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摘要翻译：
在本文中，我们建立了一个方法来优化多年的预期预算。首先，我们提出了一个地方社区财政的系统模型。然后，从两个可接受的多年预期预算中，采用遗传算法生成一个可接受的多年预期预算集合，供决策者选择。该方法在简化实例和实际运行情况下进行了测试，得到了满意的结果。
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英文标题：
《Modeling and Solving Alternative Financial Solutions Seeking》
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作者：
Emmanuel Frenod (LMBA, INRIA Nancy - Grand Est / IECN / LSIIT / IRMA),
  Jean-Philippe Gouigoux (LMBA), Landry Tour\\\'e (LMBA)
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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英文摘要：
  In this paper we build a method to optimize Multi-Year Prospective Budgets. First we present a systemic model of Local Community Finances. Then, from two acceptable Multi-Year Prospective Budgets the method implements a Genetic Algorithm to generate a collection of admissible Multi-Year Prospective Budgets among which Decision-Makers can choose. The method is tested on simplified cases and on in operational situation and gives satisfactory results.
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PDF下载：
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关键词：解决方案 Quantitative Applications prospective QUANTITATIV

建模和解决替代金融解决方案参见Emmanuel Fr Enodjean-Philippe Gouigouxand Landry Tour\'e摘要-在本文中，我们对当地社区福利的工作进行建模。作为这一步骤的结果，我们得到了一个系统的模型，用于形式化寻找替代财务解决方案的问题，该问题包括由一个财务专家从两个多年预期预算中建立一个替代多年预期预算的集合。建模和形式化步骤以允许我们实现基于类似遗传算法的替代金融解决方案的软件代码的方式引导。关键词-金融建模；当地社区；系统建模；优化；遗传算法。Universith\'e de Bretagne-Sud，UMR 6205，LMBA，F-56000 Vannes，FranceMGDIS，Parc d\'Innovation de Bretagne Sud，F-56038 Vannes，France1对当地社区的介绍，具有重大影响的政治决策需要严格和详细的研究。这些研究的目的是为决策者提供对未来形势的预测和预测，为响应政治目标的各种项目序列以及各种应对方法。处理这些预测和预测对专家来说是一项微妙的任务。事实上，一方面，限制当地社区项目的因素主要是法律、财产管理规则和公众舆论。另一方面，当地社区决策者看待这些限制的方式也是不同的。当地社区经常呼吁专家来取得正确的平衡。实际上，专家与当地社区的决策者直接合作，以便考虑到当地社区每个项目的所有目标和知觉限制。它的工作包括制定规划（预期预算），这些规划在某种意义上是优化的，符合当地社区的投资能力，当然也符合决策者的政治目标。对于每一个预期预算，都给出了与未来几年当地社区的预期健康相关的各种指标的状态。在此基础上，提出了部分满足政治目标的可行方案，其中，在理想情况下，决策者可以做出选择。不幸的是，在大量的非理想情况下，约束和目标不能一起满足。在这些情况下，为了开始一个新的工作过程迭代，政治目标的演变和约束感知中的一组可行的场景。现有的用于这种迭代工作过程的工具有些有限。本文的目标是制定一种新的工具，在我们现在将描述的特定情况下帮助弥补这一差距。当地社区通常需要在几年的时间内了解其预算，并与政治授权的特征期限相联系。现行立法一般规定的主要严格约束是收入与支出之间的直接关系不能为负数。这就是平衡预算规则。在大多数国家，这种平衡预算被分成不一定平衡的次级预算。然而，每一项支出或收据显然都属于一个独特的分预算。例如，法国地方社区将他们的预算分成投资预算和运营预算。来自经营预算的正贷方余额可以转入投资预算。

我们的工作加入了法国的地方社区管理模式，但我们提出的问题和工具显然更一般化。为了解释我们建立的工具的目标，我们将自己限制在一个预期预算建筑的特殊情况下，在政治目标中，两个目标是要达到的。随着软件环境的普及，未来的预算可能会随着目标的实现而实现。特别是，对第二个目标所涉及的因素的后果可能是全面的。当然，交换两个目标的作用也可以做到这一点。不过，一般说来，这两个目标都不可能实现，因为制约因素太多。从图式上看，可以说，有可能提出两个预期预算和S，其中ATISIS实现了目标，这是由指标vreacts ataradrated valuef这一事实所象征的。预期预算SSATIS包含了第二个目标，它由目标价值v=fvv转换。在预期预算S中，V6=FVBUT是由考虑约束条件的预算建立过程决定的，在某种程度上，该过程是优化的。以类似的方式，在预期预算S中，v6=fv。手头有了这些预期预算，下一步就包括找出几个替代预算，这些预算是VnorfVby V所达到的，但仍然满足约束条件，并且更令人满意。当这个过程由专家执行时，这些替代的预期预算的构建在让目标值演变后又使用了一次工具，由于它的知识和与决策者的互动。然而，本文所描述的新工具的目标是自动生成一个可供选择的预期预算集合，并以可操作的方式引入这些集合，以便决策者能够选择以最佳方式实现其目标的一个新工具。为了创建这样一个新工具，我们将可供选择的预期预算的编制问题形式化为在多维空间中编制一个形状，该形状对应于给定的确定性函数的极值。然后我们发现解决这个形状的最佳方法是遗传算法。事实上，遗传算法具有对给定领域进行开发的能力，而且遗传算法的结果本质上是一组优化了确定性函数的解。关于遗传算法的研究，我们参考了Goldberg[10]，Beasley，Bull&Martin[3,4]和Davis[6]。尽管如此，我们在这里提出的算法还是有创新的方面。一个是在有界的方框中寻找最优对象，另一个创新的方面是在相对高维的空间中寻找最优对象的参数不是单点而是一个形状。遗传算法用于形状优化是经典的，在这方面有许多参考文献。例如韦勒弗、德容[7]和卡斯特罗、安特奥尼奥和索萨[5]。我们还参考了一些实现遗传算法变体的文献，即所谓的粒子群优化（例如Mattheck和Burkhardt[13]和Fourie和Groenwold[9])和Fuzzy ControlledGenetic算法（例如Soh和Yang[17])，它们都用于结构优化。但是，在所有这些文献中，遗传算法都被用来驱动软件代码参数的连续设置，以便找出最优解。与我们所做的相反，这种方法没有使用遗传算法直接在空间中构建形状的能力。一旦确定遗传算法是解决我们问题的相关工具，就需要将其形式化，以便能够使用遗传算法。

然而，关于它们的文献在金融优化的上下文中是丰富的（我们引用toChen[16])。此外，市场预测模型在市场预测领域非常活跃（见Goodman&Stamp Deli[11]，Ilinski[12]和Fama[8])。然而，在公共部门的应用效率低得多（见Musgrave[14]和Rosen[15])。最后，本地社区的数学建模似乎很差(seeTiebout[18])。因此，一方面，我们不得不开发一个本地社区规划系统的模型。另一方面，我们开发了一个适当的形式主义（调用本地社区规划系统的模型）来开发我们的遗传算法。我们现在总结这种形式主义。可以认为，任何给定的预期预算都是由Vand v这两个值唯一表征的。换句话说，指标Vand vs成为预期预算所依赖的变量。为了简化这一目的，我们假定Vand都是n维的，从而可以假定(V，V)∈R2n。与Vand Vwrites S（V,V）值相关联的预期预算。当然，对于变量的某些值，例如(Vf，Vf)，预期预算S(Vf，Vf)不满足约束条件。然后，约束可以被看作是对空间R2nin的一个子域的修改，该子域中的变量是可变的。在此框架内，上述预期预算写入S(fV，Vc)，其中VCI由软件环境计算。该方法在R2N-变量所在的空间中，探索包含与现有预算相关的两点(fV，Vc)和(Vc，fV)的abox的交集，以及约束被满足的子域的交集，以识别连接(fV，Vc)和(Vc，fV)的形状，在该形状附近，预期预算很好地确定决策制定者正在等待的，在某种意义上是优化的并满足约束。该方框是通过在R2n中考虑（fV,Vc）和（Vc,fV）的中点，并在该点中建立正交框架，该正交框架的第一个向量是向量的归一化----向量的归一化----连接（fV,Vc）到（Vc,fV）。框架的其他向量用Gram-Schmidt例程的平均值表示，该方法包括构造一个综合决策者政治目标的确定性函数F。我们还必须建立预算满足约束的子域。我们设计了一个方法来对所考虑的方框中的变量进行编码。除其他外，这个代码调用了Gram-Schmidt例程的一个子产品。然后，我们实现了一个类遗传算法，它包括生成一个N个值（Vl,Vl)l=1,...,N的集合，这些值都在方框内并满足约束条件。对于每一个值，可以计算出预期预算S(Vl，Vl)和它的适度性F(S(Vl，Vl))=F(Vl，Vl)。通过交叉、变异和约束管理方法，通常与遗传算法相结合，生成一个新的集合(Vl，Vl)L=1,...,N（位于盒子中并满足约束）。进一步得到kthgeneration(Vlk，Vlk)L=1，...，N，它可能接近于框和约束被充分利用的子域的交点中所寻求的形状。这种使用类遗传算法的方式似乎是新的。本文的主要贡献是建立了本地社区基金系统和替代金融解决方案寻求问题的模型，这在第2节中已经完成，并在一种形式下将这些模型形式化--刚刚唤起允许使用类遗传算法。

这种正规化和写作的经营开支，经营食谱，经营预算，超额利息支付，毛额，自筹资金能力，净自筹资金能力，资本偿还，投资水平，贷款，流动债务，资本仍然到期的能力，以无债务明年。图1：法国地方社区年度预算系统的工作。算法本身在第3节给出。最后对该方法进行了验证，特别是对一个实际问题进行了验证，取得了较好的结果。对我们的方法的这种能力的展示也是一个重要的贡献。2对寻找问题的替代财务解决方案的描述本节致力于描述我们用我们的方法和工具处理的那种财务问题。我们首先从系统的角度介绍法国当地社区的年度预算工作。然后，我们解释了seekingalternative多年预期预算的问题。这是在3.2.1节地方社区年度预算系统的工作中完成的。图1描述了法国地方社区年度预算的工作原理图。为了解释这一工作，我们采用了一种系统的观点，允许我们对我们所说的年度预算系统进行全局和宏观的描述，而不涉及技术或语义细节：年度预算系统。对于对法国地方社区投资系统感兴趣的读者，我们参考[2]和[1]。在对地方社区运营预算有贡献的收入中，基本上有年度预算系统税收当前债务能力不包括债务投资水平。图2：综合年度预算系统国家分配和地方“税收”。地方社区不能确定国家的税收分配水平，但地方税收水平的设置是其自身能力的一部分。因此，我们认为税收是年度预算系统的一项投入。它们位于图1的右上角。该系统的其他输入与“流动债务”联系在一起。它们是：与这笔到期债务相关的资本，今年需要偿还的资本和必须支付的利息。该等金额乃按往年之贷款合约计算。这些输入被放置在figure的左侧。当然，localcommunity不能对这些输入有直接的ECT，而是在未来几年通过承包或不提供新的贷款来影响它们的价值。一般来说，一个地方社区计划获得运营食谱，使其能够面对所有的运营支出和债务利息，一旦这些支出实现，剩余的金额可以用于投资。这一剩余数额称为“自筹资金能力毛额”。这种“总的自筹资金能力”被用来偿还需要的资本。其余部分称为“净自筹资金能力”，用于投资预算，目的是增加补助金和贷款，以达到社区需要的投资水平。这个系统产生一个平衡的预算，在预算的底部，提到了“无债务能力”。该指标是根据剩余到期资本和总的自我融资能力计算的。根据确认，如果没有签订其他贷款合同，并且如果在未来几年中总的自融资能力保持不变，则该社区偿还其所有债务资本的时间（通常以年表示）。这个指标在这里被视为系统的输出。一个普遍接受的最大免除债务的能力是15年，年度预算系统在图2中作为一个综合图呈现。

这张图说明了当前的债务，税收和投资水平被视为作用于年#1年#2年#3…贷款贷款贷款年度预算系统税收当前债务能力无债务投资水平年度预算系统税收当前债务能力无债务投资水平年度预算系统税收当前债务能力无债务投资水平年度预算系统税收当前债务能力无债务投资水平I T1 C1(S(I，T1，T2，T3，…))C3(S(I，T1，T2，T3，…))C2(S(I，T1，T2，T3，…))T2 T3 I ifigure3:多年预期预算系统运行。年度预算系统。由于流动债务不能直接计算，只有税收和投资水平被认为是系统的积极投入。考虑到这种makesTaxes和投资水平，年度预算所依赖的变量和使无债务能力成为年度预算的结果，或者换句话说，是系统的产出。在《汇编》中，只有三年(#1、#2和#3)；“..2.2多年期预期预算体系从年度预算体系中，可以建立多年期预算。由于这些类型的多年预算是为了在几个假设下探索可能的未来，所以我们将它们称为多年预期预算。这种多年期预期预算的运作情况见图3。在这张图的左手边画的是当年的预算系统。这个图是一个合成图，箭头来自当前债务框、税收框和投资水平框，箭头指向无债务能力框。在本年度收缩的贷款会对下一年度的债务产生影响。这象征着从第一年的预算系统到第二年的当前债务框的箭头。总之，沿着箭头，可以创建一个任意年数的多年期预期预算系统。为了更正式一点，投资导致一组项目的实现，这些项目属于希望进行的所有项目的列表。然后，InvestmentLevel可以用一系列数字来描述，其中最主要的是项目的数量。每个数字表明其相关项目是否会实现，如果是，则可能表明它离目标日期有多近或多远。因此，在未来预算是在未来几年中考虑的情况下，如果考虑了未来项目，每个可能的多年未来预算取决于十个值(I，I，I，I，I，I，T，T，T，T)=((Ii)I=1，...，5，(Ti)I=1，...，5)；编号(Ii)i=1,...,5提供项目实现的信息，然后说明投资水平，并列出税额:(Ii)i=1,...,5,每年一个。当然，变量存在结构性约束：Ticannot是负数。与投资水平和税收水平的给定值((i、i、i、i、i、t、t、t、t、t)=(((i)i=1,...,5,(\'ti)i=1,...,5）相对应的预期预算被视为解决方案S((i、i、i、i、i、t、t)=S((((i)i=1,...,5,((i)i=1,...,5,((i)i=1,...,5))。通过映射，将免除债务的充分能力视为与预期预算相关联的映像。它们是:(Ck(S(i,i,i,i,i,t,t,t,t,t））k=1,...,5=(Ck(S(i)i=1,...,5,(ti)i=1,...,5）k=1,..............................................................................................................................

当然了,这些预算也只是部分令人满意，但在产生的预期预算集合中，一个可以优先于其他，然后在其中选择。我们研究了一个例子，但是下面所解释的对任何年份和项目都是正确的。在一个保持示意图的例子中，我们在这里考虑一个政治目标是一个给定的集合（eI,eI,eI,eI,eI,eI,eI,eI,eI,eC,eC,eC,eC,eC）=((eI)i=1,...,5,（eCi）i=1,...,5）目标投资水平的目标是无债务能力，将决策者计划实现的项目和他们希望达到的财务理智水平转化为财务术语。此外，政治目标由一种税收演进模式提供，它表达了决策者什么时候接受增税，什么时候他们更喜欢税收水平的稳定。在适当编程的软件环境的帮助下，可以计算未来预算S((eIi)i=1，...，5，(eTi)i=1，...，5)，其每年的预算是平衡的，满足了所要求的政治目标，即Ck(S((eIi)i=1，...，5，(eTi)i=1，...，5))=ECKfor k=1，...，5。然而，这种观点太天真了，因为政治目标((eIi)i=1，...，5，(eCi)i=1，...，5)通常要求税收水平不符合法规，或者根本不被决策者接受。决策者在公共政策专家的协助下的工作包括降低政治目标((eIi)i=1，...，5)，...,5,(eCi)i=1,...,5）以可接受的税收水平达到。这是在软件环境的帮助下完成的。例如，SOFI软件，编辑byMGDIS，在考虑两个问题时提供了这个问题的解决方案。这些问题包括，从某种意义上说，在颠倒2.2小节和图3中提出的例程时，这两个小节描述了如何从选择的税收和投资水平中获得无债务能力。如图4所示，包括将目标投资水平(ei)i=1,...,5作为投入，在对税收水平设置限制后，在计算一个多年…贷款贷款年#1年#2年#3贷款年度预算系统税收当前债务能力无债务投资水平年度预算系统税收当前债务能力无债务投资水平年度预算系统税收当前债务能力无债务投资水平C1 T3 T2 I I I I~C2 C3~T1输入图4：考虑投资水平作为投入，税收水平和无债务能力作为产出而计算的多年预期预算。预期预算S((eIi)i=1，...，5，(Tci)i=1，...，5)，使得对于k=1，...5，无债务能力Ck(S((eIi)i=1，...，5，(Tci)i=1，...，5))尽可能接近（在给定的意义上）目标，税收水平(Tci)i=1，...，5满足约束条件，并且每年的预算是平衡的。在图4中，再次使用图3的图；从InvestmentLevel框（投资水平表示为投入）到税收和无债务能力框的箭头说明税收和无债务能力是从选择的投资水平计算出来的。

（为了便于阅读，从投资水平框到无债务能力框的一些箭头没有画出来。）http://www.mgdis.fr/…贷款贷款年度#1年#2年#3输入贷款年度预算系统税收当前债务能力无债务投资水平年度预算系统税收当前债务能力无债务投资水平年度预算系统税收当前债务能力无债务投资水平C1 T3 T2 I I I I I I C2 C3~t1图5：以无债务能力作为投入，税收水平和投资水平作为产出来计算的多年预期预算。我们考虑的第二个问题如图5所示，以目标无债务能力(eCk)k=1，...，5，(eTi)i=1，...，5)作为投入，计算多年预期预算S((Ici)i=1，...，5，(eTi)i=1，...，5)满足对税收水平的限制，Ck(S((Ici)i=1，...，5，(eTi)i=1，...，5)=eckfor k=1，...，5和投资水平(Ici)i=1，...，5和尽可能接近目标的领域(eIi)i=1，...，5。在图5中，再次使用了图3的内容。然而，在这种情况下，无债务的能力被指示为输入。从它们到投资水平（它们并不都是为了可读性而绘制的）和税收的箭头象征着投资和税收是所选择的摆脱债务水平的能力的后果。一旦这两个解决方案被提出，决策者可以对它们进行评估，其中包括税收演变模式。在决策者和专家进行了初步和政治讨论后，通过修改政治目标((eIi)i=1，...，5，(eCi)i=1，...，5)中的值，可以建立其他多年期预期预算。这一代可供选择的财务解决方案或可供选择的多年期预期预算可能是挑剔和漫长的。因此，只能生成很小的数字。我们在这里提出的方法和工具的主题是自动化这一代替代财务解决方案或替代多年期预期预算，并提出一个相对广泛的数目，提供了它们的质量指标，以便决策者能够在它们之间做出选择。粗略地说，我们可以认为预期预算S((eIi)i=1，...，5，(Tci)i=1，...，5))和S((Ici)i=1，...，5，eTi)i=1，...，5))与10维空间中的两个点相关联，可能的替代财务解决方案或替代多年期预期预算聚集在连接这两个点的几何对象周围，需要寻找和发现。3类遗传算法基于我们在上一节所述的模型，我们可以实现类遗传算法。虽然这种使用遗传算法的方法在优化的背景下并不新鲜，但这里提出的算法有创新的方面，正如导言（见第3页）所解释的那样。其中，我们寻找一个最优对象是一个有界盒的事实。另一个创新的方面是，我们寻找的最佳不是作为asingle点，而是作为一个形状在一个相对高维的空间。为此，我们大力利用遗传算法的结果是一组位于该形状上的解的事实。当年数和项目数都是理想的时，我们继续处理这种情况。3.1无量纲问题的解决为了管理无量纲和一阶的变量和结果，我们对问题进行了整理。为此，我们引入了特征投资水平描述值i、特征无债务能力c和特征税收水平。

例如，chosei=ei+ei+ei+ei+ic+ic+ic+ic+ic+ic+ic+ic=xi=1ei+Ici,t=et+et+et+tc+tc+tc+tc=xi=1eTi+Tci,c=xk=1Ck(S(ei)i=1,..,5,(Tci)i=1,..,5))+Ck(S(Ici)i=1,..,5,，(eTi)i=1,..,5,，(eTi)i=1,..,5))，(1)是我们手头上两个预期预算所达到的值的平均值。然后我们对无量纲变量进行了求取，结果是:sii=iIi,Ti=titand(2)Ck(S((Ii)i=1,...,5,(Ti)i=1,...,5))=Ck(S((Ii)i=1,...,5,(tTi)i=1,...,5))c。（3）在这些变量上存在有机约束:CK(S((Ii)i=1,...,5,(Ti)i=1,...,5))≥0，对于k=1,..,5,(4)，这意味着无债务能力是一个持续时间。还有与法律规则、各种条例和政治上允许的东西有关的约束。这些约束如下:ti≤Tmaxi(T，..，ti-1)，对于i=1，...，5，(5)Ck(S((Ii)i=1，...，5，(Ci)i=1，...，5))≤Cmax，对于k=1，...，5。（6）当这些约束以无量纲变量表示时，涉及最大值Cmaxand(Tmaxi)i=1,...,5，它基本上不依赖于有关当地社区的大小。不等式（6）表达了这样一个事实，即在每年，不受共同规则限制的能力。Tmaxiin(5)取决于前几年的税收水平，两者都是由限制税收演变的法律规定的，也是由社区决策者规定的。备注--知道每个多年未来预算的每个年度预算都需要平衡的事实是否必须进入约束征收的问题可能会得到解决。答案是，我们的工作假设是，任何多年的预期预算，例如，使用SOFI计算，从任何变量集合((Ii)i=1,...,5,（Ti）i=1,...,5）产生贷款，从而产生无债务能力setCk（S（Ii）i=1,...,5,（Ti）i=1,...,5））确保其所有年度预算的平衡特性。在无量纲变量内，无量纲的政治目标和其他数量表示为eIi=EIII、ECI=ECIC、Ici=Ici、CCI=CCII，(7)和我们手头有两个无量纲的预期预算S((eIi)i=1，...，5，(Tci)i=1，...，5))和((Ici)i=1，...，5))，它们与10维空间中的两点相关，位于离起源不远的地方。3.2适应度选择在可能进入确定性的标准中，它们是目标价值和税收演变模式。我们首先解释在无量纲变量中定义税收演变模式的模型是多么容易。在年数为5的情况下，它是5个非负值(Ak)k=1，...，5的集合，这样xk=1Ak=1，(8)，并且在期望的年数k和年数(k+1)之间的税收水平稳定的情况下，它具有Ak=Ak+1的性质，在计划增加的情况下，它具有Ak<Ak+1的性质。然后，一种衡量多年预期预算与税收演变模式有多远的方法S((Ii)i=1,...,5,(Ti)i=1,..,5,(Ti)i=1,...,5,(Ti)i=1,...,5))=φtxk=1tkpi=1ti-ak！，(9)其中φ是一个非递增函数，使得φt(0)=1和limx→+∞φt(x)=0。

在这方面，除法bypi=1ti，使我们能够确保这些值与AKR的范围在0和1之间。衡量多年预期预算离政治目标有多远的方法是ofFI((Ii)i=1，...，5)=φirxk=1ik-eik！和fc((Ii)i=1，...，5，(Ti)i=1,...,5))=φcxk=1 ck(S((Ii)i=1,...,5,（Ti）i=1，...，5))-eck！，（10）其中，φi，φchave类似于φt，用这三个函数FT,FIand FC，对三个非负常数γT进行修正，γI、γC，和离1不太远的，我们选择以下适应度函数f((Ii)i=1,...,5,(Ti)i=1,...,5)=γTFT((Ii)i=1,...,5,(Ti)i=1,...,5)+γIFi(Ii)i=1,...,5)+γCFC((Ii)i=1,...,5,（Ti）i=1，...，5)，（11）且最大F((Ii)i=1,...,5,（Ti）i=1,...,5））最佳解S((Ii)i=1,...,5,（Ti）i=1,...,5））.利用我们所建立的材料，我们可以重新表述寻求替代金融解决方案的问题如下：我们想展示一个N个点((ILI&)i=1,..,5,(TLI&)i=1,..,5）的集合，这样S((ILI&)i=1,..,5,(TLI&)i=1,...,5）满足约束(5)，(4)和(6)，并用Fitnessworth F((ILI&)i=1,...,5,(TLI&)i=1,...,5）尽可能大。3.3在10维向量空间中用Gram-Schmidt例程构建框架，对于两个向量5）,(Di)i=1,...,5））和W=((Ji)i=1,...,5）,(Di)i=1,...,5）,以下内积和范数自然存在:hw,Wi=xi=1jiji+DiDiand kWk=phw,Wi。（12）此外，给出了它的正则基础.，e=((0，0，0，0，0)，(0，0，0，0，1))(13)一方面，从点((ei)i=1，...，5，(Tci)i=1，...，5)和((Ici)i=1，...，5，(eTi)i=1，...，5)，我们可以通过将连接这两个点的向量归一化来建立帧的firerrst向量。这个向量是:g=gk gk，其中g=(ei-ici)i=1，...，5，(tci-eti)i=1，...，5)。（14）另一方面，我们寻找指数IB，使gby内积的绝对值eibis尽可能大，即athg,eibi=maxi=1,...,10{hg,eii}。（15）然后通过归纳法建立基础：一旦得到j个正交向量，通过从e(ib+jmod10)中移除它在已计算的新基的每个向量上的投影，并通过重整化得到(j+1),或者换句话说，通过计算gj+1=gj+1k gj+1k,其中GJ+1=Eη(Ib+J)-JXP=1Heη(Ib+J)，gpigp，（16）其中η(i)=i，如果1≤i≤10，η(i)=i-10，如果10≤i≤20。一旦获得所有(gj)j=1，...，10，它们就建立了向量空间的一个正交基，该向量空间的第一个向量是由连接与我们手头的两个无量纲预期预算相关的两点的直线生成的。借助这个基础，设B为10×10矩阵，如果W=((Ji)i=1,...,5,(Di)i=1,..,5）是规范框架中的向量Eu=(U,...,U)=BW，(17)给出它在框架(gj)i=1,..,10内的坐标。B的ithcolumn由新框架内的Eii坐标构成，B-1=BTis的ithcolumn由规范框架内的Gii坐标构成。