信念错误与非贝叶斯社会学习：实验证据

对于lnT1的期望-T、 因为对于任何a，b>0，Zua-1(1 - u） b-1B（a，b）ln u du=b（a，b）Zua-1(1 - u） b-1.adu=B（a，B） B（a，B）a=ψ（a）- ψ（a+b），因此E ln T=ψpγ- ψ（1）和eln（1）- T） =ψ1.-pγ- ψ (1).给定px~ 贝塔pxγ，1-pxγ, P~px= 我pxγ，1-pxγ. 然后通过（4），P~pxpx=γBpxγ，1-pxγZtpxγ-1(1 - t） 一,-pxγ-1lnt1- tdt+Ipxγ，1-pxγγψ1.- pxγ- ψpxγ.对于0<t<，积分项始终为负，如lnt1-t<0。注意，当zis的实部为正时，digamma函数具有以下积分ψ（z）=R∞E-tt-E-zt1-E-Ttz6-px<ψ1.-pxγ6 ψpxγ因此P~px/px<0。当0<px<时，使用Ipxγ，1-pxγ= 1.- 我1.-pxγ，pxγ, 我们可以P~pxpx=-pxI1.- pxγ，pxγ=γB1.-pxγ，pxγZt1-pxγ-1(1 - t） pxγ-1lnt1- tdt+I1.-pxγ，pxγγψpxγ- ψ1.- pxγ.类似的论点也会证明这一点P~px/px<0表示0<px<。标准作业程序~pxPX和P的含量正在严格下降~px>严格来说，px在增加。我们知道二甲苯->py-可以分为四种情况：（i）px>py>，px<py<px>>pypx+py>>px+py<，为了简单起见，我们忽略了弱不等式情况。在第一种情况下，P~px-二甲苯->= P~px>> P~py>= P~py-py->. 在第二种情况下，P~px-二甲苯->= P~px<> P~py<= P~py-py->. 在第三种情况下，letpz=- py，那么检查它就很简单了~pz>= P~py<. Sincepx>pz>，P~px-二甲苯->= P~px>>P~pz>= P~py<= P~py-py->. 在第四种情况下，letpz=- px，然后~pz>= P~px<. Sincepz>py>，P~px-二甲苯->= P~px<= P~pz>> P~py>= P~py-py->A.3引理1及其证明Xtb+Nx包含设置中的第一个黑球∈ {pri，soc}和de Fi neVi，tB+n=∑十、∈XtB+nPi（x | B）E最大值（~pix，1-■pix）。下面的引理表明vi，tB+nis线性在piB中也在piB中增加。引理1。

Vi，tB+n=VpiB+V(-~piB）和<V<V<1，其中=∑十、∈XtB+nPi（x | urn 1，B）·E max（~pix，1-■pix）和V=∑十、∈XtB+nPi（x | urn 2，B）·E max（~pix，1-■pix）。证据首先，Vi，tB+n=∑十、∈XtB+n[Pi（x，urn 1 | B）+Pi（x，urn 2 |B）]E max（~pix，1-■pix）=∑十、∈XtB+n[~piBPi（x | urn 1，B）+（1-~piB）Pi（x | urn 2，B）]E max（~pix，1-~pix）=~piBV+（1）-)piB）V.还有待证明<V<V<1。乐视（px）≡ E最大值（~pix，1-■pix）。Byv（px）用案例证明V>VBV。（i） 私人信息，n=1在这种情况下，V=pv（pBB）+qv（pBW）和V=qv（pBB）+pv（pBW）。Sincep>q，pp+q>。它源于v（·）thatV的单调性- V=（p- q） [v（pBB）- v（pBW）]=（p- q）五、pp+q- 五、> 0.（ii）私人信息，n=3在这种情况下，V=pv（p4B）+pqv（p3B1W）+pqv（p2B2W）+qv（p1B3W），V=qv（p4B）+pqv（p3B1W）+pqv（p2B2W）+pv（p1B3W）。Sincep>q，p- q> 0,3pq（p- q） >0，p4b=pp+q>pp+q>>qp+q=p1B3W，p3B1W=pp+q>=p2B2W。因此，根据命题3，v（p1B3W）<v（p4B），v（p2B2W）<v（p3B1W），因此- V=（p- q） [v（p4B）- v（p1B3W）]+3pq（p- q） [v（p3B1W）- v（p2B2W）]>0。（iii）社会信息，n=1在社会信息设置中，在假设2下，主体关于服务于urn 1真实状态的信念isPi（C | urn 1）=P（B | urn 1）·Pip-iB>+ P（W | urn 1）·Pip-iW>= P1.- 我pBθi，1- pBθi+ Q1.- 我pWθi，1- pWθi= PIqθi，pθi+ 问题一pθi，qθi（7） aspB=pandpW=q。类似地，Pi（C|urn 2）=P（B|urn 2）·Pip-iB>+P（W | urn 2）·Pip-iW>= q I（q/θI，p/θI）+Pi（p/θI，q/θI），Pi（C | urn 1）=1- Pi（C|urn 1）和Pi（C|urn 2）=1- Pi（C | urn 2）。iπ≡P（| urn 1）=P（|urn 2）V=P（|urn 1）V（pBC）+P（|urn 1）V（pBC）=πV（pBC）+(- π） v（pBC）和v=P（C | urn 2）v（pBC）+P（C | urn 2）v（pBC）=（1- π） pBC（π）+pbv。因为p>q和θ>0，我们有<Iqθ，pθ< 1,0<Ipθ，qθ= 1.- 我qθ，pθ<.然后通过（7），<π<p。

这意味着pBC=p（1-π） p（1）-π） +qπ>，pbc=pπpπ+q（1- π） =1+q（1）-π） pπ>1+qπp（1-π） =pBC。它遵循v（pBC）>v（pBC），因此- V=（π）-)[v（pBC）-v（pBC）]>0。（iv）社会信息，n=3在这种情况下，V=πV（pB3C）+π(- π） v（pB2C1C）+π(- π） v（pB1C2C）+(- π） v（pB3C）和v=(- π） v（pB3C）+π(- π） v（pB2C1C）+π(-π） v（pB1C2C）+πv（pB3C）。自-假设IX是连续的，我们跳过了p-iB=或＠p-iW=。I（q/θ，p/θ）=1，如果θ=0，I（p/θ，q/θ）=0。但是θ=0对应于前面讨论过的私有信息情况。由于p>q和π>，pB3C=pπpπ+q（1- π） =1+qp1.-ππ>1+qpπ1-π=p（1）- π） p（1）- π） +qπ=pb3c和pb3c=1+qp1.-ππ>1+pq1.-ππ=qπp（1）- π） +qπ=1- pB3C。另外，注意pb2c1c=pBC=pπpπ+q（1- π） pB1C2C=pBC=p（1- π） p（1）- π） +qπ>。所以我们有v（pB3C）>v（pB3C）=v(- pB3C）和v（pB2C1C）>v（pB1C2C）的命题3。ThusV公司- V=[π- (1 - π） [v（pB3C）- v（pB3C）]+3π（1）- π)(2π - 1） [v（pB2C1C）- v（pB1C2C）]>0。请注意，在私人学习设置中，对于任何信号集x，VandVare或加权平均SV（pBB）v（pBW）v（p4B）v（p3B1W）v（p2B2W）v（p1B3W）VVv（pBC）v（pB3C）v（pB2C1C）v（pB1C2C）v（pB3C）v（pB3C），最大值为6（~px，1）-■px）6 1,6 v（px）6 1。（8） 我们有∈, 1.无论如何。然而，（8）的第一个等式在且仅在ifpx=和γ=0时成立，而（8）的第二个等式在且仅在ifpx=1或0和γ=0时成立。所有被加权的v（·）不可能同时为0、1或。因此，V，V6=1和V，V6=。这就完成了证明。A.4屋顶的证明。通过引理1，VpriB+1=~piBV+(-~piB）VwithV=pv（pBB）+qv（pBW）和v=qv（pBB）+pv（pBW），其中v（px）=E max（~pix，1-■pix）。然后，VpriB+1- 最大值（~piB，1-■piB）=（五）- 五、- 1） ~piB+Vif~piB>，（1+V）- 五） ■piB+V- 1如果piB。因为引理1的<V<V<1，所以它一定是vprib+1- 最大值（~piB，1-■piB）> 如果piB，则为0∈ （\'p，\'p），6 0如果\'piB>\'p或\'piB\'p，其中\'p≡1.-V1+V-V<<p≡V1-V+V。

还有一点需要说明的是，p>pB≡ 当p>时，贝叶斯后验概率p中的pand¨pis增加。因为anypx∈ （0,1），v（px）=E max（~px，1-~px）>max（E~px，1- Epx）=最大值（px，1- px）>px根据假设1和詹森不等式，然后Vp+V（1- p） =ppvpp+q+ qv+ Qqvpp+q+ pv= （p+q）vpp+q+ 2pqv> （p+q）·pp+q+2pq·=p，所以V>p- Vp+Vp，这意味着“p=V1”-V+V>p.注意\'p/p=hV五、p+（1）- V）五、圆周率/(- V+V）。假设1，v（px）是px>的递增函数，我们得到五、pp+q/p>0和五、p=p·pvpp+q+ 五、pp+q- 五、> q·pvpp+q+五、- 五、pp+q>q·pvpp+q+ 五、- 五、pp+q=五、P.自从V>>1- 五> 0，我们有五、p+（1）- V）五、p> （1）- V）五、P- (1 - V）五、P> 0.这意味着\'p/p>0，因此“p”在命题6的p.A.5证明中增加。通过引理1，VsocB+1=~piBV+(-~piB）VwithV=πv（pBC）+(- π） v（pBC）和v=(- π） v（pBC）+πv（pBC），其中π=Pi（C | urn 1）=Pi（C | urn 2）和v（px）=E max（~pix，1-■pix）。然后应用与证明命题5相同的论点，我们得到了VSOCB+1- 最大值（~piB，1-■piB）> 如果piB，则为0∈ （\'p，\'p），6 0如果\'piB>\'por\'piB\'p，其中\'p≡1.-V1+V-V<<p≡V1+V-V.对anypx使用propertyv（px）>px∈ （0，1），我们有vp+V（1）- p） =[pπ+q（1- π） ]vpπpπ+q（1）- π)+ [p（1）]- π） +qπ]vp（1）- π） p（1）- π） +qπ> [pπ+q（1- π） ]pπpπ+q（1- π） +[p（1- π） +qπ]·p（1）- π） p（1）- π） +qπ=pπ+p（1）- π） =p。这意味着V>p+Vp- 副总裁=>\'-p>p.A.6提案7的证明。

自从Un，t（b，~piB）B∝ （w）- b+r+αi）VtB+n+（w- b） （1）- VtB+n）- （w+r+αi）最大值（~piB，1-■piB）- wh1- 最大值（~piB，1-~piB）i=（r+αi）hVtB+n- 最大值（~piB，1-)piB）i- B≡ 嗨（b，~piB），和Un，t（b，~piB）/b=-/w<0时，使受试者的预期效用最大化的出价b（~piB）确定如下：（i）如果hi（0，~piB）6 0，b（~piB）=0；（ii）如果hi（w，~piB）>0，b（~piB）=w；（iii）hi（~piB）>>hi（w ~piB）b（~piB）hi（b（~piB）~piB）=即b（~piB）=（r+αi）[VtB+n- 最大值（~piB，1-■piB）]。b（~piB）=min（wmax（（r+αi）[VtB+n- 最大值（~piB）-)piB]））。引理1，VtB+n- 最大值（~piB，1-■piB）=（五）- V+1）~piB- (1 - 五） 如果0.6~piB（V- 五、- 1） ~piB+Vif<~piB6 1。所以在hi（0，~piB）>>hi（w，~piB）的情况下，b（~piB）在0,减少, 1..我们现在更详细地调查边界情况。注意hi（0，~piB）6当且仅当~piB1-V1+V-VwhenpiB和piB>V1+V-VwhenpiB>。因为<V<V<1,1-V1+V-V<和v1+V-五> 。因此，b（~piB）=0当且仅当~piB1-V1+V-VorpiB>V1+V-V.hi（w)piB>1-五+1+V-VpiBpiBV-1+V-VwhenpiB>，其中 = w/（r+αi）。注意1- V+1+V- V><=>五、- 1+V- 五<<=> αi<2wV+V- 1.- r、 因此，当αi≤2wV+V-1.- r、 对于)piB∈h1-V1+V-五、 V1+V-Vi，hi（w，~piB）<0和b（~piB）=（r+αi）VtB+n- 最大值（~piB，1-■piB）. 当αi>2wV+V时-1.- r、 b（~piB）=wfor ~piB∈h1-五+1+V-五、 五-1+V-Vi.这就完成了证明。参考Acemoglu，D.，M.A.Dahleh，I.Lobel和A.Ozdaglar（2011）：“社会网络中的贝叶斯学习”，经济研究评论，781201-1236。安德森、L.R.和C.A.霍尔特（1997）：“实验室中的信息级联”，《美国经济评论》，87847-862.65595-621.107797-817。Barberis，N.，A.Shleifer和R.Vishny（1998）：“投资者情绪的模型”，《金融经济学杂志》，49307-343。贝克尔，G.M.，M.H.德根和J.马沙克（1964）：“用单反应序贯法测量效用”，行为科学，9226-232。Bikhchandani，S.，D.Hirshleifer和I。

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