离散选择模型中的弱辨识

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摘要翻译：
我们研究了离散选择模型中弱辨识的影响，并对这些模型中辨识强度的决定因素提供了见解。利用这些观点，我们提出了一种新的测试方法，该方法可以在常用的离散选择模型（如probit,logit及其许多扩展）中一致地检测弱识别。此外，我们还证明了当弱辨识的零假设被拒绝时，基于Wald的推理可以使用标准公式和临界值进行。一项蒙特卡罗研究将我们提出的测试方法与通常应用的弱识别测试进行了比较。结果同时证明了我们的方法的良好性能和在离散选择模型上下文中使用传统的线性模型弱辨识检验的根本失败。此外，我们在两个实证例子中比较了我们的方法与文献中通常应用的方法：已婚妇女劳动力参与，以及美国、粮食援助和国内冲突。
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英文标题：
《Weak Identification in Discrete Choice Models》
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作者：
David T. Frazier, Eric Renault, Lina Zhang, Xueyan Zhao
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最新提交年份：
2021
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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英文摘要：
  We study the impact of weak identification in discrete choice models, and provide insights into the determinants of identification strength in these models. Using these insights, we propose a novel test that can consistently detect weak identification in commonly applied discrete choice models, such as probit, logit, and many of their extensions. Furthermore, we demonstrate that when the null hypothesis of weak identification is rejected, Wald-based inference can be carried out using standard formulas and critical values. A Monte Carlo study compares our proposed testing approach against commonly applied weak identification tests. The results simultaneously demonstrate the good performance of our approach and the fundamental failure of using conventional weak identification tests for linear models in the discrete choice model context. Furthermore, we compare our approach against those commonly applied in the literature in two empirical examples: married women labor force participation, and US food aid and civil conflicts.
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关键词：离散选择模型 选择模型 econometrics Contribution Conventional

David T.Frazier？Eric Renault？Lina Zhang,Zhao Shueyan§1,2021年1月21日摘要我们研究了离散选择模型中弱识别的影响，并对这些模型中识别强度的决定因素提供了一些见解。利用这些观点，我们提出了一种新的测试方法，它可以在常用的离散选择模型（如probit、logit和它们的许多扩展）中一致地检测弱识别性。此外，我们还证明了当弱识别性的零假设被拒绝时，可以使用标准公式和临界值进行基于Wald的推理。蒙特卡洛研究将我们提出的测试方法与常用的弱识别测试进行了比较。这些结果同时证明了我们的方法的良好性能，以及在离散选择模型上下文中对线性模型使用传统的弱识别检验的根本失败。此外，我们将我们的方法与文献中常见的方法进行了比较，在两个实证例子中：已婚妇女劳动力参与、美国、粮食援助和民事救济。关键词：离散选择模型；薄弱的仪器；弱识别；实证检验1导言计量经济研究的一个普遍方面涉及估计一些与政策相关的治疗变量对感兴趣的结果变量y的因果影响。结果通常是定性的，治疗通常是内源性的，当使用观察数据非经验研究。例如，在发展中国家，研究某些经济条件对民事犯罪发生率的因果关系的研究越来越多。在此背景下，经济状况可以用“经济增长”等状态变量（见Miguel et al.，2004)或美国粮食援助等政策工具（见Nunn and Qian，2014)来概括。在这种情况下，*莫纳什大学计量经济学和商业统计学系，以及澳大利亚优秀数学和统计学中心(ACEMS)(david.frazier@Monash.edu).沃里克大学经济学系。*莫纳什大学计量经济学和商业统计学系。§Monash大学计量经济学和商业统计学系。设置，最常见的建模策略是将定性结果变量Y*描述为潜在定量变量Y*的已知函数，并且Y*由一个回归方程驱动:Y*1i=αY2i+Xiβ+ui,i=1。..,n,（1）其中y2是因果影响值得注意的（标量）变量，x2是kx外生变量的向量，为了说明的简单性，我们认为i=1,2,...,n表示独立同分布（i.i.D.）我们将我们的注意力限制在这样的设置中，其中不可观察的y*1ii和可观察的y1ii之间的关系是由阈值交叉机制给出的，并且常规的specifi如下:y1i=1[y*1i>0]。感兴趣的因果分析是通过对因果参数α的真实未知值的统计推断来进行的，为了说明（可能的）同时性的存在，必须仔细地对其进行修正。然而，通常情况下，处理变量Y_∞不是外生的，这意味着结构模型（1）不能解释为Y_∞给定Y_∞和X的条件期望模型。由于这个原因，(1)中结构参数的确定，特别是因果E ectα的确定，需要一组有效的（即外生的）工具变量（以下简称IV)，通篇用Z表示。至关重要的是，因果E ect的确定依赖于潜在工具与治疗变量的相关性，即IVs的“强度”。

weakIVs的后果和检测已经在线性模型中得到了广泛的研究，但目前还不清楚二元模型中的工具强度是如何确定α的，因此我们可以在给定的分析中获得任何因果解释的。为了说明这一点，考虑Nunn和Qian(2014)给出的具体例子，该例子预见了美国粮食援助对民事欺诈发生率的影响。让Y2等于美国对国家i的粮食援助的数量，并假设我们有兴趣分析Y2是否对民事犯罪的概率有因果影响，犯罪的发生率由二元变量Y1i表示。在这种情况下，人们必须关注反向因果关系的存在（“国家接受美国国际开发署是不是正是因为它们做得不好？”）或共同原因（“美国战略目标可能是CON和粮食援助收入的共同原因吗？”）关于这两个变量，这导致Nunn和Qian(2014)使用滞后的美国小麦产量作为IV来确定美国粮食援助的因果影响。虽然Nunn和Qian(2014)考虑了各种不同版本的线性概率和风险模型，涉及到民事案件的二元结果，但在这些不同的具体情况下，Nunn和Qian(2014)用来评估其结论有效性的IDENTI强度的唯一度量是那些明确为线性模型设计的度量，如来自阶段回归的Kleibergen-Paap f-statistics（Kleibergen and Paap,2006），这些度量在二元或风险模型中都没有统计学意义。本文的目标是理解、表征和量化IDENTI强度的概念，因为它与离散选择模型有关。我们有三个主要贡献。首先，我们给出了内生离散选择模型中识别强度的一个新的刻画。在引言中，我们使用术语“外生”来指代解释变量Xi，以及工具变量Zi。在第2.1节中，我们根据Newey等人。(1999)，一个精确的控制变量概念，它与一般的外源性概念有关，但不等价。以更多的符号为代价，本文发展的方法可以很容易地推广到各种各样的多项式模型，例如有序的probit模型。在某种程度上，本文所讨论的二元情形是关于潜在变量可观测性的信息丢失的最极端的情形，这表明信息的信息可能受到工具与内生变量之间线性相关性以外的其他因素的显著影响。我们的第二个贡献是使用这种识别强度的特征来为“识别如此弱以至于点估计器不一致”的零假设提出一个一致的检验，而在另一种选择下，一致的估计是有保证的。我们的贡献是证明，在另一种选择下，我们可以以标准的方式进行基于沃尔德的推断。我们现在更详细地讨论这些贡献，并将它们放在更广泛的关于弱识别的文献中。测试识别强度：现有文献和贡献自Staiger和Stock(1997)的分析以来，从业者已经使用了广受好评的“经验法则”来测量Y*1 IIS情况下的仪器强度。在线性回归模型中，由简化形式回归方程得到的F-统计量的大小可以说是确定仪器强度的最常用的度量。在经验法则的发展之后，人们提出了这一度量的几个具体的重新定义，实际上也提出了线性模型中弱工具的概念。Stock和Yogo(2005)在线性模型中给出了弱仪器的定量识别，并用此识别对弱仪器进行了形式化检验。

虽然Stock and Yogo(2005)的方法依赖于有条件的同态和序列不相关的回归误差，但Montiel Olea和P Dreueger(2013)将Stock and Yogo(2005)的检验策略推广到异态和序列相关的误差。正如Antoine和Renault(2009，2012)所提出的，以及Hahn和Kuersteiner(2002)和Caner(2009)所做的工作，在非线性模型中，在弱一致性（当估计量不一致时）和强一致性（当估计量一致并在n1/2速率下渐近正态时）的极端情况之间，可以存在一个一致性强度范围。事实上，这些作者已经证明广义矩量法(GMM)估计可以在比N1/2的正则速度慢的情况下一致，但只有在收敛速度严格大于N1/4的情况下，基于闭经分布近似的标准推论才是成立的。关键问题是，当收敛速度过慢且模型是非线性的时，Taylor展开式中支配估计量行为的二阶项相对于其他阶项可能不可忽略，因此标准渐近推论可能不再有效。这种缓慢的收敛速度在许多弱仪器的Cecase中也有记录（见Newey and Windmeijer，2009和其中的参考文献），而Andrews and Cheng(2012)对近强仪器的ageneral研究可用。Antoine and Renault(2020)利用这种不同识别强度的特征，设计了一种测试策略，能够检测由GMM估计的（某些水平的）仪器强度非非线性模型。该检验被称为畸变J检验（DJ检验），它是在连续更新GMM(CUGMM)估计量的扰动值上计算GMM J检验统计量的基础上提出的。这个测试背后的逻辑是，如果IDENTI真的很弱，asmall对J统计量内的矩的扰动不会显著改变它的值，而如果IDENTI不弱，这种扰动将导致J统计量值的显著增加。与其他对弱identi稳健的推理策略类似，该方法明确依赖于CUGMM目标函数的性质，正如Stock和Wright(2000)最初指出的那样，CUGMM目标函数自动控制弱identi下GMM目标函数的行为。有趣的是，Antoine和Renault(2020)已经证明，当模型是线性和同构的时，他们的DJ测试类似于标准的经验法则。相比之下，他们强调（参见Windmeijer，2019年关于集群背景下的相关工作），在异方差线性模型的情况下，这种DJ测试从标准的“鲁布蒂”经验法则版本中分离出来。在这里，我们将Antoine和Renault(2020)的一般检验策略应用于离散化模型的情况，并构造了一个关于仪器弱于允许一致点估计的零假设的一致检验。

遵循Antoine and Renault(2020)的命名，我们也将该测试称为二元模型上下文中的扭曲J测试（DJ测试）。与Antoine and Renault(2020)相似，我们证明了在离散选择模型上下文中，我们的DJ测试可以被解释为自然的“广义经验法则”，因为该测试适当地修改了标准方法，以考虑异方差和非线性。我们通过蒙特卡罗实验和两个经验例子的分析，将该测试的性能与前述现有方法进行了比较。蒙特卡罗结果表明，我们的DJ测试，尽管保守，有可敬的权力。然而，这种方法的关键特征是它能够识别潜在的估计量可能不可靠，而与此相反，标准的经验法则，因为它忽略了由于模型的非线性而丢失的信息，将严重地过度拒绝弱识别的零。当应用于具有真实数据的两个例子时，我们的DJ检验能够毫不含糊地确定什么时候应该拒绝弱性的零（如教科书中已婚妇女的教育对其劳动力参与的因果关系的例子，如父母教育等强有力的工具），而当弱性出现时，它正确地质疑标准推断方法的使用，如第二个经验例子。特别是，与天真的经验法则和Stockand Yogo测试结果相反，DJ检验对Nunn和Qian(2014)中使用的IV的强度提出了一些怀疑，从而对战争和粮食援助可能延长持续时间的结论的估计阴性结果的一致性提出了一些怀疑。除了我们DJ检验的发展之外，本文还加强了Antoine和Renault(2009,通过用漂移的数据生成过程、laStaiger and Stock(1997)和Stock and Wright(2000)来刻画工具的强度，我们证明了当估计量不一致的零假设被拒绝时，基于Wald的推理可以正常进行，直到预测试。这一结果与一般非线性模型在弱假设下的现有结果形成鲜明对比，在一般非线性模型中，只有当收敛速度严格大于N1/4时，标准推理才是成立的。在这种情况下进行标准推断的能力源于这样一个事实，即离散选择模型虽然是非线性的，但是由潜在的线性模型建立的，这确保了它们足够接近线性模型，一旦潜在估计量一致，就可以进行标准推断。虽然结果估计器的收敛速度可能很慢，但在计算Wald检验统计量时进行的研究使它们的行为与标准临界值一致。简而言之，如果我们的DJ测试拒绝了零估计量不一致性（这将在替代方案下以概率1渐近完成），从业者可以安全地应用标准推理过程。为了简单起见，遵循Antoine和Renault(2020)，我们选择忽略在当前工作中对推论进行预测试的e-ect。在这方面，我们的建议仍然适用于两阶段决策规则的广泛实践：当弱IDENTI的零被拒绝时，对弱IV进行预测试，然后进行标准推理。当然，另一种选择是使用计算量更高的推断策略，这些策略对弱识别具有鲁棒性。Kleibergen(2005)提出的鲁棒方法被Magnusson(2010)推广到有限因变量模型。

此外，虽然弱IV的存在是一个普遍现象，但很少有理论证据证明内生离散选择模型中GMM估计的性质。使用MonteCarlo模拟，Dufour和Wilde(2018)证明了Wald和LikelihoodRatio测试在弱仪器存在下的不良行为。Finlay和Magnusson(2009)分析了具有弱工具的probit模型中的Waldtest检验，并发现该检验可能会显著地超过Enull假设。我们注意到，在离散选择模型中为弱工具开发一致的检验尤其重要，因为线性模型和常见的离散选择模型之间的相似性导致研究者在非线性环境中应用适合于线性模型的检验。特别是，研究人员应用为线性模型开发的经验法则来检测离散选择模型中弱仪器的存在是相对常见的：参见，例如Miguel等人。(2004)、Arendt(2005)、McKenzie和Rapoport(2011)、Cawley和Meyerhoefer(2012)、Block等人（2013年）和后藤和饭冢（2016年）。然而，上述研究并没有质疑经验法则在离散选择模型中的有效性。其他研究建议放弃离散选择框架，转而采用线性概率模型；参见，例如，Lochner和Moretti(2004)，Powell等人。(2005)、Kinda(2010)、Ruseski等人。（2014年）。此外，由于线性概率模型存在严重的异方差，因此也存在明显的误判。由于我们的DJ检验是基于对误判的标准J检验统计量的扭曲，因此不应用于误判的矩模型。论文的其余部分如下所示。第2节介绍了我们的模型设置和假设。关键的假设是存在一个控制函数，在给定归约形式回归中所有变量的情况下，结构误差项的条件概率分布与以归约形式误差项为条件的结构误差项的条件分布一致。Rivers和Vuong(1988)率先提出了内生性probit的控制函数方法，并由此提出了两阶段条件极大似然(2SCML)方法，Blundell和Powell(2004)提出了一种非参数扩展，该方法不需要一定的参数假设。在本节中，我们注意到GMMframework允许我们获得结构参数的渐近等价估计，而不必求助于两阶段方法。此外，我们还证明了我们的GMM方法的通用性足以包含Wooldridge(2014)的准LIML方法。在第3节中，我们给出了我们的DJ检验并证明了它的渐近性质：大小控制（弱identiation null下）和一致性（替代下）。我们进一步指出，只要估计量是一致的（即在弱识别的空假设的替代下），标准的Wald式推理就可以应用。这与Antoine and Renault(2009，2012)和Andrews and Cheng(2014)中考虑的非线性模型的IDENTI强度的一般情况形成鲜明对比，其中表明，在非线性模型中，只有当收敛速度快于N1/4时，标准推理方法才是有根据的。最后，我们证明，在离散选择模型的背景下，DJ检验可以解释为解释probit模型非线性性质的ageneralized经验法则。第四节中的蒙特卡罗实验比较了我们提出的检验的样本特性以及其他弱IV检验的性能。第5节将我们的检验应用于两个实证例子：已婚妇女劳动力参与(Wooldridge，2010)和美国粮食援助和文明（Nunn and Qian，2014)。

2一般框架Blundell和Powell(2004)提出了一种控制函数（以下简称CF）方法来推断内生二元选择模型的结构参数。在本节和下一节中，我们将研究弱工具对这种CF推理方法的影响。然而，我们证明了一个一般性观点，即CF方法允许我们将RiversandVuong(1988)的2SCML和Wooldridge(2014)的准LIML方法都看作一类GMM估计量的特例，我们将在第2.2节讨论这类估计量。虽然这些GMM估计量总是可以用一步最小化问题来描述，但我们也可以用类似于Newey和McFadden(1994)第6节中的论点来解释结构参数的估计量，从而在矩内使用一个初步的插件估计量（从简化的formregression方程中获得）。在建立了一般框架后，在第2.3节中，我们接着在probit模型的背景下概述了弱IV问题。2.1模型和控制函数Portrainnewey等人。（1999）提出CF方法的关键是从一个三角形的同时性模型开始。在内生二元选择模型的背景下，这需要指定结构和约化形式回归方程，以及产生二元响应的机制。结构方程表征一个不可观察的内生变量y*1i的响应，条件是一个标量内生变量y2i，和一个解释变量xi的kx维向量，作为一个未知的结构函数g(y2i,xi）和一个结构误差termui:y*1i=g(y2i,xi)+ui,E[ui]=0。（2）为了说明的简单性，我们将保持结构函数(y2i，xi)=αy2i+xiβ的以下线性说明，但我们注意到，该分析仍然适用于g(y2i，xi)是(y2i，xi)的参数函数的任何情况；非参数g(·)的情形超出了本文的范围，留待以后研究。我们主要关注的焦点是只有定量结构变量y*1ii的符号是可观测的，这就产生了结构方程来满足观测到的二元结果y1i:y1i=1[y*1i>0]。虽然Imbens和Newey(2009)提出了一个更一般的结构模型，其中误差项uimay不可加分离，但这种扩展超出了本文的范围。二元选择模型允许我们解决最大信息损失从定量潜在变量y*1到观测变量y1i的情况下的弱识别问题。然而，我们注意到，本文所发展的一般方法学对于任何将Y_1IASA已知函数Y_1IASA和xi（见Tobit模型、Gompit模型、不平衡模型等）的观测方案也同样相关。一个约化形式，或称在阶段，回归方程将内生解释变量2in与有效工具变量zi和解释变量xi的KZ维向量联系起来:Y_2I=π(xi,zi)+vi,E[vi xi,zi]=0。（三）备注1。虽然我们选择将简化形式的回归方程（3）视为条件期望的具体说明，但我们也可以遵循Wooldridge(2014)的准LIML估计方法。在他的方法中，只需要简化的回归方程就可以得到Y2到xiand Zi的线性投影。我们总是假设xi包含一个常数，因此简化形式误差项的均值为零。也就是说，代替(3)，我们可以有2i=xiπ+ziζ+vi,e[vi]=0,cov xizi,vi=0。（四）备注2。正如Blundell和Powell(2004)所指出的，简化的形式误差项Vimony看起来是条件异方差的。

考虑到这种可能性，我们就可以在由条件期望而不是仅由线性投影推导出约简形式误差项时，设计出e-cient估计量。实际上，我们将通过假设:y2i=xiπ+ziζ+vi,e[vixi,zi]=0(5)来结合（3）和（4）两种方法的优点。然而，必须承认，条件期望的线性假设是限制性的，并且阻止我们考虑内生解释变量y2ii本身是质量的情况。正如Newey等人所强调的那样。(1999)，CF方法并不假定xiand ziare是有效的，因为该方法不是requiree[uixi,zi]=0,(6)，而是requiree[uivi,xi,zi]=e[uivi]。（7）此外，值得认识的是，方程（6）或方程（7）都不意味着另一个。虽然我们最终将维持等式（7）的一个更强的版本，即uicondonately独立于xi，zigiven vi，但没有理由相信viis本身独立于xi，zi，它与前一个条件独立性联合起来就等于(ui，vi)和(xi，zi)的联合独立性，并反过来意味着（6）。特别是，这种独立性将排除简化形式回归方程（5）中误差项的条件异方差性的可能性。正如Wooldridge(2015)明确指出的那样，“控制函数是一个变量，当添加到回归中时，它使一个策略变量适当地外生。”通常，(7)中的限制允许我们重写方程(2)asy*1i=g(y2i,xi)+E[uivi]+εi，(8)我们还注意到，尽管Blundell和Powell(2004)提出了可能的非线性回归函数π(xi,zi)的非参数估计，但该回归函数的给定非线性参数形式不会导致我们提出的方法中的任何显著变化。其中εi=y*1i-e[y*1i vi,xi,zi]=u-e[uivi]，这通过认识确保了策略变量适当地外生；即E[εiy2i,xi,vi]=0。Rivers和Vuong(1988)在他们的开创性工作中指出，在probit模型中进行无效推断所需的唯一假设是，uigiven vii的条件分布是正态分布，其均值在vii中是线性的，且有一个规定的方差。如果（ui,vi）是联合正常的，则满足此条件，但通常不需要联合正常。类似地，对于一般的离散选择方程，可以通过假定E[ui vi]在vi中是线性的，εi=ui-E[ui vi]与vi无关，以及假定εi有一个以φ表示的已知连续变化分布函数来构造CF方法。我们假设这种概率分布是不对称的，即，Φ(ε)=1-Φ(-ε)，其中，连同(7)，允许我们写出Pr[y1i=1vi,xi,zi]=Pr{εi>-g(y2i,xi)-e[ui vi]vi,xi,zi}=Φ{g(y2i,xi)+e[uivi]}。我们现在收集(2)-(3)中关于一般模型的维持假设。假设1：满足以下条件:(a.1)（观测方案）观测数据{si}ni=1={(y1i,y2i,xi,zi)}ni=1来自一个i.i.D.样本，对于某些κ>0,e puxuksik2+κ<∞。(a.2)（简化回归）:y2i=π(xi,zi)+vi,e[vi xi=0.(A.3)（结构方程）:(i)e[uivi,xi,zi]=e[uivi]；(ii)φ是一个已知的累积分布函数，连续两次可修正且严格递增，使得Φ(ε)=1-Φ(-ε)；(iii)对于某个未知参数~ρ∈R，pr[y1i=1vi,xi,zi]=Φ[g(y2i,xi)+~ρvi]。(a.4)（线性度）：未知函数g(·,·)和π(·,·)是线性的:(i)对于未知参数α∈R和β∈Rkx,g(y2i,xi)=αy2i+xiβ；(ii)对于未知参数π∈Rkx和ζ,π(xi,zi)=xiπ+ziζ。(a.5)（参数）未知参数θ=(θ,θ)，其中θ:=(~ρ，α，β)和θ:=(π,ζ）是维数p=2+2kx+kz。我们有θ∈θtuRkx+2,θ∈θtuRkx+kz,θ:=θ×θ,θ是紧致的。

对于表示θ的未知真值的θ,我们有θ∈Int(θ)。如前所述，假设(A.4)中的线性是无害的，下面的结果可以推广到g(y2i,xi）具有任何参数单指标结构的情况和π(xi,zi）具有任何参数形式的情况。在更一般的非参数设置中，Newey等人。（1999）证明CF对结构模型的修正等于假定随机变量y2i、Xi、vi之间不存在函数关系（见Newey et al.1999,以了解这一概念）。对于线性结构函数g(y2i,xi)，结构参数α的定义等价于假设y2ii不是xi和vi的线性组合，这意味着简化形式回归依赖于zi，即ζ6=0。为了给出更简洁的处理，我们将我们的分析限制在Φ是标准正态分布的CDF的情况下，并将模型PR[y1i=1vi,xi,zi]=Φ[αy2i+xiβ+～ρvi]作为probit模型。由于只观察到潜在变量y*1ii的符号，所以probit模型通常需要规范化条件Var(ui)=1。然而，考虑归一化条件Var[uivi]=Var(εi)=1是不失一般性的。如果ρ表示ui[uivi]=Var(εi)=ui[uivi]=Var(εi)=vi[uivi]=Var(εi)=vi]之间的线性相关，则上述归一化条件是Var(ui)=～ρVar(vi)+1=ρVar(ui)+1，其中σv=pvar(vi)=1-ρ，～ρ=ρσvp1-ρ，这里我们有～ρ，在ρ中是单调的。当然，当且仅当ρ6=0或等效地～ρ6=0.2.2估计方程时，同时性/内生性问题是不成立的。在其余部分，我们将参数向量划分为θ=(θ,θ)，其中θ=(～ρ，α，β)，θ=(π,ζ）。向量θ(resp.,θ)表示结构参数的向量（resp.,reduced-from）。在假定1的基础上，用条件矩限制[r2i(θ)xi,zi]=0来定义约化形式参数θ的真值，其中r2i(θ)=Y2I-xiπ-ziζ。（9）对于固定θ，结构参数θ的真值由条件矩限制[r1i(θ,θ)y2i,xi,zi]=0,其中r1i(θ,θ)=y1i-Φ[αy2i+xiβ+～ρvi(θ)]，(10),并且这里evi(θ)=r2i(θ)=y2i-xiπ-ziζ。像往常一样，我们将通过选择工具函数的向量来处理条件矩限制，分别表示为(9)的~b(xi，zi)和(10)的~a(y2i，xi，zi)k2+κ]和e[k～b(xi，zi)k2+κ],其中假设它们是e[k～a(y2i,xi，zi)k2+κ]]对一些κ>0的人来说是有益的。对于给定的选择，ofinstrumental函数～a(.，.，.)和~B(.，.），我们保留以下identifiation假设。假设2（identifiation）：真未知值θ=(θ，θ)∈Int(θ)是θ∈θ到以下矩限制的唯一解：约化形式：E[～B(xi，zi)r2i(θ)]=0pràθ=θ,结构：E[～A(y2i，十一、zi)r1i(θ,θ)]=0éθ=θ。我们可以将假设2中的无条件矩条件概括如下：对于h≥p，且H维向量ai和bi，相同维数的definnegi(θ)=air1i(θ,θ)+bir2i(θ)，其中ai=～a(y2i,xi,zi)，bi=～b(xi,zi)，bi=～b(xi,zi)，则假设2意味着矩函数gi(θ)satis fireese[gi(θ)]=0θ=θ。然后可以用矩函数gi(θ)=(g1i(θ),g2i(θ)=～a(y2i,xi,zi)r1i(θ)，g1i(θ)=～a(y2i,xi,zi)r1i(θ),（11）特别地，对于H×H加权矩阵为正的Wna序列，我们可以用GMM估计量θn=arg minθ∈θ′gn(θ)wn′gn(θ),其中gn(θ)=nnxi=1gi(θ)g1n(θ)＇g2n(θ)＇g1n(θ)＇g2n(θ)＇g1n(θ)＇g1n(θ)＇g1n(θ)＇g2n(θ)＇g1n(θ)＇g1n(θ)＇g2n(θ)＇.一般而言，将向量ai、bii的某些分量设为零会妨碍选择最优的仪器，并最终导致θn是θ的ine-cient估计。条件矩约束联合集（9）和（10）的最优工具函数的刻画是非标准的，因为它们对应于给定的条件变量。

这种情况下的最优工具函数已由Kawaguchiet Al.（2017）（另见艾和陈（2003）的一般性研究）。他们的结果表明，在Overidentification和同时性(～ρ6=0)的情况下，矩条件的集合r1i(θ)也是关于θ的信息，因此通过适当地选择aiin（其所有分量都是非零）来获得θ的更e-cient估计量（反过来也是θ)。虽然工具函数ai和bimay的特定选择是次优的，但这种选择允许我们证明基于GMM的方法与Rivers和Vuong(1988)的2SCML方法之间的等价性。特别地，对于g1i(θ)和g2i(θ)如方程（11）所示，我们得到了covg1i(θ),g2i(θ)=eh～a(y2i,xi,zi)～b(xi,zi)r1Iθr2Iθi=en～a(y2i,xi,zi)～b(xi,zi)r2Iθe[r1Iθy2i,xi,zi]o=0。因此，基于（11）中矩函数的ecient GMM估计可以定义为θn=arg minθ∈θ′gn(θ)w1n0w2n′gn(θ)=arg minθ对于加权矩阵W1n和W2n的适当选择，∈θ{g1n(θ)w1n′g1n(θ)+g2n(θ)w2n′g2n(θ)}。因此，结构参数θ的第一阶条件的分量由g1n(θn)θw1n′g1n(θn)=0给出。（12）方程（12）允许我们将估计量θ1看作是一个基于矩条件[r1iθ,θy2i,xi,zi]=0,(13)的两步估计量，其中干扰参数θ被一个一致的逐步估计量θ2n所代替。由（12）我们可以看出，对于γi,n=g1n(θn)θ1n～a(y2i,xi,zi）,估计量θ1是θ=(～ρ，α，β)到(2+kx)正交条件snxi=1γi,nny1i-Φhαy2i+xiβ+～ρviθ2nio=0的解。（14）与方程（13）中θ的估计有关的最佳工具（即θ已知）是由下列任意一致估计量给出的:γ=i=Ⅴvar(R1iθ,θy2i,xi,zi)-1eR1i(θ,θ)θy2i,xi,ziφi(θ)Φi(θ)[1-Φi(θ)]vi(θ)y2i+xiβ+～ρviθ,φiθ=φαy2i+xiβ+～ρviθ,φ(x)=dΦ(x)/dx是与φ有关的概率密度函数。因此，如果选择估计量θ1n=(～ρ，α，β)中的解:nxi=1φiθ,θ2nΦiθ,θ2nH1-Φiθ,θ2niiviθ2ny2ixiny1i-Φhαy2i+xiβ+～ρviθ2nio=0。（15）方程（15）表明，对于任意选择一致的步长估计量θ2n，2.3Probit模型中的弱IV问题方程（15）中的表示表明，方程（14）中θ的广义GMM估计包含2scml和拟liml估计，因此，我们可以通过研究这类广义GMM估计中的仪器弱来确定仪器弱对这些方法和相关方法的影响。然而，在进行一般性研究之前，我们对Probit模型中的仪器弱的潜在影响给出了一些直觉。在不可行的情况下，我们用它们的不可行之处来代替等式（15）中的最佳工具，我们用真值θ代替估计量θ2n。在这些简单的定义下，在θ=η=~ρ-的一对一变换下，η=α+～ρ，η=β-～ρπ,不可行估计量ηnofη（因而θ)可以定义为解tonxi=1γ*iy1i-Φηη-ziζ+ηy2i+xiη=nxi=1widiy1i-Φηη-ziζ+ηy2i+xiη=0,其中γ*i=wiDi,wi=1/Φi(θ)[1-Φi(θ)]和di=φi(θ)(-ziζ,y2i,xi）。一个泰勒展开式允许我们启发式地写出1i-Φπηη-ziζ+ηy2i+xiη≈y1i-Φiθ利用不可行估计方程中的这种展开式，～ηn可以被看作是solvenxi=1wiDi(～y1i-diη)=0，其中～y1i=y1i-Φ(θ)+diη.因此，～ηnis从～y1的加权最小二乘回归中得到解释变量di=φi(θ)(-ziζ,y2i,xi）。