离散选择模型中的弱辨识

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如果我们确定ri(θ)是Donsker，则结果如下。考虑重新参数化=(，)，其中:=(α+～ρ，β-～ρπ，～ρζ和:=(π,ζ）。利用θ的紧性，新的参数空间V:={=（,）:θ∈θ}也是紧的。表示w1i=(y2i，xi，-zi)和w2i=(xi，zi)。重写Φ[Y2I(α+～ρ)+XI(β-～ρπ)-ZIζ～ρ]=Φ(w1i)。通过滥用表示法，定义r1i()=Y1I-Φ(W1I)，r2i():=Y2I-W2I,定义函数类F:=RI()=(r1i(),r2i()):∈V，从V的紧性出发，(F,k·k)完全有界于k·k为欧几里得范数。首先，重点讨论r1i()。对于每一个w1i，且对于，ε，V的Va子空间与之相关，假定w1i≥w1i，但不失一般性。那么，对于c∈(w1 i,w1 i）和某个常数c>0，则kr1i()-r1 i(}）k=Φ(w1 i)-Φ(w1 i)=zw1 i w1 i？φ(t)dt=φ(c)w1i(-)≤ckw1 ikk-k。对于(w1i，w2i)的定律，通过假设(A.1)，我们知道了Ep[kw1ik]<∞。现在，考虑r2i()，并注意，对于Va子空间与kr2i()-r2i(}）k≤kw2ikk-k相关联的V，对根据Van der Vaart和Wellner(1996)的定理2.7.11，与V的紧性一起表明F是p-Donsker。对于gi(θ)=[ai,bi]ri(θ),我们得到了vn(θ):=√n([gn(θ)-e[gi(θ)])yenv(θ),对于θ∈θ，其中v(θ)表示一个零均值和零方差核的高斯过程(θ,～θ):=En(gi(θ)-e[gi(θ)])(gi(～θ)-e[gi(～θ)])o.通过假设(a.1)中S(θ,θ)的连续性和θ的紧致性，我们得到了0<supθ,～θ∈θk(θ,～θ)k<∞。以下结果表明，正文中的假设4是对假设1引理的充分利用。3.在假设1下，如果～ai:=～a(y2i,zi,xi）满足en[k～aiziζ(y2i,zi,xi）k]<∞,对于φn(η，θ):=√npni=1{～aiφi(η，θ)ziζ-en[～aiφi(η，θ)ziζ}，n(η，θ)§(η，θ)是一个均零高斯过程。引理3的证明。与引理2的证明类似，证明了函数类sf:=R3i(η)=～aiφ(η，θ)ziζ:η∈γ(θ)是Donsker,其中η:=(～ρ，～ρ+α，β-～ρπ)。因此，我们只给出细节的草图。设wi:=(-ziζ,y2i,xi）。对于η的每一个wiand,在不丧失一般性的情况下，假定wiη≥wiη.设φ(x)表示密度函数φ(x)的导数。然后，对于c∈(wiη，wiη),k～aiφ(η，θ)ziζ-～aiφ(η，θ)ziζk=φ(c)k～aiziζwi(η-η)k≤ck～aiziζwikkη-ηk,对于某个常数c>0,其中的等式是中间值定理，以及柯西-施瓦茨不等式。对于P，wi的联合律，通过假定(a.1)，θ的紧性（假定(a.4))和矩假设对于~ai.，Ep[k~aiziζwik]<∞。其余的证明遵循引理2的证明，为简洁起见略去。对于an=rλn，下面的结果表明，无论对仪器弱点的解释如何，对于任何相合估计量，样本估计量(gn(θn)/θan)都是假定5中M的相合估计量。引理4。若{θn}为kθn-θk=op(1)，则在假设1-6:m=plimn→∞_gn(θn)θan，其中an=rλn。引理4的证明。设gn(θ)=(1 n(θ),2 n(θ),...,gh,n(θ))。n(θn)θ在θ处的均值展开式产生了gl,n(θn)θ=\'gl,n(θn)θ+(θn-θ)\'gl,n(Eθn)θθ,l=1,2,...,其中θ是在θ和θn之间逐分量的。利用矩的结构gn(θ),Φ(·)及其导数ai和bii的光滑性条件都是可测的，不难证明kθn-θk=op(1)蕴涵Hessian乘以An,n(eθn)θθAn=op(1)forl=1,2,...,h。因此，kθn-θk=op(1)和引理1蕴涵结果是充分的。引理5。在假设1-6下，引理1中对λnas的情况下，证明了导出的引理5的证法，证明了导出的引理1中的λnλ-1n(ζn-ζ）=Op(1)。

这一结果是命题2和引理4的一个结果，以及下面的不等式:Jn(ζ,ζ）≥Jn(ζ,ζn)=Jn(ζ,ζ）{1+op(1)}，它是从命题2中ζn和ζn的一致性得到的。对于一些按分量计算的中间值ζ*n，√n\\gn(ζn)=√n\\gn(ζ）-√n\\gn(ζ*n)ζ(ζζn)，我们可以应用不等式ka-bk≥-kak+kbk得到j1/2n(ζ,ζ）≥-k√n\\gn(ζ*n)/ζ(ζζζn)kΩn，其中，Ωn=s-1 n(ζ）,kxkΩn:=(xΩnx)1/2,我们使用的事实是（概率收敛于单位）λmin(Ωn)>0。通过命题2和引理4中证明的ζn的一致性，以及引理1中证明的M的一致性，对于某个常数C>0，我们得到了k√n=gn(ζ*n)/ζ(ζζn)kΩn=kgn(ζ*n)/ζn√nà1n(ζζn)kΩn=km√nà1n(ζnζ）+op√nà1n(ζnζ）kΩn≥ck√nà1n(ζnζ）{1+op(1)}k，其中最后一个不等式是由M是满列秩和λmin(Ωn)>0（概率收敛到1）的事实得出的。将上述不等式应用到第三不等式中，利用Jn(ζ,ζ）=Op(1)，我们得到了命题1主要结果证明的Op(1)≥ck√nyen-1n(ζnζ）{1+Op(1)}K.A.2证明。首先，请注意，ηnH gnθδn-gnθn i=τngnηηη1n,η2n,η3n,θ2nδn，其中η±1n表示θnn和θδn的各分量之间的一个分量中间值。将δn→0回忆为n→∞。因此，我们只需证明θn*1n，η2n，η3n，θ2n=Op(1)。为此，我们为某个中间值θ2n，写出泰勒展开式√n*gnηη*1n，η2n，η3n，θ2n=√n*gnηη*1n，η2n，η3n，θ+gnηθ(η*1n，η2n，η3n，θ2n)θnθ2n-θ，(a.1)。通过构造，θ（或η)和θ的估计量的分离（见第2.2节中的注释3）意味着√n(θ2n-θ)=Op(1)。同样值得注意的是，Stock和Wright(2000)引理A1的应用将允许我们在更一般的情况下证明这一结果。为了看到(A.1)的RHS的第二部分是Op(1)，请注意以下内容:(i)，γgn/ηθ在η和θ中是连续的；(ii),μ(θ)×θ是紧的；(iii)通过假设验证了k_gn/ηθk≤2k～a(y2i,zi,xi)zik,其中e[k～a(y2i,zi,xi)zik]<∞。从I.I.D.那里。数据的性质，统一律oflarge数(ULLN)则意味着所讨论的二阶导数是一致收敛的，再加上θn(θ2n-θ)=Op(1)意味着(A.1)的RHS上的第二项是Op(1)。最后，简单地推导出supη∈(θ)(R)n′gnηη，θ≤supη∈n(θ)en√n′gnηη，θ+supη∈n(θ)n′gnηη，θn′gnηη，θn′gnηη，θn′gnηη，θn′gnηη，θn′gnηη，θn′gnηη，θn′gnηη，θn′gnη在零项下，第二项是O(1)，在假设4（或假设1和引理3）下，第二项是Op(1)。定理1的证明。结果遵循命题1的方向。要看到这一点，请注意，jnθn，θn≤jnhη，～η2n，～η3n，～θ2n，θi，(a.2)其中(～η2n，～η3n，～θ2n)表示(η，η，θ)的不可行CUGMM估计量，如果我们知道η；即～η2n,～η3n,～θ2n=argmin(η，η，θ)jnη，η，η，θ，η，η，η，θ.然而，在假设1-3下，超idition检验的标准理论预测(η，η，θ)产量为JnHη，～η2n，～η3n，～θ2n，θid→χ(H+1-p)，→表示分布收敛。因此，命题1中的结果意味着Jδ上有χ(H+1-p)随机变量的渐近有界，从而得到了检验Wδn所必需的sizecontrol。命题2的证明。

我们在旋转的参数空间中工作，收集为ζ：=(η，θ)，并注意，在（23）中，通过改变基θ=rζ可以将结果移到原始参数上。首先，我们证明了存在一个确定性对角矩阵eλn，一个连续于ζ的向量函数γ(ζ）和一个连续于(η，η)的向量函数q(η，η)，使得在我们的DGP漂移下，en[(γgn(ζ）]=eλn√n(R)+q(η,η)，γ(ζ）=0和q(η,η)=0ζ=0,其中eeλn具有最小和最大特征值，分别表示为λmin[eλn]和λmax[eλn]，满足:limn→∞λmin[eλn]=∞和limn→∞λmax[eλn]/τn<∞。在此之后，我们可以将类似的策略应用于一个定理2.1 Toine和Renault(2012)建立了参数ζ的估计一致性:=(η，θ)。为了简化计算，我们在xi=1的情况下建立了这个结果，对我来说，和标量子，得到矩函数:GI(θ)=(g1i(η，θ)，g2i(θ))，其中1i(η，θ)=ai(Y1I-Φ[-ηziζ+ηY2I+η])，g2i(θ)=y2i-π-ζzizi(y2i-π-ζzi)。根据假设2中的证明条件，θ=(π,ζ）可以直接证明为[g2i(θ)]=0，这将产生最小二乘估计θ:=πnζn=y 2n-ζn(zi-zn)(y2i-y2n)/pni=1(zi-zn)和y2n=pni=1y2i/n)，在假设1和2下，这些估计显然是√n一致且渐近正规的本文给出了符合gi(η,θ)=(g1i(η,θ),g2i(θ))的随机过程§n(η,θ)=(§1n(η,θ),§2n(θ)),其中，通过滥用符号，我们将g2i(θ)写成g2i(θ)。从(πn，ζn)的τn-一致性和§1n(η)的随机等度连续性出发，θ)，我们可以把我们的分析限制在v1n(η)的单性态上，θ)到集合πn:={(η，θ):η∈γ(θ)，θ∈θ2，n}，对于π(θ)如上式（21）所规定的，其中对于某些δ>0和δ=o(1)，θ2，n:=θ2n:kθ2n-θk≤δ/√n。其余部分，我们将θ2n=θ2，n中的任意序列。对于θ2n，回想一下，使用方程（18）中的分解，对于某些η≤η≤η，m1n(η，θ2n)=m1n(η，θ)+m1n(η，θ2n)-m1n(η，θ2n)=q11,n(η)/θ2n+，对于有些η，η≤θ1n(η，θ)+m1n(ηq12,n(η，η)+op(n-1/2)=(η-η)en“nnxi=1～aiφi(η，η，η；θ)ziζ+q12,n(η,η)+op(n-1/2)。(a.3)从技术上讲，函数γ(·)和q(·,·)是n相关的，因为我们是在一个漂移的DGP的背景下。然而，为了减少符号负担，我们抑制了这些函数对n的依赖。此外，通过假设5，一致地overn=η=(η，η，η)ε(θ)，en“nnxi=1～aiφi(η，θ)ziζ#n-v(η)=o(1)所以m1n(η，θ2n)=Ω-1n(η-η)V(η)+q12，n(η，η)+op(n-1/2)。(A.4)现在，将√n g1n(η，θ2n)分解为√n g1n(η，θ2n)=√n{g1n(η，θ2n)-m1n(η，θ2n)}+√nm1n(η，θ)+√nm1n(η，θ)+ηnn1n(η，θ)+√nn(η)(η-η){1+op(1)}+√nq12，n(η，η)。回想一下引理2,vn(η，θ)yenv(η，θ)op(1)一致地对ηε(θ).definneλn:=√n/πn，它将λn→∞满足为n→∞,其中λn=o(√n)由假设5的规定。现在，我们定义矩阵λn:=λnidim(g)OO n1/2idim(g)和向量γ(ζ）=v(η)(η-η)en[(g2n(θ)]，q(η，η)=q12，n(η，η)。然后，直到op(1)项，√n′gn(η，θ)=√n{}gn(η，θ)-en[(gn(η，θ))]}+√nen[(gn(η，θ))]=n(η，θ)+eλnγ(ζ）+√nq(η，η)+ηnq(η，η).结果的其余部分遵循与Antoine and Renault(2012))中定理2.1类似的策略）。设W为正解H×H矩阵，解K×KW:=xW×.对于§n(ζ）,e^an，γ(ζ）,我们可以在旋转参数空间中改写CUGMM目标函数asjn[ζ,ζ]/n=vn(ζ）√n+eλn√nγ(ζ）+q(η,η)Ωn(ζ）,对于Ωn(ζ）:=s-1n(ζ）,通过对ζn，jn[ζ,ζ]≥jn[ζ,ζ]的认识，它意味着§n(ζ）/√nΩn(ζ）≥n(ζn)/√nγ(ζn)/√n+q(η2n,η3n)的CUGMM目标函数。Ωn(ζn）。(A.5)definneΩn:=Ωn(ζ）,Ωn:=Ωn(ζn),xn:='An(ζn),yn:=eλnγ(ζn)+√nq(η2 n,η3 n）和dn:='An(ζn)各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门各门将λmin[A]和λmax[A]分别表示为矩阵A的最小和最大的特征值。然后，从(a.5)中得到0≥jn[ζn,ζn]-jn[ζ,ζ]=dn+kynkΩn+2(Ωnxn)yn≥dn+kynkλminhΩni-2kynkkΩnxnk。

(a.6)当Zn:=kynk并且对于λMinHΩNi>0时，我们可以将方程(A.6)重新排列为Zn-2ZnKΩNxNKλMinHΩNi+dnλMinHΩNi≤0。解出上述方程，对于ZnYilds:BNTMBN-CN1/2≤Zn≤BN+BN-CN1/2,BN:=KΩNxNKλMinHΩNi,CN:=DNλMinHΩNi,(A.7),其中根据CNN和BN，我们知道BN-CN≥0。从(a.7)得到如下结果:IFbn=Op(1),cn=Op(1)。考虑bn，注意atbn≤kxnkλmaxhΩniλminhΩni≤supζ∈Zk'An(ζ）ksupζ∈Zλmax[Ωn(ζ）]infζ∈Zλmin[Ωn(ζ）]。通过引理2的结果，supζ∈Zk'An(ζ）k=Op(1)。因此，只要n足够大，概率接近1，则Bn=Op(1)0<infζ∈Zλmin[Ωn(ζ）]≤supζ∈Zλmax[Ωn(ζ）]<∞,在此结果的假设下，它保证满足n足够大的条件。对于Cn,回顾dn=k'An(ζn)kΩn-k'An(ζ）kΩn,我们得到Cn≤2supζ∈Zk'An(ζ）ksupζ∈Zλmax[Ωn(ζ）]infζ∈Zλmin[Ωn(ζ）]。重复Cnas对于BN的相同论点，得到Cn=Op(1)。将bn=Op(1)，cn=Op(1)应用到方程(A.7)中，我们得到了zn=kynk=Keλnγ(ζn)+√nq(η2n,η3n)k=Op(1)。然后得出kγ(ζn)+q(η2n,η3n)k=OP1/λn。通过修改标准论点，ζn的一致性如下（参见Newey和McFadden(1994)，第2132页）。通过γ(ζ）+q(η)的连续性，η)，对于任何>0，存在prhkζn-ζk>i≤prh nγ(ζn)+q(η2n,η3n)O-γ(ζ）-Q(η,η)>δi但是，通过假设5,V(η)对于ηε(θ)一致为非零,从而在假设2的等价条件和假设3的等价条件下,我们可以得出:kγ(ζ）+q(η,η)k≤supηεπ(θ)kk(η)kkη-ηk+ken[.g2n(θ)]k+kq12,n(η,η)k=0≈ζ=ζ,因此,prhkζn-ζk>i≤prhδ<γ(ζn)+q(η2n,η3n)i=o(1)，其中最后一个等式是由kγ(ζn）的事实得出的)+q(η2n,η3n)k=op1/λn，λn→∞为n→∞。引理1的证明。在旋转参数空间中，旋转矩函数为gi(ζ）=air1i(ζ）+bir2i(θ)=～ai(y2i,xi,zi)r1i(ζ）～bi(xi,zi)r2i(θ)=G1i(ζ）g2i(θ)。(H×p)维雅可比矩阵gi(ζ）/ζ由gi(ζ）/ζ=G1i(ζ）/ηg1i(ζ）/θo g2i(θ)/θ给出。对于λnas，在结果的陈述中为gn(ζ）ζλn=gn(ζ）ζζζn+en\'gn(ζ）ζn=Op(Ⅵn/√n)+Op(1)+en\'gn(ζ）ζn=Op(1)+en\'gn(ζ）ζn=Op(1)+en\'gn(ζ）ζn。(a.8)第二个等式是由假设5得出的，其余导数的一致收敛是由假设1、2和iid数据的ULLN得出的。第三个等式是由以下事实得出的：tutun/√n=o(1)。对于表示对角线矩阵λ1n:=θnoo Ikx+1的λ1n，我们将(p×p)维矩阵λn=λ1noo Ikx+kz进行分解。由此，方程(A.8)中的最后一项可以表示为asengn(ζ）ζλn=engn(ζ）η...gn(ζ）θn=engn(ζ）ηλ1n...gn(ζ）θ。(A.9)回想假设3下的函数q11，n(η)和q12，n(η，η)，可以看出分量不等式(A.9)的形式为:gn(ζ）ηnoo ikx+1=q11,n(η)ηnoo q12,n(η，η)(η，η)！=v(η)oo q12,n(η，η)(η，η)！=M(η)。根据假设3(ii),M(η)的东南块具有列秩1+kx，而根据假设5,M(η)的东北块具有列秩1。因此，由于M(η)是块对角的，因此得到了Limn→∞col-rank=M(η)=2+kx。对于(a.9)中的第二项，回想gi(ζ）/ζ的雅可比，我们有thaten\'gn(ζ）θ=en\'g1n(η，θ)/θ2 n(θ)/θ=en[(O:~A(y2i，xi，zi)φi(η，θ)ηzi)]enh～b(xi，zi)(xi:zi)i！根据假设5，矩阵enh～b(xi，zi)(xi:zi)i具有列秩(kx+kz)。结合两个雅可比项，可以看出方程(A.9)中的H×p维雅可比矩阵Asen~gn(ζ）ζn=M(η)en[(O:～a(y2i，xi，zi)φi(η，θ)ηzi)]O enh~b(xi，zi)(xi:zi)i！矩阵xm=plimn→∞gn(ζ）ζn存在并满足要求结论:Col-rank[M]=limn→∞Col-ranknenh～b(xi，zi)(xi:zi)io=(2+kx)+(kx+kz)=p定理2的证明。

从CUGMM目标函数的顺序条件来看，ζnsatis esn gn(ζn)ζsn(ζn)-1gn(ζn)-W·n gn(ζn)ζsn(ζn)-1gn(ζn)=0(a.10)对于W defined asW·√n gn(ζn)ζ=covgn(ζn)ζ,gn(ζn)！ih hsn(ζn)-1√n gn(ζn)i,(a.11)，其中Cov(·)covgn(ζn)ζ,gn(ζn)n）！：=“cov1 n(ζn)ζ,gn(ζn)！,···,cov1 gh,n(ζn)ζ,gn(ζn)！#。(A.12)将(A.11)代入(A.10)，并将等式(A.10)的两边乘以n-1/2，我们得到√n。gn(ζn)ζsn(ζn)-1。gn(ζn)-CoV。gn(ζn)ζ,gn(ζn)！×IH hsn(ζn)-1√n。gn(ζn)i sn(ζn)-1gn(ζn)=0。(A.13)将中值定理应用于。gn(ζn),gn(ζn)=gn(ζ*n)ζ(ζn-ζ）=gn(ζ/n)ζ(ζn-ζ）=gn(ζ/n)+n-1/2。gn(ζ/n)ζnn1/2yen-1n(ζn-ζ）。由命题2,ζ是一致的，由引理5,√nyen-1n(ζn-ζ）=Op(1)。然后引理4和假设5得出n-1/2。gn(ζ*n)ζ和nn1/2:/1n(ζn-ζ）=n-1/2mop(1)+op(n-1/2)=op(n-1/2)，这样我们就可以得出n(ζn)=gn(ζ）+op(n-1/2)的结论。（a.14）从(a.14)中，我们可以通过引理2和En[Gi(ζ）]=0（在假设2下）,特例[Gi(ζ）],特例[Gn(ζ）]§§(ζ）,其中§(ζ）是均值为零且方差矩阵为S(ζ）的高斯过程。因此，*gn(ζ）=Op(n-1/2)，与(a.14)一起，我们得到了*gn(ζn)=Op(n-1/2)。给定引理2和3，并考虑supζ∈Zks-1n(ζ）k<∞的事实，上述结果得到:CoV_gn(ζn)ζ,_gn(ζn)！=Op(1)，和IH hsn(ζn)-1√n_gn(ζn)_i=Op(1)。(a.15)From（gn(ζ）=Op(n-1/2)和(a.15)中的结果，(a.13)左手边的第二项是Op(n-1/2)。那么，(a.13)就变成了√n′gn(ζn)ζsn(ζn)-1′gn(ζn)=Op(n-1/2)。(A.16)将(A.14)插入(A.16)并将两边乘以λn，我们得到了(n-1/2)λn=√nλgn(ζn)ζSn(ζn)-1·gn(ζn)ζSn(ζn)-1·gn(ζ*n)ζnλ-1n(ζn-ζ）。(A.17)此外，从Z的紧致性，gi(ζ）的连续性，假设1,以及ζn,kSn(ζn)-S(ζ）k=kSn(ζn)-S(ζn)+S(ζn)-S(ζ）的相合性出发，得到了ζZ上Sn(ζ）到S(ζ）的一致收敛性，kSn(ζn)-S(ζn)+S(ζn)-S(ζ）的一致收敛性。k≤kSn(ζn)-S(ζn)k+kS(ζn)-S(ζn)k≤supζζzksn(ζ）-S(ζ）k+kS(ζn)-S(ζ）k=op(1)。(A.18)此外，引理4和方程(A.18)通过ζn的一致性，暗示了γgn(ζn)ζnp→M,λn的gn(ζn)ζsn(ζn)-1gn(ζn)ζn→M，由于假设5(i)下H×p矩阵M是满列秩的，则S的非奇性和M的秩条件暗示了λngn(ζn)ζsn(ζn)-1gn(ζn)ζ对足够大的n是可逆的。因此，从(a.17)和λNOP(n-1/2)=Op(kλn/√nk)=Op(1)中，我们得到了√nyen-1 n(ζnζ）=-“λn}gn(ζn)ζsn(ζn)-1gn(ζn)ζn)ζn#-1λn}gn(ζn)ζsn(ζn)-1√n}gn(ζn)+Op(1)。(A.19)因此，基于引理2中的(A.18)、(A.19)和λngn(ζ的渐近正态性，得到了所需的结果。定理3的证明。回顾方程（22）中θδn的定义，对于下列情况，我们得到了一个平均值展开式:=Rλn，其中R定义为(23)，√n gn(θδn)=√n gn(θδn)=√nnxi=1 gi(θ*n)θ(θδn-θ)=√n gn(θθn)+θn(θθn)θan√nA-1 n(θn-θ)+√n gn(θθn)θ@1np-2-kx，(a.20)，其中θn=θnandθ之间的逐分量关系，且设为φ1n=(δn,-δn,δnπ）N）。我们现在分析(A.20)中的每一项。对于(A.20)中的第1项，通过引理2，√n/gn(θ)=Op(1)。对于第二项，恢复旋转参数ζ=(η，θ)，其中ζ:=r-1θ，如（23）所示。在另一种假设下，kθn-θk=op(1)(proposition2)，(23)也意味着kζ*n-ζk=op(1).那么，就得出了\'gn(θ*n)θan√nA-1n(θn-θ)=\'gn(Rζ*n)ζζn√n≈1nζnζζ=M·op(1)+op(1)=op(1)，其中第二个等式来自引理4和5，特别是入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者入侵者因此(A.20)中的第二项是Op(1)，现在，集中讨论(A.20)中的最后一项。

从1n=(δn,-δn,δnπn)起，对于用πn代替π来表示R的rn来说，我们得到了1np-2-kx=rnδnp-1，这样我们就可以写出√n.gn(θ*n)θ1np-2-kx=√n.gn(θ？n)θRδnp-1。然后，√n.gn(θ？n)θRδnp-1=√n.gn(θ？n)θRδnp-1+gn(θ？n)θRδnp-1θn(θ？n)θRδnp-1θn(θ？n)θRδnp-1θn(θ？n)θRδnp-1=√n\\gn(θ？n)θRδnp-1+Op(δn)=gn(Rζ？n)ζn√nà1nδnp-1+Op(δn)=v(η)δn{√n/多n}p-1+Op(1)，(a.21)，其中第二行后面是引理5，这意味着√n(r-r)=Op(1)，以及引理4中样本雅可比的收敛性，第三行来自重写项；第四个来自Lemma4；最后一行来自引理4和M是满秩的事实（引理1）。将这些顺序结果应用于(A.20)中的三项，我们得到了√n gn(θδn)=Op(1)+V(η)δn{√n/多n}p-1+Op(1)。由于kV(η)k>0由假设5得到，当{√n/多n}δn→∞时，我们得出了√n gn(θδn)发散。利用上述结果，我们现在可以证明Jδn在另一种选择下发散。从引理2的证明中，N1/2{gn(θ)-en[gn(θ)]}§v(θ),(a.22),其中v(θ)是一个均值为零且协方差核有界(θ,θ)的θ上的高斯随机过程。在假设5下，由于θδnp→θ，一致收敛性(A.22)表明，这些协方差矩阵满足Sn(θδn)p→S(θ)。因此，当n足够大时，Sn(θδn)是有界最大特征值的正定值。因此，jδn≥λminhs-1n(θδn)i√n′gn(θδn)，(a.23)其中λminhs-1n(θδn)i>0。因此，{√n/n}δn→∞意味着PLIMN→∞jδn→∞。A.3表和图2：在λ=0.5（显著水平5%,ρ=0.50)下的估计和拒绝率σz=1σz=1σz=0.2σz=10σv=0.2σv=10σv=1σv=1σv=1σv=1σv=1σv=1n=500bias 0.690-0.045-0.050-0.058-0.048S.D。4.982 0.627 1.307 1.455 1.501 RRMSE 5.027 0.628 1.308 1.456 1.501瓦尔德大小失真(2SCML)-0.003-0.004-0.003-0.004 0.000瓦尔德大小失真(CUGMM)-0.026-0.036-0.037-0.031-0.031ss 0.061 0.056 0.061 0.060 0.063 sy（5%）0.007 0.005 0.009 0.008 0.004 sy（10%）0.091 0.085 0.090 0.076 0.080鲁棒性（5%）0.0000 0.005 0.009 0.008 0.004鲁棒性（10%）0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.124 s.d。4.526 0.301 1.078 1.091 1.260 RRMSE 4.557 0.327 1.078 1.093 1.266瓦尔德大小失真(2SCML)-0.005-0.023-0.009-0.016 0.017瓦尔德大小失真(CUGMM)-0.030-0.047-0.033-0.040-0.023SS 0.099 0.069 0.057 0.070 0.085 SY（5%）0.015 0.008 0.009 0.010 0.003 SY（10%）0.132 0.088 0.095 0.091 0.119稳健（5%）0.000 0.002 0.001 0.001 0.000 0.000稳健（10%）0.001 0.002 0.001 0.0000 0.000 Robust（10%）0.001 0.002 0.001 0.0000 0.0000 DJ 0.013 0.025 0.012 0.013 2 0.130 s.d。4.354 0.266 1.050 0.993 1.191 RRMSE 4.391 0.285 1.051 0.992 1.197 Wald大小失真(2scML)0.007-0.016 0.001-0.004 0.022 Wald大小失真(CUGMM)-0.026-0.047-0.030-0.032-0.026 SS 0.130-0.072 0.091 0.088 0.103 SY（5%）0.023 0.012 0.016 0.006 0.008 SY（10%）0.174 0.098 0.129 0.116 0.151 Robust（5%）0.0000.0000.0000.0000.00000 Robust（10%）0.001 0.000 0.0000 0.0000 0.001 0.001 DJ 0.013 0.019 0.019 0.010 0.018注：(a)如果fn>10，SS拒绝空值。如果Cragg-Donald统计量大于5%Wald测试的最大5%和10%大小失真的临界值，则SY(5%)和SY(10%)拒绝空值，(b)对于稳健性（5%）和稳健性（10%）测试，拒收率是根据Montiel Olea和P Greueger(2013)表1中的临界值计算的，(c)DJ试验的拒绝率是根据摄动~ρ/log{log(n)}和临界值χ0.95(2)=5.99计算的。表3:λ=0.5（显著水平5%,

10.316 0.758 2.866 3.145 2.883 RRMSE 10.591 0.758 2.867 3.144 2.881 Wald大小失真(2SCML)0.168 0.003 0.1100.128 0.126 Wald大小失真(CUGMM)0.110-0.022 0.073 0.074 0.090 SS 0.072 0.049 0.053 0.062 0.061 SY（5%）0.006 0.004 0.004 0.010 0.007 SY（10%）0.105 0.066 0.076 0.088 0.088 Robust（5%）0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000.Robust（10%）0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000.Robust（10%）0.0000 0.00008.506 0.444 2.232 2.119 2.259 RRMSE 9.187 0.449 2.251 2.124 2.294 Wald大小失真(2SCML)0.236 0.014 0.151 0.121 0.156 Wald大小失真(CUGMM)0.158-0.012 0.091 0.076 0.102 SS 0.113 0.050 0.076 0.063 0.087 SY（5%）0.013 0.005 0.012 0.009 0.007 SY（10%）0.158 0.068 0.099 0.085 0.120 Robust（5%）0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Robust（10%）0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000.Robust（10%）0.001 0.000 0.000 0.000 0.000.Robust（10%）0.0018.826 0.459 2.167 1.915 1.988 RRMSE 9.429 0.465 2.230 1.971 2.099瓦尔德大小失真(2SCML)0.271 0.019 0.164 0.140 0.177瓦尔德大小失真(CUGMM)0.171-0.008 0.1120.094 0.122SS 0.138 0.047 0.079 0.077 0.090 SY（5%）0.016 0.004 0.006 0.008 0.008 SY（10%）0.185 0.074 0.106 0.102 0.116鲁棒性（5%）0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000鲁棒性（10%）0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000如果Cragg-Donald统计量大于5%Wald测试的最大5%和10%大小失真的临界值，则SY(5%)和SY(10%)拒绝空值，(b)对于鲁棒性（5%）和鲁棒性（10%）测试，拒绝率根据Montiel Olea和P Greueger(2013)表1中的临界值计算，该临界值分别对应于e-ective自由度1和公差阈值5%和10%，其中公差是Nagar偏差相对于基准的分数。(c)DJ测试的拒绝率根据扰动～ρ/log{log(n)}和临界值χ0.95(2)=5.99计算。表4：已婚妇女LFP（Obs.753）均值STD的数据摘要。戴夫。Min MaxLFP 0.57 0.50 0 1教育12.29 2.28 5 17父亲教育。8.81 3.57 0 17Mother Educ。9.25 3.37 0 17Experience 10.63 8.07 0 45 Exper平方178.04 249.63 0 202 5非妻子收入（1000美元）20.13 11.64-0.029 96年龄42.54 8.07 30 60#孩子<6岁0.24 0.52 0 3#孩子>6岁1.35 1.32 0 8注：教育、父亲/母亲教育和经验以年为单位测量。表5：弱仪器测试（信号水平5%）SS SY(5%)SY(10%)稳健（5%）稳健（10%）DJ（最小和最大）统计量81.89 81.89 81.89 91.44 91.44 0.14和17.44临界值10 19.93 11.59 8.58 6.17 11.98拒绝HReject拒绝Reject拒绝Reject注意：(a)SS和SY测试统计量81.89是Kleibergen-Paap F-stat，是异方差稳健的。当假设同态标准差时，F-统计量和Cragg-Donald F-统计量的约简值为95.70。scritical值10是经验法则。SY(5%)和SY(10%)的临界值为19.93和11.59。错误，最大期望大小失真分别为5%瓦尔德测试的5%和10%。(b)使用Stata命令“weakivtest”（P Greueger and Wang(2015))基于异方差-鲁棒性S.E.计算鲁棒性测试统计量和临界值。Robust(5%)和Robust(10%)的临界值8.58和6.17分别是2SLS的Nagar偏差容忍度比基准高出5%和10%。在公差{5%,10%}的情况下，估计的自由度分别为1.82和1.84。(c)采用3.3节中的方法选择DJ试验的摄动。临界值为χ1-0.05/20(H-P+1)=11.98。表6：劳动力参与(LFP)2SCML，Probit CUGMM1步2步边际由结构EQ缩减的回归结果。边缘(1)(2)(3)(4)(5)(6)相关VaR。