关于指数保险在美国农业中的效益：一项大规模研究

对于每一步，我们都会比较指数保险与无保险以及农场保险的效益。我们首先介绍了我们的模型，然后讨论了指数保险效益指标的选择。从一些符号开始，我们用Yict表示时间t时c县i油田的产量。我们将县年平均产量写为“y·ct”，长期县平均产量写为“y·c”，其中，·符号表示进行平均的维度。为了便于阐述，我们考虑Simii EdPayOp计划，无论是基于区域的和基于农场的保险。当实际（农场或县）产量低于长期目标时，就会触发赔偿，赔偿只是长期目标和实际（农场或县）产量之间的差异。对于基于区域的产品，长期目标是县随时间的平均值乘以触发水平τ，τ′y·c·。最值得注意的是，我们在这里没有讨论与地区保险保护价格有关的细节，也没有讨论农业保险的企业单位，所有这些都有不同的补贴率。类似地，允许从农场层面的保费中排除特别糟糕年份的产量排除选项增加了农场层面产品的吸引力。例如，“y·ct”≡ 1/nic∑我∈c县单位i的cyictis平均值，因此表示随时间变化的县平均值。图2：地区与农场保险的需求面板显示了地区和农场保险计划中登记的英亩数，包括FSA（左）和RMA（右）产品，涵盖收入（顶部）或产量（底部）。资料来源：根据风险管理机构的业务总结，计算出长期目标τ′y·c.与实际县产量之间的差异，即Icct=最大（τ′y·c）·-y·ct，0）。

这种支付方案与实践中使用的略有不同，但这是米兰达（1991）中使用的方案，其分析结果可用。请注意，为了便于说明，赔款以收益单位而不是美元单位表示。考虑到我们关注的是收益，而不是收入和保险，因此没有必要扩大到美元单位。转向以农场为基础的保险，我们考虑的是同一赔付方案，简单地用个人产出代替县产量：iFiT= MAX（TAI Iyyic）。- yic，0），其中长期目标为“yic”，即油田水平平均值。米兰达（1991年）推导了基于区域的指数保险与USNO保险的效益分析表达式。Mahul（1999年）、Vercammen（2000年）和Bourgeon and Chambers（2003年）对米兰达的模型进行了进一步的理论解释，该模型侧重于最佳补偿的设计。米兰达的模型基于βic，即单个产量与县产量的回归系数y·ct:yict=αic+βic’。术语EitresentSidiosyncratic farmer specific shocks不能由县级保险计划投保。Miranda使用均值-方差效用框架分析基于区域的保险的好处。当保费公平时，基于地区和无保险之间的均值-方差效用差异等于实际赔偿计划除以触发τi的差值，还包含一个保护系数，允许按比例增加或减少赔偿付款。据我们所知，RMA没有提供按保护系数级别划分的保险接受率数据，因此我们只是将其设置为100%，以便于与农场级别的保险进行比较。详见Skees等人（1997年）。两种方案之间的差异。

Miranda表明，c区i区的方差减少，C÷Noic是农民自身βic、县赔偿σICAN方差和县一级临界β值βCc的函数：C÷Noic≡ Var{y}- Var{yC}=σICβicβCc- 1.（2） 式中yCict表示县保险后的收益率，即yCict=yict+IC·ct- πC（其中IC·cti为国家级赔偿，πC为保险费）。从（2）中可以很容易地看出，对于所有βICI高于临界β的领域，即βic>βc的领域，都存在风险降低（相当于指数保险的正平均方差效用）。米兰达进一步表明，临界β在0到1/2之间，且βICI1的平均值，表明平均水平的领域受益于指数保险。注意到OLS系数βicis与相关系数ρicbyβic=ρicσic/σc相关，我们还发现，在一个县内，具有更高（均值方差）效用形式指数保险的油田是：1）与县平均值更相关的油田2）总方差σic更高的油田。后一个结果在后面我们将特别重要，因为它指向了一种机械效应：一个领域的方差在决定指数保险的收益方面起着很大的作用，无论其与指数的相关性如何。方差效应可能大于与指数本身相关的效应：与指数轻度相关但方差较高的领域比与指数完美相关但方差较小的领域从指数保险中获得的收益更高。当我们将指数保险与农场保险进行比较时，是否也有同样的见解？为了研究这一点，我们首先推导出了农场级产品与无保险产品的方差减少表达式，F÷Noic。

农业保险的收益率为yF，由yFict=yict+IFict给出- πF，其中i和π分别表示赔偿和保险费。请注意，在这一点上，我们保持了触发水平τ的隐式。收益率的方差由以下公式给出：Var{yF}=σic+σIFic+2 Cov（yict，IFict）。按照与inMiranda（1991）相同的推理，我们定义了农场级别的临界ββFic=- Var{IFict}/2 Cov（yict，IFict）。我们现在可以将农业保险的产量方差改写为：Var{yF}=σic+σ1-!！农场级产品的方差缩减F÷与无保险相比：F÷Noic≡ Var{y}- Var{yF}=σFicβFic- 1.（3） 该表达式与县级指数保险的方差缩减非常相似C÷Noicin（2），主要区别在于β系数消失（现在是1）。变量σ和βfic与Miranda模型中的解释相同，但指的是个体产量，而不是国家平均产量。特别是，临界ββIC0和1/2之间的界限也成立，这意味着农场层面保险的好处是≥ 0.正式确定田地差异对农业保险效用的影响并非微不足道。上面的表达式涉及截断变量的混合，对于这些变量，解析表达式很快就会变成数字。我们计算了正态分布的公式，并从数值上验证了增加油田均值和方差以及触发参数τ的效果。毫不奇怪，我们的计算表明，增加一个油田的方差或触发水平τ都会加强方差减少F÷Noic。另一方面，油田平均值u的影响取决于触发水平τ：对于τ>1，增加u会加剧方差减少，而对于τ<1，则会降低方差减少。

最后，对于τ=1，改变u对方差减少没有影响。得到这个表达式后，我们最终可以得出基于区域的保险与农业保险相比的方差减少：C÷Fic≡ Var{yF}- Var{yC}=σ1-βFic！+σICcββCc- 1.（4） 注意（4）中的第一项对应于-F÷Noicin（3）和第二项C÷Noicin（2），我们可以将基于区域的保险与农场的差异减少改写为：C÷Fic=-F÷Noic+C÷Noic。该表达式特别适用于农场水平触发τ、油田平均ui和油田方差σic的影响。毫无疑问，增加农业保险的触发水平τ会抑制农业保险与农业保险的差异减少C÷Fic。这是意料之中的：当我们将指数保险与越来越高的农业保险覆盖率相比较时，指数保险的好处会减少。场平均值的影响取决于τ的大小。假设τ<1，就像实际情况一样，uicis预计会增加C÷Fic，考虑到-F÷Noic。场方差σicis的影响在理论上是不明确的：一方面，σicis减少了第一项（假设它增加）F÷Noic），但另一方面，它增加了第二项，因为βic=ρicσic/σc。最后，相关性系数ρich是一个积极的迹象，正如人们所预期的那样，考虑到增加该系数通常会增加指数保险的效益。到目前为止，所有的分析结果都集中在方差减少上，这相当于平均方差效用的增加。然而，均值-方差效用函数的使用在某种程度上是有争议的。Jensen等人（2016年）特别指出，正冲击和负冲击之间偏好对称的假设与旨在减少负冲击的作物保险背景不太相关。

预期效用（EU）提供了一个理论上有根据的替代方案，并通过风险规避函数的凹性捕捉了不对称性。出于这个原因，我们在本文中使用基于欧盟的测量方法，详见下一节。我们如何将基于均值-方差效用的分析结果转换为一般形式的效用？这可以通过使用预期效用函数的二阶泰勒展开来实现。如附录中命题（1）所详细说明的，方案a和B之间预期性差异的二阶泰勒近似给出：E[u（a）]- E[u（B）]=1/2u（u）σyA- σyB= -1/2u（u）A÷B.这意味着两个方案之间预期效用的差异与上面计算的方差减少成正比。特别是，指数保险C相对于无保险的好处是E[u（C）]- E[u（否）]=-1/2u（u）C÷不，在哪里C÷Nois由Miranda（1991）得出的方差折减系数。同样，指数保险相对于农业保险F的好处是E[u（C）]- E[u（F）]=-1/2u（u）C÷F，其中C÷Fis公式（4）中导出的方差缩减。这一结果意味着，除了参数u外，σ、τ和ρ的符号将与基于均值-方差效用的讨论保持一致（作为uis负，遵循标准预期效用假设）。另一方面，对于参数u，请注意，现在我们需要考虑附加项u（u）。假设效用函数表现出谨慎性（u>0），则u对第一项的影响为负，因此可能会逆转上述u的影响。读者可能会注意到，我们在理论结果中没有提到基差风险的传统概念。这似乎与经常重复的观点不一致，即基差风险。

指数保险的主要问题是，当指数没有导致赔付时，农场遭受损失的概率。这种对基差风险的“无赔款损失”定义，Elabed等人（2013年）也将其称为假阴性概率，写为：FNP（θc，θi）≡ P（\'y·ct>θc | yict<θi）=P（\'y·ct>θc）∩ 这里θ代表一个县损失阈值，θ代表一个农民特定的主观损失阈值。不幸的是，由于多种原因，这一措施并不令人满意。首先，它需要确定具体的损失阈值θcandθi，鉴于收益率是一个连续变量，这通常是任意的。第二，这只是0到1之间的可能性，因此并不表示所经历的损失量。一个保险公司错过了一个特别的灾难性事件，但为所有其他小损失事件提供赔偿，这将被视为提供一个低的基本风险，尽管在最需要的时候不提供服务。此外，除非做出分布假设，否则这个数量的估计可能会被证明是不稳定的，因为人们基本上是在分母中进行涉及罕见事件概率的除法。用于个体损失的阈值越低，该数量就越不稳定，这是我们在该样本中观察到的现象（见表a.2）。考虑到基差风险“无赔款损失”定义的局限性，我们遵循上述理论的见解，重点关注与Rof现场到县回归相关的基差风险的替代定义（1）。在Elabed和Carter（2015）之后，我们研究了残差σeic的方差，该方差通过现场特定方差标准化，相当于σeic/σic=1- Ric公司。这代表了指数无法承保的特殊风险的数量。与假阴性概率一样，基差风险的度量值在0到1之间。

值为0表示与指数完全相关，而值为1表示变量完全不相关。虽然这是我们对基本风险的首选衡量标准，但为了比较起见，我们仍将在下面的回归中纳入“无赔偿损失”衡量标准。2.3指数保险效用和基差风险的实证衡量我们的目标是衡量指数保险的效益。我们试图将指数保险与无保险和农场保险进行比较。与以农场为基础的保险进行比较是一个更严格的比较，请记住，“无保险”可以被认为是以农场为基础的保险，触发率为0%。与农业保险相比，我们提高了这个触发点（价值超过50%），增加了我们的比较力度。农民在没有遭受损失的情况下也可能得到赔偿，但通常不考虑，因为重点是保险计划减少负面事件的能力，而不是放大正面事件的能力。然而，应该注意的是，此类保险意外之财也会通过增加保费产生间接的负面影响。见克拉克（见2016年）；Barré等人（见2016年）对指数保险指标进行了深入讨论。为了比较不同的计划，我们使用预期效用（EU）度量，假设效用函数的函数形式，并评估无保险、指数保险和基于农场的保险的产量函数。根据之前的文献（Wang et al.，1998；Deng et al.，2008；Flatnes et al.，2018），我们使用常数相对风险规避（CRRA）等弹性效用函数，参数为1.5。公平保费和赔偿是根据数据事后计算的。通过遵循这个过程，我们做出了两个基本假设。

首先，我们假设无论农民是否购买保险，收益率都是相同的。这意味着我们排除了可能的道德风险。其次，我们计算的是风险敞口公平保费，假设农民每个时期都购买保险，排除了逆向选择。虽然这让我们在一个重要的方面偏离了现实世界的特征，但这让我们能够专注于我们感兴趣的主要话题，即指数保险的效用。在获得了每个方案的预期效用的度量之后，我们需要在各个方案之间进行比较。我们用两种不同的方式来做这件事。对于指数保险与无保险的比较，我们使用确定性等价物（CE）度量在收益率单位中进行比较，而不是直接比较欧盟价值。确定性等价物是非随机值，其效用与随机抽签的预期效用相同，这里的抽签只是观察到的收益率的集合。也就是说，CE是u（CE）=E[u（y）]保持的值。更高的CE相当于更高的效用，因此我们只需根据CEC/CEno的比率比较指数保险和无保险。比率>1意味着指数保险的效用更高，UC>Uno。我们还将使用风险溢价的概念，即分布的平均值与确定性等价物RP之间的差值≡ u - 总工程师。在比较两种方案时，较低的风险溢价相当于较高的效用。对于指数保险与农业保险的比较，我们面临的另一个问题是必须选择农业保险的触发水平。如上所述（见图1），虽然几乎所有农民都会选择90%的地区保险触发水平，但农场触发水平的选择存在更多的异质性。

为了解决这个问题，我们引入了一个新的衡量标准，描述了覆盖率为90%的基于指数的产品的农场覆盖率的等效术语。我们将这种衡量标准命名为农场等效风险覆盖范围，我们将其定义为农场保险的最高水平，其indexinsurance至少同样好或更好。这个数字越高，就理想的以农场为基础的计划而言，提供的保护指数保险越多。从形式上讲，我们的衡量标准定义为：τ*≡ 最大τ∈{0.2，…，0.9}τ，因此Uarea90%>Uf armτ%，我们为区域保险设定90%的值，因为这是农民选择最多的值，并搜索一大组候选值{0.2，…，0.85，0.95}，其中包括RMA提供的所有值（从0.5到0.85）。对于触发率为90%的指数保险，该指标通常位于区间[0%，85%]。我们预计，在同等触发水平下，90%的农场保险将优于90%的区域保险，因为农场计划将额外覆盖指数保险覆盖的系统性项目的特殊风险。但事实并非如此，我们观察到，在一些情况下，90%的地区保险比90%甚至95%的农产品更受青睐。要理解这种违反直觉的情况，请考虑一个与县域完全相关的地块，但只有在发生大地震的时期除外：假设该地块经历了84%的地震，而县平均值有70%的冲击（我们将假设有足够的时段，使得县平均值接近现场平均值，尽管存在一次性差异）。覆盖率为85%、90%或95%的农产品将分别提供1%、6%或11%的赔偿。另一方面，区域产品的赔偿将接近20%。