条件分位数估计量：一个小样本理论

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摘要翻译：
我们研究了条件分位数估计的小样本性质，如经典分位数和IV分位数回归。首先，我们提出了一个高阶分析框架，用于在小样本中比较竞争估计量，并评估常见推理过程的准确性。我们的框架是基于一种新的不连续样本矩的近似，用一个h\\\\“旧连续过程，误差可以忽略不计。对于任何相合估计量，这种近似导致具有几乎最优速率的渐近线性展开。其次，我们研究精确分位数估计的高阶偏置，直到$O\\left(\\frac{1}{n}\\right)$。利用一种新的非光滑演算技术，我们发现了以前未知的、不能一致估计的、依赖于所采用的估计算法的不可忽略的偏差分量。为了避免这个问题，我们提出了一个“对称”偏差校正，这是一个可行的实现。我们的模拟证实了偏差校正的经验重要性。
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英文标题：
《Conditional quantile estimators: A small sample theory》
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作者：
Grigory Franguridi, Bulat Gafarov, Kaspar Wuthrich
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最新提交年份：
2021
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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英文摘要：
  We study the small sample properties of conditional quantile estimators such as classical and IV quantile regression.   First, we propose a higher-order analytical framework for comparing competing estimators in small samples and assessing the accuracy of common inference procedures. Our framework is based on a novel approximation of the discontinuous sample moments by a H\\\"older-continuous process with a negligible error. For any consistent estimator, this approximation leads to asymptotic linear expansions with nearly optimal rates.   Second, we study the higher-order bias of exact quantile estimators up to $O\\left(\\frac{1}{n}\\right)$. Using a novel non-smooth calculus technique, we uncover previously unknown non-negligible bias components that cannot be consistently estimated and depend on the employed estimation algorithm. To circumvent this problem, we propose a \"symmetric\" bias correction, which admits a feasible implementation. Our simulations confirm the empirical importance of bias correction.
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关键词：分位数 小样本 估计量 econometrics Applications

条件分位数估计量：一个小样本理论我们研究了条件分位数估计量的小样本性质，如经典和IV q uantile回归。首先，我们提出了一个高阶分析框架，用于比较小样本中竞争估计量，并测试了常见推理过程的精度。我们的框架基于一个新的H"older-连续过程对不连续样本矩的逼近，误差可以忽略不计。其次，我们研究精确分位数est的高阶偏置，利用一种新的非光滑演算技术，我们发现了以前未知的不可忽略的偏置分量，这些偏置分量不能被一致估计，并且依赖于所采用的估计算法。为了避免这个问题，我们提出了一个“对称”偏差校正，这是一个可行的实现。Jel分类:C21、C26。关键词：非光滑估计、KMT耦合、匈牙利构造、高阶渐近分布、高阶随机展开、阶统计量、偏校正、混合整数线性规划(MILP)、精确估计、K步估计、分位数回归、工具变量分位数回归。南加州大学经济系。电邮:frangur i@usc.edu.加州大学戴维斯分校农业与资源经济系。电子邮件:bgafarov@ucdavis.edu§California University of California,San Diego经济系；Ifo研究所；塞西弗。电子邮件:kwuthrich@ucsd.edu1介绍经典分位数回归(QR)（Koenker and Bassett，1978)和工具变量分位数回归(IVQR)（Chernozhukov and Hansen，2005)的许多有趣的经验应用都以小样本为特征，这可能是由于观察次数有限或在估计尾部分位数时产生的，或者两者兼而有之（例如，Elsner et al.，2008；Chernozhukov and Fernández-Val，2011；Adrian and Brunnermeier，201 6；Adrian et al.，2019)。虽然许多现有的QR和IVQR估计器在大样本中表现出可比的统计特性，但它们的计算性能显著下降。与其他非线性估计一样，它们也影响到它们的小样本偏差和均方误差(MSE)以及相应的推断过程的大小精度。然而，在应用中，没有一个小样本理论可以指导在许多可用的估计量之间进行选择。在这篇论文中，我们发展了一个高阶的分析方法，使我们能够在小样本中比较竞争的估计量，并为提高估计量和减小估计量的偏差提供了新的方法。分析大多数po pular QR和IVQR估计量时的主要挑战是它们解决了目标函数不光滑和样本矩不连续的优化问题。为了正式研究这些估计量的性质，我们通过一个H"older连续过程对它们的样本矩进行了新的逼近，它具有明确的连续模和可忽略的逼近误差。这种近似允许usto表征决定这些估计器性能的关键因素：(i)样本矩的渐近随机连续性的调幅和(ii)在估计器上估计的样本矩误差的大小。一个重要的实际含义是，精确估计器，如QR的线性规划(LP)估计器和IVQR模型的混合整数规划(MIP)估计器（Chen and Lee,2018；Z hu,2019）比不精确地最小化样本矩误差的估计器更有意义。

然而，计算非光滑函数的精确极小值可能在计算上是困难的，因此近似但易于处理的估计往往是不可避免的。我们的高阶分析框架直接提出了一种减轻计算可行性和小样本性能之间的矛盾的方法。我们证明了对ny近似解应用一步牛顿修正可使偏置和MSEto减小近ON3/4.我们在第2.3节中讨论了基于光滑目标函数和估计方程的方法。我们还刻划了精确QR和IVQR估计的高阶偏置，这是它们小样本性能的一个关键方面。我们的模拟表明，即使在简单的位置模型中，分位数估计扫描也表现出很大的偏差（见图1中的蓝点），即使在中值处偏差也不可忽略，在尾部偏差也可以任意大（见第5.3节中DGP3的结果）。为了研究偏差，我们提出了一种新的非光滑演算方法，它使我们可以计算精确QR和IVQR估计的渐近偏差，其阶数甚至比MSE估计的渐近偏差更高，即O N-。为了克服这一挑战，我们提出了一种基于新对称校正的可行偏差校正过程，该过程消除了无法一致估计的分量。我们记录的QR和IVQR估计器的计算代价与它们的高阶偏差和MSE之间的贸易关系，对经验实践具有重要的意义。对于小样本，我们推荐精确的矩估计器：它们实现了最小的偏差，可以通过我们的偏差校正方法进一步降低偏差。降低偏置对于有效的推理特别重要，并且使得在小样本中应用Q、R和IVQR估计量成为可能。在较大的样本中，精确的估计量可能计算困难，可以根据估计量的计算性能来选择估计量。我们证明了一步牛顿校正可以降低任何一个√n相合近似估计量（例如，逆分位数回归（Chernozhukov and Hansen，2006)、准贝叶斯MCMC(Chernozhukov and Hong，2003)或firection-point估计量（Kaido and Wüthrich，2019))的偏差和均方误差。高阶分析已经成功地应用于比较替代估计量和推断过程的小样本性能，在广泛的统计问题中，包括线性IV（例如，Nagar，1959；Rothenberg，1984)，平滑矩估计量（例如，Rilstone et al.，1996；Newey和Smith，2004年；Anatolyev，2005)，HAR inferencein时间序列（例如，Andrews，1991；Sun等人，2008年；Lazarus等人，2021)，面板数据中的附带参数（例如，Hahn和Newey，2004；Dhaene和Jochmans,2015）等。根据其本质，这种方法依赖于corr esponding经验过程的可确定性。将这种方法推广到非光滑定量ile估计量的情况被证明是特别具有挑战性的（例如，Kiefer，1967；Jureckováand Sen，1987).已有的关于条件分位数模型高阶性质的文献中，我们强调我们的方法是从已有公式中使用的广义函数启发式或“捷径”中分离出来的(Phillips，1991；李等人，2017，2018)。

非光滑目标函数只考虑了满足次梯度最优性条件的凸M-估计，这些凸M-估计与样本矩方程重合到不可忽略的误差（例如，Zhou and Portnoy,1996；Knight,2002；Por t noy,2012）。在这里，我们的目标是isto研究和比较基于非光滑矩条件的一般分位数估计，包括具有内生协变量的IVQR估计。这类广义估计解决了样本中不存在最优性条件的非凸（离散）优化问题。为了克服这一障碍，我们发展了新的证明技术来限制样本矩条件的渐近误差。此外，现有文献没有给出QR和IVQR估计的渐近偏差的完整刻画，事实上，这样的结果甚至不适用于无条件分位数。偏置的分析表征在我们的上下文中特别重要，因为用于高阶偏置校正的替代的基于引导的方法不适用(Knight，2003)。我们相信，我们的高阶方法对于研究具有线性指数结构、基于不连续样本矩或损失函数（例如，删失QR和最大得分）的其他估计量是有用的。第六节对理论结果的详细讨论概述了今后研究的其他方向。我们对本文的理论结果进行了详细的讨论，并与现有的文献进行了联系。我们做了四个主要的理论贡献，每一个在下面的小节中都有更详细的描述。首先，我们建立了加权累积分布函数(CDF)与具有一致余界的紧H"older连续过程的新耦合。其次，在此耦合结果的基础上，我们导出了渐近线性展开式的余率和精确（矩）估计的MSE。第三，我们得到了精确估计的n个渐近偏差f ormula。第四，我们提出了一个可行的偏差校正过程，消除了不能一致估计的偏差分量。在整个论文中，我们经常提到QR和IVQR估计器统称为无条件分位数估计器。(2017，2018)提供了基于Phillips(1991)的广义功能主义的偏差的部分表征。正如我们下面所讨论的，这种方法并没有捕捉到所有的项。2.1样本动量的耦合在定理1中，我们发展了一种新的随机加权经验CDF过程与指数为-γ的t ig ht H"older连续pro的耦合，对于任何小的γ>0和一致有界的OP对数NN误差。绝对逼近误差的期望值只与随机权值的大小和样本容量有关；期望的H"older常数既取决于结果的条件概率密度函数(PDF)的界，也取决于权值的支持度。我们的结果是一致经验过程(Komlós et al.，1975，1976)的庆祝的KMT耦合的推广，它还利用了条件CDF的光滑性。近似过程的H"older连续性遵循Kolmogorov-Chentsov定理（例如，Schilling and Partzsch，2014，定理10.6）。在回归器和仪器上的某些条件下，这一结果转化为样本矩与具有最优余率的H"older连续过程的耦合。我们导出的H"older连续性和速率最优性这两个逼近性质对于限制高阶表示中样本矩条件的误差和等价性结果是必不可少的。相比之下，现有的泛型强近似具有次优余项r ATE，这只暗示了采样量上的非常粗糙的界。

在条件分位数估计的展开中，这些泛型界支配着所有其他高阶项，因此，对我们的目的没有用处。2.2 Bahadur-Kiefer表示条件分位数估计是非线性的。然而，众所周知，这种估计量可以近似地表示为得分函数的样本平均值。超渐近线性展开式称为Bahadur-Kiefer表示(Bahadur，1966；Kiefer，1967)。为了说明直接估计的正规逼近和boot strap逼近的精度，重要的是给出非线性余数项的显式界。利用我们的耦合结果，在回归子的某些支持限制下，我们给出了√n相合条件分位数估计的Bahadur-Kiefer展开式（见定理M2)。经过一步牛顿校正后，任何一个√n相合的条件分位数估计的渐近线性表示接近于Op n 3/4余数率。在讨论余数率最优性的意义上，这个率是近似最优的。例子包括:Massart(1989)、Koltchinskii(1994)和Berthet e t Al.（2006）。Chernozhukov等（2020）将这些结果应用于研究非参数IVQR模型。1-阶跃估计在统计学和计量经济学中有着悠久的传统，始于Fisher、Neyman等人；例如，见Bickel(1975)，这是关于s tudy非光滑M-估计的文献之一，它在一元序统计量的情况下与经典的Bahadur-Kiefer余数率匹配（直到一个对数因子）。据我们所知，本文为具有可能内生回归的一般IVQR估计在Bahadur-Kiefer表示中提供了一个显式的、几乎最优的余数率。可用的显式结果仅限于序统计量(Bahadur，1966；Kiefer，1967)，具有外生回归子的经典QR（例如，Zhou和Portnoy，1996；Knight，2002)，以及具有外生r激励子的非参数级数QR（例如，Belloni等人，2019)。我们证明了Bahadur-Kiefer展开式的可获得性不依赖于估计量的特定结构，而依赖于样本矩的（渐近随机）H"older连续性。我们的结果对K步估计的高阶性质有重要意义（例如，Zhu，2019)，并补充了Robinson(1988)关于基于光滑样本矩条件的估计量的结论。与smo极值估计不同，增加牛顿步可能不会使K步估计收敛到GMM目标函数的精确极小值。然而，我们证明，经过一次牛顿修正后，τn-相合估计几乎等价到OPn3/4（见定理3和4)，这与Andrews(2002a，b)的一步修正光滑估计等价到更高精度的OPn3/2相反。我们的结果对精确估计也有重要意义，精确估计可以使样本矩的一个参数最小化。这样的估计可以使用MIPTechnologies（Chen and Lee，2018；Zhu，2019)，或者在经典QR的情况下，使用精确的LP算法来实现。我们利用耦合结果证明了样本矩的范数是以近似OPN渐近速率在精确估计下计算的，并建立了精确估计的高阶展开式，达到近似OPN 5/4阶（见定理5）。它特别意味着，任何两个精确的极小化子（可能对应于直接范数）几乎是等价的。

这种等价性适用于Chen and Lee(2018)和Zhu(2019)提出的exactestimators，它们分别最小化了π和π∞范数。在相关工作中，Portnoy(2012)利用鞍点近似，基于精确LP公式，为经典QR估计发展了一个近于√n-Gaussian近似。以及其中的参考文献。Bahadur-k ie fer展开式，具有次优（非显式）的OP√n余率可以通过标准VC类参数获得（例如，Chernozhukov和Hanse n,2006,定理3）。Pouliot(2019)基于Chernoz hukov和Hansen(2006)的逆分位数回归es Timators提出了一种我们在4.4节中进一步讨论了这种方法。Ronchetti a nd Sa Bolová(2016)开发了经典QR的dd a ddlepoint推理过程，在仿真中证明了它比现有的方法更精确，他的结果暗示了经典QR估计量存在近O n的偏差。不幸的是，saddlepoint方法不能推广到一般的条件量化估计器，如IVQR，它不允许凸progr公式。与基于精确的QR估计的OP N相比，一般估计的样本矩误差和由此产生的偏差几乎等于OP√N。因此，这种方法不能用于比较DI和o bta的高阶等价结果。此外，虽然鞍点近似便于分析估计的近似密度和偏差的阶数，但它不太适合导出可行的偏差校正过程（参见第2.3-2.4节）。我们采用了一种基于我们的采样与一个连续过程的耦合的di-everent方法，该过程允许几乎最优的剩馀率。该方法使我们能够证明K步估计的高阶改进，并给出了精确IVQR估计的样本矩的改进界。2.3高阶偏差公式给出了精确QR和IVQR估计在正定条件分位数模型中的偏差的一个f ormula。偏置由四个分量组成：（1）最佳采样矩为m不为n零时的偏置；（2）单次观测线性度的协方差与样本矩的偏差；（3）点质量为0的残差的偏置；（4）布居矩条件的典型高阶二次分量的偏置（如Rilstone et al.，1996).为了得到该公式，我们提出了一种新的非光滑微积分论元来计算在估计的pa参数值处估计的不连续样本矩的期望值。特别地，我们利用了这样一个事实，即样本矩在对估计量进行条件化后，允许有方向的Taylorexpansion。这种新的方法可以用来研究基于不连续样本矩和损失函数的其他估计（如删失QR和最大得分估计）的偏差。据我们所知，条件分位数估计的高阶偏差没有完整的刻画，甚至在样本分位数情况下也没有。与现有文献（Lee et al.，2017，2018)所采用的基于Phillips(1991)的广义函数启发式或“捷径”的方法不同，我们的论点是严格的，并导致发现额外的不可忽略的偏差项。我们将在第5节中更详细地讨论他们的工作。研究QR和IVQR模型的高阶性质的一种流行方法，以考虑平滑的估计方程或目标函数（例如，Horowitz，199 8；图1：斜率coe-cient前的偏差（蓝圈）和fter校正（金平方），两者都以n为尺度，n=50。真正的模型是一个具有均匀误差的二元位置模型（第5.3节中的DGP1)。

基于20000次蒙特卡罗模拟，误差带对应于3×Monte Carlo误差。注意，Y轴forDGP3的刻度是di-erent。Kaplan and Sun，2017；费尔南德斯等人，2021年）。这种方法有几个重要的限制。首先，正如我们在本文中所表明的，最优平滑引入的偏差比具有一步校正的精确估计的偏差大（见第5节）。其次，这种方法要求选择平滑带宽，这通常是小样本中的di with cult。这似乎是平滑估计器在实践中没有更受欢迎的一个主要原因。最后，平滑也可能无意中产生多个局部最优值，这使得搜索实际的全局最优值变得复杂。由于这些原因，我们倾向于直接使用或ig inal样本矩条件。2.4可行偏差校正偏差分量(1)，即来自于非零样本矩的最优偏差，和偏分量(3)，即来自于点质量为0的残差的偏差，是由于样本矩的不连续性而出现的。为了克服这一问题，我们提出了一种精确估计量的对称一步校正方法，它是基于(τ，Yi)和(1-τ，-Yi)对应的样本矩的两个牛顿校正的平均值，其中τ是分位数，Yi是结果变量。该校正消除了偏置分量（1）和（3）。其余的分量包括矩函数的雅可比和加权平均导数，它们可以用标准的插件方法估计（例如，Powell，1986；Powell et al.，1989；Angrist et al.，2006；Kato，2012；Hong et al.，2015)。模拟结果表明，对于n=50的样本大小，渐近偏置校正可以消除相当大的样本偏置。图1显示了具有均匀误差的简单二元定位模型中的实际偏差和偏差校正的影响。在偏差校正之前，偏差可以很大，并且在分位数之间变化很大。如果没有解释，这种偏见将导致标准分析推断方法的大小扭曲。经过偏置校正后，剩余偏置的蒙特卡罗误差带对所有量程都为零。我们的一般偏置f ormula对顺序统计量有影响。具体来说，由于orderstatistics可以表示为精确的矩估计量，我们的结果也适用于这种情况。我们证明了我们的渐近偏差公式与在本节中关于均匀分布数据的精确偏差公式匹配，我们介绍了模型，回顾了已有的估计方程估计量的随机展开式的推导方法，并讨论了不连续样本动量在推导高阶结果时的复杂性。3.1该模型考虑了一个具有连续结果变量Y,协变量w的(k×1)向量和仪器z的(k′×1)向量的环境。每一个o次（Yi,Wi,Zi）,i=1,.，n，从分布P中联合提取。我们假定(Yi，Wi，Zi)是iid。将感兴趣的参数θ(τ)∈RKI定义为下列无条件分位数矩限制[(1{Y≤w′θ(τ)}-τ)z]=0,（1）对于一个有限的分位数能级τ∈(0,1）的解。这些矩限制来自线性IVQR模型（Chernozhukov and Hansen，2006，2008)，当W=Z时来自经典QR（Koenker and Bassett，1978)，当W=Z=1时来自无条件分位数。我们参考Chernozhukov and Hanse n(2006，脚注1）的解释，IVQR还嵌套了inAmemiya(1982)，Powell(1983)，Chen and Portnoy(1996)的两阶段分位数Regression(2SQR)模型。

我们的结果不包括基于本地averag etreatment e-ects框架的工具变量方法（例如，Abadie et al.，2002；Fr"olich and Melly，2013；Melly and Wüthrich，2017；Wüthrich，2020)和三角模型（例如，Ma and Koenker，2006；Lee，2007；Imbens and Newey，2009等）。条件分布建模的一种原生方法是基于分布reg ression（Foresi and Peracchi，1995；Chernozhukov et al.，2013；Rothe a nd Wied，2013)；分布回归也可用于估计IVQR模型(Wüthrich，2019)。分布和分位数回归是notKoenker(2005)对经典QR的全面回顾，以及向Chernozhukov和Hansen(2013)和Chernozhukov等人。（2017）对于最近的IVQR的评论，我们将集中在一个有限的分位数级别τ∈(0,1）上，并省略对τ的依赖，除非它会引起混乱。对于无条件的矩限制，我们将使用以下表示法作为θ∈θ,g(θ),E(1{Y≤w′θ}-τ)z的函数。（2）为了抽象最优加权矩阵估计所引起的额外并发症，我们将重点讨论k=k\'的正定情形。我们将保留以下假设，这些假设排除了部分和弱定。假设1（定）。θ是g(θ)=0在θ上的唯一解，其中θ在紧集θ2的内部。在θ，G(θ)处求值的矩函数的Jaco bian是完善的，有完整的秩。假设1是在GMM环境和一般条件分位数模型的文献中普遍强加的高级假设（例如，Chernozhukov和Hansen，2006，2008；Kaido和Wüthrich，2019)；参见Chernozhukov和Hansen(20，06)和Kaido和Wüthrich(2019)关于全球识别的原始条件。正如Chernozhukov和Hansen(2006)所指出的，参数空间θ的紧性“在微观计量经济学应用中不受限制”（第502页）。3.2样本矩不连续引起的并发症考虑近似解g(θ)=0,（3）的任意估计量θ,其中g(θ)是矩条件（1）的样本类似g,g(θ),En(1{Y≤w′θ}-τ)Zforθ。这里，我们使用表示法Enm作为相对于经验测度的期望的捷径，即npni=1mi。我们给出了一般经验过程算符，因此，本文的结果不能直接应用于分布回归离子模型。Gn,√n(en-e),并对样本过程引入了以下快捷表示法:Gn(θ),Gn(1{Y≤w′θ}-τ)Z=√n(g(θ)-g(θ))，θ∈θ。（4）求（3）近似解的标准方法是使g(θ)p最小化，其中·pi是rk上的一个πp范数。当样本矩条件g(θ)为a.s时。此外，在Rilstone等人的基础上，对（3）的精确解和近似解的高阶展开式进行了相应的研究。（1996）和Newey and Smith(2004)（与这些论文不同的是，我们从GMM加权矩阵的估计和估计中产生的额外的高阶偏置项中抽象出来）。人们可以通过下面的重言式来理解标准论元的性质，g(θ){z}(i)=g(θ){z}(ii)+√ngn(θ){z}(iii)+g(θ)-g(θ){z}(iv)+√n(Gn(θ)-Gn(θ)){z}(v)。（5）在标准假设（例如，Rilstone et al.，199 6,假设B和C）下，包括样本矩的Lipschitz连续性和它们的Jacobian的非简并性，以下结果成立：(i)可以任意小，因为（3）允许精确解；(ii)对于正确指定的模型是零；(iii)是Op√n，并且是CLT的渐近nor mal（重新标度后）；(iv)在(θ-θ)中近似线性，误差是Taylor定理在θ处应用于g(θ)的Op n；(v)是A.S.的Op n。

G(θ)的Lipschitz连续性。此外，由于假定JacobianθG(θ)的非简并性，(3)的精确解是唯一的。然而，分位数样本矩条件g(θ)a r e a.s.不连续且不允许雅可比，这引起了三个主要的复杂性：估计方程的精确解的不存在性。即使在适当的条件下(k=k′)，方程（3）在大多数情况下也没有精确解。因此，我们不能假定估计方程的误差是任意小的。这个问题在下面的例子中得到了说明。另见Newey and Smith(2004)中的假设2(b)和2(c)。例1。假设我们对一维的τ-分位数感兴趣，即continuousr.v。相应的估计方程形式为（1{Y≤θ)}-τ)=0。（6）方程（6）只有当τn是一个整数时才能被精确地证明。总的来说，最佳近似解θ可以取[y(τn)中的任意值，例1表明，即使在W=Z=1的最简单情况下，对于τ的大多数值，估计方程也可能有一个被OPn-限定为零的误差。在具有非常回归子W和工具变量Z的一般情况下，即使τn是整数，估计方程中的误差也可能被OPn-限定为零。然而，在第4节的定理5中，我们证明了在一般情况下，与单变量示例1一样，存在一个近似于（3）实现目标函数的近似OPN-VA lue的近似解。这种误差是不可忽略的，它表现在最佳近似解的非唯一性上。在样本动量为非退化雅可比的情况下，利用隐函数定理，估计方程的精确解是唯一的。相反，由于存在指示函数，分位数样本矩条件是不允许雅可比的阶跃函数。Asas结果表明，解集具有不可忽略的直径。即使估计方程允许精确解，也是如此。为了说明这一点，让我们重温示例1。示例2（示例1续）。假设τn是一个整数。进一步证明Y在[0,1]上具有均匀分布。给出了(6)，θ=Y(τn)和θ=Y(τn)+(1-th)(Y(τn+1)-Y(τn))的两个解。这两种方法都将误差的范数精确到0。对于均匀dis-timition，已知的序统计量公式为EY(j)=jn+1，因此s方程的m方程中的diere为E(θ*-θ)=(1-th)n+1。因此，由于θ*≥θa.s，θ*-θ≥Op(n)。这个例子表明dierent解可以具有dierbyop n的随机展开式。第4节中定理4的推论2表明，对于一般条件分位数模型，直接精确估计量的等价性在接近于n-rate的情况下成立。我们用x表示实数x和Y(k)的整数部分作为k阶统计量。参见Ahsanullah e t al。(2013，例8.1).非Lipschitz样本矩。典型地，对于具有光滑样本动量的模型，经验过程Gn(θ)具有概率有界于θ的八个范围内的Lipschitz常数Kn，利用这个性质，对于任何一个与θn一致的估计量θ,kGn(θ)-Gn(θ)k≤knkθ-θk=op√n。（8）这一结果有助于说明Thommolized估计方程的线性逼近的精度估计器√nθ-θ是OP√n。不幸的是，由于pro perty(8)不成立，这种高精度的线性逼近不能用于条件分位数模型（见下面的示例3）。为了研究这种近似的精度，我们利用了分位数矩条件的特殊结构，这种结构类似于经验的CDF。

这种结构在样本分位数估计量的特殊情况下尤为明显，其中样本矩条件可以用经验CDF fy(y)=En1{y≤y}直接表示。当Y均匀分布在[0,1]上时，经验CDF允许由Komlós等人导出的以下强近似。(1975，1976).定理（KMT耦合，定理<26>在Pollard(2002)第252页）。有exi s ts aBrownian桥{b=(y):0≤y≤1}具有连续的样本路径，d是一致经验过程Fn(y),√n(fy(y)-fy(y))，其中p sup0≤y≤1Fn(y)-but(y)≥Cx+log n√n≤Cexp(-x)对于所有x≥0，(9)常数Cand既不依赖于n也不依赖于x。KMT定理表明，即使在一致R.V.的采样方程的情况下，也是不可达的，如下例所示。例3（例1续）。对于均匀Y,对于Y∈[0,1],CDF为FY(Y)=Y。KMT定理引出了下面的A.S.样本矩条件的表示(Cf.Pollard，2002,p.255),Gn(θ)=Fn(θ)=B(θ)-θB(1)+Rn(θ)，(10)其中sup0≤θ≤1Rn(θ)=op log n√n,B(1)是标准的高斯R.V。B(θ),But(θ)+θB(1)是标准的布朗运动过程。它来自于Ko l mogorov-ChentsovSee，例如Rilsto ne et al中的假设C。(1996)s≥2。定理1.7和1.8，Indley(2014)提供了一个特定的常数选择。根据定理1.8，当n≥2时，可以选择C=12和C=2。定理（见附录A.2中的Le mma A.5)，对于任何小的γ>0，B(θ)-B(θ)=op kθ-θk-γ。（11）因此，在随机点θ处求出的经验公式对每个n有以下表示:Gn(θ)-Gn(θ)=op kθ-θk-γ+Rn(θ)-Rn(θ)。（12）这里的余项是一致有界的，因为Rn(θ)-Rn(θ)≤2sup0≤t≤1Rn(t)。因此，对于任意一个πn-consi的10 t估计量θ和任意一个小的γ>0，我们得到Gn(θ)-Gn(θ)=opn1/4-γ。（13）这在θ的随机展开中得到了一个近OPn3/4项，见方程（5）。第4节中的定理1提供了一个适用于g个分位数模型的KMT定理的模拟，推论1表明样本矩可以用H"older连续过程逼近，这样近OPn3/4的余率仍然是有效的。4分位数估计的高阶展开和等价在前一节中，我们说明了简单分位数估计的随机展开背后的关键思想。在这一节中，我们得到了一般条件分位数估计的随机（渐近线性）展开式，并给出了高阶等价定理。4.1样本矩与H"older连续过程的耦合分位数样本矩条件是参数θ的不连续函数，这使导出高阶性质的标准参数无效。正如我们在前一节中在样本定量估计的情况下所看到的，样本矩条件可以用一个布朗桥过程来逼近，该过程具有连续的轨迹，并允许一个强的随机等度连续，我们称之为“Khoh"older连续”，即过程增量的范数期望以增量的非多项式函数为界。在这里，我们将这个一维结果推广到导出分位数样本矩与H"older连续过程的耦合。为了使我们的主要论点更加直观，考虑下面的例子。示例4（带有二元回归子的QR）。考虑一类称为QR模型的外源二元回归或与截距。在这种情况下，工具是回归子ZI=Wi，其中Wi=(W1i，W2i)′∈{(1，0)′，(1，1)′}，矩函数为(1(yi≤W\'iθ}-τ)W1i，(1(yi≤W\'iθ}-τ)W2i。相应的经验过程是以二维al参数θ∈R为指标的，因此KMT定理等标准的单变量耦合结果是不适用的。