旋转下，感兴趣的真激波的权重有界于旁路∞之上。因此，当且仅当感兴趣的冲击是可恢复的，动态旋转就可以解决识别问题。B.5结构宏模型的说明在第6节中，我们用几个简单的分析例子来说明我们的上限是如何工作的。在本节中，我们用一个定量练习来补充这些简单的例子。我们考虑一个计量经济学家观察(i)从Smets&Wouters(2007)模型生成的宏观经济总量集合和(ii)模型中一些真实的潜在结构冲击的噪声度量（即有效的外部工具）。为了清楚起见，我们从任何抽样不确定性中抽象出来，并确信计量经济学家观察到的数据是一定量的，所以她完全知道宏观集合体和外部IVs的联合谱密度。在给定这个谱密度的情况下，她使用我们的界限来得出关于方差分解和可逆性程度的结论，而没有利用模型的底层结构。总的来说，这个练习的目的是表明，我们关于上界可能紧缩的结论不是第6节中考虑的特定程式化环境的产物，而是类似地在定量相关的动态结构宏观模型中获得的，因为完全相同的经济原因。B.5.1初步我们使用了Smets&Wouters(2007)模型。在整个过程中，我们根据Smets&Wouters(2007)的后验模型估计对模型进行参数化。B.8遵循货币政策冲击传导的经验文献中的经典三变量VAR,我们的基线规定假设计量经济学家观察总产出、波动和短期政策利率；我们考虑以下额外的可观察事项。这些Emacro总量在模型中都是平稳的，因此它们应该被视为与趋势的偏离。模型包含七个未观测到的激波，因此并不是所有激波都可以在基线条件下反演。计量经济学家观测单个外部工具ZT，对于感兴趣的激波ε1,t:ZT=αε1,t+σVVT。我们将α=1归一化，并计算外部工具的两个给定度的给定集，1+σV∈0.25,0.5}。我们不附加任何细节。8我们的Smets-Wouters模型的实现基于Johannes Pfeifer提供的Dynare复制代码。代码可在https://sites.google.com/site/pfeiferecon/dynare获得。模型上下文中对IV的经济解释。我们分别考虑三种感兴趣的直接冲击：货币冲击、技术冲击和前瞻指导冲击。

传统的货币冲击和技术冲击已经包含在原始的Smets&Wouters模型中。对于前瞻性指导冲击，我们偏离了他们的模型，假设货币政策冲击是提前两个季度知道的；也就是，我们改变模型的泰勒规则tort=ρrrt-1+(1-ρr)×(φππt+φy yt+φdy(yt-yt-1))+εmt-2，其中rt表示名义利率，πt表示in波动，ytis表示产出缺口，εtis表示货币冲击。b.9总的来说，这三个冲击是根据我们在第6节中的简单分析说明选择的，而identification将受到与这里讨论的小规模示例相同的经济直觉的影响。我们强调，我们在本节其余部分的结果不应意味着传统的货币冲击是稳健的接近可逆的，或者前向指导和技术冲击永远不会可逆--显然，我们的陈述总是以某一组可观察到的情况为条件的。相反，本节的唯一目的是证明第6节的简单经济直觉仍然在一个具有丰富动态的定量模型中发挥作用。为了进一步澄清这一点，我们在本节中讨论了我们的结果如何随着可选观测集的变化而变化。B.5.2几个观测集的信息含量我们考虑了货币政策冲击的信息，即对模型泰勒规则中序列相关扰动的冲击。货币冲击几乎是可逆的。在Smets&Wouters模型中，货币政策冲击是唯一同时以相对方向运动的冲击（Uhlig,2005）。鉴于这种独特的条件协同运动，第6.1节中的直觉表明，可逆程度应该很高，实际上它等于r=0.8702，尽管在这个模型中货币冲击对总的结果的重要性有限(Wolf，2020)。在时间上向前看并不能进一步清晰(r∞=0.8763)，在光谱上向前看也是如此。9这就是前向指导的概念，例如在Del Negro等人中讨论过的。（2012）.货币冲击：FVR识别集合图B.1:最多10个季度的FVR的逐地平线识别集合。这两个下限分别对应于1+σv=0.25（下虚线）的IV和1+σv=0.5的IV。逐个频率(αlb=0.8947)。图B.1显示预测方差比的上限接近真实值。通过构造，上界和下界与TrueFVRs成正比。下界与仪器信息量一一对应，而上界与冲击频率数据信息量最大一一对应。因此，接近可逆性立即意味着上界始终接近真实的FVR。相反，下限的信息含量完全取决于IV.B.5.3动态信息含量的强弱。其次，我们考虑技术冲击的特征，即对全要素生产率自回归过程的创新。这种类型的冲击说明了我们的大幅上行是如何利用跨频率的信息的。在我们的基线三变量说明中，宏观聚合只提供了技术冲击最长周期的信息。图B.2报告了技术冲击的最佳双边线性预测器的谱密度。值得注意的是，这个谱密度在形式上是B.10，货币冲击的最佳双边线性预测器的标度谱密度2πSε~(·)几乎在0.9左右。技术冲击：最佳双边线性预测器的标度谱密度图B.2:技术冲击的最佳双边线性预测器的标度谱密度2πSε~(·)。

A频率ω对应于长度为2πω季度的周期。在商业周期频率较小，但在长期周期频率接近1，峰值为αlb=0.9084。直观地说，正如我们在第6.2节中的简单例子，技术冲击占了长期结果的大部分，因此宏观集合在低频下对IV有很高的信息；因此，我们对冲击重要性的尖锐上限将再次收紧。相反，在频率上平均，激波既不是近可逆的(R=0.1977)也不是近可恢复的(R∞=0.2166)。B.11因此，图B.3表明FVRs的尖锐上界是紧的。下界的严密性总是完全由IV.B.5.4非可逆性和新闻冲击的强度决定。对于我们的第三个例子，我们修改了模型，将前向引导冲击包括在内，这是一种新闻冲击。正如上面所讨论的，前瞻性指导冲击与货币冲击是相同的，只不过它是由经济主体提前两个季度预测的。第三个例子问题是，在短期内，其他冲击--特别是物价和工资上涨冲击--会在相反的方向上产生波动和产出。然而，随着明智地选择进一步的观察对象，技术冲击变得几乎不可逆转；特别是，包括全要素生产率或工时的水平，导致了一个几乎可逆的表示。技术冲击：确定的FVRs集图B.3:最多10个季度的FVRs的地平线逐地平线IDENTIN集。这两个下限分别对应于1+σv=0.25（下虚线）的IV和1+σv=0.5的IV。说明了我们的方法对新闻冲击引起的不可逆性的鲁棒性。前向制导冲击是高度不可逆的，尽管它几乎是可以恢复的。图B.4显示了前向制导的可逆度R`直到时间t+`。该规则考虑的范围从\'=0（可逆程度）到\'=10（接近可恢复程度）。同时信息量有限，r=0.0768；直观地说，当前瞻性指导公布时，所有宏观总量都朝着同一个方向移动，这向计量经济学家表明，经济很可能受到普通需求冲击的影响。B.12at`=2,然而，相应的Rjumpsto R=0.8724,达到R∞=0.8807作为总体可恢复性程度。经济直觉也很简单：两个季度后，当预期的创新直接触及泰勒规则时，利率反应突然切换信号，发出一个强烈信号，表明事实上已经发生了货币政策冲击--而不是其他类型的需求冲击。根据附录B.5.2中的相同逻辑，前向制导冲击几乎可以恢复。由于不可可逆性，图B.5显示，传统的SVAR-IV接近地高估了前向制导的FVRs。特别是，正如我们的分析B.12所显示的，名义利率的变动进一步强化了这一信念：由于产出和投资都增加了（对于扩张性的前向指导冲击），名义利率最初增加（如泰勒规则所规定的），然后两个时期下降。前向指导冲击：时间t+的可逆程度“图B.4:总体r`前向指导冲击，有三个可观察项（产出、利率、利率）和七个可观察项（Smets&Wouters，2007)。在附录B.4中，（影响）FVR向上偏向1/R≈13（！）。B.13图B.6显示，我们的方法反而实现了FVR的严格上限，而与可逆程度无关。

由于前向引导冲击几乎是可恢复的，我们对直接的FVRs的Identi定义集的上界再次接近事实，类似于附录B.5.2.B.5.5中研究的传统的（接近可逆的）货币冲击。前面几节的结果旨在说明我们方法的经济逻辑。然而，它们不应被解释为不存在普遍有效的结论，因为不存在结构冲击的可逆性（或不可逆性）--这种陈述总是对可观察性的选择敏感。为了进一步强调这一点，我们在B.1中计算了宏观观测值的每一个冲击的可逆度和可恢复度。可逆度和可恢复度随宏观观测值的数目增加而增加。对于基准货币冲击，可逆程度为B.13当然，对于适当选择的可观察到的集合（例如，对未来利率的预期），那么可逆问题将消失（Leeper et al.，2013)。我们的方法是稳健的，因为它不需要如此明智地选择进一步的观测项--它甚至在极端非可逆性下也可以工作。前向制导冲击：SVAR-IV FVRs图B.5:Smets-Wouters模型中前向制导冲击的FVRs，真值和SVAR-IV估计值（种群极限）。三个观测器的基线集。前向制导冲击：确定的FVRs集图B.6:最多10个季度的FVRs的逐地平线识别集。这两个下限对应于1+σv=0.25（下虚线）的IV和1+σv=0.5的IV。结构说明：可逆性/可恢复性程度-货币冲击、技术冲击。吉德。shockMacro可观测数据RR∞RR∞RR∞基线0.8702 0.8763 0.1977 0.2166 0.0768 0.8807+Investm。+consum。0.9415 0.9507 0.2128 0.2384 0.0980 0.9492+小时0.9272 0.9286 0.9799 0.9816 0.0774 0.9331所有可观测量1 1 1 1 1 1 0.1049 1表B.1:在Smets-Wouters模型中，给出了三组宏观可观测量YT。“基线”是3个变量与产出、波动和短期利率的具体关系。第二行和第三行将(i)投资和消费或(ii)小时添加到基线可观察项中。最后一排是Smets&Wouters(2007)中考虑的全套观测量。只要研究者同时观察到名义兴趣和体位变化，就会达到高值；有了完整的可观测项，冲击变得完全可逆。对于技术冲击，一旦工作时间变得可以观察到，可逆性的程度就会跳到几乎1；直观地说，这是因为，在Smets-Wouters模型的后验模式下，大多数工作时间的高频和低频变化是由技术冲击驱动的。最后，由于Smets和Wouters的估计练习中所包括的观察项都不是名义利率的前瞻性度量，所以前瞻性指导冲击仍然是观察项选择的高度非可逆性的。经验应用：预测方差比，SVAR-IV估计的预测方差/分解集合的点估计和90%预测区间，跨越直接变量和预测水平。为了视觉清晰，我们强制偏差校正估计/界位于[0,1]。利率变量是联邦基金利率。B.6货币政策冲击的应用：进一步的结果补充了第5节的实证结果，图B.7显示了用传统的SVAR-IV程序估计的预测变量/分解，带有引导间隔。

关于货币冲击对产出增长和波动不相关的结论，在这篇论文中比在主要论文中更加明显。我们在第5节中的界估计表明，货币冲击的不相关性不仅仅是保证可逆性的人工产物，而是用货币冲击工具ztof Gertler&Karadi(2015)对宏观总体Yts的经验协方差的稳健蕴涵。B.7石油新闻冲击的应用作为我们方法的第二个应用，我们研究了石油供应新闻对总体商业周期的重要性。我们使用石油供应预期的变化作为石油新闻冲击的anIV，并得到两个主要结果。首先，我们发现这种石油供应新闻冲击是高度不可逆转的，这使得标准的SVAR-IV方法无效。其次，我们的可逆性稳健方法再次得出了尖锐的推论：在过去的三十年里，石油新闻冲击对美国的影响很小，在美国几乎没有发挥任何作用。输出结果。背景。Kéanzig(2021)构建了一个衡量石油供应预期冲击的指标，该指标来自石油输出国组织（欧佩克）新闻稿周围资产价格的高频变化。正如第6.3节所讨论的那样，由于新闻冲击通常是不可逆转的，所以这种设置是第二个有希望展示我们的SVMA-IV方法的吸引力的实验室。B.14模型。我们考虑Kéanzig(2021年，第三节即）中相同的一组内生宏观观察指标：对数实际油价、对数石油产量、对数石油库存、对数世界工业生产(IP)、对数广义美国名义有效汇率指数(NEER)、对数美国工业生产(IP)、对数美国消费价格指数(CPI)、联邦基金利率(FFR)、对数VXO不确定性指数和对数美国贸易条件(TOT)。由于我们的方法是固定数据，我们将以下变量转换为对数增长率（而不是对数水平）：石油产量、石油库存、世界和美国工业生产、名义有效汇率和美国CPI。数据是1983年4月至2017年12月的每月数据，这取决于IV的可用性。我们将p=12个滞后和一个常数包含在导出的VAR中（遵循K-anzig）,并使用来自homoskedasticrecursive残差VAR引导子的1000个引导子。我们使用可逆性稳健的SVMA-IV框架和传统的SVAR-IV方法来估计石油冲击的重要性。请注意，由于样本、数据转换和引导过程的原因，我们的SVAR-IV结果与K-Anzig(2021，表2）中报告的结果不能直接比较。B.14我们感谢一位匿名裁判建议应用我们的方法。我们的主要发现是，可逆性被强烈拒绝：可逆度的IDENTI集的90%预测区间为[0,0.190]，第4节可逆性的Granger因果关系预检验的P值为0.0064。我们强调，即使VAR包括几个前瞻性变量（如油价、汇率和波动率指数），也强烈反对可逆性。虽然众所周知，这些变量对石油供应消息反应迅速，但这种快速反应显然无法确保可逆性；直觉上，金融变量也可能对任何其他令人讨厌的冲击做出快速反应，这在所有情况下都降低了我们感兴趣的冲击的可逆性程度。我们的结论是，石油供应新闻冲击的分析需要可逆性稳健方法，如我们的SVMA-IV程序。图B.8和B.9显示了我们对石油新闻冲击的内生宏观变量预测方差比的部分稳健预测区间。我们分别报告了每个水平上的点估计和预测区间。

正如在K-Anzig(2021)，我们发现这些数据与石油新闻一致，这一消息解释了相当一部分（但不是大部分）短期油价的上涨。尽管我们的识别性假设很弱，但我们可以进一步得出结论，根据我们1983年后的样本，石油供应消息在美国消费者价格方面发挥了有限的作用，基本上与世界和（特别是）美国的实际经济活动无关。与这些结果一致，石油供应消息在美国贸易条件下估计最多有一个温和的期限。为了进行比较，图B.10和B.11显示了从传统的SVAR-IV程序中获得的类似的预测间隔。相对于可逆性鲁棒性结果，影响FVR估计被大大高估了，这与我们对实体非可逆性的认识和命题B.3是一致的。我们的可逆鲁棒性结果表明，来自非鲁棒SVAR-IV分析的以下结论是虚假的：（一）石油供应消息冲击是短期内油价上涨的压倒性驱动力；(ii)它们是美国中期经济活动和实际活动的重要驱动力；(iii)它们基本上在所有水平上都是美国贸易条件的主要驱动力。石油新闻冲击：SVMA-IV FVRs，全球变异性图B.8:使用我们的可逆性-稳健性SVMA-IV方法产生的跨直接变量和预测水平的石油新闻冲击FVRs的点估计和90%预测区间。为了直观起见，我们强制偏差校正的估计值/界限位于[0,1]。石油新闻冲击：SVMA-IV FVRs，美国变数图B.9:使用我们的可逆性-稳健性SVMA-IV方法产生的跨直接变量和预测层位的石油新闻冲击FVRs的点估计值和90%预测区间。为了直观起见，我们强制偏差校正的估计/界限位于[0,1]。石油新闻冲击：SVAR-IV FVRs,全球变量图B.10:石油新闻冲击FVRs的点估计和90%预测区间，Acrossdie-erent变量和预测层位，使用传统的SVAR-IV方法产生。为了直观起见，我们强制偏差校正的估计值/界限位于[0,1]。石油新闻冲击：SVAR-IV FVRs,美国变数图B.11:石油新闻冲击FVRs的点估计值和90%预测区间，Acrossdi-erent变量和预测层位，使用传统的SVAR-IV方法产生。为了直观起见，我们强迫偏差校正估计/界位于[0,1]中。B.8非参数筛选VAR推断在附录中，我们证明了在DGP上的非参数条件下，只要选择VARlag长度以适当的速率随样本量增加，第4节中提出的界估计是联合渐近正态的。非参数观点并不改变实施推理策略所必需的实际步骤；它只提供了正则性条件，在此条件下，它可以用一个线性滞后的VAR渐近地逼近真实的VAR(∞)数据生成过程。利用Lewis&Reinsel(1985)的经典筛选VAR结果（他们建立在Berk，1974)的单变量结果的基础上），证明了估计VAR谱中出现的非线性泛函的渐近正态性。我们下面的主要结果在精神上与Saikkonen&Lutkepohl(2000，THM.2)的抽象定理相似，尽管我们的正则性条件更容易验证，因为它们是根据我们感兴趣的参数定制的（然而，与Saikkonen&Lutkepohl不同，我们只考虑平稳数据）。我们并不声称对筛分VAR计量经济学提供概念上的新见解。

尽管我们只证明了筛分VAR策略在delta方法推断中的有效性，但我们期望在VMA-IV模型中对引导筛分VAR推断也能得到类似的结果，参见Gon Calves&Kilian(2007)，Meyer&Kreiss(2015)和参考文献。B.8.1假设、感兴趣的参数和估计我们对经验SVMA-IV分析中感兴趣的参数的一般类别进行了筛选，并对DGP和VAR滞后长度进行了假设。我们的目标是接近Lewis&Reinsel(1985)中的这一结论，以便证明现有的渐近结果是如何容易地适用于研究SVMA-IV目的的筛分VAR估计的。我们假设数据是由一个具有I.I.D.新息的约简形式VAR(∞)模型产生的。观测结果用wt(yt，zt)∈RnW,t=1,2,表示。..,T，其中wny+1。为了弄清楚与Lewis&Reinsel(1985)的联系，我们假定已知数据的均值为零。通过在估计的风险值中包括拦截，扩展所有结果以允许非零均值是直接的。LetkBk(tr(BB))1/2表示Frobenius范数。过程{Wt}由平均零平稳VAR(∞)模型A(L)Wt=et生成。这里对于z∈C，A(z)inw-p∞`=1A`z`，all`A`∈rnw×nw`.我们给出了以下条件:I)det(A(z))6=0,且p∞`=1ka`k<∞。II){et}是NW维的I.I.D.E(et)=0nw×1，∑Var(et)为正态，Eketk<∞的过程，这些条件与Lewis和Reinsel(1985)中的条件相同，只不过我们这里讨论的是8个矩而不是4.b.15Meyer和Kreiss(2015)在I.I.D下假设一个约化形式的Var(∞)的一般性。扰动，另见Kreiss等人。（2011）了解单变量情况下的更多细节。假设SVMA-IV模型（1）-（3）成立，假设结构冲击(εt,vt)本身是I.I.D.或者(i)可逆，或者(ii)高斯（不管可逆性如何）。尽管我们在这里有意地旨在概念的清晰性而不是完全的一般性，但我们预计它将直接削弱etby的I.I.D.Ness假设，并诉诸于Gon Calves&Kilian(2007)的筛选VAR结果的合适的多元版本，他们假设异方差鞅与Erence创新。接下来，我们对经验SVMA-IV分析感兴趣的参数类别进行筛选。给出了两个矩阵值泛函sacos(ω)∞x`=1a`cos(ω`),Asin(ω)∞x`=1A`sin(ω`),ω∈[0,2π]。感兴趣的参数是形式ψz2πh(ω)g(Acos(ω),Asin(ω),∑)dω,其中我们定义函数h:[0,2π]→RK，和g:Aδ×snw→RK,集合Aδ={（B,B)∈rnw×nw×nw:det(inw-b-ib)≥δ},以及函数δ>0。15我们在下面引理B.6到B.8的证明中只使用了四个以上的矩，其中外项使变元更加透明。严格地比infω小。[0,2π]det(A(Eiω))。SNW表示nw×nwsymetricsiventifiremetric matric的集合。为了适当地选择h(·)和g(·),上述一类参数包括SVMA-IV分析中的一些参数/界。B.16例如，这类参数包括(ii)元素∑ijof∑，(ii)可恢复性度R∞=R2πsy～z(ω)*sy(ω)-1sy～z(ω)dω和(iii)自协方差E(wi,twj,t-`)=R2πeiω`sw,ij(ω)dω。这里wt≈(yt，～zt),并且对于所有ω∈[0,2π],sw(ω)=sy(ω)sy～z(ω)s～zy(ω)s～z(ω)s～z(ω)！=2π(Iny,0ny×1)(Acos(ω)+iAsin(ω))-1ny×11×ny！×∑(Acos(ω)-iAsin(ω))-1(Iny,0ny×1)ny×11×ny！）其他SVMA-IV参数可以构造为自协方差的非线性变换。根据最新的方法，考虑向量值（而不是矩阵值）函数h(·)和g(·)是不失一般性的。在下面，我们进一步假定K=1，使得h(·)和g(·)都是标量的。

从证明中可以清楚地看出，这在不增加本质一般性的情况下简化了注释。我们在感兴趣的参数上放置了一定的光滑性条件，从而允许adelta方法的论证。假设B.2。函数h(·)在[0,2π]上是连续的。在区域Aδ×SnW的任意非空紧子集上，函数g(·,·,·)是两次连续可得的，其偏导数分别用g(B，B，S)g(B，B，S)vec(B)、g(B，B，S)g(B，B，S)vec(B)、g(B，B，S)g(B，B，S)vec(S)表示。在真VAR参数{a`}和∑，每一个函数ω7→gj(Acos(ω),Asin(ω),∑),j=1,2,3,都属于L(0,2π)（元素）。假设B.2中的光滑性条件对于interestin SVMA-IV分析的所有参数都很容易验证，因为假设B.1保证了真VAR谱是非奇异的。最后，我们构造了一个筛分VAR估计量作为感兴趣总体参数的样本模拟。对于任意p∈N,definne Xt(p)§(wt-1,...,wt-p)∈RnWpand theb.16唯一的例外是参数supω∈[0,2π]s～z~(ω),本文将对其进行讨论。最小二乘VAR估计量β(p)a(p),。..,ap(p)txt=p+1wt(p)Xt(p)！txt=p+1Xt(p)Xt(p)！-1.设∑(p)(t-p)-1pt=p+1 et(p)et(p),其中et(p)wt-β(p)Xt(p)。也是aCos(ω；p)px`=1a`cos(ω`),asin(ω；p)px`=1a`sin(ω`),ω∈[0,2π]。那么感兴趣的参数ψ的VAR(p)估计量是ψ(p)z2πh(ω)g(acos(ω；p）,asin(ω；p）,∑)dω。必须选择VAR滞后长度p=pt，以使样本容量T在适当的范围内增长，除非真的DGP是一个n阶VAR.假设B.3。pt∈N是样本容量T的确定性函数，使得pt/T→0和t1/2p∞`=pt+1ka`k→0为T→∞。这些条件从Lewis&Reinsel(1985,thm.2）中被采纳，另见Berk(1974)。假设B.3中的最后一个条件相当于过moothing（即选择太大的滞后长度p使方差控制均方误差），这保证了非参数偏差不会出现在渐近极限分布中。如果数据的部分自相关随滞后长度呈指数快速衰减，则假定B.3通过对任一φ∈(0,1/3）选择Pt∞tφ而成立。如果真DGP是一个n阶VAR，我们可以选择ptp是任何大于真滞后长度的常数。b.8.2主要收敛结果我们现在陈述我们关于sieve VAR估计的渐近正态性和渐近方差估计的相合性的主要结果。为了陈述我们的结果，对所有T来说，我们的主要结果是vant=(§1,T,...,vpt,T)∈rnwpt，其中v`，Tz2πh(ω){g(Acos(ω),Asin(ω),∑)cos(ω\')+g(Acos(ω),Asin(ω),∑)sin(ω\')}dω∈RnWfor`=1,2....角。我们还对上述公式中用Acos(·；pT）和Asin(·；pT）代替Acos(·）和Asin(·；pT）得到的vtand和ζ的估计量进行了修正。最后，我们对所有p∈N和样例模拟γ(p)(t-p)-1ptt=p+1Xt(p)Xt(p))给出了λ(p)e(Xt(p)Xt(p))。在本节的其余部分，所有收敛陈述都被理解为T→∞。我们的主要命题说明了在我们的数据生成过程的非参数条件下，在估计的VAR滞后阶条件下，以及在有关参数的正则性条件下，感兴趣参数的筛VAR估计是渐近正态的。命题B.4。假设B.1至B.3成立。假定σφlimT→∞vut(γ(pT)-1∑)'At+ζvar(et)ζ严格为正，且极限存在。然后(t-pt)1/2(ρ(pT)-ρ)d→N(0,σφ)。在我们所给出的有关参数的正则性条件下，该VAR估计量ρ(pT)的收敛速度为(t-pt)-1/2=O(t-1/2)。σ存在且非零的条件排除了可以超一致估计的退化参数。

例如，如果感兴趣的真参数在其参数空间的边界上（例如，如果真FVD为0，或真可逆度为1)，该条件可能被违反。这些问题并不是SVMA-IV所独有的，也可能在SVAR推理中类似地出现。我们的第二个主要命题说明aVAR(pT)模型的通常的delta方法标准误差是渐近有效的。命题B.5。假设B.4命题的假设成立。设σρ(pT)ut(γ(pT)-1∑(pT))'AT+ζ(pT)(pT)ζ(pT)，其中χT(pT)vec(Et(pT)Et(pT)-∑(pT))和(pT)(t-Pt)-1PTT=pT+1χT(pT)χT(pT)。然后σψ(pT)P→σφ。注意到σψ(pT)正是从基于VAR(pT)模型的delta方法公式中计算出来的关于ψ(pT)的渐近方差估计量。综上所述，命题B.4和B.5表明，即使真实的DGP是VAR(∞),基于估计的VAR(pT)过程的delta方法推断也是渐近有效的。因此，在我们的正则性条件下，第4节提出的部分稳健估计区间是有效的。这个结论与7.B.9节中提供的样本模拟证据是一致的。另外的证明和辅助引理。我们证明引理1和本附录中所述的所有其他结果。我们列出了与SVMA-IV识别分析有关的谚语。然后，我们讨论了筛变收敛结果。B.9.1引理1的证明，我们着重于半正态分布陈述。分解B=B1/2B1/2*并分解~B=B-1/2B。引理的陈述与在-x-1~b~b*是正半正定的当且仅当x≥b*b的陈述是等价的。设vu是一个任意n维复向量，满足v*v=1。则§*in-x-1-b-b-v=1-b-b-bxcosθ（v,b）,其中θ（v,b）是θ和b之间的夹角。显然，x-1~b*~b≤1正是保证上述显示对于命题B.1.引理B.1的证明所需的条件。B.9.2辅助引理的每一个选择都是非负的。设xtand～xtbe是两个平稳的n维高斯时间序列，其特殊密度sx(ω)和s～x(ω)均为s～x(ω)-sx(ω)对所有ω∈[0,2π]为正半平方。则Var(μxt+`{xτ}-∞<τ≤t)≤Var(μxt+`{～xτ}-∞<τ≤t)对于所有`=1,2,。..和所有常数向量μ∈Rn.证明。我们可以推导出一个n维平稳高斯过程，其谱密度为Ⅴ(ω)=s～x(ω)-sx(ω),ω∈[0,2π]，并使得该过程与xtprocess无关。那么processπxt=xt+tha与~xtprocess具有相同的分布。因此，Var(μ～xt+`{～xτ}-∞<τ≤t)=Var(μóxt+`{óxτ}-∞<τ≤t)≥Var(μóxt+`{xτ,'At}-∞<τ≤t)+Var(μut+`{xτ,'At}-∞<τ≤t)≥Var(μxt+`{xτ,'At}-∞<τ≤t)=Var(μxt+`{xτ,'At}-∞<τ≤t)=Var(μxt+`{xτ,ρt}-∞<τ≤t)=Var(μxt+`{xτ,ρt}-∞<τ≤t)=Var(μxt+`{xτ,ρt}关于{xτ,vt}-∞<τ≤t.B.9.3命题B.1的证明，证明分两步进行。首先，对于给定的已知α，我们证明了FVDi`在上界为1，在下界为(b.4)。其次，我们证明了下界在α中是单调递减的，因此总的下界是由αub得到的。已知FVDi的分子α∈(αlb，αub]，`是点数（见下文），所以我们只需关注分母。我们可以写分母asVar(yi，t+`{ετ}-∞<τ≤t)=`-1xm=0θi,1,m+nεxj=2`-1xm=0θi,j,m=α`-1xm=0cov(yi，t，～zt-m)+nεxj=2`-1xm=0θi,j,m。(b.16)给定α，(b.16)中的第1项是点等价的（注意，它等于FVD的数值），而第2项不是。对于上界FVDi，`，我们寻求使第二项尽可能小。事实上，我们总是可以将其设置为0。为此，设{θo,j,m}2≤j≤nε,0≤m<∞表示结构冲击sj6=1的脉冲响应序列，该序列与数据的二阶矩性质一致。由于α∈(αlb，αub]，由命题1存在这样一个序列。

现在，对于给定的预测时域，考虑新序列{θo,j,m}2≤j≤nε,0≤m<∞,如果m≤`-1,θo,j,m=ny×1,如果m>`-1,则{θo,j,m}2≤j≤nε,0≤m<∞具有与{θo,j,m}2≤j≤nε,0≤m<∞完全相同的二阶矩性质。然而，通过构造，我们现在有FVDi`=1，正如所要求的那样。对于下界，我们想使(b.16)中的第二项尽可能大。给定一个已知的α∈(αlb,αub]，definne～y(α)t=(～y(α)1,t，..，~y(α)ny,t)yt-α∞x`=0cov(yt，~zt-`)ε1,t-`=nεxj=2∞x`=0θo,j,`εj,t-`,其谱密度由命题中所述的表达式给出。我们有vevar(～y(α)i,t+`{～y(α)τ}-∞<τ≤t)≥Var(～y(α)i,t+`{εj,τ}2≤j≤nε,-∞<τ≤t)=nεxj=2`-1xm=0θi,j,m,因此(b.16)中的第二项有一个点上界。因此，给定α，FVDi，`的下界为表达式(b.4)。我们现在证明，下界(b.4)是由给定α的容许模型达到的。为此，考虑～y(α)t=p∞`=0～θ`～εt-`的Wold分解，其中～θ`矩阵为ny×ny，～εtis为ny-维I.I.D。标准法线并由{～y(α)τ}-∞<τ≤t.b.17，则Var(～y(α)i,t+`{～y(α)τ}-∞<τ≤t)=pnεj=2p`-1m=0～θi，j，m，因此以下模型达到下界(b.4)，并与给定的谱sw(·)一致:yt=α∞x`=0cov(yt，～zt-`)ε1,t+∞x`=0～θ`～εt-`，～zt=αε1,t+pvar(～zt)-α×vt,(b.17)(ε1,t,～εt，vt)i.i.d.N（？）0，iny+2)。引理B.1表明Var(～y(α)i,t+`{～y(α)τ}-∞<τ≤t)在α中增大。因此，表达式(b.4)在α中递减，如所要求的。在α=αub时，表示式(b.17)具有～zt=αubε1,t，因此我们可以表示～y(αub)t=yt-e(yt{ε1,τ}-∞<τ≤t)=yt-e(yt{～zτ}-∞<τ≤t)。对于“如果”部分，确保互谱具有给定的因子结构。由于~ZTIs串行不相关，wecan写s～z(·)=s～z。因为sw(ω)是正的，所以Schur补符～z-sy～z(ω)*sy(ω)-1sy～z(ω)=s～z-ηζ(ω)*sy(ω)-1ζ(ω)ηb.17，由于α>αlb，Wold分解没有确定性项，CF。命题1的证明也是肯定的。将上述表达式预乘ηs-1～z，后乘bys-1～zη，并重新安排正性条件，我们得到了2πζ(ω)*sy(ω)-1ζ(ω)<2πηs-1～zη，ω∈[0,2π].现在选择任意α≥0，使α严格地位于上述不等式的左右手之间。根据引理1，矩阵∑v2πs～z-αηη是正的。此外，同一引理还暗示了对于所有ω∈[0,2π],atsy(ω)-2παζ(ω)ζ(ω)*是正的。如果设θo,1(L)=(2π/α)ζ(L)，则与命题1的证明中相同的论证表明，存在一个NY×NY矩阵多项式～θ(L)，使得下面的模型达到所需的谱sw(ω):Yt=θo,1(L)ε1,t+～θ(L)～εt,～Zt=αηε1,t+∑1/2Vvt,(ε1,t，～εt,vt)I.I.D.'AN(0,iny+nz+1)。注意，η承担λ.B.9.5命题B.3的证明根据模型(1)，我们可以写出t=∞x`=0m`εt-\'，对于某些NY×Nε矩阵{m`}。设mo，j，`表示m`的第j列。则～ε1,t=γut=nεxj=1∞x`=0aj,`εj,t-`,其中aj,`=γmo,j,`。通过构造γ，sopnεj=1p∞`=0aj，`=1,我们得到Var(～ε1,t)=1。命题中的～θo,1,`的表达式也直接从上面的显示和事实Cov(yt,εj,t-`)=θo,j,`中得到。接下来，观察r=Var(E(ε1,t{yτ}-∞<τ≤t))=Var(E(ε1,t ut))=Cov(ut,ε1,t)∑-1uCoV(ut,ε1,t)=mo,1,0∑-1umo,1,0。由于∑u～z=p∞`=0m`Cov(εt-`，～zt)=αmo,1,0,因此我们有γ=p∑u～z∑-1u∑u～z∑-1u∑u～z=pmo,1,0∑-1umo,1,0∑-1umo,1,0=pr∑-1umo,1,0。这意味着a1,0=γmo,1,0=qmo,1,0∑-1umo,1,0=qr。最后，～θo,1,0=Cov(yt,～ε1,t)=Cov(yt,ut)γ=Cov(ut,ut)γ=∑uγ=prmo,1,0和mo,1,0=Cov(ut,ε1,t)=Cov(yt,ε1,t)=θo,1,0.b.9.6筛选Var结果的辅助引理我们给出了用来证明附录B.8中命题的符号和状态辅助引理。