说服积极的思考者

红色表示一组Bayesian海报IOR，支持一个愿望接收者的动作a=1。在这种情况下，阈值uWθ，θ′将小于或等于uBθ，θ′我们不会成为班尼莫尔。现在让我们把注意力转向以下问题：与贝叶斯方法相比，什么时候发送方面对一厢情愿的接收者更好？在说服一厢情愿的接收者或aBayesian接收者时，发送方的最优策略的（Blackwell）信息量如何比较？记住，发送方选择信息策略τ∈ (（Θ）最大化（Θ）v（u）τ（du），其中v（u）=1如果u∈ W0否则，以Bayes plausi约束为准（Θ）μτ（du）=u。在二进制状态的情况下，这意味着阈值b eliefuw对应于最小的贝叶斯后验发送方需要诱导，以说服一厢情愿的接收方采取行动a=1。因此，引理1和命题2对发送者有直接的影响。推论2。设Θ为至少有两个元素的任意有限空间。然后，Senderalways在与一厢情愿的接收者交互时，获得的回报略高于任何先验知识的贝叶斯∈ ]0,1[当且仅当，对于任何一对态θ，θ′而言∈ Θ，接收者与这些状态相关的物质报酬和他的Wishfulns参数ρ满足引理1中的条件（i）、（ii）或（iii）之一。此外，当状态空间为二进制时，发送方的最优信息策略总是比贝叶斯情况下的信息弱（Blackwell）。为了说明推论2，我们在图2中表示了在两种不同情况下，当接收者是一厢情愿的或贝叶斯的时，发送者的直接效用的凹陷。在这种情况下，引理1中至少有一个属性是满足的。引理1中没有任何属性是满足的。图2：最优信息策略下的预期收益。红色曲线：一厢情愿下的预期回报。

蓝色曲线：当接收者是贝叶斯时的预期收益。绿色虚线：完全揭示实验的预期回报。相应的toLemma 1如图2a所示。发送者总是比贝叶斯接收者更善于说服一个一厢情愿的人，比如V（u）≥ 任何u的VKG（u）∈ ]0,1[.另一方面，如果接收者的偏好或愿望不满足引理1中的属性，那么发送者在任何先验条件下的情况都会较弱。这种情况在图2b中表示。当发送者想要诱导一个愿望接收者喜欢（或不喜欢）的动作时，每个动作总是“更容易”（resp.“harder”）对于发送方而言，在以下意义上：发送方需要比KG严格少（或严格多）的Blackwell信息政策来说服接收方采取他喜欢的行动。同样，如果像inGentzkow和Kamenica（2014）所说的那样，实验成本很高，那么发送者总是需要消耗更少（或更多）的资源来说服一厢情愿的接受者采取他喜欢的行动。二元状态空间的假设有助于比较Bayesi a n-最优信息策略和wishfu l-最优信息策略，因为它确保了Bayesi a n-最优信息策略和wishfu l-最优信息策略是Blackwell可比的。虽然当状态空间包含两个以上的元素时，y 2中的信息性比较不一定会扩展，但相比之下，发送者的福利比较在任意有限状态空间下仍然成立。我们比较了图3中发送方的最优信息策略，当接收方是贝叶斯的和一厢情愿的，并且具有与图1相同的支付函数。当统计空间为有限时，策略τ∈ T（u）使得δδou0uB中的所有元素-微瓦-uB1,2uW1,2uB0,2uW0,2B图3:Bayesi a n-最优策略τB（蓝色）与。

具有相应支持{uB）的如意最优策略τW（红色）-,uB0,2}和{uW-,uW0,2}。与政策τ′相比，支持（τ）是完全独立的（弱）Blackwell信息量更大∈ T（u）当且仅当和supp（τ′） co（supp（τ））（见Lipnowski等人，2020年，引理2）。贝叶斯最优策略τB（即一厢情愿最优策略τW）的支持度为{uB-,uB0,2}（分别为{uW-,uW0,2}）。因此，co（supp（τW））={u∈ (Θ) : T∈ [0,1]，u=tuW-+ (1 - t） uW0,2}。在图3中可以看到{uB-,uB0,2}6 co（supp（τW））。因此，τ带τ不可与布莱克威尔相比。然而，由于发送方感兴趣的是诱导动作a=1，而接收方支持该动作，因此发送方的预期收益高于接收方为wishfu l.5应用程序的任何先前收益。在本节中，我们在三个应用程序中揭示了推论y 2可能具有重要的经济后果。5.1信息提供和预防性保健公共卫生机构（发送方）向个人（接收方）通报某种疾病的流行情况。接受者对感染风险形成信念，可以是高风险或低风险：0<θ<θ<1。感染该疾病的可能性也取决于个人是否采用预防性治疗，其中a=1表示采用。治疗的投资对接受者来说成本c>0。此外，我们假设治疗的有效性，即治疗有效的可能性为α∈ [0,1]所以生病的概率，条件选择，是（1）- α)θ. 保持治愈的回报标准化为0，而被感染的回报等于-<0，其中是疾病的严重程度。接收者的支付函数isu（a，θ）=（1）- （a）(-θ）+a(-(1 - α)θ - c） 对于任意（a，θ）∈ AΘ。

我们假设受试者面临着一个权衡：如果他确信感染的概率很低，他宁愿不投资，反之，如果他确信感染的风险，他宁愿投资于治疗。一个人可能会将该成本解释为治疗的价格或进行医疗程序的物质或心理成本。它很高。还要注意的是，接收者总是期望经历负回报，任何（a，θ）的asu（a，θ）<0∈ AΘ。公共卫生机构希望最大限度地提高个人采取预防性治疗的可能性。该机构通过设计并承诺采用Bayes似是而非的信息政策τ，向个人通报该疾病的流行情况。在置信度uB=c的情况下，贝叶斯接收机将不区分是否进行了治疗- αθα(θ - θ).相反，根据命题1和推论1，一厢情愿的接受者的均衡信念和行为由η（u）给出=uu + (1 - u）exp（ρ（θ）- θ） ）如果u<uWuexp(-ρ(1 - α)(θ - θ） ）uexp(-ρ(1 - α)(θ - θ)) + (1 - u）如果u≥ uW，anda（η（u））=1u≥ uWa适用于任何类型∈ [0,1]，其中uW=exp(-ρθ) - exp（ρ）(-(1 - α)θ - c） ）经验(-ρθ) - exp（ρ）(-(1 - α)θ - c） ）+exp（ρ(-(1 - α)θ - c） )- 经验(-ρθ ).我们在图4a中说明了接收机的信念失真。受试者总是对h是保持健康的概率过于乐观，如η（u）≤ u表示任何u∈ [0, 1]. 请注意，不收养与最高可能的回报有关-θ以及最高的p a yoff变率（θ- θ). 因此，通过引理1，接收器总是避免不采用，如图4b所示。作为推论2的结果，发送者总是最大限度地提高被收养的可能性是一个明智的目标，因为大多数感染都会由于通过社会互动传播而造成负外部性。

因此，希望降低感染传播可能性的仁慈规划者最好能最大限度地提高预防治疗的采用率（例如，最大限度地分发避孕套以控制艾滋病传播，最大限度地注射疫苗以控制病毒感染，或最大限度地使用口罩以控制空气传播疾病）。uBuWη（uW）uBη（uW）ouη（a）作为u的函数的平衡信念η（u）。uBρW（B）行为阈值u是ρ的函数。图4：=2，c=0.5，α=0.8，θ=0.1，θ=0.9和ρ=2的b elief对应关系。除了u=0或u=1外，接受者总是过度乐观地考虑其任何诱发性肥胖的健康风险。此外，置信阈值u是ρ的函数，且严格增加，并承认u是较低的边界。与面对贝叶斯代理时相比，需要诱导接受者更高的信念来接受治疗，尤其是当接受者的愿望ρ变大时。因此，在这个例子中，接收者的过度乐观总是损害发送者的利益。有趣的是，观察发送者诱导采用治疗的概率如何随疾病的严重程度以及治疗的有效性而变化。我们在图5b中表示了发送方在最优信息策略下诱导采用治疗的概率，作为的函数。请注意，诱导采用的概率对疾病的严重程度不那么敏感，即当面对一个一厢情愿的接受者时，与治疗效果较差时的贝叶斯相比，会变得“更糟”。直觉是这样的：当治疗完全有效时，即α=1，接受者投资于治疗的回报变得独立于状态。因此，当采取行动a=1时，他没有任何激励或扭曲信念。

因此，uWdecreases and receiver这一概率受到贝叶斯合理性约束的约束，在贝叶斯案例中等于τKG=u/ubin，在如意算盘中等于τKG=u/ubin。cαθcαθuB、uW（a）行为阈值uB（蓝色）和uW（红色）作为严重程度的函数。cαθτ（b）诱导治疗采用的概率τ作为严重程度的函数。图5：红色（分别为蓝色）曲线对应于如意（分别为贝叶斯）接收器。将参数设置为c=0.5、α=0.8、θ=0.1、θ=0.9和ρ=2。实线对应于α=1的情况，而虚线对应于α=0.8。拥有完美的贝叶斯信念≥ uW.然而，当治疗效果存在不确定性时，即α<1，即使在接受治疗时，也要对感染风险进行评估，并为信念扭曲提供空间。降低α会增加接收者的预期焦虑，从而导致更多的优化偏见，更高的μ魔杖会使发送者在任何严重情况下的说服变得复杂。在图5b中指出，对于固定的s，τ随α急剧下降。事实上，我们可以表明，随着α下降，对于任何，τ变得越来越接近u，这意味着该机构无法实现比完全披露下更高的回报。在下一小节中，我们将框架扩展到连续状态空间和线性偏好的情况。我们在有限状态空间的情况下展示了扩展到该设置的结果。我们还强调了为什么我们可能期望说服是更多的。这个结果的另一个含义如下。假设真正的治疗效果是α，但接受者认为治疗效果是βα<α（例如，因为接受者坚持抗接种运动或通常不信任制药行业）。

在这种情况下，接受者对治疗效果表达的不满让他更加焦虑，这反过来又使信念扭曲更加强烈，从而淡化了该机构信息政策的有效性——不管疾病的严重程度如何。在风险投资决策环境下有效。5.2说服一厢情愿的投资金融经纪人（发送方）设计一些国际扶轮天空金融产品返还的报告，以通知潜在客户（接收方）。产品的退货是θ∈Θ=[θ，θ]，其中θ<0<θ。返回值根据之前的分布进行分配。设F为与u相关的累积分布函数，假设u在[θ，θ]上允许一个连续且严格正的密度函数F。接收者有一些积蓄，他愿意投资并选择Acto na∈ A={0，1}，其中A=0表示无n-投资的选择，在这种情况下，接收者的收益为0，A=1表示投资，在这种情况下，接收者的收益为实现收益θ。经纪人的报酬是基于与真实产品的性能相关的浮动费用v>0。因此，对于任何（a，θ），接收者的回报为isu（a，θ）=aθ，而发送者的回报为v（a，θ）=va∈ AΘ。ms的接受者对金融产品的回收抱有积极的信念。根据命题1，他的平衡信念由η（u）~=uΘ、ifZΘexp（ρθ）u（dθ）<1ZΘexp（ρθ）u（dθ）ZΘexp（ρθ）u（dθ）ifZΘexp（θρρ）u（dθ）≥ 1.对于yu∈ （Θ）和任何Borel集Θ 由推论y1，h是由a（η（u））=1ZΘexp（ρθ）u（dθ）给出的公平行为主义≥ 1.因此，发送方的间接效用等于v（u）=v1ZΘexp（ρθ）u（dθ）≥ 1.任何情况下∈ (Θ). 为了让问题变得有趣，我们假设Bayesian或一厢情愿的接收者都不会在前一个条件下采取行动a=0。

也就是说，^m=Rθu（dθ）<0和^x=Rθexp（ρθ）u（dθ）<1。在这些假设下，请注意，仅通过其诱导的指数矩x=RΘexp（ρθ）u（dθ）的分布，才对接收器和发送器起作用的信号结构σ在后验信念u上诱导分布τ。设X为此类矩的空间，即X=co（exp（ρΘ）），其中exp（ρΘ）是函数θ7的图形→ exp（ρθ）表示所有θ∈ [θ,θ]. 也就是说，X=[X，X]其中X=exp（ρθ）和X=exp（ρθ）。设G是由F导出的随机变量exp（ρθ）上的先验累积分布函数，即对于任意x，G（x）=Fuln（x）ρ∈ [x，x]。根据第一个标准参数（Gentzkow和Kamenica，2016），找到最佳信号结构σ的问题归结为找到一个累积分布函数H，该函数根据zzxh（x）dx最大化zxxv（x）dH（x）≤ZzxG（x）DX每z∈ [x，x]。这种问题的解决方案是众所周知的，可以使用s-tochastic支配约束下的优化技术（Gentzkow和Kamenica，2016年；Ivanov，2020年；Kleiner等人，2021年）或线性规划（Kolotili n，2018年；Dworczak和Mart ini，2019年；Dizdar和Kovác，2020年）找到。在我们的上下文中，最佳信号是状态空间的一个基本划分。也就是说，经纪人会披露回报率是否高于或低于某个阈值状态。提议3。存在唯一的θW∈ [θ，θ]检验ing1- F（θW）ZθWexp（ρθ）F（θ）dθ=1，这样发送方汇集所有状态θ∈ [θW，θ]在相同信号s=1下，即σ（1 |θ）=1表示所有θ∈ [θW，θ]，并且类似地汇集所有状态θ∈ [θ，θW]在相同的条件下，当^x<1时，^m<0实际上总是真的。因此，假设^m<0 a与^x<1相加是没有损失的。信号s=0。因此，对于发送方，诱导作用a=1的概率等于zθWσ（1 |θ）f（θ）dθ=1- F（θW）。证据

见伊万诺夫（20），第3节。对于发送方来说，在阈值状态下划分状态空间是最优的，使得接收方在之前的状态下不关心投资与否。这种信息策略可以直观地被视为投资建议规则，在给定收益率F的先验分布的情况下，该规则最大化了接收者投资的概率。使用与上述完全相同的参数，可以推断，当接收者为贝叶斯时，引入行动a=1的概率由1给出- F（θB），其中θB是验证方程1的唯一阈值- F（θB）ZθBθF（θ）dθ=0。因此，当且仅当θW<θB.命题4时，发送者在说服一厢情愿的接收者时更有效。θW<θB始终是正确的。因此，发送者总是更有效地说服一厢情愿的投资者，而不是贝叶斯投资者。证据参见附录F。上述结果与命题2有关：购买风险产品受到一厢情愿的投资者的青睐，因为这是一种既能产生最高可能回报，又能产生最高回报可变性的行为。因此，该示例说明了有限状态空间情况下的结果如何自然扩展到具有线性参考的有限状态设置。这进一步有助于说明说服工作在金融和博彩市场中的普遍性，说明为什么一些金融咨询公司似乎专门针对不当行为提供建议，并迎合有偏见的消费者。5.3公众说服和政治两极分化发送者（如政治家、说客）说服奇数的有限选民群N={1，…，N}（如委员会或议会成员）通过提案x∈ X={0,1}，其中X=0对应于现状。状态空间是二进制的，Θ={0,1}，受众只使用发送者披露的信息对提案进行投票。

让ai∈ A={0,1}是选民i投的选票，其中ai=0表示投票维持现状。如果提案得到简单多数选民的支持，它就会被接受。我们假设发送者只对被接受的提议感兴趣，所以她的效用是v（x）=x。相比之下，任何投票者∈ N has支付函数ui（x，θ）=xθβi+（1）- x） （1）- θ)(1 - βi）对于任意（x，θ）∈ X×Θ其中βi∈ [0,1]将选民i的党派偏好参数化。也就是说，所有选民都同意，只有当θ=1时，才应该实施该提案，但他们对提案实施的重视程度各不相同。我们假设βII在人群中对称分布在1/2左右。表示βm=1/2主题选民的偏好。所有选民都有自己的信仰，ρ在选民中被认为是同质的。因此，选民信仰扭曲的方向和程度只取决于他们的党派偏好。根据提案1，选民i在选举中的信念∈ [0，1]由η（u，βi）给出=uu + (1 - u）exp（ρ（1- βi）如果u<uW（βi）uexp（ρβi）uexp（ρβi）+（1- u）如果u≥ uW（βi）。式中，uW（βi）=exp（ρ（1- βi）- 1exp（ρ（1）- βi））+经验值（ρβi）- 2.请注意，与inAlonso和Cámara（2016）一样，由于政策空间是二元的，选民不持有私人信息，因此在我们的模型中没有战略投票的空间。因此，公民i在信念η（u，βi）下的投票策略由a（η（u，βi））=1nu给出≥ uW（βi）o.心理学（Babad等人，1992年；Babad，1995年，1997年）和行为经济学（Thaler，2020年）都表明，选民的政治信仰往往是由他们的党派倾向驱动的。由于β的异质性，对于任何μ，在一厢情愿的投票者之间总是存在一定程度的信念极化∈ ]0,1[.