离散选择模型中的弱辨识

虽然上述估计方程与thosein方程（15）并不完全相同，但通过比较两者可以清楚地看出，它们具有类似的形式，因此，无论关于后者得出的任何含义都将被former所支持。这种基于回归的观点为内生二元选择模型的推论产生了两个重要的、相互关联的含义。首先，所考虑的线性回归不是线性概率模型所能解决的问题，它将基于解释变量ziζ,y2i,xi,而不是di中的加权形式。第二，由于回归中的解释变量是用φi(θ)加权的，因此，单纯把ziζ在简化形式回归中的贡献作为工具强度的度量是不合适的。在继续之前，我们注意到上述类型的估计方法被Terza等人称为“两阶段残差包含”(2SRI)估计。（2008年）。特别地，利用阶段一致估计量θ2n=(πn，ζn)，在广义残差R1i(θ,θ)=y1i-Φ[αy2i+xiβ+～ρvi(θ)]的计算中包括了阶段估计残差vi=y2i-xiπn-ziζ。我们从Hausman(1978)中知道，在完全线性模型中，就结构参数α和β的估计而言，2SRI与2SLS是等价的。在回归方程中加入残差VIIN保证了原始OLS与2SLS的一致性。此外，Terzaet al。（2008）称“两阶段预测器代换”(2SPS)是2SLS在非线性情况下的直接推广，这意味着在结构方程中，内生变量被它的第一阶段调整值简单地替换，从而得到广义残差:ui=y1i-Φ[αy2i+xiβ]y2i=xiπn+ziζ。Di中的简单定义，即用-ziζ替换vi(θ)是在γ*ii上的行运算，而这并不是（15）中线性方程组的渐近解。（2008）表明，在非线性模型中，2SPS与2SRI并不等价，只有后者提供了结构参数的一致估计。直觉很清楚。由于函数Φ(.)的非线性，插入Y2 ITO仪器Y2IdIn不能很好地解决内生性偏差问题。如上所述，用标准的拇指规则来衡量仪器强度时，把重点放在由此导出的回归中ZIζ的贡献上是有误导性的。这样做类似于忽视非线性的影响，就像混淆正确的2SRI和错误的2SPS是错误的一样。的确，正如上面的论证所阐明的那样，捕捉仪器强度的相关变量不是像标准线性情况下那样的zi，而是φi(θ)zi。因此，对识别强度的评估应该以φi(θ)ziζ的可变性为基础，我们可以很容易地用工具强度来说明从ziζ到φ(θ)ziζ的影响，因此φ(·)是高斯分布的概率密度函数。首先，我们回顾一下，对于一个实值变量v，以及任何给定的数c，当后者的值大于多项式[1-cⅤ-Ⅴ]的根的绝对值时，函数h(Ⅴ)=vφ(c+v)的绝对值在v中是递减的。此外，由于高斯分布的细尾，这种下降的速度是急剧的（迅速收敛到零）。利用这一论点，人们可以认识到，ziζ乘以φi(θ)=φαy2i+xiβ+～ρy2i-xiπ-ziζ通过剪枝它的所有大值来消除ziζ的可变性。对于ZΦN(0,σZ)，比较Zφ(1+Z)的方差占Z方差的百分比是说明上述观点的有用方法。对于σZ的各种值，我们将这些比值收集在下面的表1中。表1：Z方差与W=Zφ(1+Z)σZ方差的比较2 5 10 50 100%。

注：对于σW=Var(W)，我们计算lz=σW/σZ，即对于不同的σZ值，W的方差占Z方差的百分比。表中Rel%的值是以σw/1的百分比表示的LZ的值，即是相对于σz=1的情况的结果。表1中的结果构成了在probit上下文中标准经验法则可能发生错误的令人信服的证据。同样值得强调的是，虽然表1只显示了归一化函数φ(1+Z)的结果，但函数φ(·)内的ziζ的大值的修剪影响实际上可能在样本中被参数～ρ的大值所放大。因此，我们可以预期，对于较小的σvand/或较大程度的内生性ρ，表1中记录的剪枝e-ect将更加有害，这两种情况都对应于较大的～ρ，这些对于幼稚的经验法则可能有悖常理的e-ect将在第4节中被蒙特卡罗实验所纠正。这些实验将表明，在较强的同时性(ρ接近于1）和/或较大的信噪比σz/σ的情况下，标准经验法则将更容易过度拒绝弱仪器的零值。下面给出的结论对于任何其他具有细尾的概率分布仍然有效，Kleibergen(2005)、Caner(2009)、Chaudhuri和Renault(2020)、Stock和Wright(2000)和Antoine和Renault(2020)等几位作者讨论了在可能存在弱Identifies的情况下，用连续的GMM(CUGMM)方法进行GMM估计的优点。继后两位作者之后，在我们的上下文中，CUGMM的优点接近于无论存在缺陷，CUGMM准则的渐近行为总是可控的。CUGMM标准的这一特性最终将使我们能够获得尺寸控制和一致性的仪器弱点测试。为了确保这一关键特性在我们的设置中仍然正确，回想一下公式（11）所给出的分析背后的特定矩条件；即对θ=(～ρ，α，β)和θ=(π，ζ）,和g1i(θ)=～a(y2i,xi,zi)r1i(θ,θ),g2i(θ)=～b(xi,zi)r2i(θ),gi(θ)=r1i(θ)a(y2i,xi,zi)+r2i(θ)b(xi,zi)=g1i(θ),g2i(θ).求加权矩阵sn(θ)=s11,n(θ)00 S22,n(θ),Sjj,n(θ)=nnxi=1[gj,i(θ)-gj,n(θ)][gj,i,zi)-gj,(θ)-gj,n(θ)],(j=1,2）,我们考虑了一个考虑总体方差矩阵的块对角结构的CUGMM估计量（以下简称CUE）。然后我们的θ的线索是基于。gn(θ)=(.g1n(θ)，g2n(θ))定义为θn=arg minθ∈θjn(θ,θ)，对于Jn(θ,～θ)=n.gn(θ)s-1n(～θ).gn(θ)，其中记法Jn(θ,～θ)表示θ在矩中的出现，从权重矩阵中的值来看，s-1n(～θ)。判据Jn(θ，～θ)的关键特征是，可以确定Jn(θ，θ)≥Jn(θn，θn)，(16)，而由于Cov[g1i(θ),g2i(θ)]=0，因此Jn(θ，θ)在分布上收敛于一个具有H个自由度的chisquare随机变量，通篇表示为χ(H)。不管仪器强度如何，这个上界的一般有效性，以及θn的一致性，是我们求助于cugmm的原因。这个上限将允许我们控制弱识别测试的大小。我们注意到，对于不使用块对角线结构的一般CUGMM设置，类似的上限仍然有效。由于前面给出的原因，我们把注意力集中在这种更特殊的情况下。如果用θ的一个有限步估计器来估计最优的仪器函数，则上界（16）通常是无效的。对于a(y2i,xi,zi）和b(xi,zi）来说，加入最优工具函数的唯一方法是将它们与CUGMM的加权矩阵一样，使用自由值θ。

关于这种替代方法的讨论有待于今后的研究。我们还注意到，在正定情况下，Jn(θ)的最小值Jnθn，θn是渐近的，概率为1，等于零，S-1 n(θ)是非物质的。特别地，当使用某些M-估计的有限阶条件时，包括两阶段条件极大似然或拟LIML,加权矩阵是不相关的。在弱约束条件下，CUGMM对象函数Jn(·,θn)在θn附近的参数空间存在一定方向。在这些方向上，如果我们把θn扭曲了一些“小”值，例如，θn∈Rp，并在θδn=θn+n处求出Jn(·,θn)，那么Jn(θδn，θn)的值就不应该“明显地”偏离Jn(θn，θn)的值。在这里，“显著性”的概念意味着Jn(θδn,θn)超过χ(H)分布的某些预先指定的分位数。然而，关键的是，由于目标函数将样本均值的平方范数按因子n进行缩放，当显著性不弱时，失真会在γgn(θδn)和γgn(θn)之间引入一个楔形。因此，如果判别不弱，只要失真随n缓慢地趋于零，则判别准则Jn(θδn,θn)渐近发散，从而超过（概率为1）χ(H)分布的所选分位数。在其余部分中，我们把这个测试过程称为扭曲的J-test.3.2在2.3节中已经讨论过的弱识别性的无效假设，通过结构力矩functiong1i(θ)=～a(y2i，十一、zi)r1i(θ,θ)，其中r1i(θ，θ)=Y1I-Φ[(～ρ+α)Y2I+xi(β-～ρπ)-～ρziζ]。在参数化η=(η,η，η)=(～ρ，～ρ+α，β-～ρπ)，(17)，这使得我们可以重述矩函数asg1i(η，θ)=～a(y2i,xi,zi)～R1i(η，θ)，其中～R1i(η，θ)=Y1i-Φ[-ηziζ+ηy2i+xiη]。遵循Staiger and Stock(1997)和Stock and Wright(2000)，我们使用漂移数据生成过程(DGP)来捕捉仪器弱点，从而使总体期望被视为n相关。然而，套用Lewbel(2019)，我们实际上并不认为DGP是随着n个变化而变化的，而是使用漂移DGP概念，以便在弱识别的背景下获得更可靠的渐近近似。为了达到这个目的，我们认为总体期望[g1n(η，θ)被定义为m1n(η，θ)=en“nxi=1~a(y2i,xi,zi)~r1i(η，θ)#/n.在这个漂移的DGP下，我们不得不看到θ，因此η是n相关的，所以在技术上我们应该把这些aintained identi假设重新定义为m1n(η，θ)=0(η，θ)=(ηn，θ2n)。值得注意的是，这个检验被称为”扭曲j-test“，因为它使用了Hansen(1982)在overidenti情况下提出的J统计量来检验一组矩的有效性。这个术语有点误导性，因为我们的测试即使在正确的情况下也可能有效(H=p)。其实有两种可能的观点：eitherone选择在适当的设置(H=p)中执行畸变J-test测试，或者在Overidentified设置(H>p)中。然而，为了保持符号消耗到最小，我们只有在绝对必要时才使真值依赖于n显式。遵循Stock和Wright(2000)的方法（见他们的第2.3节），下面对m1n(η，θ)的分解最终将使我们能够分离仪器弱的影响θpern-m1 nη，η，η，θpern+m1 nη，η，η，θ.。（18）如第2.3节所述，仪器弱点由解释变量φi(θ)ziζ概括。

这个解释变量对仪器强度的影响可以通过线性化m1n(η，θ)围绕η得到m1nη，θ-m1nη，η，η，θ=η-η)M1nηη*1n，η，η，θyloo(19)=η-ηen“nxi=1~a(y2i，十一、zi)φiη*1n,η，η，θ-ziζ#/n，其中η*1n表示一个逐分量的中间值，它可以根据函数的组成成分而变化。方程（19）允许我们以以下半解析形式将方程（18）中的分解写出来，它清楚地划分了参数空间中的弱方向：对于n→∞的正定序列n→∞为n→∞,n=O(√n),可能为O(√n)，m1nη,θ=q11,n(η)/n+q12,n(η,η)，(20),其中q11,n(η)=n→m1nη,θ,η)=m1nη,η,η,θ,q12,n(η,η)=m1nη,η,η)=m1nη,η,η,θ=nxi=1enη(19)的强度是完全确定的，因此q11,n(η)/tun。特别地，速率可以被认为是矩的曲率在η方向趋近于零的速度的封装，从而确定了识别弱点的程度。如果xium n像√n一样发散，那么曲率消失的速度与样本中信息积累的速度相匹配，也就是√n，从样本信息中发现η的希望就没有了；即η是弱的。相反，η，η的正确率是由q12，n(η，η)决定的，而不是正确率弱所决定的。也就是说，在η的旋转参数空间中，识别弱只发生在η方向，而不渗透到参数空间中的其余方向。方程（20）中的表示符合但不等价于Stock和Wright(2000)用于研究GMM在弱特征下的行为的分解（详见Seeremark6）。我们在m1n(η，θ)上维持以下条件，其形式与Stock和Wright(2000)中的假设C相同：假设3：对于n=O(ηn),可能为O(ηn),m1n(η，θ)=q11,n(η)/n+q12,n(η，η):(i)q11,n(η)→q(η)一致为n→∞,其中q(η)=0,q(·)一致连续（因而有界）,(ii)q12,n(η，η)→q(η，η)一致为n→∞。对于所有n≥1,q12,n(η，η)满足q12,n(η，η)=0∑(η，η)=(η，η)，且连续可穷，且q12,n(η，η)/(η，η)满列秩在(η，η)。注5。假设3(i)由方程（19）和假设1和假设2中的分解得到。其次，我们注意到假设3在我们的上下文中是自然的。假设3(ii)证明，对于q12,n(η，η)=pni=1en{～a(y2i,xi,zi)[y1i-Φ(-ηziζ+ηy2i+xiη)]}/n,-q12,n(η，η)(η，η)=nen(nxi=1～a(y2i,xi,zi)φiη，η，η，θ(y2i…xi))在(η，η)处有满列秩。这与(Y2I.)的组件的要求密切相关。xi）是线性无关的，因为它们与潜在结构方程的解释变量重合。对于集合，θ(θ):=nη∈rkx+2:η=(～ρ，α+～ρ，β-～ρπ),对于某些θ=(～ρ，α，β)∈θo,我们将弱identi的零假设陈述如下。弱identi的零假设:H thiN=√n=:SUPη∈n(θ)nen“nxi=1~a(y2i,xi,zi)φiη，θziζ=o√n。”nxi=1~a(y2i,xi,zi）。（21）集合π(θ)表示在（17）中的参数化下的结构参数集合，且θ=θ，因此（21）中η上的上确界类似于结构参数θ上的上确界，给定约化形式参数的真值θ。这两组结构参数，即初始的1θ和重新参数化的1θ(θ)都是RKX+2的紧子集。根据（20）的分解，η的识别强度由速率x_n决定，x_n=O(τn)表明，即使在渐近的情况下，总体目标函数也接近于松弛素η。目标函数的这种渐近性将导致旋转参数空间中η的估计与原参数空间θ中结构参数θ的估计不一致。注6。

值得注意的是，这种弱识别的认识是Stockand Wright(2000)的推广，因为它是在约化形式回归方程参数的真值θ处考虑的。这必须被视为控制变量上下文中弱工具概念的相关扩展。如第2.3节所述，结构方程的相关解释变量为φi(η，θ)(ziζ,y2i,xi）。特别地，在θ值处的影响ziζ对φi(η,θ)的计算和剪枝起着重要作用，在θ=(π,ζ）处也是如此。这一扩展是通过假设2（第二组矩条件孤立地对θ的修正）和块对角线加权矩阵的回声而实现的。3.3对弱修正的零的扭曲J检验（DJ检验）方程（20）中的分解和假设3在参数化ζ=(η，θ)下，对弱修正问题进行了澄清和修正。因此，为了按照第3.1节提出的思路构造弱识别的扭曲检验方法，应该扭曲的恰恰是这个方向，而且只有这个方向。为此，设Z表示ζ的参数空间，并对不可行的线索ζn=Argminζ∈Z_gn(ζ）s-1n(ζ）_gn(ζ）进行修正，并考虑扭曲ζnasζδn=ζn+δn0的festrst分量。0..0=[～ρn,～ρn+αn,βn-～ρnπ,θ2n]+δn,0，....0.在基的变化下，这相当于使线索θnasθ1nθ2n+1n发生畸变，其中1n=δn,-δn,δnπ，使结构参数θ的整个向量发生畸变。然而，上述对θnis的扰动是不可行的，因为它依赖于未知π。用π的估计值πn代替π可以产生一个可行的摄动，得到θδn:=θ1nθ2n+1n，其中1n=δn,-δn,δnπn。（22）如3.1节所解释的，在弱特征下，如果我们在弱特征方向上使线索θn扭曲一些小值，即η，那么在θδn处的GMM准则的值与在θn处评估的准则的值并不明显。更准确地说，回顾3.1节中给出的Jn(θ,～θ)=ngn(θ)s-1n(～θ)gn(θ),Jn(θn,θn)=minθ∈θJn(θ,θ),我们引入了扭曲的J检验统计量:jδn=ngn(θδn)s-1n(θn)gn(θδn)。为了推导jδn在弱特征为零的情况下的行为，我们必须对矩的雅可比保持一个正则性条件。然而，假定我们的弱常数零点是关于η的局部的，在θ的值处，我们只需要保持以下假设。假设4：一致地在π(θ)上，√n{gn(η，θ)/η-en[ngn(η，θ)/η]}(η，θ)是一个平均零高斯过程，其中(η，θ)表示超范数的弱收敛。我们注意到假设4在假设1和泛函中心极限定理下得到保证。详见附录中引理3的证明。我们把这个结果陈述为一个假设，以便于与标准结果进行比较。命题1（缺乏一致性）。如果假设1-4满足，并且如果e[k～a(y2i,xi,zi)zik]<∞,那么在弱identiation的零值下，对于任意δn=o(1)，plimn→∞√nh\\gn(θδn)-\\gn(θn)i=0。另外，如果supθ∈θk-1n(θ)k=Op(1)，则plimn→∞hjδn-jn(θn,θn)i=0。命题1证明，在弱identiation的零值下，目标函数的曲率对小的偏离不敏感，表明θn缺乏一致性。通过采用Antoine和Renault(2020)的通用测试方法，命题1为离散选择模型中弱仪器的测试策略铺平了道路。回想一下模型参数的个数是p=2+2kx+kz，H表示动量的个数。定理1（扭曲的J检验：在空值下）。

在假设1-4和弱性质为零的条件下，对于任意确定性序列δn=o(1),用拒绝区域来定义畸变J检验:wδn=jδn>χ1-α(H+1-p),其中χ1-α(H+1-p)是具有(H+1-p)自由度的卡方分布的(1-α)分位数。如3.1节所述，CUGMM框架允许我们控制检验的大小，确保我们可以得到Jδn在弱指数零值下的一个方便的上界，因为在旋转的参数空间中只有一个弱方向，这个上界可以基于χ(H+1-p)分布；详见定理1的证明。当检验统计量Jδn与3.1节中给出的检验统计量一致时，我们用χ(H+1-p)代替χ(H)计算临界值，改进了检验的渐近幂Wδn。由于我们可能担心我们的检验会过于保守，所以这个powergain显然是重要的。3.4交替性下的估计和检验本节证明了基于Jδn的扭曲J检验Wδn在交替性下是一致的。在给出这一结果之前，我们先讨论了在这两种情况下线索的渐近性态。3.4.1在这两种情况下，我们对旋转参数ζ=(η，θ)推导了不可行线索的性质。Thevectorζ表示参数空间中基的以下变化:θ=Rζ=Rηθ,其中R=Roo Ikx+kz,R=1 0 0-1 1 0π0 Ikx。（23）对于Z表示ζ的参数空间，ζ的线索由ζn=Argminζ∈Z[gn(rζ）s-1n(rζ）[gn(rζ）]给出。一旦推出ζn的渐近性质，应用方程(23)中基θn=rζn的变化，确定了θn的渐近性态。为了推导ζn在交替下的性质，我们记得弱identi的null，被（21）去除，蕴涵atsupηε(θ)nen(nxi=1gi(η,θ)η)=supη∈(θ)nen(Nxi=1~a(y2i,xi,zi)φiη,θ-ziζ=O(1/√n)。这个零的替代假设意味着存在一个确定性序列n=O(√n),这样的序列是lim supn→∞supη∈(θ)nen(nxi=1~a(y2i,xi,zi)φiη,θ-ziζ）n>0。为了推导线索ζn在替代假设下的行为，我们稍微加强了这个条件。假设5：在替代假设下，存在一个确定性序列n=O(√n)和一个连续的确定性向量函数V(η),这样的函数infηn→∞supηε(θ)nen(Nxi=1~a(y2i,xi,zi)φiη,θ-ziζ）n-v(η)=0。注7。尽管假设5可以说限制了替代假设的范围，但它比我们遵循Staiger和Stock(1997)的方法和仅通过简化形式的回归方程来表征强度更普遍。在后一种情况下，我们可以认为约化形式回归是按照漂移的dgpen[y2ixi,zi]=xiπ+ziζn演化的。在弱参数零的情况下，我们得到了ζn=O(1/√n）。

相比之下，假设5要求，对于KγK>0的γ∈RKZ，以及n=o(τn),limn→∞nζn=γ,和V(η)=en^~a(y2i,十一、zi)φi(η，θ)ziγ6=0。然而，如第2.3节所述，我们认为，这种表征识别强度的方法是不合理的，由于它只考虑了简化形式回归ζn中的工具强度，而不考虑工具函数~a(y2i,xi,zi）与φi(η,θ2n)ziζn之间的相互作用，这可能导致通过φi(η,θ2n)的行为来剪枝工具的大规模实现。通过使用假设5对替代假设进行修改，我们清楚地划分了估计ζ的两种可能性：(i)如果IDENTI弱，则ζ不一致（如命题1所示），其他常用的估计量如2SCML或准LIML估计量也不一致；(ii)当识别性不弱时，ζNIS一致性。命题2（一致性）。如果假设1-5得到满足，如果supζ∈Zks-1n(ζ）k=Op(1)，那么kζn-ζk=Op(1)。这里我们注意到V(η)在技术上依赖于漂移的伪真值θ，但是在定义中把这种依赖性归结为简单的无。ζn的渐近分布依赖于矩的雅克比的行为。在假设3和5下，如引理1所示，矩函数的标度雅克比在以下温和的假设下是满秩的，如果我们取~b(xi，zi)=(xi:zi)=(xi:zi)]只是约化形式回归的标准秩条件。假设6：对于所有n≥1，en[~b(xi，zi)(xi:zi)]具有列秩(kx+kz)=dim(θ)。引理1。在假设1-6下，对于给定序列πn=o(√n),矩阵m=plimn→∞？gn(ζ）ζλn存在且是满列秩的，在给定标度雅可比的满秩性质的情况下，我们期望提示是渐近正规的。特别地，在另一种情况下（如假设3和5所规定的），我们可以得到以下结果。定理2（渐近正态性）。如果假设1-6满足，那么，则τnλ-1n(ζn-ζ）d→n0,[ms-1m]-1，S:=plimn→∞sn(ζ）。正如所期望的，除η外，ζ的所有项都是τn-相合的渐近正态GMM估计量。相反，方向η的收敛速率为{√n/多n}，可能比√n慢。当然，我们的目标不是对ζ进行推论，而是对θ进行推论。通过basisin(23)的变化，θ=rζ,定理2暗示可行的CUGMM估计量θnsatis取θnλ-1 nr-1(θn-θ)d→n0,[ms-1m]-1。（24）重要的是，由于矩阵R不是对角线的，较慢的速率{√n/n}污染了结构参数θ=(～ρ，α，β)的整个向量，这是由基θ=Rζ的变化引起的。因此，在probit模型中，所有结构参数估计都以较慢的{Ⅹn/Ⅹn}-速率收敛。方程（24）本身并不直接提供一个可行的推断策略，因为矩阵r依赖于未知π。当然，矩阵R可以被一致地估计。然而，正如Antoine和Renault(2012)所解释的（参见对他们定理4.5的讨论），保证R的估计不污染（24）中的渐近分布的一个条件是矩阵R以快于N1/4的速度可估。在probit模型中，matrixR只依赖于未知的真约化形式参数π，该参数是强可估的，且在≤n-速率下是一致可估的。因此，如果Rn表示矩阵R，其中π被πn代替，我们可以得出如下结论：遵循Antoine和Renault(2012)中的定理4.5，τnλ-1nr-1n(θn-θ)d→n0，[ms-1m]-1，[ms-1m]-1，[ms-1m]-1，]。（25）备注8。

公式（25）中的结果表明，等式(25)中的结果表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)表明，等式(25)Gn(θ)θs-1n(θ)=gn(θ)θ是渐近奇异的，除非tuN=O(1)。幸运的是，Antoine和Renault(2012)中的定理5.1允许我们得出基于GMM估计量θn的Wald推论的标准公式是渐近有效的。主要的直觉是，Wald推论所隐含的学习消除了所需的重标度项。由于重标度因子在实际中是未知的，这就更加重要了。我们强调，这一结果与一般非线性情况下渐近正态性要求快于n1/4的收敛速度形成了鲜明的对比，这只是由于probit模型的特殊性，我们能够在识别不是真正弱的情况下立即进行有效的Wald推理。也就是说，任何接近弱，即使严重到任意接近于τn，仍允许我们计算一致的GMM估计量，并根据该估计量应用Waldinference的标准公式。3.4.2畸变J检验的幂确保渐近受控的WδNIS的大小是通常的J统计量Jn和畸变J统计量Jδn之间的等价性的关键，它们是在弱统计量为零的情况下得到的。然而，正如命题2和定理2所证明的，在交替假设下，线索是一致的和渐近正态的。因此，至少在调谐参数δn的合理回波下，Jn和Jδn是渐近等价的，这是没有理由怀疑的。下面的结果表明，在该备选方案下，在扰动序列δn的广泛选择范围内，畸变J检验Wδn是弱仪器零值的协调检验。定理3（畸变J检验：在该备选方案下）。如果假设1-6是充分的，则在此备选方案下，只要{√n/多n}δn→∞为n→∞就等于δn→∞是一致的。定理3暗示我们对δn的选择对扭曲J检验的幂有重要的结果。所有其他条件相同，测试越慢δn到零，测试就越有力。然而，这也有助于理解在定理3的结果无效之前δncan收敛到零的速度有多快。为此，考虑对δn的速率要求，这是由对某些0<λ<1/2的参数化[nas]N=Nλ而产生的。利用这个参数化，我们看到只要δnn1/2-λ→∞,畸变J检验是一致的，并阐明了如果δn1/2-λ→∞快到零，即δnnλ-1/2,检验就不可能是一致的。注10。值得记住的是，假设2坚持认为结构矩和简化形式矩都是正确指定的。因此，当观测数据导致wδn被拒绝时，我们立即得出结论，这不是由于对矩条件的错误描述，而是由于它们的识别能力。然而，如果模型是错误的，但我们拒绝弱IDENTI的null，那么我们实际上可以一致地测试模型的错误。实际上，在另一种方法下，标准的overidenti测试{Jn(θn,θn)>χ1-α(h-p)}仍然是模型错误的一致测试。因此，如果我们拒绝弱识别的零值，我们可以将Jn(θn，θn)的值与χ1-α(h-p)进行比较，从而推导出模型错误识别的一致检验。3.5测试过程我们现在解释一种在实践中实现扭曲J检验的方法。测试过程中的关键步骤是微扰（调谐参数）δn的选择。为此，我们取δn=δ/rn，并取xrn=log{log(n)}。

为了给出我们选择δ的方法，回想一下扰动δn=δ/log{log(n)}可以被认为只适用于旋转参数空间中的单一弱方向；即参数η，通过方程(23)，它只不过是~ρ.因此，对于~ρn的大小，应该选择扰动δn。为了保证δns su_cite的值接近于~ρn的大小，我们通过将~ρn的标准控制区间分解为m个相等的区域，为δ设计了一个由m个候选点组成的网格，以保证δns su_cite的值接近于~ρn的大小。对于第i区域，我们设置δi，i=1。到第i个区域的中点。这就产生了具有第i个值的m个扰动，i=1。.m由δi给出，n=δi/rn。虽然可以使用任何给定的δn来进行测试，但我们建议在整个δn,ivalues网格中进行测试，然后通过一个bonferronicorrection适当地修改临界值。特别地，设jδn，等于在扰动δn下计算的检验统计量jδn，i。这种方法将导致我们拒绝弱IDI的零ifmaxi∈{1,...,m}jδn，i>χ1-α/m(H+1-p)。利用上述判定规则，我们的方法可以通过以下四个步骤来实现：（1）计算θn=argminθ∈θjn(θ,θ)；（2）对于给定的m选择，选择调谐参数序列δn=δ/rn，如上所述；（3）对于每一个i=1，选择调谐参数序列δn=δ/rn。..,m,计算检验统计量jδn,i,如第3.3节所述；（4）拒绝规则：如果maxi∈{1,...,m}jδn,i>χ1-α/m(H+1-p),则拒绝。在零假设下，任何选择δn,i=o(1)的检验过程都是大小控制的，而在选择δn的情况下，只对检验的功率有影响。此外，由于δii的值选自一些紧集，除以log{log(n)}可以保证δn，i=o(1)在null和alternative下都是。3.6将经验法则推广到Probit模型我们开始讨论所谓的“经验法则”，最初是受Staigerand Stock(1997)的工作启发，在潜在内生变量y*1ii可观察的不可行情况下，这意味着我们将考虑一个二元线性模型。为了说明的简单性，让我们考虑这个模型的一个简单性，其中向量xionly包含一个常数，这样模型就变成y*1i=αy2i+β+ui(26)y2i=π+ziζ+vi。经验法则从简化形式回归及其对ζ,ζn=(～z～z)-1～z～y的OLS估计量开始，其中对于1na(n×1)-向量oney=(y，y)。.，y2n)，～y=y-y 2 nn,Z=(Z,..，zn),～Z=z-zn,其中y2n=npni=1y2iand zn表示(n×kz)矩阵，该矩阵的第1列的所有熵都等于zj,n=nnxi=1zij。设fn表示检验零假设的f检验统计量，即在约简形式回归中，变量zi的coe_cientss的向量ζ为零。在误差项vi的条件同态性假设下，f检验统计量可以写成asfn=n-kznkzσv,nhζn～z～zζni,vi,σv的方差一致估计量为σv,na。经验法则相当于得出结论，如果fn超过预先指定的阈值值，那么仪器是强的（即一致的估计是可行的），该阈值值与用于检验零假设h:ζ=0的标准临界值脱节，并且Stock和Yogo(2005)已经广泛地证明了这一点。这一规则的理由可以从评论7中考虑的不断变化的DGP中理解。在弱指数零的替代假设下，对于n个大值，ζnéγn=yenkzfnénénσvγvar(zi)γ。

（27）因此，在弱IDENTI_n为零的情况下(utuN=‰N)，在弱IDENTI_n为零的情况下，Fnin方程（27）有一个有限元，而在另一个选择(γn=o(τn))下，统计量FN以γ的平方范数和一个与Var(zi)/Var(vi)成正比的加权矩阵发散到有限元。这听起来像是在不可行模型（26）中测量仪器强度的自然准则，因为简化形式回归将导致控制变量vi=Y2i-π-ziζ和内生性。由于两级残差包含(2SRI):Y*1i=αY2i+β+～ρ[Y2i-π-ziζ]+εi,结构方程将得到控制:Y*1i=αY2i+β+～ρ[Y2i-π-ziζ。（28）由于等式（28）中η=～ρ的正确率依赖于ziζnΩziγ-n的变化，因此用zi的方差来估计归一化后γ的大小听起来似乎很自然。Stock和Andrews(2005)指出：“由于γ接近于零，或者由于ziis的变异性相对于Vi的变异性较低，Ivs可能是弱的，F统计量可能是小的。”然而，只有当约化形式误差项viis条件同态时，F检验统计量才服从Fisher分布（和渐近分布χ(kz)/kz）。当考虑该方程中存在条件异方差时（即非康斯坦方差[Vizi])，可以考虑异方差修正的Fisher检验统计量f_n=n-kzkzhζn∑-1nζni,其中∑nis是∑n(ζn-ζn)渐近方差的相合估计。虽然Stock and Yogo(2005)建议在条件异方差的情况下使用f*n，以扩展经验法则的使用，但包括Andrews(2018)和Montiel Olea和P Dreueger(2013)在内的几位作者已经记录了异方差修正法则的令人失望的性能。对于n large和σv(zi)=var[vi zi]，ζnéγthuN='Akzfénénénγvar(zi)cole～zi)σv(zi)-1var(zi)γ可能有助于澄清这一问题，因为表示~zito是theatrix～z的第i列向量，对于σv(zi)=var(zi)γvar(zi)γ。（29）等式（29）是Antoine和Renault(2020)提供的一个结果的直接扩展，并明确说明了对异方差的测试统计量进行稳健化是如何调整经验法则的。这种修改可以说是令人费解的，因为真正重要的是identified power，即结构方程（28）中的剩余包含，不完全被σv(zi)捕获。更准确地说，在结构方程中直观地起作用的条件异方差是σu(zi)=var[uizi]=～ρvar[vizi]+var[εizi]。Antoine和Renault(2020)证明了这一直觉，他们表明，在GMM框架中嵌套IVestimation过程时，扭曲的J检验导致了一个基于以下加权范数γ的决策规则:n→nγvar(zi)→e～zi～ziσu(zi)→1var(zi)γ。在probit模型的上下文中，当只观察到y1iofy*1ii符号时，2SRI方程为y1i=Φ[αy2i+β+～ρ(y2i-π-ziζ）]+εi，对于某些误差项εi，结构方程中的条件异方差取形式var[εiy2i,zi]=Φiθ[1-Φiθ]，其中Φi(θ)=Φ[αy2i+β+～ρ(y2i-π-ziζ）]。因此，可以认为，对于probit模型的任何一般经验法则不仅必须考虑这种条件异方差，而且还必须考虑结构方程中非线性的影响。在注7的简单上下文中，我们可以期望在probit模型中获得关于弱仪器的精确规则的关键元素是向量V(η)=en^～a(y2i,zi)φiη,θ-ziγ的大小，其中kγk>0。更一般地说，由于由假设5所定义的对弱仪器的替代等于向量V(η)的非零性，所以广义的经验规则应该以V(η)的范数为基础。