离散博弈中多重均衡的可检验含义

（这允许在这个简单的游戏中出现多重均衡。）T R#ide注意到了平衡的完整集合，让T∈ T表示在数据中的游戏中选择的平衡。在第2.2节的其余部分中，我们使用一个两人模型详细阐述了这个想法≡ {i，j}。首先，我们证明了这个博弈在平衡点集T上有一个总序。引理1假设假设假设1和2成立，a和#T<∞. 然后签名[（ti- t′i）（tj）-t′j）]=符号（vi（1）- vi（0））对于所有t 6=t中的t′。证据设Ui（εi；tj）表示i的中间支付，当j采用一个带有阈值tj的单调纯策略时，有一些符号滥用。即Ui（εi；tj）≡Rvi（1{εj）≥tj}）dF（εj |εi）+εi.在假设1和2下，对于所有t≡ （ti，tj）∈ T（私人信号处于均衡阈值的边缘参与者获得零间隔支付。）假设vi（0）>vi（1）。如果tj>t′j，则Ui（ti；t′j）<0。这意味着所有的Ui（~ti；t′j）<0。否则，假设2中的单交叉条件将失败。这意味着t′i>ti，因为t′的Ui（t′i；t′j）需要为零∈ T因此（ti-t′i）（tj）-t′j）<0。通过一个对称参数，t′i<tiif tj<t′j。tj6=t′jand ti=t′iare的情况在规定的条件下是规则的。为了说明这一点，假设ti=t′i。那么假设2中的单交叉条件和t的完整性意味着tj=t′j，也就是t=t′。非对称论证证明了vi（0）<vi（1）情况下的主张。我们的目标是检验“T在数据中退化”（即，数据中的观察值来自唯一均衡）的无效假设，而不是“T在数据中是随机的”。更具体地说，让FTI表示博弈中均衡的概率分布。

如果FTA将概率1集中在一个特定的平衡点上，我们称之为T退化；如果FTA允许以正概率选择两个或多个平衡点，我们称之为T随机。为此，我们利用了一对博弈，其均衡选择在多重均衡选择下是相关的。我们将这类配对称为相邻博弈（我们在下面的定义中简单地恢复了条件变量的可伪造性）：定义1让m，n索引两个博弈。当存在多个平衡点时，如果Tm和Tn不是独立的（以Xn，Xm为条件），则对策和n是相邻的：Tm6⊥⊥Tn | Xn，Xm。对这种依赖性的进一步定性是针对以下章节中描述的结果。当两个博弈中的均衡“有关联”或均衡相同时，可能会出现两个博弈之间的邻接。我们将在本节后面的更一般的环境中提供此类示例。继续我们的两人示例，并再次抑制在本小节中假定在所有博弈中相同的状态X，我们做出以下假设：假设3i，与（j，n，Tn）不独立，条件是tm6=n。该假设允许博弈之间的均衡选择相关，从而使这些博弈相邻。在假设3下，我们证明了在均衡选择退化的零假设下，参与者从相邻博弈（Di，mand Dj，n）中的选择是不相关的，也就是说，结果是从一个单一的均衡中得出的，并且在均衡选择不退化的替代方案下是一般相关的。为了看到这一点，分解两个玩家的选择之间的协方差C（Di，m，Dj，n），在相邻的游戏m和n asE[C（Di，m，Dj，n | Tm，Tn）]+C[E（Di，m | Tm，Tn），E（Dj，n | Tn，Tm）]，（3），其中C（······）和E（·······）分别表示条件协方差和期望。

在假设3下，E（Di，m|Dj，n，Tm，Tn）=Pr{i，m≥ Tm，i|1{j，n≥ Tn，j}，Tm，Tn}=Pr{i，m≥ Tm，i | Tm}=E（Di，m | Tm），其中Tm，ide表示（#i）-向量Tm中的第i分量。这意味着Di、mis意味着独立于Dj、Tn和Tm的条件。因此，C（Di，m，Dj，n | Tm，Tn）=0，（3）中的Firsterm为零，无论空值是否为真。这一含义利用了这样一个事实，即虽然私有类型在每个游戏中都是相关的，但在假设3下，它们在一个相邻的游戏中是不相关的。接下来，注意（3）中的第二项是假设3下E（Di，m | Tm）和E（Dj，n | Tn）之间的协方差。在空值下，TMT在所有博弈中都有退化分布，因此E（Di，m | Tm）和E（Dj，n | Tn）之间的协方差为零，即（3）中的第二项。因此，C（Di，m，Dj，n）=0在空值下。另一方面，在替代方案下，E（Di，m | Tm）和E（Dj，n | Tn）是相互依赖的，通常是相关的，因为均衡选择在相邻博弈之间是相关的。在这种情况下，如我们将在命题1中所示，协方差的符号等于相互作用的符号。给定引理1，我们定义了T上的以下总阶：对于所有T，T′∈ T，T≥ 只有当我≥ t′i.我们使用这个顺序来定义“增加”或“减少”函数。我们证明了在多重平衡交替下，Di，and Dj，nis之间的协方差是非零的，其符号等于相互作用效应的符号。假设4（i）对于任意一对m 6=n的相邻对策n和n，以及T上定义的任何递增函数h，E[h（Tn）| Tm=T]在T上递增。（ii）（i，m，j，m）独立于每个博弈m中的TMI。假设4中的（i）部分指出，相邻博弈中的均衡选择之间存在某种正关联。例如，它适用于Milgro m和Weber（1982年）定义的T和T的关联。

当相邻博弈共享相同的均衡时，这一点也可以满足，即Pr{Tm=Tn}=1第（ii）部分指出，私人信息不会干扰均衡选择（一旦以注释中支持的状态X为条件）。命题1假设假设假设1,2,3,4成立且#T<∞. 当C（Di，m，Dj，n）6=0时，对于任意相邻的游戏m和n，在备选方案下m 6=n，其符号与vi（1）的符号相同- vi（0）。证据回想一下（3）假设3下，Di和Dj之间的协方差等于E（Di，m | Tm）和E（Dj，n | Tn）的协方差。通过对Tm进行条件化，应用迭代期望定律，我们可以写出E（Di，m | Tm）和E（Dj，n | Tn）asZ[E（Di，m | Tm=t）之间的协方差- E（Di，m）{E[E（Dj，n | Tn）|Tm=t]- E（Dj，n）}dFT（t），（4），其中ftt表示Tm的边缘分布，在交替条件下，Tm是非退化的。假设vi（1）>vi（0）。然后引理1意味着每当t>t′（回想一下，总的顺序被定义为ti>t′i）时，tj>t′j。因此h（t）≡ E（Dj，n | Tn=t）=E（1{j，n）≥从引理1的证明中注意到，在假设4的（ii）下，ti=t′意味着tj=t′j.tj}| Tn=t）在t上减少。假设4中的第（i）部分则暗示E[h（Tn）| Tm=t]≡ E（Dj，n | Tm=t）随着t的增加而减少。接下来，注意E（Di，m | Tm=t）≡ Pr{i，m≥ ti | Tm=t}在（ii）消耗4下，t也在减少。因此，如（4）所示，E（Di，m | Tm）和E（Dj，n | Tn）之间的协方差是同一潜在变量Tm的两个递减函数之间的协方差。因此协方差为正。（见施密特（2003）的定理2）对称性论证表明，当vi（0）>vi（1）时，C（Di，m，Dj，n）<0。鉴于这一命题，利用相邻博弈中的动作相关性来检测数据的多重性是可能的。

为了做到这一点，研究人员必须将样本中相邻的几对博弈匹配到集群中，在集群中，均衡选择被认为是正相关的。在实践中，关于如何构建这样的集群，制度细节可能具有信息性。例如，在将已婚夫妇的共同疲劳决策研究为同时贝叶斯博弈时，我们可以考虑将位于人口结构相似的地理区域的家庭配对。其基本原理是，区域制度和文化规范可能会在这类夫妇的联合退休博弈的均衡选择中产生关联。值得一提的是，我们的方法可以应用，即使在集群间的平衡选择存在某种形式的弱依赖。在这种情况下，只要大数定律的某个版本允许我们在弱依赖的集群中集合，并一致地估计DIM和Djn之间的协方差，我们的方法就适用。2.3多重平衡的可测试含义在本节中，我们将第2.2节中的想法推广到具有异质状态和三个或更多参与者的完整模型。还记得Tm吗≡ 男：我∈ （一）∈ T（Xm）表示数据中博弈m中选择的均衡。设FTm，Tn | x，x′表示DGP中（Xm，Xn）=（x，x′）条件下的联合平衡选择。也就是说，对于任何x和x′，FTm，Tn | x，x′是一个支持T（x）×T（x′）的联合分布。我们的目标是测试“FTm，Tn|x，x′对所有（x，x′）是退化的”这一空值，而不是“FTm，Tn|x，x′至少对某些（x，x′）是非退化的”。假设5对于任意一对相邻对策m和n，m 6=n，i，mis independentof（-i、 n，Tn，Xn）所有i都以（Tm，Xm）为条件∈ I.假设5通过考虑观察到的状态，扩展了第2.2条中的条件独立条件（假设3）。

它适应了（Tm、Tn、Xm、Xn）之间的依赖关系，还允许私有类型i、m和之间的关联-i、 MandXm。假设6存在i，j∈ I使得E（Di，m|Tm，Xm）和E（Dj，n|Tn，Xn）之间的协方差在某些（Xm，Xn）=（x，x′）条件下是非零的。假设6表明，均衡选择之间存在非零相关性，这意味着两个博弈是相邻的。这将第2.2节中假设4的含义扩展到异质状态的情况。如果（Tm，Xm）独立于（Tn，Xn），或者如果Xn和Xm相关，但tman和Tn独立于Xm和Xn，则不成立。为了进一步说明其内容，我们在本小节后面提供了假设6的两个充分条件示例。命题2假设假设1，2，5 ho l d.在空值下，所有i，j的C（Di，m，Dj，n|Xm，Xn）=0.在替代方案下，C（Di，m，Dj，n|Xm，Xn）6=0，对于so me i，j和（Xm，Xn）=（x，x′，如果假设6成立。命题2的证明。。应用总协方差调节定律o n（Tm，Tn），我们有C（Di，m，Dj，n|Xm，Xn）=C[E（Di，m|Tm，Tn，Xm，Xn），E（Dj，n|Tm，Tn，Xm，Xn）|Xm，Xn]{z}≡A+E[C（Di，m，Dj，n | Tm，Tn，Xm，Xn）| Xm，Xn]|{z}≡（5）在假设1和假设2下，单调纯策略贝叶斯纳什均衡存在。假设5意味着对于i，j，E（Di，m|Dj，n，Tm，Tn，Xm，Xn）（6）=Pr{i，m≥ Tm，i|1{j，n≥ Tn，j}，Tm，Tn，Xm，Xn}=Pr{i，m≥ Tm，i | Tm，Xm}=E（Di，m | Tm，Xm）。因此，Di，mis的意思是独立于（Dj，n，Tn，Xn）条件下的（Tm，Xm）。因此，（5）右侧的第二项“B”为零，无论其是否为真。在假设5下，第一项“A”等于（Di，m | Tm，Xm）和（Dj，n | Tn，Xn）之间的协方差，条件是（Xm，Xn）。在空值下，（Tm，Tn）在（Xm，Xn）条件作用下退化。

因此，术语“A”在空值下为零。在另一种情况下，根据假设6，E（Di，m|Tm，Xm=x）和E（DJ，n|Tn，Xn=x′）之间的协方差对于某些（x，x′）是非零的。我们用暗示假设的原始条件的例子来结束本节。第一部分将第2.2节中的有效均衡选择推广到具有异质可观测协变量的情况。例1。（相邻游戏中的一个平衡选择）考虑一个有I的博弈≡ {i，j}在所有状态下，两个参与者对彼此具有相同的外部性。也就是说，签名(vi（x））=符号(vj（x））对于所有x，其中六（十）≡ vi（1，x）-vi（0，x）。用#T（x）<∞, 我们可以证明，在假设1，2和5下，符号[（ti- t′i）（tj）- t′j）]=符号[vi（x）]对于所有t 6=t（x）中的t′。（7） 如第2.2节所述，这允许我们为每个x定义超过#t（x）的总订单。假设一些（x，x′）带有符号(vi（x））=符号(vi（x′）和#T（x），#T（x′）∞:对于某些x，x′，E[h（Tn，Xn）| Tm=t，Xm=x，Xn=x′]的单调平衡选择（MES）]在t上增加，对于在第一个参数中增加的任何h。该条件通过考虑异质状态来推广假设4。例如，它适用于Milgrom和Weber（198 2）中定义的（Xm，Xn）=（x，x′）条件下的t和t。如第2.2节所述，我们认为私有类型不会直接影响均衡选择，即ii独立于给定X的t。我们表明MES条件意味着假设6。因此，在备选方案下，它也意味着c（Di，m，Dj，n|Xm=x，Xn=x′）6=0。设E（Di | T=T，X=X）≡ φi（t，x）和E（Dj|t=t，x=x′）≡ φj（t，x′）。

迭代期望定律意味着E（Di，m|Tm，Xm）和E（Dj，n|Tn，Xn）之间的协方差在（Xm，Xn）=（x，x′）条件下为：Z{φi（t，x）- E[φi（Tm，x）|x，x′）}{E[φj（Tn，x′）|Tm=t，x，x′]- E[φj（Tn，x′）|x，x′]！dFTm | Xm，Xn（t | x，x′）。（8） 这里期望E[φi（Tm，x）|x，x′]与给定的（Xm，Xn）=（x，x′）对应。首先，考虑这种情况vi（x）>0和vi（x′）>0。通过（7），我们可以将T（x）和T（x′）上的总阶定义为“T>T′当且仅当ti>T′i”。因为iis独立于给定X的t，φi（t，X）=Pr{i≥ ti | X=X}在t中比t（X）减小。此外，τt（x’）中的ωj（t，x’）也在减小，因为（7）当Ti＞t’i时，tj> t‘j’。主条件则意味着e [ [ j j（tn，x’）] tm＝t，x，x’]在t中递减，因此（8）是导出这个表达式，考虑G的随机向量（w，y，z）。设uf（z）≡ E[f（W，Z）|Z=Z]和ug（Z）≡ E[g（Y，Z）|Z=Z]。然后C（f（W，Z），g（Y，Z）|Z=Z）等式{[f（W，Z）- uf（z）][g（Y，z）- ug（z）]|z=z}=E[E{[f（W，z）- uf（z）][g（Y，z）- ug（z）| Y，z=z}| z=z]=E（{E[f（W，z）| Y，z=z]- uf（z）}×[g（Y，z）- ug（z）]|z=z）。文中的主张与W一致≡ 田纳西州≡ Tm，f（W，Z）≡ E（Dj，n | Tn，Xn），g（Y，Z）≡E（Di，m | Tm，Xm）和Z≡ （Xm，Xn）。在（Xm，Xn）=（x，x′）的条件下，tmn的两个递减函数之间的协方差是正的。（见施密特（2003）的定理2）对称参数表明，当vi（x）<0和vi（x′）小于0。因此，假设6适用于Xm=x和Xn=x′的adja-centgames。在第二个例子中，相邻博弈与概率1共享相同的均衡选择，假设6满足。例子2。（相邻游戏中的相同均衡）考虑一个具有三个游戏者的游戏≥ 3).

假设6如果已知相邻博弈对任意两个相邻博弈m和n选择相同的均衡：[相同的均衡选择（SES）]Pr{Tm=Tn | Xm=Xn}=1。SES条件适用于数据中不相交对或相邻博弈簇的多个均衡。在这种情况下，我们可以定义FT | x（.）a s（Xm，Xn）=（x，x）的相邻对策对的平衡点的边缘分布。Di，和Di，nis之间的条件协方差：Z{φi（t，x）- E[φi（Tm，x）|Xm=x，Xn=x]}×{φi（t，x）- E[φi（Tn，x）|Xm=x，Xn=x]}！这是φi（t，x）与t的方差，t是从FT | x得出的。这种方差在替代方案下严格为正，因为FT | xis是非退化的。因此假设6保持i=j和（Xm，Xn）=（x，x）。在这个例子中，我们也可以用Dj代替Di，NW。在这种情况下，协方差一般也是非零的，因为φi（T，x）和φj（T，x）是同一变量的函数。基于这些想法，我们可以使用计量经济学文献中已有的工具，对DGP中单一均衡的无效假设进行统计检验。让{m，n}标记两个相邻的游戏。对于Di、m、Dj、nbeing二进制，值得一提的是，零条件也可以用来测试具有零贴现因子的动态博弈中的多个马尔可夫完美均衡（MPE），其中私有类型通过连续独立的未观察到的异质性相关联。在这种情况下，一个c可以将每个iod在同一个马尔可夫过程中的“阶段博弈”视为同一“集群”中的静态博弈，SES条件只是意味着玩家不会在一个过程中的MPE之间进行切换。回想一下，在游戏中使用相同索引标记的代理不需要是相同的个体。

我们只认为，这些具有相同索引的个体具有相同的偏好，并且来自DGP中的相同成分。协方差相当于条件平均独立。因此，数据中阿努伊克均衡的零假设，即上述零条件协方差限制，等价于：H:E（Di，m | Xm，Xn，Dj，n）=E（Di，m | Xm，Xn）a.E.（9）在多重均衡的替代下，该等式以正概率失效。对于连续和离散协变量，此类非参数模型中的显著性检验在文献中得到了广泛研究。例如，参见范和丽（1996年）、拉辛（1997年）、陈和凡（1999年）、德尔加多等人（2001年）、拉韦尔尼（2001年），以及最近的研究，在R acine等人（2006）中，2.4与文献的关系Aguirregabiria和Mira（2019）研究了不完全信息的静态博弈，当参与者的私人信息独立于所有参与者已知但未在样本中测量的一些未观察到的异质性时。为了确定整个模型的普遍性，他们将均衡选择视为博弈层面不可观测异质性的一个组成部分。他们提出了一种特征分解方法，以恢复给定未观察到的异质性的条件选择概率（CCPs），然后使用类似于Bajari等人（2010）的排除限制，从这些CCPs中识别参与者的事后支付函数。在第4.3节中，Aguirr egabiria和Mira（2019）提出了一个新的想法，通过检查从有限混合物中的成分CCPs恢复的支付函数是否会导致独特的支付函数，来测试多重平衡。其主要思想是，如果存在多重平衡，那么从有限混合物中回收的一些成分CCP将产生相同的支付函数。