动态方差分解的工具变量辨识

我们的方法在不可逆转的模型中继续工作得很好，不像传统的SVAR-IV程序。我们采用Kilian&Kim(2011)中DGP的一个变体，假设大集合yt遵循一个结构VARMA(p,1）模型:yt=pp`=1à`yt-`+θ(εt+ζεt-1),我们考虑ny=2个宏观变量，p=1个自回归滞后（下面讨论一个例外）,并设态态(du=ρy0.50.5.对于MA部分，我们考虑nε=2个激波（因此都是可恢复的）和集合θ=chol(10.80.81)，其中“chol”表示下三角archolesky分解。如第6.3节所述，ζ是一个标量参数，支配可逆性的程度，ζ>1表示不可可逆性。我们对感兴趣的激波ε1,t:zt=ρzzt-1+ρzy(y1,t-1+y2,t-1)+ε1,t+σvvt加入了一个外部仪器zt，注意我们对α=1进行了归一化。最后对测量误差和结构冲击进行了分析。我们对上述DGP的九个直接参数进行了蒙特卡罗实验，特别是εT=-Rθ-1UT-1-R∞=1(-ζ）-θ-1UT+。具体来说，我们考虑了与基线参数化的各种偏差。在我们的基准中，我们设置ρy=0.5,ρz=ρzy=0,ζ=0,σv=1,样本量T=250。然后我们考虑具有较强的自回归持久性(ρy=0.9,或ρz=0.8和ρzy=0.3)、可逆MA分量(ζ=0.5)、不可可逆MA分量(ζ=2)、较弱的仪器(σv=2)和不确定的样本量(T=100,T=500)的变量。最后，我们给出了更丰富的动力学，当j=2,3,4时，p=4和quj=jü.结果。我们感兴趣的参数是可变y2的可逆度和FVR,tat层位1和4。我们在每个DGP中执行5000次蒙特卡罗重复，并在90%的水平上使用1000次bootstrap绘制来构造con interfection。我们使用homoskedastic递归残差bootstrap。缩减形式的VAR滞后长度是使用AIC选择的，我们使用霍尔的百分位数引导间隔，CF。第4节。表2显示，第4节中规定的部分识别稳健SVMA-IV识别集实现了接近或超过90%预期水平的覆盖率。我们报告了人口识别集（列“set”）和基础参数（列“param”）的覆盖率。在任何情况下，参数的覆盖率都不低于86.8%。在我们的实验中，识别集的覆盖率大部分接近90%，最差的为82.9%。我们还报告了FVR的常规SVAR-IVbootstrap执行间隔的覆盖率（列“SVAR”）。我们的SVMA-IV程序的复盖失真几乎总是小于SVAR-IV程序的复盖失真，最值得注意的是，我们的程序即使在非可逆情况下(ζ=2)，也有可接受的复盖，而SVAR-IV程序在这种情况下严重地掩盖了它。首先，如预期的那样，在噪音较大/较弱的仪器(σv=2)下，覆盖率略有恶化。我们的推理方法对任意弱的仪器(σv→∞)不是鲁棒的；我们把这个问题留给以后的工作。其次，我们解决了边界处的参数问题。对于大多数实验，r=1。这解释了这个参数的con investence间隔的过度覆盖，更少的是，对于整个identi investened集合的con investence间隔的过度覆盖。如果真实的FVR接近0，类似的问题也会出现。第三，对于更持久的差分全球定位系统，AIC倾向于选择一定数量的滞后，导致适度的覆盖不足，尤其是对于地平线4的FVRs。例如，在p=4自回归滞后的实验中，AIC选择的平均滞后长度为2.2。然而，我们承认，在只有轻度非可逆性的DGPs中，SVAR-IV方法可能比我们更稳健的SVMA-IV方法更好，因为前者需要估计的参数更少，而且只有轻微的偏差（参见。

应用的宏观经济学家最近转向外生变异的外部来源，以确定动态因果关系。虽然这种外部工具或代理经常被用来估计脉冲响应，但现有的方法不允许研究人员量化单个冲击对商业周期结果的贡献--这是传统商业周期分析中的一个顺序问题。我们通过提供方差分解、历史分解和可逆度的identifestival结果和推断技术来弥补这一差距。我们的方法既不需要外部仪器中没有测量误差，也不需要通常可疑的假设，即仪器测量的激波是可逆的（就像传统的SVAR分析中所假设的那样）。我们证明了仪器化冲击的重要性通常是区间的。如果已知该点是可恢复的--这是一个比可逆性弱得多的假设--就可以实现点识别。我们提供了一个软件包来实现我们推理过程的所有步骤。将我们的方法应用于美国的数据，尽管我们的识别假设很弱，但我们能够在最近的波动动力学中对货币冲击的重要性建立一个严格的上限。附录1估计和推断的公式在这里我们提供了第四节推断程序所需的其余公式。..,apting VAR inwt=(yt,zt)的(ny+1)×(ny+1)Coe_cient矩阵估计。设∑，表示残差样本方差-协方差矩阵。设∑1/2去整数方阵，使得∑1/2∑1/20=∑，例如，Cholesky因子。使用常见的递归b=∑1/2,bh=pmin{h,p}=1a`bh-`,h≥1计算移动平均coe_cients b(L)(iny+1-pp`=1a`L`)-1∑1/2。用bz,h表示bhby的顶行，用bz,h表示底行。ThendVar(～zt)bz,0bz,0,dCov(～zt,yt+h)bz,0by,hif h≥0,1×ny，否则dCov(yt,yt-h)p∞`=0by,`by，`+hfor h≥0。在实践中，我们以`的大值截断上面的in_nite和。现在取投影变量dVar(E(～zt{yτ}-∞<τ<∞))∑～z,y,(M,M)∑-1y,(M,M)∑-1y,(M,M)∑～z,y,y,(M,M)∑～z,y,(M,M)∑～z,y,(M,M)}-∞<τ≤t)dVar(yi,t)-(dCov(yi,t+`，yt),。.，dCov(yi,t+`,yt-m))b∑-1y,（M,0)×(dCov(yi,t+`,yt)，..,dCov(yi,t+`,yt-m)),dVar(E(～zt{yτ}-∞<τ≤t))(dCov(～zt,yt),01×nym)∑-1y，(M，0)(dCov(～zt,yt),01×nym),其中∑～z，y，(M，M)是~ztand(yt+M，)的估计协方差向量。...,yt，...,yt-m）通过堆叠上述估计dcov(～zt，yt+h)而获得，∑y，(M，M)类似地是(yt+M，)的估计方差-协方差矩阵。...,yt，.，yt-m)和∑y，(M，0)是(yt，yt-1，)的估计方差-协方差矩阵。在这些公式中，整数M是数值截断参数。例如，使用截断的条件变量的估计来估计Var(E(～ZT{Yτ}-∞<τ<∞))，这些可替换地使用Kalman firefiilter来计算，但是相对于这里所述的公式，在数值精度或速度方面似乎没有什么影响。Var(E(～ZT{Yτ}t-m≤τ≤t+m))。M应至少超过50才能得到精确的近似值。我们建议检查当M增加时，数值结果没有太大变化，因为截断的e例将取决于数据的持久性。a.2主要结果的证明。2.1辅助引理1。设B是n×n的Hermitian正解复值矩阵和ban n维复值列向量。设x是非负实标量。则b-x-1bb*为正（半）解当且仅当x>(≥)b*b-1b。请查阅附录B.9.1.A.2.2中的证明，命题1的证明，让α和谱sw(ω)给出。定义NY维向量θo,1,`=α-1 cov(yt,～zt-`),`≥0,以及相应的向量滞后多项式θo,1(L)=∞x`=0θo,1,`L`。由于α≤αub,我们可以定义σv=pvar(～zt)-α。

由于α>αlb，引理1意味着对于每个ω∈[0,2π]，atsy(ω)-2παsy～z(ω)sy～z(ω)=sy(ω)-2πθo,1(E-Iω)θo,1(E-Iω)*是正的。因此，Wold分解定理(Hannan，1970,THM.第2页。158）暗示存在一个ny×nymatrix滞后多项式～θ(L)=p∞`=0～θ`L`,即sy(ω)-2πθo,1(E-Iω)θo,1(E-Iω)π=2π～θ(E-Iω)～θ(E-Iω)*,ω∈[0,2π]。我们可以排除Wold分解中的确定性项，因为连续的正态分布的谱密度满足Hannan(1970,p）的满秩条件。162）。因此，wt=(yt，～zt)的以下模型生成所需的谱sw(ω):yt=θo,1(L)ε1,t+～θ(L)～εt,～zt=αε1,t+σvvt,(ε1,t，～εt，vt)i.i.D.N(0,iny+2)。注意，该构造只需要Nε=ny+1个激波，ε1,t∈R和～εt∈Rny.a.2.3对R的命题2识别集的证明。如果identied集包含1,则必须存在α∈[αlb,αub]和i.i.d.独立的标准高斯过程ε1,tand vt，使得(i)～ZT=α×ε1,t+vt,(ii)所有导联和滞后与ytat不相关，(iii)ε1在{yτ}-∞<τ≤t的线性范围内成正比。这立即意味着“仅当”声明。对于“如果”部分，假设~ZTdos not Granger原因YT。根据Sims和Granger因果关系的等价性，～z_t=E(～z_t{yτ}-∞<τ<∞)=E(～z_t{yτ}-∞<τ≤t)。注意，最近最好的线性预测器是白噪声，因为对于任何`≥1，cove(～zt{yτ}-∞<τ≤t)，yt-`=Cov(～zt,yt-`)-Cov～zt-e(～zt{yτ}-∞<τ≤t)，yt-`=0-0，使用的事实是～ztis是投影残差。结论表明，最佳线性预测器~z_∞tof~zt给定{yτ}-∞<τ<∞只依赖于{yτ}-∞<τ≤t，且具有恒定谱。从αlb的表达式中，我们得到αlb=Var(E(～zt{yτ}-∞<τ≤t))。因此，表达式（17）暗示了R∞的Requals1.识别集的Identi的上界。当且仅当2πsupω∈[0,π]s～z~(ω)=Var(E(～ZT{yτ}-∞<τ<∞))时，Identi集的上界等于1。这个方程的右手边等于Var(～z\\t)=r2πs～z\\(ω)dω。但是supω∈[0,π]s～z_8~(ω)=2πr2πs~z_8~(ω)dω，当且仅当s~z_8~(ω)在ω-几乎处处为常数，即~z_8~tis白噪声。参考安德鲁，d.w.&施，X.(2013)。基于条件矩不等式的推论。经济计量学，81(2)，609-666.安德鲁斯，D.W.&施X.(2017).基于多个条件矩不等式的推论。计量经济学杂志，196(2)，275-287.博德里，P.&波蒂埃，F.(2006)。股票价格、新闻和经济波动。《美国经济评论》，96(4)，1293-1307.博德里，P.&波蒂埃，F.(2014)。《新闻驱动的商业周期：洞察与挑战》，《经济文献学报》，52(4)，993-1074.布兰查德，O.J.，L\'Huillier，J.P.&Lorenzoni，G.(2013)。新闻、噪音与波动：一个经验的探索。《美国经济评论》，103(7)，3045-3070.布洛克威尔，P.J.&戴维斯，R.A.(1991)。时间序列：理论与方法（第2版）。统计学中的SpringerSeries。斯普林格。卡尔达拉，D.&赫布斯特，E.(2019)。货币政策、实际活动与信用利差：来自贝叶斯代理SVARS的证据。《美国经济杂志：宏观经济学》，11(1)，157-92.坎贝尔，J.R.，埃文斯，C.L.，费舍尔，J.D.M.，贾斯蒂尼亚诺，A.(2012)。宏观经济对美联储前瞻性指导的作用。布鲁金斯关于经济活动的论文，2012年（春季），1-80。查鲁尔，R&Jurado，K.(2021)。可恢复性和预期驱动的波动。经济研究回顾。即将出版。Chernozhukov,V,Lee,S,&Rosen,A.M.（2013）。交集界：估计和推断。《经济计量学》，81(2)，667-737。Christiano,L.,Eichenbaum,M.和Evans,C.（1999）。货币政策冲击：我们学到了什么？载于J.B.Taylor和M.Woodford合编的《宏观经济学手册》第1A卷第2章（第65-148页）。Elsevier.Cochrane，J.H.&Piazzesi，M.(2002)。美联储和利率--一个高频事件。《美国经济评论》，92(2)，90-95.福尔尼，M.&Gambetti,L.(2014)。结构变量中的信息。

《货币经济学杂志》，第66页（补编C）,124-136页。Forni,M.Gambetti,L.,Lippi,M.和Sala,L.(2017a)。噪音气泡。《经济杂志》，127(604)，1940-1976.Forni,M.Gambetti,L.,Lippi,M.和Sala,L.(2017b)。商业周期中的嘈杂新闻。《美国经济杂志：宏观经济学》，9(4)，122-152。Forni，M.Gambetti，L.&Sala，L.(2019)。结构VARs和不可逆转的宏观经济模型。应用计量经济学杂志，34(2)，221-246.加法罗夫，B，迈尔，M，蒙蒂尔·奥列亚，J.L.(2018)。一类集IDENTI型SVAR的Delta方法推理。计量经济学杂志，203(2)，316-327.Gertler,M.&Karadi,P.（2015）.货币政策出人意料，信贷成本和经济活动。《美国经济杂志：宏观经济学》，第7（1）,44-76页。信息是否有助于从过去的观测中恢复结构冲击？《欧洲经济协会学报》，4(2/3),455-465.Gilchrist,S.和Zakrajések,E.（2012）.信用利差和商业周期波动。《美国经济评论》，102(4)，1692-1720.戈罗德尼琴科，Y.&李，B.(2020)。用localprojections进行预测误差方差分解。商业与经济统计杂志，38(4)，921-933..Güurkaynak,R.S.,Sack,B.P.和Swanson,E.T.(2005)。行动比语言更响亮吗？资产价格对货币政策行动和声明的反应。国际中央银行杂志，1(1)，55-93.霍尔，R.E.(2011)。长期的低迷。《美国经济评论》，101(2)，431-469。汉南，E.(1970)。多重时间序列。概率统计中的威利级数。JohnWiley&Sons.Imbens，G.W.&Manski，C.F.(2004)。部分IDENTIN参数的CON区间。《经济计量学》，72(6)，1845-1857.Jaimovich,N.&Rebelo,S.（2009）。关于未来的消息能推动商业周期吗？《美国经济评论》，99(4)，1097-1118。（2005年）。局部投影对脉冲响应的估计与推断。美国经济评论，95(1)，161-182。柯安泽（2021）。石油供应消息的宏观经济分析：来自欧佩克公告的证据。《美国经济评论》，111(4)，1092-1125.Kilian,L.&Kim,Y.J.(2011)。脉冲的局部投影估计有多可靠？《经济学与统计学评论》，93(4),1460-1466.Kilian,L.&L.Utkepohl,H.（2017）.结构向量自回归分析。CambridgeUniversity Press.Klepper，S&Leamer，E.E.(1984)。所有变量都有误差的回归估计的一致集。《经济计量学》，52(1)，163-183.库特纳（2001）。货币政策意外与利率：来自FedFunds期货市场的证据。货币经济学杂志，47（3）,523-544。李伯，艾姆，沃克，周杰伦，杨斯长。S.（2013）。财政预见和信息流动。《经济计量学》，81(3)，1115-1145.里皮，M.&Reichlin，L.(1994)。VAR分析，非基本表示，Blaschkematrices。计量经济学杂志，63(1)，307-325.梅尔滕斯，K.(2015).实证宏观经济学进展，第2讲。讲座幻灯片，邦恩暑期学校。Mertens，K.&Ravn，M.O.(2010)。在预期情况下衡量财政政策的影响：一种结构性VAR方法。经济学杂志，120(544)，393-413.Mertens,K.&Ravn,M.O.（2013）。美国个人和公司的动态变化。《美国经济评论》，103(4)，1212-1247.中村，E&Steinsson，J.(2018a)。货币非中性的高频识别：信息等。经济学季刊，133(3)，1283-1330.中村，E&Steinsson，J.(2018b)。宏观经济学文献。经济观点杂志，32(3)，59-86页。庇古（1927）。工业波动（2版）。伦敦：麦克米伦。普拉堡-默勒，M。（2019）。结构脉冲响应函数的贝叶斯推理。数量经济学，10(1),145-184.普拉格伯格-默勒，M.&Wolf,C.K.(2021).

局部投影和VAR估计相同的脉冲响应。《经济计量学》，89(2)，955-980。Ramey,V.A.(2016)。宏观经济冲击及其传播。在J.B.泰勒和H.Uhlig（编辑），《宏观经济学手册》第2卷第2章（第71-162页）。Elsevier.Schmitt-Groh\'e，S.&Uribe，M.(2012)。商业周期中的新闻是什么。《经济计量学》，80(6)，2733-2764.西姆斯，C.A.&Zha，T.(2006)。货币政策会导致衰退吗？宏观经济动力学，10(02)，231-272.斯梅茨，F.&Wouters，R.(2007)。美国经济周期中的冲击和摩擦：贝叶斯和斯格方法。《美国经济评论》，97(3)，586-606.股票，J.H.(2008)。计量经济学的新知识：时间序列，第7讲。演讲幻灯片，NBER夏季研究所。斯托克，J.H.&沃森，M.W.(2018)。利用外部工具对宏观经济学中动态因果关系的识别和估计。《经济学报》，28(610)，917-948.Stoye，J.(2009)。更多关于部分IDENTI参数的confoundence间隔的信息。《经济计量学》，77(4)，1299-1315..Uhlig，H.(2005)。货币政策对产出的作用是什么？不明原因的诊断程序的结果。货币经济学学报，52(2)，381-419。沃尔夫，C.K.(2020).货币政策冲击的SVAR（Mis）特征和实际特征。《美国经济杂志》:Macroeconomics，12(4)，1-32。在线附录：动态方差分解的工具变量identiofdynamic variableidentiofdynamic Variance decompositions Smikkel Plagborg-Moller Christian K.Wolf7月13日，2021此在线附录包含“工具变量Dynamic variabledentiofdynamic Variance decompositions”一文的补充材料。我们提供了(i)方差分解的其他概念的边界，(ii)将识别分析扩展到与单个或多个冲击相关的多重工具，(iii)在不可可逆性下描述SVAR-IV（或“代理SVAR”）的biasof SVAR-IV（或“代理SVAR”）过程，(iv)使用定量结构宏观模型说明我们的方法，(v)对单冲击应用的补充结果，(vi)关于石油新闻冲击重要性的第二组经验结果，以及(vii)关于我们筛选变量推理策略的非参数有效性的渐近理论。本附录的末尾包含证明和辅助引理。任何对方程式、定义、表格、假设、命题、引理或前面没有“B”的部分的引用都指主要条款。内容sb.1其他方差分解概念的定义和估计3b.2与一个冲击相关的多个工具7b.3与多个冲击相关的工具9b.4可逆性和SVAR-IV 13b.5结构宏观模型中的说明15b.5.1初步说明。.....................................15B.5.2若干可观测项目的信息内容。.....................16B.5.3动态信息内容。............................17B.5.4非可逆性和新闻冲击。..........................18B.5.5其他可观察项目。...................................20B.6货币政策冲击应用：进一步结果23B.7石油新闻冲击应用24B.8非参数筛选VAR推论30B.8.1假设、感兴趣的参数和估计量。................30B.8.2主要收敛结果。...............................33B.9附加证明和辅助引理36B.9.1引理1的证明。.................................3.36B.9.2证明命题B.1的辅助引理。...................36B.9.3命题B.1的证明。...............................37B.9.4命题B.2的证明。...............................38B.9.5命题B.3的证明。...............................

39B.9.6筛选变量结果的辅助引理。......................40B.9.7引理B.3的证明。.................................42B.9.8引理B.4的证明。.................................42B.9.9引理B.6的证明。.................................44B.9.10引理B.7的证明。.................................45B.9.11引理B.8的证明。.................................47B.9.12引理B.9的证明。.................................49B.9.13引理B.10的证明。...............................49B.9.14引理B.11的证明。................................50B.9.15 B.4命题的证明。...............................53B.9.16 B.5命题的证明。...............................53参考文献57B.1其他方差分解概念的定义和估计我们的主要分析集中于预测方差比率，作为冲击重要性的度量，见第2.2节。本附录补充了两个概念--预测变量分解(FVD)和无条件频率--规定变量分解(VD)--并讨论了这两个概念的定义和估计。在层位处对变量i的预测方差分解(FVD)是按FVDI进行的,`1-Var(yi,t+`{ετ}-∞<τ≤t,{ε1,τ}t<τ<∞)Var(yi,t+`{ετ}-∞<τ≤t)=p`-1m=0θi,1,mpnεj=1p`-1m=0θi,j,m。(b.1)FVD度量了由于学习所关注的冲击的路径实现而引起的预测方差的减少，假设我们在形成预测时已经有了过去的结构冲击的历史。因为经济计量学并不直接观察结构性冲击，所以FVD最好是用来影响观察潜在冲击的经济主体的预测。FVD总是在0和1之间，纯粹RE确定基本预测不确定性，如果firrst冲击是方程（1）中唯一的冲击驱动变量i，则FVD等于1。虽然FVR和FVD的概念一般是不一致的，但在Allscraction可逆的情况下，它们是一致的，因为在这种情况下，信息集{yτ}-∞<τ≤tequals信息集{ετ}-∞<τ≤t。这就解释了为什么SVAR文献没有在这两个概念之间做出区分。B.1我们的第二个附加概念是Forni等人的频率特性无条件方差分解(VD)。(2019，第3.4节）。在频带[ω,ω]上，变量i的VD由Vdi(ω,ω)rωωθi,1(E-Iω)dωpnεj=1Rωωθi,j(E-Iω)dω,0≤ω<ω≤π,(b.2)给出，其中，θi,j(L)是滞后多项式θ(L)的（i,j）元素。VDi(ω，ω)是Forni等人的百分比。（2019）指出在使用SVAR估计FVD时由不可可逆性引起的偏差。在将数据通过只保留周期性频率[ω,ω]的带通器后，yi,t的方差减少--由完全“关闭”感兴趣的冲击ε1,t引起。软件包Dynare在求解DSGE模型后自动报告VDi(0,π)。识别和估计：VD。对VD的分析与我们对FVR的分析完全相似。确定VDi(ω，ω)=α×Rωωsyi～z(ω)dωRωωsyi(ω)dω，其中syi～z(ω)=αθi,1(e-iω)是sy～z(ω)的第i个元素，CF。方程(b.2)。由于右边的最后一个分数是点等价的，所以我们对α的等价集立即映射为对Vd的等价集。我们估计出的界为“α×Rωωsyi～z(ω)dωrωsyi(ω)dω，α×Rωωsyi～z(ω)dωrωsyi(ω)dω#。(B.3)用数值方法计算积分。

计算(B.3)所需的谱密度是估计的约化形式VAR参数的函数（见附录A.1)。具体来说，sy(ω)=2πby(E-Iω)by(E-Iω)*,sy～z(ω)=2π∞x`=0∑y,～z,`e-iω\',by(e-iω)∞x`=0by,`e-iω\'，∑y，～z,`dcov(yt，～zt-`)=by，`b～z。在实践中，我们以较大的滞后截断innite和。识别和估计：fvd。包围FVD需要更多的工作。从直觉上看，FVD的识别比FVRis更具挑战性的原因是，即使我们知道α，IV ZTT也不能提供关于其他结构冲击εj,t,j6=1的信息。这很重要，因为与FVR不同，FVD的认知(B.1)是以知道所有过去的冲击而不是所有过去的宏观观测为条件的。命题B.1正式地表征了由此产生的识别集。设给定满足命题1中假设的联合谱密度WT=(yt，～zt)。在已知α∈(αlb,αub]的情况下，预测方差分解FVDi的最大可能值`为1（平凡界），而Smallest可能值为p`-1m=0cov(yi,t,～zt-m)p`-1m=0cov(yi,t,～zt-m)+αvar(～y(α)i,t+`{～y(α)τ}-∞<τ≤t)。(b.4)这里，～y(α)t=(～y(α)1，t，.，～y(α)ny，t)表示一个平稳的高斯时间序列，其谱密度为～y(α)(ω)=sy(ω)-2παsy～z(ω)sy～z(ω)*,ω∈[0,2π]。表达式(b.4)在α中单调递减，因此FVDi的总下界，`由α=αub得到；在这种边界情况下，wecan表示～y(αub)t=yt-e(yt{～zτ}-∞<τ≤t)。对于任何`≥1，FVD上的上界总是等于1的平凡界。这个上界是由一个模型实现的，在这个模型中，所有的激波，除了第一个激波之外，在一个`周期延迟之后，只有一个正确的激波。相比之下，下限是非琐碎和信息丰富的。本文的论点是：即使α已知，由于缺乏有关激波的信息，也不能确定FVD的分母Var(yi，t+`{ετ}-∞<τ≤t)。虽然我们可以用FVR的分母对这个条件方差进行上限，但这个上限并不尖锐。相反，为了使分母最大化，尽可能多的预报噪声应该是纯粹的预报变化，而不是与非可逆性有关。对于除ε1,t以外的所有冲击，这是可以通过Wold分解结构实现的(Hannan，1970,Thm.2,p.158)。给定α，我们知道激波的贡献；去除此贡献后的残差具有~y(α)t的分布，如命题中所示。如果α未知，则下界(b.4)的最小可能值为α的最大可能值，即αub,对此ε1贡献了yt的最小预测值。我们估计命题B.1中的界为“p`-1m=0dcov(yi,t,～zt-m)p`-1m=0dcov(yi,t,～zt-m)+αdvar(～y(α)i,t+`{～y(α)τ}-∞<τ≤t)，1#。(b.5)为了逼近分母中的条件方差，我们按照附录A.1的方法进行。首先，我们用条件集{～y(α)τ}τ-m≤τ≤t代替条件集。第二，使用标准投影公式计算条件方差，其中过程的自协方差{～y(α)τ}被估计为dCov(～y(α)t+`,～y(α)t)=dCov(yt+`,yt)-αp∞m=0dCov(yt，～zt-m-`)dCov(yt，～zt-m)。在实践中，我们以较大的滞后截断innite和。b.2与一个冲击相关的多个仪器在这里我们表明假设1到3中的多个IV模型是可测试的，但如果它与数据一致，那么idi-iv分析可以简化为单IV情况。提取IV残差向量等式（18）中的ZTAs。假设1和假设2中的多重-IV模型意味着ytand～zt:sy～z(ω)=α2πθ(E-Iω)eλ,ω∈[0,2π]之间的互谱如下。(B.6)因此，互谱具有秩-1因子结构：它等于一个非常列向量乘以一个常行向量。这种可测试的性质证明正是多重IV模型的特征。

设wt=(yt，～zt)的谱sw(ω)满足命题1的假设。在假设1和2中存在一种形式的模型，它生成谱sw(ω)当且仅当存在NY维实向量ζ,`≥0,和ANNZ维单位长度常数实向量η,如sy～z(ω)=ζ(e-iω)η,ω∈[0,2π],(b.7),其中ζ(L)=p∞`=0ζ`L`。通过设置∑v=∑～z-αλλ，并将∑～za视为基本模型参数，而不是∑v，可以稍微重新参数化模型。然后，我们要求∑～z-αλλ为正半正定。显然，∑～z=Var(～zt)是点正定的。接着，从(b.6)中注意到，λ是方程(b.7)中的η向量的点坐标。这是因为矩阵的任何秩-1因式分解都是符号和标度的，我们把η归一化为长度1。设（？）为任意(nz-1)×nzmatrix，使得（？）∑-1/2～zλ=0。nz×nzmatrixQλ∑-1~zλλ∑-1~z∑∑-1/2~z！。由于Q是点identi（给定选择的参数），所以基于线性变换的IV残差sq～zt=α...ε1,t+～vt,～vtN0,λ∑-1~zλ-α0wwwo！进行performenti分析不会失去一般性。然而，请注意，α只进入Q～zt中的第一个元素的方程，而Q～zta中的(nz-1)个元素与第一个元素无关（并且与所有导联和滞后无关）.因此，在对θi、j、`和α进行识别分析时，将注意力限制在q～zt(q～zt)的识别元素上是不会失去一般性的。在主文本中的等式（19）中定义了q～ztequals ztas的foungrst元素。B.2对IVs的额外限制可以确保点identi。特别是，如果nz≥2并且研究者愿意将∑vt限制为对角线，那么α是从Var(～zt)=∑v+αλλ的anyo对角元素中得到的点identi，因为λ是点identi。B.2上面的显示意味着我们必须有α≤(λVar(～zt)-1λ)-1，这正是应用于zt时α的上界所得到的。B.3仪器与多重冲击相关。在本节中，我们问如果研究者只愿意假设观察到的外部仪器集与向量εx,t中收集的大多数nεx冲击相关，那么预测方差比能说多少。因此，在这一节中，我们不施加只有激波ε1,tbe与IV（s）,扩展模型和FVR相关的排除限制。在不丧失一般性的情况下，假设nzIVs与nε激波的nεx(nεx)相关。用εx，t表示冲击的子向量。现在，计量经济学家不必知道nεx。我们得到了推广的SVMA-IV模型:asyt=θ(L)εt,θ(L)∞x`=0θ`L`,(b.8)zt=∞x`=1(ρ`zt-`+λ`yt-`)+'Aεx,t+∑1/2vvt{z}～zt,(b.9),其中γ为nz×nεx。我们继续强加I.I.D.冲击的正常性，参见。假设3.我们感兴趣的对象是关于进入IV方程的nzspecific的冲击线性组合的预测方差比，γεx,t:fvri,`1-Var(yi，t+`{yτ}-∞<τ≤t,{γεx,τ}t<τ<∞)Var(yi，t+`{yτ}-∞<τ≤t)=p`-1m=0cov(yit，～zt-m)(γγ)-1cov(yit，～zt-m)Var(yi，t+`{yτ}-∞<τ≤t)。(B.10)在下面我们给出了这个对象的上界和下界。给出了Ⅷ，FVR是点identi的，所以我们需要推导出γγ的identi的赋值集。与附录B.2类似，模型(b.8)-(b.9)的可检验限制是ytand～zthas的联合谱为秩-nεxfactor结构。

如果这个假设不被拒绝，我们可以将仪器向量降维为min(nz，nεx)，而不需要给出FVRi的定义。b.3特别地，我们可以假设γ具有满行秩，从现在起我们可以这样做，从而证明(b.10)中的第二个等式。b.3这个论点与附录b.2中的一个激波情况非常相似，并且可以根据要求得到。用于γ的识别集。definne∑～zVar(～zt)。类似于命题1的证明，我们可以证明：给定的γ与数据的联合谱密度是一致的，并且仅当γ具有满行秩，∑～z-γγ≥0,(B.11)和∑γ-2πS～z_8~(ω)≥0,±ω∈[0,π],(B.12)其中S～z_8~(ω)=sy～z(ω)*sy(ω)-1sy～z(ω),如果a-b是Hermitian半正则（对于≤),我们使用符号a≥B。FVRi上的锐利界是在NZ×NZ对称正解矩阵能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量我们现在在FVR的定义(B.10)中建立了分子的一个尖锐的下界（分母是点定义的）。观察到`1xm=0Cov(yit，～Zt-m)(γγ)-1Cov(yit，～Zt-m)=`1xm=0Cov(yit，～Zt-m)∑-1～Zcov(yit，～Zt-m)+`1xm=0Cov(yit，～Zt-m){(γγ)-1-∑-1～Z}Cov(yit，～Zt-m)≥`1xm=0Cov(yit，～Zt-m)∑-1～Zcov(yit，～Zt-m)，其中不等式使用约束(b.11)。上面的下限是尖锐的：它是在∑v=0nz×nzandγγ=∑～z的模型中得到的，即当所有的IVs都是完美的时。B.4FVR的上界。虽然我们还不能推导出FVR的上界的封闭形式的表达式，但直接用数值计算它是很简单的。给出了n×n实对称正解矩阵的空间，设tr(A)表示矩阵A的迹。在定义(B.10)B.4中分子上的锐利上界(B.10)B.4.注意，由Schur补式可知γγ=∑～z=2πs～z(ω)满足约束(B.12)和(yt，～zt)的谱的正半边性由程序maxx∈snztr(XC)+tr(AC)(B.13)X≤B(ω)，ω∈[0，π]的值给出。这里X是(γγ)-1-∑-1~z的代名词，Cp`-1m=0Cov(yit,～zt-m)Cov(yit,～zt-m)Cov(yit,～zt-m)Cov(yt,～zt-m)）,A∑-1~z和B(ω)2πs~z~(ω)-1-∑-1~z。我们可以通过将上面的程序转化为一个具有一定数量约束的（凸）半解析程序来求解任意精度。将区间[0,π]划分为N个等长块，并考虑松弛约束setX≤～bm,m∈{1,2,...,N},(b.14),其中～bmNπ×rmπN(m-1)πnb(ω)dω。当N→∞时，该约束集任意地逼近原问题的约束集，但对于任意N项，离散化程序的值提供了(B.10)中分子的一个上界。在MATLAB和其他环境中，可以用有限的数值算法来计算(B.13)-(B.14)形式的半有限程序的解。B.5或者，我们可以推导出封闭形式的FVR分子(B.10)的非尖锐上界。例如，在X+～∑-1～z≤rπ-πs～z~(ω)dω-1=Var(～z~t)-1的条件下，通过最大化tr(XC)+tr(AC)获得一个保守上界。这就产生了上限`-1xm=0cov(yit,～zt-m)Var(～z_nt)-1cov(yit,～zt-m)，如果冲击εx都是可恢复的，则该上限约束，但否则不尖锐。本文给出了一个不那么保守但通常仍是次优的上界:tr(AC)+nzxm=1infω∈[0,π]übmm(ω),其中übmm(ω)是üb(ω)c1/20b(ω)c1/2的（m,m）元，C=c1/2c1/20。当nz=1时，Thislatter上界是尖锐的，在这种情况下，该节中的下界和上界减少到3.B.5节中导出的FVR界表达式，例如见http://cvxr.com/cvx/doc/sdp.html。为了将我们的约束转化为与实矩阵相关的约束，请注意，具有实部a和虚部B的厄米矩阵是正半解析当且仅当实对称矩阵a BB a是正半解析。

我们强调了两种特殊的情形，其中关于γεx，t的FVR（我们在上面部分地证明了这一点）是有趣的。第一，正如Mertens&Ravn(2013)中所说，我们可以假设nzinstruments与相同数目的nεx=nzof结构冲击相关。在这种情况下，γ是非奇异的，所以关于γεx的FVR和关于这些εx的FVR是一样的。此外，如果我们进一步假定所有包含激波εx,皮重可恢复，则～z_tE(～zt{yτ}-∞<τ<∞)=γεx,t，则ytwith关于εx,tis点的历史分解为E(yt{εx,t}-∞<τ≤t)=E(yt{～z_qτ}-∞<τ≤t)。其次，考虑有一个IV但可能有几个包含激波的情况，nεx>1=nz。以上分析表明，即使baselinemodel(3)中的IV排除限制失效，关于进入IV方程的特定线性组合γεx,tof激波的FVR数据也是信息的。关于这种特殊的激波线性组合的FVR显然是关于与IV.B.4可逆性和SVAR-IV相关的全向量εx、tof激波的FVR的下界。在本节中，我们描述了激波不可可逆时SVAR-IV方法的偏差。在假设1到3中，我们始终假设SVMA-IV模型的有效性。我们的分析建立在Lippi&Reichlin(1994)和Forni等人的结果之上。(2019)，他们不考虑使用外部工具来进行调整。SVAR-IV（或“代理SVAR”）策略通过使用外部IV来将预测误差从缩减形式的VAR中旋转来识别结构性冲击（股票，2008年；股票和沃森，2012年；默滕斯和拉文，2013年；格特勒和卡拉迪，2015年；Ramey，2016)。为了分析的清晰性，我们使用了一个具有预测误差ut的VAR(∞)模型utyt-e(yt{yτ}-∞<τ<t)。假设计量经济学用的单一残差化IV～ZT=αε1,T+σVVTIS。在SVARIV假设nε=n，所有激波可逆的情况下，我们将得到UT=θεT，其中θ为平方且非奇异。那么感兴趣的冲击将被定义为ε1,t=γut,其中γ(∑u～z∑-1u∑u～z)-1/2∑-1u∑u～z，∑u～zCov(ut，～zt)和∑uVar(ut)。我们现在问，如果逆性假设不成立并且nε≥ny，SVAR-IV过程的输出会发生什么。命题B.3。假设假设1至3中的SVMA-IV模型。SVAR-IV所定义的激波是由~ε1,tγut=nεxj=1∞x`=0aj,εj,t-`(b.15)给出的，其中标量coe{aj,`}满足nεj=1p∞`=0aj,`=1和a1,0=pr。相关的SVAR-IV冲激响应由b.6～θo,1,`Cov(yt，～ε1,t-`)=nεxj=1∞xm=0aj,mθo,1,`+m,`=0,1,2,在非可逆性条件下，SVAR-IV将冲击视为所有冲击的分布滞后。6在任何SVAR(∞)模型中，该模型所隐含的冲击响应必须等于其结果在给定冲击上的局部投影。这是由Wold表示的。冲击在底层模型中，关于真正感兴趣的冲击ε1，tequaltopR（可逆度的平方根，参见第2.1节）。这导致冲动被跨越地平线和冲击。在冲击水平上，SVAR-IVOVERS用1/PR的因子表示真脉冲响应θo,1,0（对一个标准差冲击）的大小。因此，SVAR-IV隐含的一步提前预测变量分解对第一次冲击的真实一步提前FVRs（如2.1节所述）夸大了1/R因子。SVAR-IV隐含的多步预测变量分解的偏差以更复杂的方式依赖于真脉冲响应的序列。总之，SVAR-IV分析虽然解决了SVAR-IV分析中常见的“旋转问题”，但没有解决可逆性问题。