销售两种互补商品

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

摘要翻译：
一个卖家正在向一个代理商出售一对可分割的互补商品。代理人只按一定比例消费货物，并自由处置任何一种货物中的超额部分。包的值和比率是代理的私有信息。在这个二维型空间模型中，我们刻画了激励约束，证明了对于一类分布，最优（期望收益最大化）机制是一个比率依赖的公布价格机制；也就是说，它对每个比率报告都有不同的张贴价格。我们确定了联合分配的附加充分条件，使一个公布价格是一个最优机制。我们还证明了当价值类型和比率类型独立分布时，最优机制是一个张贴价格机制。
---
英文标题：
《Selling two complementary goods》
---
作者：
Komal Malik, Kolagani Paramahamsa
---
最新提交年份：
2021
---
分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
--

---
英文摘要：
  A seller is selling a pair of divisible complementary goods to an agent. The agent consumes the goods only in a certain ratio and freely disposes of excess in either of the goods. The value of the bundle and the ratio are private information of the agent. In this two-dimensional type space model, we characterize the incentive constraints and show that the optimal (expected revenue-maximizing) mechanism is a ratio-dependent posted price mechanism for a class of distributions; that is, it has a different posted price for each ratio report. We identify additional sufficient conditions on the joint distribution for a posted price to be an optimal mechanism. We also show that the optimal mechanism is a posted price mechanism when the value and the ratio types are independently distributed.
---
PDF下载：
--> English_Paper.pdf (523.1 KB)

2022-4-20 21:25:49 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：distribution Contribution Theoretical Constraints Dimensional

销售两种互补商品*Komal Malik和Kolagani Paramahamsa}2022年3月16日Abstracta卖家正在向代理商销售一对可分割的互补商品。代理人只按特定比例消费商品，并自由处置这些商品中的多余部分。包的值和比率是代理的私有信息。在这个二维型空间模型中，我们刻画了激励约束，并证明了最优（期望收益最大化）机制是一个比率依赖的张贴价格机制或一类分布的张贴价格机制。JEL代码:D82、D40、D42关键词：最优机制、互补商品、多维私人信息、定价机制。*感谢主管Debasis Mishra的详细意见和建议。我们还感谢阿尔宾·埃尔兰森、赫曼特·米什拉、阿鲁纳瓦·森、萨利勒·夏尔马、斯瓦蒂·夏尔马的有益评论。新德里印度统计研究所科马尔·马利克，电子邮件:komal.malik18@gmail.com；新德里印度统计研究所KolaganiParamahamsa,电子邮件:kolagani.paramahamsa@gmail.comi1 introductionComplemental商品通常捆绑在一起，并根据不同买家的偏好定价。例如，硬件和软件通常是一起定价的（个人电脑和软件或图形卡，游戏机和游戏）。产品配备完善的配套服务质量，以满足消费者的需求（健身器材带订阅服务，汽车带保险）。其他例子包括一种需要以特定比例投入才能生产出一种商品（炼焦煤和铁与生产钢的比例）的产品；也就是说，firegrm有一个Leontief生产函数。在所有这些情况下，包的消耗值和消耗比对代理是特定的。拥有补充性商品的垄断销售者向这样一个代理人出售商品；在这种情况下，什么是收益最大化的最优定价？我们把这个问题作为一个机制设计问题来分析。代理人的支付是由一个价值，所需的比率和她消耗的束的数量决定的。该价值被解释为消费一个单位的一种主要商品和一种次要商品所需的比例。这两个单位价值从消费的捆绑商品和比率本身是私人信息的代理人。虽然一维定价问题承认公布价格是最优的(Myerson(1981)；Riley和Zeckhauser(1983))，但多维定价问题往往导致实现随机机制的狂热。我们的论文的动机是在这个多维机制设计解决方案中找到简单的最佳机制。对于每个报告，一个机制分配货物的数量，并由代理支付给bemade。由于启示性原则，我们在不失一般性的情况下，将重点放在激励相容的直接机制上。代理可能会误报bothon值和比率维度。在多维机制设计问题中处理激励约束是diècult(Manelli and Vincent，2007；Carroll，2017)。我们给出了一个自然的二维机制设计模型，证明了一类简单的非浪费机制在一定条件下是最优的，并且证明了一个张贴价格机制或一个比率依赖的张贴价格机制是最优的。前者是一种机制，在这种机制中，卖方以一定的价格以期望的比例将一种货物的一个单位和另一种货物的一个单位分开。在后一种机制中，每种类型都得到与前一种机制相同的捆绑包，但价格取决于报告的比例。

我们发现，关注任何类型的分配都是期望比例的机制不会失去一般性；也就是说，代理人在如实报告后，不处置该机制分配的任何一种货物。这一结果允许我们使用Myersonian技术。然后，我们刻画了激励相容机制，并给出了卖方对简单的非浪费机制是最优的类型空间信念的最优条件。我们在问题的参数之上充分地描述了这些机制。由该类型的联合分布的虚拟估价导出的描述最优机制的价格函数。1.1相关文献如Armstrong(1996)；Rochet和Chone(1998)，Mcafee和Mcmillan(1988)用可分商品分析标准多维模型；Manelli和Vincent(2006)amongothers分析了商品不可分割的问题。对于许多分布（Hart andReny(2015)；Thanassoulis(2004))，在商品不可分割的情况下，最优机制是随机的（即对象的分配是随机的）。马内利和文森特（2006年）；德瓦努尔等人。（2020年）；Bikhchandani和Mishra(2022)是发现确定性机制最优条件（关于类型分布）的论文之一。我们的模型考虑了可分的互补商品和条件，在此条件下，其中一种商品被分配到该商品的最大可用数量。这种最大数量分配被解释为标准不可分割商品模型中的确定性机制（见Pavlov(2011))，Devanur等人。（2020）考虑一个模型，其中一件商品有多个待售副本。代理人得到一个恒定的边际“价值”，直到货物的“数量”，并且没有超出期望数量的附加价值。价值和数量是代理人的私有信息。他们收集确定性机制是最优的条件，并关注问题的计算复杂性。我们的论文从他们的论文中分离出一对具有私人已知消费比的异质商品，而他们考虑的是具有私人已知需求的同质商品。在证明了我们的非浪费性结果后，这两个优化练习是相似的，它们使用效用方法来说明在某些条件下存在确定性机制，而我们使用迈尔森方法来描述在特定条件下的最优机制。虽然我们的条件比他们的强，但我们充分描述了最优机制，包括支付。菲亚特等人。（2016）的模型对单个对象具有二维私有类型。Onedimension表示“价值”，它在“截止日期”之前保持不变，在截止日期之后降为零。本文描述了最优机制，而不仅仅关注确定性机制。在他们的模型中，代理人的效用在截止日期之后急剧变化，而在我们的模型中（以及在Devanur et al.(2020)的模型中），效用是一个不分配的连续函数。2模型中垄断销售者向代理人出售一对可分割的商品。卖方对这两种货物各有一个单位，用好和好表示，对它们没有价值。agent的Aconsumption bundle是一个元组（a,a,t）,其中a,a∈[0,1]分别是商品和商品的分配量，t∈R是转移-agent所付出的量。类型为（v,k）的agent从结果（a,a,t）得到的效用由U(v,k)(a,a,t):=v minnak,ao-t给出。agent将商品视为完全互补；即任意两个分配（a,a）和（a,a）具有min{ak,a}=min{ak,a}是Payo等价的，其中k∈k(0,1]是商品数量和代理人所要求的商品数量的总和。利用这种Leontief效用函数来建立互补商品模型是文献中的标准(Telser，1979)。

然后Theagent使用标准的拟线性效用函数来比较suchbundles和支付的组合。这是由从v[0,1]中提取的单位值v所捕获的。值得注意的是，在给定分配和支付的情况下，效用是比率的连续函数。假设一个个人计算机市场上的购买者需要x单位的CPU和Y单位的GPU来处理一个应用程序，她对这个包的支付意愿是v。买家愿意为xUnited CPU和yUnited GPU的组合付费，因为GPU单元中的额外分配没有使用（因为特定的应用程序要求CPU与GPU的比率为x：y）。另一个购买者（例如，一个游戏玩家）可能有一个di white erentvalue并要求比x：y低的比率。在这些市场中，迎合具有间接偏好（消费比率和支付意愿）的购买者的间接定价捆绑是司空见惯的。在我们的模型中，v和k都是agent的私有信息，因此agent具有“类型”（v,k)∈v×k。Goods是主善，而Goods是它的补善，它的消耗量总是比前者小，如k∈(0,1]。我们假定随机变量v，k服从一个严格正密度函数G的联合分布函数G。我们用gv、GK分别表示V、K的边缘密度函数。3最优机械师分配函数f:v×k→[0,1]和支付函数p:v×k→R是直接机制（f,p）。对于任何分配函数f，我们使用下标符号fandfto分别表示与good和good对应的分配。标准揭示原理论证意味着我们可以在不丧失一般性的情况下集中于激励可控的直接机制。定义1如果所有（v,k）,（v,k)∈v×k,U(v,k)(f(v,k),p(v,k))≥U(v,k)(f(v,k),p(v,k))IC条件确保代理人有动力如实报告他的类型--值和比率--一个机制（f,p）是激励相容的(IC)。我们还施加了一个参与约束；也就是说，从参与mechanism.notation开始，每个类型的代理的效用至少为零。定义2一个机制（f,p）是单独有理的，如果所有（v,k)∈v×k，U(v,k)(f(v,k)，p(v,k))≥0.3.1个简单机制。在我们的主要结果之前，我们描述了两个简单机制，并证明了它们是独立有理的。这些机制很容易描述，因为初级商品是完全分配的，或者根本没有定位，而补充品是按期望的比例分配的。在随后的章节中，我们证明了这些简单机制在某些条件下是最优的。vkρ*(f(v),k）,p(v)，(k))=(0,0,0)(f(v)，k）,p(v)，(k))=(1，k,P*)(f(v),k）,p(v，k))=(k,1,ρ~*)图1：张贴价格evk'A(k)(f(v，k),p(v，k))=(0,0,0)(f(v，k),p(v，k))=(k,1,ρ))图2：比率依赖的张贴价格定义3一个机制（f,p）是张贴价格机制，如果存在一个ρ~*∈[0,1]，这样（f（v,k）,p（v,k))=((0,0,0)，如果v≤ρ~*(k,1,ρ~*)。在张贴价格机制中，存在一个价格ρ~*，这样所有低于ρ~*的类型都得不到好处，什么也不付出。A型(v，定义4一个机制（f,p）是与比率相关的价格机制，如果存在函数ψ:k→v，使得对于所有k>k，ψ(k)≤ψ(k),kkψ(k)≤ψ(k),而（f（v,k）,p（v,k))=((0,0,0)),如果v≤ψ(k)(k,1,ψ(k))。例如，ψ(k)=(k+2)k+1满足了与比率相关的价格机制的条件，而这不是一个价格机制。

通过对所有k设置ρ(k)=ρ，观察到张贴价格机制是比率依赖的张贴价格机制的一个特例。我们的下一个命题表明，比率依赖的公布价格机制是IC和IR。因此，这也证明了所公布的价格机制是IC和IR。虽然公布价格机制在菜单中有一个唯一的价格，但依赖于比率的公布价格机制有一个潜在的miningnite大小的菜单。省略的证明归入附录A。命题1与比率相关的公布价格机制是IC和IR.3.2主要结果是一个机制的预期（事前）收入(f，p）由π(f，p):=zv×kp(v，k)dG(v，k)给出。我们说一个机制（f，p)是最优的，如果o(f，p)是IC和IR，o并且对于任何其他IC和IR机制（f，p)来说π(f，p)≥π(f，p)。我们对我们的结果给出了以下的限制。定义5一个分布满足条件a如果对于任何k,v(1-G(vk))在v中是严格凹的。这是其他情况下文献中使用的标准条件（Che and Gale,2000；Devanur et al.，2020)。给定一个比率k，这个条件可以被解释为边际收益递减（参见Devanur et al.(2020))。这是因为，以k为条件，v(1-G(vk))是初级商品单位和次级商品k个单位的收费价格的收入。定义φ(v，k):=v-1-g(vk)G(vk)=0和φ(v，k)=0的解是相同且唯一的。对于任意k，我们用φ-1 k(0)表示满足这些方程的唯一值，注意对所有k来说φ(0,k)g(0,k)<0和φ(1,k)g(1,k)>0，且g的连续性保证φ(v,k)g(vk)的连续性。条件A意味着φ(v，k)g(vk)严格地随k而增大。当g(v，k)>0时，我们有唯一性，观察到在k条件下，最优机制是标价φ-1k(0)。这就是说，如果这是公开信息，那么卖方会为一个单位的初级商品和k个单位的次级商品公布这个价格，因为优化问题归结为一个单一对象模型的优化问题。定义6一个分布满足条件B如果满足条件a并且对于所有k<k，下面是真的，φ-1k(0)>φ-1k(0)。这个条件说明以k为条件的最优价格在k中是递减的。在这种情况下，逐点最大化收益（对于每个k）意味着分配一个单位的初级商品和k个单位的次级商品，价格为φ-1k(0)。但是这种机制不是激励相容的，为什么一个比率较低的类型会偏离一个比率较高的类型，并为更多的次要商品支付较少的费用（未使用的部分可以被丢弃）。利用条件A和技巧，我们证明了在这种情况下，最优机制是一个公布价格机制。定理1如果G满足条件B，则公布价格机制是最优的。下面是满足条件B的分布和相应的最优机制的例子。考虑一个密度函数g(v，k)=(v+2k)。我们求出条件密度为g(vk)=v+2k0.5+2k。由此我们导出了φ(v，k)=1.5v+4kV-2k-0.5v+2k的虚拟值，我们可以证明φ(v，k)是严格按一阶条件递增的，这意味着条件A是满足的。另外，φ-1k(0)=-4k+√16k+12k+3递减意味着条件B成立。因此，这种分布的最佳机制是:f(v，k)，p(v，k)=(0，0，0)v≤p*(k，1，ρ*)。这将生成一个0.2931的revenue。现在，假设k是公共信息。那么，最优的机制是将一个价格φ-1k(0)（对于一个单位的初级商品和k个单位的次级商品）简化为k。这产生了0.2933的事前预期收入。

定义7一个分布G满足条件B，如果它满足条件A，并且对于所有k<k，以下为真:kkφ-1k(0)≤φ-1k(0)≤φ-1k(0)。这个条件说明以k为条件的最优价格是以k为单位递增的，但以有界的方式递增。观察到这个条件部分地补充了条件B，其中φ-1k(0)是递减的。我们在3.3.4节中详细讨论了这两个条件。定理2如果G满足条件B，则下面的比率相关的后置价格机制是最优的，f(v，k),p(v，k)=(0，0，0)v≤φ-1k(0)k，1，φ-1k(0).然后我们论证了这种机制是激励相容的。即在公开信息的情况下，条件之二下的最优收益机制与事前最优收益机制相同。这个机制允许一个两部分的Tari实现，其中卖方对初级商品收取ρp:=limk→0+φ-1 k(0)，而次级商品对k单位的价格为φ-1 k(0)-ρp。考虑一个密度函数g(v，k)=vkln2，其条件密度求值为tog(vk)=vk(k+1)。由此我们导出虚拟估价为，φ(v),k)=v-1-vk+1vk(k+1)。我们可以证明φ(v，k)是严格递增的条件，φ-1k(0)=(k+2)k+1蕴涵G满足条件B。因此，这种分配的最优机制，利用定理2计算为，f(v，k)，p(v，k)=(0,0,0)v≤(k+2)k+1(k,1,(k+2)k+1)。另外，卖方可以通过对初级商品和对次级商品的k个单位收取费用来实现这种机制。3.3最优程序在本节中，我们得到了我们的主要结果。命题2对于每一个IC和IR机构(f，p)，存在另一个IC和IR机构(f，p)，如1。π(f，p)=π(f，p)，和2。对于所有(v，k)，f(v，k)=kf(v，k)。-非浪费分配命题2意味着，为了找出最优机制，集中于具有以下性质的一类机制是不失一般性的：商品的分配时间是商品的分配。为了证明这一点，我们从一个任意的IC和IR机制（f,p）入手，在保持收益不变的情况下构造出所需的形式机制（f,p）。（f,p）是由（f,p）通过减少其中一个货物的分配而得到的，以便分配比率如报告的那样。支付保持不变。这些非浪费机制由M:={(f，p):f(v，k)=kf(v，k)对于所有(v，k)}表示。注：如果(f，p)∈M，则minnf(v，k)k，f(v，k)o=f(v，k)对于所有(v，k)。在本文的下一个命题和其余部分中，我们使用以下事实，而不明确地说明：对于anyk，U(v，k)(f(v，k)，p(v，k))=vf(v，k)-p(v，k)对于所有的v，v。这使得我们只关注分配函数分量f中的一个，并在适当的步骤中推导它。然而，这并没有将问题归结为一维问题，因为在比率维上的激励约束对最优规划至关重要。下面的结果表明了这一点。3.3.1 IC机制的表征我们在M类中表征了IC机制。命题3(f，p)∈M是IC，当且仅当下列条件对任意(v，k)为真，(1)f(v，k)≤f(v，k)对所有v>v为真，(2)p(v，k)=p(0，1)+vf(v，k)-Zvf(t，k)dt，(3)Zvf(t，k)dt≤Zvf(t，k)dt对所有k>k为真，(4)Zvkkf(t，k)dt≤Zvf(t，k)dt。命题3中的条件（1）和（2）对应于类型空间中水平线上两个类型之间的IC约束（见图3）。M中的机构具有将任意水平线上的IC约束简化为一维问题的性质。这与Myerson(1981)的IC特性相同，当限制在任何K。

然而，命题3表明，一些“纵向”和“对角线”约束足以保证机制的激励相容性。条件（3）对应于垂直约束，(4)对应于对角线约束。图3中的箭头表示激励约束需要优化的方向。为了了解为什么条件（3）和（4）对IC是必要的，请注意对firegure中指示的类型应用条件（1）和(2)，然后简化IC表达式就会产生表达式。有趣的是，这些“本地”约束足以保证全球激励相容性。在多维模型中描述最优机制是一个非常困难的问题，部分原因是绑定约束不能被固定下来（Rochet and Chone(1998))。然而，由于激励约束的性质，我们可以在这个模型中这样做。我们陈述了我们在分析中使用的两个引理。引理1如果一个机制（f,p）是IC，那么对于所有k来说p(0,k)=p(0,1）。（v,k0)(v,k)(vkk0,k)(4)(1)-(2)(3)vk图3:IC约束证明：对于任何k来说，(0,1)→(0,k)意味着-p(0,1)≥-p(0,k)，而(0,k)→(0,1)意味着-p(0,k)≥-p(0,k)，而(0,k)→(0,1)意味着-p(0,k)≥-p(0,1）。与机构设计中的其他模型一样，以下标准结果在此设置中也成立。引理2一个IC机构（f,p）是个别有理的当且仅当p(0,1)≤0。证明：确定一个IC机构（f,p）。假定(f，p)是IR。考虑类型(0，1)，IR意味着U(0，1)(f(0，1)，p(0，1))≥0，这个简化为p(0，1)≤0。为了证明另一种方法，我们将any（v,k）和U(v,k）（f（v,k）,（v,k）=v min{f（v,k）k,f（v,k）}-p（v,k）≥v min{f（0,k）k,f（0,k）}-p（0,k）≥-p（0,k）≥0。第二个不等式来自于分配函数的非负性，第三个不等式是真的，因为p(0,1)≤0意味着由于引理1，所有k的p(0,k)≤0。利用引理1,引理2和命题3,最优程序可以概括为：最优程序xf:v×k→[0,1]z“zφ(v,k)f(v,k)g(vk)dv#gk(k)dk(O)f(v,k)≤f(v,k)对所有v<v,k,k,k,(C1)Zvf(t,k)dt≤Zvf(t,k)dt≤Zvf(t,k)dt对所有v,k>k,(C2)Zvkkf(t,k)dt≤Zvf(t,k)dt,(C3)注意，分别由命题2和命题3确定fand p。3.3.2定理1的证明，我们通过忽略约束(C3)来求解最优机制。我们证明了在这个简化问题中的最优是一个公布价格机制。引理3如果G满足条件A，那么对于满足约束(C1)，(C2)的每个机制(f，p)∈M，那么机制(f，p)∈M，如果v≤1-rf(t，k)dt1，则f(v，k)=(0如果v≤1-rf(t，k)dt1。满足约束(C1)，(C2)并产生比（f，p)更多（弱）的预期收入。证明：很容易看出约束(C1)是满足条件的。对于(C2)，请注意，对于任意(v，k)，如果v≤1-rf(t，k)dt=(0，否则，rf(t，k)dt-1+rf(t，k)dt。（1）固定任意k>k，并且由于（f，p)满足约束(C2)，我们有Zf(t，k)dt≤Zf(t，k)dt。（2）如果v≤1-rf(t,k)dt，则rvf(t,k)dt=0≤rvf(t,k)dt，即f(v,k)≥0±(v,k)；否则，如果v>1-rf(t,k)dt，则v>1-rf(t,k)dt由公式2表示。因此，Rvf(t,k)dt=V-1+RF(t,k)≤V-1+RF(t,k)=Rvf(t,k)dt。这个不等式是第二个不等式。方程由表达式1表示。现在我们证明(f，p)产生的预期收益弱于(f，p)。修复Anyk。

表示β(f，p，k):=1-rf(t，k）dt,并考虑了这些机构的期望收益的变化，zφ(v),k)g(vk)f(v)，k)-f(v，k)^dV=Zβ(f，p，k)φ(v，k）g（vk）f（v,k）-f（v,k）f（v,k）g（vk）f（v,k）dv≥φ(β(f,p,k）,k）g（β（f,p,k）f（v,k）f（v,k）dv=φ(β(f,p,k）,k）g（β（f,p,k）k）z（f,k）-f（v,k）dv=φ(β(f,p,k）,k）g（β（f,p,k）k）z（f,k）-f（v,k）dv该方程利用了（f,p）的识别和项的重排，不等式是由φ(v,k)g(vk)增大而得的。因为我们已经对任意k证明了这一点，所以预期的（f,p）收入比（f,p）大（弱）。引理3暗示，在不丧失一般性的情况下，我们可以集中讨论机制(f，p)∈M，即存在ρ(k)在k中增加，如果v≤ρ(k)1，则f(v，k)=(0)，否则，ρ(v，k)=(0)增加是因为(C2)在引理3中被充分利用，并且由于fin引理3的发现。我们将表明我们可以将这样的机制改进为张贴价格机制。固定任意这样的机制(f，p)，并注意条件B意味着φ-1 k(0)>φ-1 k(0)±k>k。考虑以下三个互斥的穷举情况：1。ρ(1)≤φ-1(0)。考虑下面的机制（f,p）由f(v,k)=(0，如果v≤ρ(1)1。固定任意k，注意ρ(k)≤ρ(1))。如果v≤ρ(k)或v>ρ(1)，则f(v，k)=f(v，k)，ρ(1)≤φ-1(0)≤φ-1k(0)意味着φ(ρ(1)，k)g(ρ(1)k)≤φ(φ-1k(0)，k)g(φ-1k(0)k)=0，因为φ(v，k)g(vk)在v中增大。这意味着对于所有v≤ρ(1)ρ(k)f(v，k)φ(v，k)g(vk)≤0。因此，Rρ(1)ρ(k)f(v，k)φ(v，k)g(v)dv≤0。注意到rρ(1)ρ(k)f(v，k)φ(v，k)g(vk)dv=0，我们通过构造得出：（f,p）中的收入大于（f,p）中的收入，我们用ρ(0+)表示limk→0+ρ(k)，用φ-1+(0)表示limk→0+φ-1k(0)。ρ(1)>φ-1(0)和ρ(0+)<φ-1+(0)。ρ(k)-φ-1k(0)在k中严格递减且连续，因此函数ρ(k)-φ-1k(0)严格递增（且连续A.E.）。因此，存在一个唯一的k*,即ρ(k)>φ-1k(0)k>k*和ρ(k)<φ-1k(0)k<k*。设V~*:=ρ(k~*)。将一个已知的价格机制（f,p）定义为：f（v,k)=(0,如果v≤v*1。我们证明了在两种情况下，对于每k,f,p）产生的预期收益大于f,p。(a)确定任意k>k*。请注意V*≤ρ(k)。若v≤v*或v>ρ(k)，则f(v，k)=f(v，k)。由于φ-1k(0)≤φ-1k＇(0)=v＇，φ(v,k)g(vk)随v增加，所以对于所有v>v＇，φ(v,k)g(vk)>0。因此，在此范围内，由于f(v，k)=1，所以rρ(k)v*f(v，k)-f(v，k)φ(v，k)g(vk)dv≥0。请注意V*≥ρ(k)。如果v>v*或v≤ρ(k)，则f(v，k)=f(v，k)。由于φ-1k(0)≥φ-1k＇(0)=v＇，φ(v,k)g(vk)随v增加，所以对于所有v<v＇，φ(v,k)g(vk)<0。因此，在此范围内，由于f(v，k)=0，所以rv*ρ(k)f(v，k)-f(v，k)φ(v，k)g(vk)dv≥0。ρ(0+)≥φ-1+(0)。考虑下面的机制（f,p）由f(v,k)=(0，如果v≤ρ(0+)1。固定任意k并注意ρ(k)≥ρ(0+)。如果v≤ρ(0+)，则f(v，k)=f(v，k)。由于φ-1k(0)≤φ-1+(0)≤ρ(0+)且φ(v,k)g(vk)随v增大，所以当v>ρ(0+)时，φ(v,k)g(vk)>0。因此，在此范围内rρ(0+)f(v，k)-f(v，k)φ(v，k)g(vk)dv≥0sincef(v，k)=1。在上述三种情况中，我们都证明了对于任意k,postedprice机制下的收益较高。因此，在我们所考虑的简化问题中，一个公布价格机制是最优的。这也意味着它是最优的机制，因为我们已经表明，公布价格机制满足了所有的限制，3.3.3定理2的证明。忽略约束(C1)、(C2)和(C3)，目标函数(O)的逐点最大化（对于每个k）意味着最优分配函数fis如定理的陈述中所示，因为对于所有(v，k)且v≤φ-1k(0)且所有(v，k)且v>φ-1k(0)时φ(v，k)≤0，由于条件a意味着该机制是依赖于比率的公布价格机制。

我们已经在IC上证明了这种机制（命题1）。因此，在定理1和定理2的su-cient条件下，被忽略的约束条件是部分互补的，前者说函数φ-1k(0)是递减的，而后者说函数φ-1k(0)是递增的（且递增率是有界的），在下面的例子中，条件A是充分的，而条件B和条件B都不成立。我们说明了最优机制不属于简单机制的一类。例3。V×K[0,1]×{0.75,1}。密度g由：g（v,k)=0（如果v<,k=0.75)或v<,k=1)100a（如果v≥),k=0.75a（如果v∈[,）,k=110a）给出。这里a是归一化常数。很容易证明g(v，k)满足条件a。我们现在将最优确定性机制归入非浪费机制类。设(f，p)是确定性机制。对于K=0.75和1的类型，它分别用两个价格ρ、ρ进行修正。因此，如果(v<ρ，k=0.75),（f（v,k）,p（v,k))=(0,0,0）；如果v≥ρ，k=1，(v<ρ，k=1)(k,1,ρ),如果v≥ρ，k=0.75(k,1,ρ)。对于任何v≥ρ，(v,0.75)→(v,1）类型的激励约束意味着V-ρ≥V-ρ.类型为(v，1)→(v，0.75)的激励约束意味着对于任何v≥ρ，v-ρ≥0.75v-ρ.这些约束条件合在一起意味着0.75ρ≤ρ≤ρ.很容易看出约束0.75ρ≤ρ.revenueexpression（因为ρ≥0.5和ρ≥)由-(100+)aρ+(100++1)aρ，这在ρ=0.512处最大，得到的收入为(26.74)a。现在，考虑一个非确定性机制（f,p）是激励相容的，其产生的收益为(26.76)a,严格高于最优确定性机制。在定理1的证明中，我们利用了条件a（引理3）的凹性性质，条件a（v<,k=0.75),条件p（v,k))=(0,0,0）,条件(v<,k=0.75)或条件(v<,k=1)(k,1,）,条件v≥，k=0.75(k,1,）,条件v≥，k=0.75(k,1,）,条件v≥，k=0.75(k,1,）,条件v≥(v≥，k=1(3k,）。这种证明方法不能削弱这种条件。这并不是说条件A对结果是必需的，下一节将说明独立类型的这一事实。我们的结果或条件都不依赖于类型空间K是连续的。然而，对于定理2中的结果，我们可以用一个更规范的正则性条件来代替条件A，即φ(v，k)在v中严格地增加。这是真的，因为我们只需要以k为条件的最优价格增加（并且有界）。关于规则性条件与条件a的详细比较，请参见Devanur等人。(2020)6.1.3.3.5节独立型下面的命题描述了值和比随机变量独立时的最优机制。此结果不需要TypeDistribution上的任何其他条件。命题4如果g(v，k)=gv(v)gk(k),那么下面的价格机制是最优的，f(v，k)，p(v，k)=(k，1，p*)v≥p*(0，0，0)另一个，其中p*是任何使p1-gv(p)最大化的p。证明：我们通过忽略约束(C2)和(C3)来解决约化问题；这可以写成：使用g(vk)=gv(v)我们重写(O)为，maxf:v×k→[0,1]z“zàv-1-gV(v)gv(v)gv(v)f(v，k)dv#gk(k)dk。(O)f(v，k)≤f(v，k)对所有v<v，k。(C1)我们对每个k逐点最大化目标函数，同时满足该k的约束。为了达到这个目的，我们需要一些k，并观察到最大化大括号内的项以及单调城市约束与一般分布的标准Myerson问题是相同的。因此，如Myerson(1981)所描述的，f的解是一个阶梯函数，如下所示，f(v，k)=1v≥p*0如果p*是任何使p1-gv(p)最大化的p，因为我们选择了一个任意的k，并且这个分配函数与k无关，那么逐点最大化必然产生一个公布的价格机制。

我们需要验证约束(C2)和(C3)是否也已被充分利用。但是，由于我们在命题1中已经表明，一个公布价格机制是IC机制；这个事实和命题3一起意味着约束(C2)和(C3)被充分利用。4结论明显，模型在多维情况下是难以处理的，即使在二维情况下也是如此。即使有些模型是可处理的，也很难得到最优机制的简化解。在本文中，我们考虑了一个在维度上有“分离”的自然二维私有信息模型。当一个维度捕获捆绑包的价值时，另一个维度表示消费比率。这个特性帮助我们解决这个问题，并提供一个简单直观的简化形式的解决方案。公布的价格机制可以用一个参数来描述，并包含一个结果菜单。虽然依赖于比例的张贴价格机制涉及到菜单的潜在尺寸，但它是一个简单的特征，即按期望的比例充分分配主要商品和次要商品。可以扩展这项工作的主要方向有三个。首先，在更广泛的分布类别中探索结果，并确定比依赖的公布价格机制之外的非浪费机制。其次，分析了一个多优完美互补模型。第三，考虑一个多个代理人竞争互补产品的场景。ReferencesArmstrong，M.(1996):《多产品非线性定价》，Econometrica,64,51-75。Bikhchandani,S.和D.Mishra(2022):《销售两个相同的对象》，经济理论杂志，200，105397。Carroll，G.(2017):《多维筛选中的稳健性和分离》，Econometrica,85,453-488。Che，Y.K.和I.盖尔（2000）：“向预算受限的买家出售的最优机制”，《经济理论杂志》，92，198-233.德瓦努尔，N.R.N.哈格帕拿，和A.Psomas(2020):“具有私人需求的最优多单位机制”，博弈和经济行为，121，482-505.菲亚特，A、K.戈德纳，A.R.卡林，和E.Koutsoupias(2016):《FedExProblem》，2016年ACM经济和计算会议录-EC16。哈特，S.和P.J.Reny(2015):“多种商品的最大收益：非单调性和其他观察，“理论经济学，10，893-922.马内利，A.M.和D.R.Vincent(2006):“捆绑销售作为一种多品垄断者的最优销售机制”，《经济理论杂志》，127,1-35.----（2007）：“多维机制设计：收入最大化和多优垄断”，《经济理论杂志》，137，153-185。McAfee,R.和J.Mcmillan(1988):《多维激励相容和机制设计》，《经济理论杂志》，46，335-354。Myerson,R.B.(1981):《最优拍卖设计》,《运筹学数学》，6，58-73。Pavlov,G.(2011):《线性垄断问题解的一个性质》,《理论经济学杂志》，11,1-18。Riley,J.和R.Zeckhauser（1983）：“最优销售策略：何时讨价还价，何时持有》，经济学季刊，98，26 7-289.罗切特，J.-C.和p.Chone(1998):《熨烫、清扫和多维筛选》，《经济计量学》，66，783-826；Telser，L.G.(1979):《互补商品垄断的理论》，《商业杂志》，5211-230；Thanassoulis,J.(2004):《替代产品的讨价还价》，《经济理论杂志》，117，217-245。附录：省略的证明1命题的证明1.证明：考虑一个由函数φ定义的比率依赖的公布价格机制(f，p)。我们证明(f，p)是IR。对于任何类型（v,k）,U(v.k)(f(v，k),p(v，k))=(0,如果v≤ψ(k)V-ψ(k),显然，U(v.k)(f(v，k),p(v，k))≥0,因此（f,p）是IR。我们现在证明了（f,p）是ISIC的。在不丧失一般性的情况下，考虑任何两个代表性类型（v,k）,（v,k）,这样的k≥k。注意KKψ(k)≤ψ(k)≤ψ(k).（v,k)→(v，k)。