右删失时长的非参数工具回归

考虑W上有条件的（u，z）的密度。该密度在一个函数的方向上受到扰动，并且扰动量的特征是参数u>0:gu，如果ν（z，u）+u（z，u），z | w.这里，f（t，z | w）=-滴滴涕（t，z | w）。我们做出以下假设：（G）IfREguρu（Z，U）|U=U，W=Wdu=0表示所有u，w，然后ρu≡ 0，对于任意函数ρu：{z，…，zL}×R+7→ R.假设（G）相当于Z的强条件完备性，假设U和W在Chernozhukov和Hansen（2005）中引入，并在F`eve等人（2018）中研究。在这个假设下，我们现在可以展示我们模型的全局识别。定理3.2在假设（G）下，φ在[0，u]上是全局识别的，在这个意义上，ifA（△φ，S）≡ A（~n，S）表示∈ L↑（Z，U），然后≡ φ.我们参考F`eve等人（2018年）的附录A，以在持续案例中证明这一结果。对离散情况的适应是即时的。3.3部分标准杆数在本节中，我们考虑u的点态识别。∈ [u，∞). 在这种情况下，由Lemma3。1，我们知道（ψz`（u））L`=1∈nθ∈ RL+Lmax`=1θ`≥ c、 Kmink=1Rk，u（θ）≥ 0o。（3.3）这是识别集的外部集，引理3.1（ii）因此构成部分识别结果。这套外套不锋利。第3.4节解释了如何在退化的特殊情况下获得更相似的外集，其中L=K=2，S（t，1 | 0）=0表示allt∈ R+。（3.3）不尖锐的事实并不是由于给定夫妇（z，w）的S（·z，w）为零的这种特殊情况∈ {z，…，zL}×{w，…，wK}。事实上，在一般设置中，对于z和w的所有值，S（·，z | w）都不是零，我们在补充材料反例中给出了（3.3）不是识别集的情况。

这个反例表明，（3.3）不是一个尖锐集的一个原因是，它没有考虑到φ的单调性和可微性约束。现在让我们讨论如何将这个外部集合计算为区间乘积的有限并集。我们考虑了L＝2的情形。在这种情况下，根据集合{θ的形状，集合可以采用以下四种形状∈ RL+|水貂=1，。。。，KPL`=1S（θ`，z`|wk）=e-u} 除了[0，c）×[0，c）-[0，\'\'θ]×[c，∞) ∪ [c，∞) ×[0，\'θ][c，∞) ×[0，\'θ][0，\'θ]×[c，∞)对于大约0≤θ,θ≤ c、 有关图形说明，请参见图1。让我们解释一下如何获得图1。取θ∈ R+在[0，c]之外，因为S（·∧c、 z | w）在[c]上，∞), θ属于外集当且仅当（θ+（c- θ） I（θ>ccR+×c，∞) ∪ [c，∞) ×R+cc[0，\'θ]×c，∞) ∪ [c，∞) ×[0，°θ]cc[c，∞) ×[0，\'θ]cc[0，\'θ]×[c，∞)图1。四种不同情况下的外部集合（蓝色）和集合{θ∈RL+|水貂=1，。。。，KPL`=1S（θ`，z`|wk）=e-u} （红色）。c） ，θ+（c）- θ） I（θ>c））在外部集合中。因此，我们需要检查θ的值→ [0，c）×{c}上的minKk=1Rk，u（θ）∪ {c} ×[0，c）来计算外部集合。让我们从[0，c）×{c}开始(·∧c、 z | w）是递减且连续的，[0，c）×{c}中minKk=1Rk，u（θ）的对集（θ，c）≥ 0形成线段[0，\'θ]×cwhere\'θ∈ [0，c]或空集。首先，我们考虑后一组是NuntType的情况。因为S（·）∧ c、 z | w）在[c]上，∞), [0，\'θ]×[c，∞) 属于外部设置。如果集合为空，[0，c）×c，∞) 不属于外部设置。然后，在{c}×[0，c）上应用相同的过程。

最后，如果minKk=1Rk，u（（c，c）>）≥ 0，[c，∞) ×[c，∞) 也适用于外部设置。接下来，我们通过一个递归参数，解释如果已知如何在维度L中找到识别集，如何在维度L中找到识别集-1.请注意，在L维中，我们可以从第一个坐标θ开始，并指定剩余L的识别集- 1坐标。如果选择的集合不是空的，则应通过让θ属于[c]来推断，∞). 该程序应通过在每一时间点上选择一个坐标重复L次，最后应选择所有获得集合的并集。3.4特殊情况我们用L=K=2和P（Z=Z | W=W）=0的特殊情况来结束对识别的讨论。我们有一个形式为（S（θ，z | w）=e的三角形方程组-uS（θ，z | w）+S（θ，z | w）=e-u、 （3.4）这个特定的设置对应于我们的经验应用。在这种情况下，如果（φz`（u））L`=1/∈[0，c）Land系统（2.2）有一个唯一的解决方案（对于这样一个三角形系统，当S严格递减且连续时会发生），可以得到一个比nθ更小的外部集∈ RL+Lmax`=1θ`≥ c、 Kmink=1Rk，u（θ）≥ 0o。我们需要考虑两种情况。首先，如果φz（u）<c，那么θ=φz（u）是（3.4）的第一个方程的（唯一）解。然后，可以将该值插入第二个方程中，该方程只包含θ。如果这个方程有解，它应该是φz（u），我们完成了。如果没有解决方案，则识别集包含所有对（φz（u），θ）和θ≥ c、 在第二种情况下φz（u）≥ c、 然后，第一个方程没有解，我们需要解不等式组（S（c，z | w）≥ E-uS（c，z | w）+S（θ）∧ c、 z | w）≥ E-u、 这将导致识别集[c，∞) ×[0，\'θ]，其中\'θ是θ的最大值∧ c、 z | w）≥ E-U- S（c，z | w）。

上述两种情况的图示见图2。请注意，θ可以等于in finity，这意味着图2第二部分中矩形的高度可以大于c.аz（u）ccIfаz（u）<ccаθcIfаz（u）≥ 图2。两种不同情况下的外部设置（蓝色）。根据方程组（2.2）中缺少哪些项，可以考虑其他特殊情况。然而，它们需要个案分析，我们在这里不再进一步阐述。4.估计。1估计过程，我们考虑I.I.D样本的大小n，{ Yi，Zi，Wi，δi} Ni＝1的估计。我们假设我们有一个估计值，可以满足以后指定的属性。第4.5节讨论了B的选择。让‘U’∞ 是我们希望估计的上限。让我们也“T”∞ 是max`=1的上界，。。。，L~n（z`，U）。设K是从[0，\'U]到Rk的映射集，F\'U，\'TZ={F:{z，…，zL}×[0，\'U]7→ [0，\'T]}。我们将做出假设，保证BS始终在[0，\'T]上估计S，并且系统（2.2）在F\'U，\'TZ中有唯一的解决方案。这意味着，我们在（k z`（u））L`=1的情况下是隐含的。我们引入了进一步的符号。为了你∈ [0，\'U]，设V（U）为正定义的K×K加权矩阵。对于K×K矩阵V和向量V∈ RK，我们定义kvk=√v> v和kvk\'v=√v> 那么，对于g来说∈ K、 我们介绍了kgk=R’Ukg（u）kdu，KKKV=R’Ukg（u）kV（u）du。为了f∈ 我们使用kf k=supu∈[0，\'U]k（f（z`，U））L`=1k。当我们写一个随机过程R是OP（an）或OP（an）时，我们的意思是kRk=OP（an）或kRk=OP（an）。现在，让我们来定义估算值b~n∈ arg minθ∈F\'U，\'TZA（θ，bS）V.（4.1）4.2一致性我们引入以下假设：（V）对于∈ [0，\'\'U]，V（U）的特征值在U中从上到下一致有界。

界限是严格的正常数。（C） （一）全体 > 存在ν>0，使得infθ∈F\'U，\'TZ:kθ-~nk≥νA（θ，S）五、≥ ;（ii）存在ν，c>0，使得对于任何θ∈ F\'U，\'tzkθ- ~nk≤ ν、 kθ- ~nk≤ ckA（θ，S）k；（iii）存在（rn）n，一个实值序列，使得rn→ 0和supt∈[0，\'U]，z=z，。。。，zL，w=w，。。。，工作bS（t，z | w）- S（t，z | w）= OP（注册护士）。假设C（i）和C（ii）是与目标函数a的形状有关的条件，它们确保[0，\'\'U]中方程组（2.2）有唯一的解，因此，程序（4.1）有唯一的最小值，ifbS充分估计了S。我们可以建立C（ii）的原始条件，包括假设S关于其第一个参数的两个初始导数一致有界于[0，\'T]（见附录C中的LemmaC.1）。假设（C）（iii）意味着选择的“T”低于所有z上C的支撑上界的最小值∈ {z，…，zL}和w∈ {w，…，wK}这样P（Z=Z | w=w）>0。我们证明了下面的定理。证明见附录A。定理4.1在假设（V）和（C）下，我们有kb~n- ~nk=OP（rn）。该定理表明，bа的收敛速度与bаinsup范数的收敛速度相同。

因此，求解程序（4.1）不会降低收敛速度。4.3渐近正态性我们假设：（N）（i）存在一个方差算子Ohm 使得n1/2A（~n，bS）弱收敛于一个带有方差算子的零高斯过程Ohm;（ii）bS在其对u的第一个论点中是不同的∈ [0，\'U]，映射Γ（Γ，S）>VΓ（Γ，S）在[0，\'U]，Γ（Γ，bS）P上是可逆的-→ ∑=Γ（Γ，S）和Γ（bΓ，bS）P-→ Σ;（iii）A（b~n，bS）- A（φ，bS）- Γ（Γ，bS）（bΓ- ~n）=OP（kb~n）- ~nk）；（四）监督∈[0，\'U]，z=z，。。。，zL，w=w，。。。，wK | bS（t，z | w）- S（t，z | w）|=oP（n）-1/4).这一假设导致了以下定理，其证明可在附录A中找到。定理4.2在假设（V）、（C）和（N）下，√n（b）-ν）收敛到方差算子为[∑>V∑]的平均零高斯过程-1∑>VOhmV∑[∑>V∑]-1.4.4带自举和优化的推理我们提出了一个自举程序，用于对函数f（（μz`（u））L`=1）或（μz`（u））L`=1进行推理∈ R+和f:RL+7→ R不可区分。第2节提到了此类泛函的示例。（1） 用替换B从原始数据{Yi，Zi，Wi，δi}ni=1中抽取大小为n的重采样；（2） 对于每一次重采样b，计算b~nb，即重采样中估值器b~n的值；（3） 为f（（μz`（u））L`=1）构造一个95%的置信区间，用于下限2。5%的{f（（b~nb（z`，u））L`=1）}Bb=1，上界为97.5%的{f（（b~nb（z`，u））L`=1）}Bb=1。附录B中的引理B.10证明，当用第4.5节所述的核平滑法估计S时，这样的程序是有效的。概述的过程显示了如何构建逐点置信区间。

然而，如引理B.10所示，类似的自举方法也允许在[0，\'U]上获得一致的置信带。V的最佳值为∑-1可使用b∑=Γ（bΓ，bS）进行估计，其中b∑由第一步估计器获得，该估计器将V（u）设置为等于任意u的单位矩阵∈ [0，\'\'U].4.5在本小节中，我们讨论对随机右删失鲁棒的B的选择。注意S（t，z | w）=S（t | z，w）pz，这里S（t | z，w）=P（t≥ t | Z=Z，W=W）和pz，W=P（Z=Z | W=W）。我们定义了以下随机过程：Nz，w（t）=nXi=1I（Yi≤ t、 Zi=z，Wi=w，δi=1）；Yz，w（t）=nXi=1I（Yi）≥ t、 Zi=z，Wi=w）；Yz，w=nXi=1I（Zi=z，Wi=w）；Yw=nXi=1I（Wi=w）。我们使用Kaplan-Meier估计量BSKM（t | z，w）=Ys来估计S（·| z，w）≤T1.-dNz，西（s）Yz，西（s）. （4.2）为了提供满足假设（N）的估计量，需要平滑BSKM。文献中提供了各种技术，包括局部多项式和核平滑。例如，关于后者，如果我们使用具有带宽的内核K, 我们得到了（t | z，w）=ZbSKM（t- s|z、 w）K（s）ds。（4.3）我们对S ISB（t，z | w）=beS（t | z，w）bpzw的最终估计量（4.4），其中bpzw=Yz，w/Yw。在附录B中，我们陈述了选择第4.2节和第4.3节中的条件以及第4.4节中的引导程序适用的假设。4.6实际实施让我们现在讨论如何在实践中使用概述的评估程序。首先，一个人需要做出选择。后者的选择必须使假设（C）（iii）成立。在附录B中，当用核函数平滑时，当S（\'T，z|w）/P（z=z | w=w）对所有z都存在ξ>0时，保证B一致收敛的条件∈ {z，…，zL}和w∈ {w，…，wK}使得P（Z=Z | w=w）>0（条件（K）（v））。

如第3节所述。1，让我们考虑给定z＝z，w＝w的c分布的支持的上界cF不依赖于z。∈ {z，…，zL}和w∈ {w，…，wK}并且是有限的。那么，如果[0，c]严格地包含在T（或Y）的支撑中，给定Z=Z，W=W∈ {z，…，zL}和w∈ {w，…，wK}，选择`T=条件（K）（v）适用的谴责。如果C的支撑上界为∞, 那么一个简单有效的选择是给定Z=Z和W=W的Y的α-分位数在整个Z上的最小值∈ {z，…，zL}和w∈ {w，…，wK}使得P（Z=Z | w=w）>0，其中α∈ (0, 1). 按照惯例，可以使用α=0.95。在实践中，最小化程序（4.1）是不可行的。我们选择你，我们要估计的μM值（例如，U~ Exp（1）或网格）。对于m=1，M、 我们通过b~n（z，um）来估计出魟（z，um），其中（b魟（z`，um））L`=1∈ arg minθ∈[0，\'T]LA（θ，bS）（um）V（嗯）。（4.5）我们在u，这使我们能够绘制出b~n（z，·）。如果在所有支持度上都没有识别出μ，那么对于u的某些值，估计量（bμ（z`，um））L`=1将不一致。在定理4.1的条件下，通过连续映射定理，A（b~n，bS）（um）V（um）=oP（1）。因此A（b~n，bS）（um）V（um）表示（b k（z`，um））L`=1未被识别。根据经验，我们建议在以下情况下开始使用第3.3节和第3.4节中的部分识别结果：A（b~n，bS）（um）V（um）随着u开始显著增加。这种方法将在第5.5节数值说明中说明。我们介绍了我们方法的两个应用。其中一个对应于一个模拟的例子，而第二个则是一个关于在伊利诺伊州为求职者提供工作奖励的实验。5.1个模拟我们考虑下面的模型。

让W遵循参数为0.7的伯努利分布。为了模拟Z和（W，U）之间的依赖关系，我们设置Z=I(-0.7+ε+W+0.5U≥ 0）I（W=1），（5.1）式中ε~ N（0，1）和U~ 实验（1）。该定义产生以下条件治疗概率：P（Z=1 | W=0）=0和P（Z=1 | W=1）=0.76（平均超过1000000次蒙特卡罗复制）。请注意，在这种设计下，W=0意味着Z=0，选择它是为了模拟我们的经验应用程序的设置。接下来，假设T有一个指数分布，当Z=0时，风险率为1/10，当Z=1时，风险率为1/5∈ R+，ν（0，u）=10u和魟（1，u）=5u。为了你∈ R+，1- E-u-分位数治疗效果等于-5u。设C=max（15Exp（1），10）。请注意，这意味着在持续时间低于10的情况下，C的持续危险率为1/15。通过这种审查机制，大约22%的观察结果被审查（平均100万次复制）。最后，Y=min（T，C）和δ=I（T≤ C） 我们生成一个i.i.d.样本{Yi，Zi，Wi，δi}ni=1of10000个观测值，其分布与（Y，Z，W，δ）相同。样本量被选择为接近于经验例子的样本量。请注意，在该数据生成过程中，S在R+上被识别，因此我们的目标是估算第4节中所述的μ和量化处理效果的点。T等于10，即C的支持度的上界。我们在0.01和1.2之间的网格上计算u的估计量，步长为0.01。使用Epanechnikov核光滑生存函数的Kaplan-Meier估计。对于正常密度，使用通常的经验法则选择带宽。所有结果都是超过1000次复制的平均值。图3显示了A（b~n，bS）（u）关于这些问题。A（b~n，bS）（u）在u达到0.9后开始略微增加。

根据第4.6节的经验法则，我们使用第4节的估算结果来计算0.9以下的u。A（b~n，bS）（u）由于核估计在边界附近的性能很差，因此对于u来说，它的值很大，接近于零。图4显示了estimatedregression函数b~n（·）。在同一张图上，我们还报告了通过倒置Nelson-Aalen估计量T givenZ=0的累积风险得出的初始估计值。真正的回归函数被省略，因为它与我们在图上的估计值不可区分（除了非常低的u值）。我们还介绍了使用第4.4节中描述的方法，使用200个自举绘图计算的95%密度间隔。图5包含了这些置信区间的覆盖范围。图6和图7报告了相同的b k（·）信息。估计的分位数治疗效果和相应的置信区间如图8和图9所示。分位数1级- E-铀含量从0到0.6。很明显，朴素的估计（蓝色虚线）是有偏差的。相反，我们的估计器精确地恢复了真实回归函数的形状。除了非常低的u值外，置信区间几乎具有名义覆盖率，其中S由于核估计量的边界特性而难以估计。在补充材料中，我们给出了当使用一次局部多项式平滑生存函数的Kaplan-Meier估计时的模拟结果。对于非常低的u值，局部多项式平滑的置信区间覆盖率更接近于0.95。