离散博弈中多重均衡的可检验含义

如果我们通过将P定义为Dt和Dt+1的联合概率质量来对历史进行不同的划分，那么它的细节表示将只包含MK分量。本小节的基本思想可以扩展到除DUH之外的可观测态的转变。为此，将识别方法设定为Xt+1和Xt的实现。P和P中的混合权重分别为Pr{ξt=ξXt=x，m}和Pr{ξt+1=ξ′，ξt=ξXt+1=x′，Xt=x，m}。（11）和（13）中的推导分别在“Xt=x”和“Xt=x和Xt+1=x′”条件下进行。因此，我们在数据生成过程中对多个MPE的测试进行了模拟，作为推断一致可估计matr ix的秩的问题。Kleibergen和Paap（2006）提出了一种秩测试，它使用奇异值分解，并在空值下具有关键的极限分布。Kasahara和Shimotsu（2014年）使用该测试统计数据，按照Robin和Smith（2000年）中的顺序测试算法，构建了一个一致的估计量，用于计算细观结构模型中的组件数量。Kasahara和Shimotsu（2014）中的估计器可用于我们测试多个MPE的目的。Kleibergen和Paap（2006）以及Kasahara和Shimotsu（2014）给出了秩检验和估计的渐近性质。这两篇论文都通过各种模拟练习记录了测试和估计器的有限样本性能证据。3.3扩展：具有多个p层的二元决策第3.2节中的方法要求选择结果的支持度大于DUH和均衡的联合支持度（即，（#D）#IA，（#D）#IB>MK）。如果选择被拒绝≡ {0，1}，如果一个游戏中有足够多的玩家，我们可以扩展逻辑来测试多重均衡。为了X席思路，我们先考虑一个没有XTAS的模型。

支持将每个动态名称中的层集划分为两种类型，分别用1和2标记。同一类型的球员在赛前是相同的，因为他们在赛后有相同的偏好，并且在同一分布中有独立的特质冲击。让nand n记录1型和2型播放机的数量，以便#I=n=n+n。类型对称MPE由σ表示*τ（ξ，εi）→ 对于类型τ=1，2。我们可以修改第3.2节中针对该设置的方法。让mτt表示t期间选择动作1的τ型玩家的数量。然后我们可以构造（m1t，m2t）的联合概率质量的（n+1）-（n+1）矩阵，表示为S，行和列由m1和m2t的可能值o表示，并且（i，j）-th元素的概率形式为1t=i+1，m2t=j+1。同样地，我们可以为（m1t，m2t）和（m1，t）的连接概率质量构造一个n×n矩阵-1，m2，t+1），表示为S，其中n≡ （n+1）（n+1）。应用全概率定律并利用条件独立性假设，我们可以将S和S分解为三个矩阵的乘积，形式类似于（12）和（14）。如果n，n>MK- 1和适当的秩条件成立，则S和＠S的秩分别等于乘积orMK和Mk中对角矩阵的维数。因此，确定了DGP中均衡的基数。3.4扩展：具有两个玩家的二元决策剩余的挑战是当只有两个玩家和二元决策#D=2和#I=2时，测试多个MPE。在这种情况下，我们需要使用五个连续的时间段。

设WT表示（Dt，Xt）的离散化，通过将Xt的支持划分为区间来定义。函数实现了第二周期选择和状态w：p（w，w w，w）＝xm，ZeZiM（m）La（m），（w，w w，w z）＝xm，Zigi~（m）La（m），（PM）w（w，w，Zew，w），m（z，w，z）＝xm，ZeZiM（m）pm（w，w w，z），m（w w，z，w），其中（·）是平衡选择；考虑下面的联合概率λ（·）是ξ在MPE m下的边际概率质量函数∈ M.上面最后一个等式使用状态和DUH转换上保留的条件独立条件。设δ（1）和δ（3）分别表示魔杖边缘支撑的基数。设Pw，`w，w表示一个δ（3）－乘以δ（1）矩阵，当w的实现固定在`w时，该矩阵总结了（w，w，w）的联合概率质量函数。设inPw，`w，wb的行在w的支持下按元素索引，列在w的支持下按元素索引。在矩阵表示法中，Pw，`w，w≡ （Φw）π（ψw）′，其中∏是J×J对角矩阵，非零对角项为{~n（m）：m∈M} （在对角线上重复K次每个а（M）；Φ′wis aδ（3）-by-J矩阵，其（i，J）-th分量为Pm（w|w，ξ），其中（m，ξ）=ωjand-wis为不支持w的第i个元素；同样地，ψwis aδ（1）-by-J矩阵的（i，J）-th分量为pm（\'w，ξ，w），其中（m，ξ）=ωjand wis是支持w的第i个元素。

第二，第二和第第四周期（W，W），P（W，W，W，W，W）＝XM，ZEI，4，Zij（m）m m（Ze，ZEI）PM（W，W，W，W，W，ZZ），其中M m（·，）是Me（m，…，）的联合分布。δ（3），δ（1）＞J＝MK，和πW W；∈ M对于每个MPEm和（ξ，ξ）上的条件，历史的联合概率质量是（w，\'w，w，\'w，w|ξ，ξ）（15）=Pm（w | w，ξ，w，\'w，ξ，w）Pm（\'w，w，\'w| w，ξ，ξ）Pm（w|，ξ，ξ）。根据我们维持的假设，Pm（w | w，ξ，w，\'w，ξ，w）=Pm（w | w，ξ），Pm（\'w，w，\'w | w，ξ，ξ，ξ）=Pm（\'w，ξ，w，ξ，w）Pm（w | w，ξ，w）Pm（\'w，ξ| w）Pm（ξ，ξ，w）=w，ξ）Pm（w|w，ξ）Pm（\'w，ξw）Pm（ξ，ξw），Pm（w|ξ，ξ）=Pm（ξ，ξw）P（w）λm（ξ，ξ）。将其代入（15），我们得到p（w，\'w，w，\'w，w）=Xm，ξ4，ξ（m）Pm（w | w，ξ）Pm（\'w，ξ，w | w，ξ）Pm（\'w，ξ，w）。设δ（5,1）表示（W，W）支撑的心脏。设<<Pw，\'w，w，\'w，w为δ（5,1）－乘以δ（3）矩阵，当（w，w）固定在（\'w，\'w）时，该矩阵总结了（w，w，w，w，w）的联合概率质量函数。让r owsin＠Pw，＠w，w，＠w，wbe由（w，w）的联合支撑上的元素索引，并由w的边缘支撑上的元素索引。在矩阵表示法中，＠Pw，＠w，w，w≡■Φw，w~Π■ψw，w′其中∏是J′-by-J′对角矩阵，非零对角项为{~n（m）：m∈M} （对角线上的每一个φ（M）重复k次）；其中（m，ξ，w，ξ）＝ωjand（w，w）是支持（w，w）的第i个元素，同样地，作为支持（w，w）的第i个元素，以及作为支持（i，J）的第i个元素的第i个元素的∧ψ′w，w，w，w，w是支持（w，w）的第i个元素。

δ（5,1），δ（3）>J′和■Φw，w和■ψw，w作为满秩，我们将J′=mk确定为Pw，w，w，w的秩。为了使这种方法有效，我们必须将历史划分为（w，w）和w，同时为行和列Pw，w，w，w，w编制索引。假设我们已经定义了Pw，w，w，wdi不同于具有行索引（w，w）和列索引w的δ（5,3）-乘δ（1）矩阵。那么它的秩为J=MK，而不是J′=MK.3.5相关文献Otsu等人（2016年）检验了在有限数量的游戏/市场s=1,2。。。，S<∞ 由相同的MPE生成。随着每个博弈中的时间周期T的数量接近于一个完整的时间周期，他们提出了一个基于估计和比较条件选择概率的渐进测试，该概率跨越了有限个博弈。相比之下，我们关注的是一个不同的场景，即一个样本在独立的动态游戏/市场中的数量很大（即，渐近性定义为S）→ ∞) 而在每一场比赛中观察到的时间段T的数量是有限的（比如T）≤ 3).Hu和Shum（2012）使用特征分解方法来充分识别具有未观察到的异质性的一般动力学模型。Luo等人（2019年）将这种方法扩展到处理动态博弈中的多重均衡，将ing均衡选择视为博弈层面上离散的未观察到的异质性的一个组成部分。他们论文中的关键是定义一组条件事件，以便观察到的结果的条件分布允许使用MK分量的有限混合（或特征值分解）表示，K是未观察到的异质性的基数，M是DGP中平衡的基数。罗等人。

（2019）然后提出通过检查从有限混合物中的成分CCP（其本身需要通过特征值分解从结果分布中恢复）确定的参与者支付是否明显不同来测试多重均衡。这个想法建立在阿吉雷加比里亚（Aguirregabiria）和米拉（Mira，2019）在静态博弈中引入的相同观点之上：如果DGP中存在多重均衡，那么从混合中的一些成分CCP中支持的玩家支付将是相同的。相比之下，我们在新方法中的见解是不同的。我们将检测多重平衡的任务与识别完整模型分离开来。通过对不同长度的结果历史进行划分和配对，我们可以将它们的联合分布表示为一个整体，其组成部分的数量除了与需求K有关外，还随历史的长度而变化。这是一个新的变化来源，据我们所知，文献中尚未利用。更重要的是，它允许我们通过Kleibergen和Paap（200 6）等标准秩检验进行简单的平衡基数推断，从而省去了Luo等人（20 19）中讨论的顺序步骤。3.6数值示例示例示例1。（多个玩家可选择二进制。）考虑N玩家之间不完美信息的动态博弈。每个玩家i属于两种类型（标记为1或2）中的一种，并在每个时段t做出二元决策di，tin。同一类型的玩家有相同的事后支付，并有独立于相同分布的特殊冲击。让nand分别记录1型和2型玩家的数量。时变状态变量ξt∈ {0，1}通常由每个周期t中的所有参与者观察。此外，每个参与者在每个周期中观察一个私有信号向量：εi，t≡ （εi，t，s）s=0,1∈ R.设εt≡ （εi，t）i≤N

状态和信号跃迁是这样的，Pr{ξt+1，εt+1 |ξt，εt，dt}=Pr{εt+1}Pr{ξt+1 |ξt，dt}，其中dt≡ （di，t）i≤和εi，皮重i.i.d.穿过i≤ n和独立形式ξt。对于每个i和t，εi，是具有零均值和n单位协方差矩阵的双变量正态。ξ和后付款的过渡规律仅取决于t期间选择1的1型和2型玩家的数量，表示为mt≡ （m1t，m2t）。跃迁Pr{ξt+1=1 |ξt=ξ，mt}=pξ，1ifm1t/n≥ m2t/n；pξ，否则。我选择的τ型玩家的事后支付di，t=di∈ {0，1}由πτ（di，d）给出-i、 t，ξt）+εi，t，di，Luo等人（2019）在顺序步骤中描述了该测试：（1）使用特征分解恢复给定DUHand均衡选择的共成分CCP，（2）从成分CCP估算支付，以及（3）比较从不同CCP计算的支付估算。非参数执行这些步骤的成本很高。参见第2.4节第二段中关于静态游戏类似成本的讨论。Luo等人（2019年）在论文中没有提供任何检验统计量或渐近理论来实施该检验。在我们的方法中，我们只需要记录结果历史的联合分布等级。因此，我们不需要实际执行特征分解。这意味着我们不需要采用Q∧Q形式的细节-1.

为了我们的目的，用限制性小得多的形式Q∧Q表示有限混合物。式中πτ（di，d）-i、 t，ξ）=cτ（di，ξ）+Δτ1（di）（m1t/n）+Δτ2（di）（m2t/n），对于τ=1，2型。考虑一个具有n＝n＝5和折扣因子β＝0.75的十个玩家的游戏。其他博弈参数具体如下：cτ=1（di，ξ）cτ=2（di，ξ）di=0 di=1 di=0 di=1ξ=0 2.6-0.8 1.4 -1.8ξ = 1 1.4 -1.8 2.6 -0.8;Δτ=1，＠τ（di）Δτ=2，＠τ（di）di=0 di=1 di=0 di=1＠τ=1 2.5 4 2.5 6.5＠τ=2.5 6.5 2.5 4；P0.0=0.375；p0.1=0.725；p1,0=0.675；p1,1=0.125。这些参数值反映了某些经济解释：首先，对于不同类型的参与者，未观测状态ξ对cτ（di，ξ）的边际影响以不同的方向移动。第二，当di=1时，Δτ，＠τ反映出与选择相同作用的其他类型的层具有更高的互补性。第三，状态的转变取决于（m1t，m2，t）总结的选择，这对向更高状态转变的可能性有重大影响。我们也允许这种影响的迹象也取决于当前的状态。我们求解类型对称MPE中的条件选择概率。游戏采用了两种MPE，这两种MPE导致不同的CCP向量：MPEEq中的条件选择概率（CCPs）#1 Eq#2τ=1τ=2τ=1τ=2ξ=0.473 0.533 0.041 0.022ξ=1 0.375 0.3090.304 0.334为了说明第3.2节中的方法，假设在数据生成过程中以正概率选择两个均衡。当A是一类玩家的集合，B是二类玩家的集合时，（12）中的联合概率质量P是一个2乘2，秩MK=4。此外，（14）中的另一个联合概率质量P是秩MK=8的2×2矩阵。

可以证明这一点是成立的，因为假设8和9中的秩条件是满足的。值得一提的是，这种测试多个MPE的想法在应用于低维矩阵时仍然有效，这些矩阵聚集在P和P中的行和列上。例如，可以通过任意选择1型或2型参与者的子集来替换A和B，例如，从每种类型中选择三个。然后，我们可以为这些参与者构造两个类似于P和P的联合概率矩阵。这些矩阵的维数为2×2和2×2，分别为4级和8级。我们还将在第3.3节中说明如何实现替代方法。为此，为（m1t，m2t）构造一个6乘6的jo int概率质量矩阵，即1型和e-2型玩家选择1。同样，为mt构建一个6×6的连接概率矩阵≡ （m1t，m2t）和mt≡ （m1，t）-1，m2，t+1）。这两个矩阵都是dmita对角化形式，类似于（12）和（14），在反编译中间的对角矩阵与（12）和（14）中的∧和∧相同。经验证，两种分解中的外矩阵，即平衡选择和未观测状态下的分量质量函数，均满足适当的秩条件。因此，概率质量矩阵S和S的秩分别为MK=4和MK=8。

如前所述，我们也可以通过用低维变换替换S来进行测试，例如S中的一些行和列的线性组合形成的n×n摘要矩阵r ix（8<n<36）。考虑到上文示例1A中报告的平衡选择概率，概率质量矩阵的数值为=0.1588 0.0285 0.0152 0.0113 0.0053 0.00110.0449 0.0390 0.0510 0.0443 0.0221 0.00470.0176 0.0485 0.0770 0.0728 0.0381 0.00840.0098 0.0351 0.0616 0.0618 0.0333 0.00740.0034 0.0135 0.0256 0.0268 0.0147 0.00330.0005 0.0022 0.0044 0.0047 0.0026 0.0006;以及*=0.0615 0.0249 0.0154 0.0339 0.0132 0.0105 0.0071 0.0011 0.00080.0272 0.0153 0.0177 0.0300 0.0108 0.0127 0.0072 0.0013 0.00100.0249 0.0134 0.0194 0.0332 0.0128 0.0179 0.0110 0.0020 0.00170.0407 0.0289 0.0443 0.0694 0.0250 0.0335 0.0188 0.0034 0.00270.0120 0.0116 0.0188 0.0273 0.0092 0.0114 0.0058 0.0010 0.00070.0147 0.0126 0.0203 0.0340 0.0132 0.0179 0.0111 0.0020 0.00160.0079 0.0067 0.0111 0.0162 0.0055 0.0074 0.0038 0.0007 0.00050.0011 0.0012 0.0019 0.0034 0.0014 0.0020 0.0013 0.0002 0.00020.0008 0.0007 0.0011 0.0020 0.0008 0.0012 0.0007 0.0001 0.0001S的行和列分别对应于选择1的1型和2型玩家的数量（从m=0、1、…、5排序）。9乘9矩阵*是原始36×36矩阵S的粗化。它是通过将S中每四个相邻行和四个相邻列相加而构造的。S的秩等于4=MK；~s和~s的秩*都等于8=MK。例2。（两名玩家进行二元决策。）考虑一个动态博弈，在两个前瞻性的玩家I和J之间做出动态的、最优的二元决策DIT，DJT。∈{0，1}在每个时间段t。玩家观察两种随时间演化的状态：zt∈ {0,1}和ξt∈ {-1,1}，数据中报告了Zt，而ξ不是。