远期效用与市场调整

, n 采用自我融资策略的交易(πit)t>0，代表投资于该项目的财富比例i-股票和消费政策(cit)t>0，表示单位财富的即时消费率。这个i-经纪人的财富动态(Xit)t>0是由dXit= r Xitdt + πitXitμidt + νidWit+ σidBt- citXitdt, 具有Xi= xi> 0, μi= μi- r .我们解释μi作为超额回报。如果组合投资消费策略属于容许集A，则认为该策略是可容许的i,A.i=(πi, ci) : F-逐步可测R×（0，∞) - 有价值的过程(πit, cit)t>0，这样Et(|πis|+ |cis|)ds< ∞, 无论如何t > 0.如[39]所述，我们不允许消费率为零。同样明显的是，对于任何可接受的策略，我们都有Xit> 全部为0t > 0.代理的交互和相对性能问题。每个管理者都会在考虑其他人的政策的情况下衡量自己战略的绩效。每个代理人都参与某种形式的社会互动（在[8,27]的意义上），影响代理人对财富的感知，所有这些都以乘法的方式通过所有代理人（不包括他们自己）的几何平均财富建模。管理者的相对绩效考核流程i ∈ {1, · · · , n}, 表示Xi定义为Xi=XiX(-i)θi, 哪里X(-i)=nk≠iXkn-1.（2.2）同样，我们引入了相对消耗指标^ci=ci~c(-i)θi, 在哪里c(-i)=nk≠ickn-1.（2.3）我们强调，两个相对指标（hat和tilde）可以等效地重新制定，以便相应的几何平均值包括代理本身。

这变成了一个等效问题，可以通过重新调整参数来简化为原始问题，参见[40，备注3.3]，[39，第2节]或[20，第2节]通过应用其公式，我们获得了平均性能的动力学Y =X(-i)如下：，dYtYt=r + μπ(-i)t-Σπt(-i)-σπt(-i)-n - 1(νπt)(-i)- c(-i)tdt+n - 1.nk≠iνkπktdWkt+ σπt(-i)dBt, Y=nk≠ixkn-1，其中我们定义了t > 0μπt(-i)=n - 1.nk≠iμkπkt, (νπt)(-i)=n - 1.nk≠i(νkπkt), σπt(-i)=n - 1.nk≠iσkπktΣπt(-i)=n - 1.nk≠iΣk(πkt), c(-i)t=n - 1.nk≠ickt, Σk= σk+ νk.通过它的公式1，可以发现相对绩效财富的动态Xi成为dXitXit= ξidt -cit- θic(-i)tdt (2.4)+νiπitdWit- θin - 1.nk≠iνkπktdWkt+σiπit- θiσπt(-i)dBt,哪里ξi= r (1 - θ) + μiπit- θiμπt(-i)+θiΣπt(-i)-θiσπt(-i)+n - 1(νπt)(-i)- θiσiπitσπt(-i).3最终玩家向前优化游戏3。1个远期相对绩效每位经理i ∈ {1, . . . , n} 使用由F建模的forwardrelative实用程序测量她的相对性能指标的输出t-逐步可测量的随机场Qi: Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R代表i ∈ {1, . . . , n}. 以下标准遵循了[31]（力量类型）和[20]（指数类型）中提出的前瞻性能游戏标准。这里的公式是在解决纳什均衡博弈的通常策略的第一步中得到启发的，即一个代理对所有其他代理的行为的最佳响应。这个版本的相对标准（隐式和内生）由所有其他管理者的政策参数化j ≠ i 对它们的最优性没有任何假设。定义3.1（管理者的未来相对绩效）。每位经理i ∈ {1, . . .

, n} 满足以下条件：允许任何j ≠ i, (πj, cj) ∈ A.j采取武断但固定且可接受的政策，换句话说，其他管理者已经确定了他们的投资消费可接受策略。因为(πi, ci) ∈ A.i以及主观折扣因素ρi> 0，定义F-逐步可测量的随机场Qi: Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → RQi(x, t) := e-ρitUi(x, t) +te-ρisVi( ^cisx, s)ds, （3.1）其中^ci由（2.3）和Ui, Vi: Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R是另外两个F-逐步可测量的随机场*.随机场Qi是针对i-总的来说，如果t > 0，以下条件成立：o映射x → Ui(x, t) 和x → Vi(x, t) P-a.s.是严格增加的还是严格凹的；o无论如何(πi, ci) ∈ A.i, Qi(Xit, t) 是一家（本地）超级艺术馆Xi是（2.2）中给出的相对绩效评估流程存在(πi,*, ci,*) ∈ A.i以至于Qi(Xi,*t, t) 是（局部）鞅，其中Xi,*用策略解决（2.2）(πi,*, ci,*) 正在使用中。策略(πi,*, ci,*) 据说是最优的。在上述定义中，我们没有明确提及初始条件Ui(x, 0), Vi(x, 0）但我们假设存在可接受（F-可测量）的初始数据，因此上述定义是可行的。与经典的预期效用情形相反，前瞻性绩效过程是管理者特定的输入。一旦选择了它，超鞅和鞅性质对过程的漂移施加了一定的条件。在足够的规律性下，这些条件会导致正向性能SPDE（见[23,47]），在我们的例子中，它会降低为具有随机系数的PDE（见下面的命题3.4）。由于我们是在对数正态市场中工作，因此有必要研究零波动性（FPP图）的平滑相对性能标准。

[48]中对此类过程进行了广泛分析，但没有相关的性能问题。其中，给出了正向准则的简明描述，以及它们存在和唯一的必要和充分条件。在这种情况下，零波动性远期过程始终是时间递减过程。我们向读者指出，如果存在相对性能问题，则不必如此（另见[20,31]）。我们现在就FPP地图的规则性做出一个长期假设。假设3.2。假设偏导数Uit(x, t), Uix(x, t), Uixx(x, t) 和Vix(x, t), Vixx(x, t) 永远存在t > 0, x > 0，P-a.s.地图，x → Ui(x, t) 和x → Vi(x, t) 正在严格地增加(Uix, Vix> 0）且严格凹形(Uixx, Vixx< 0）任何t > 0, x > 0，P-a.s。。此外t|Ui(x, s)|ds < ∞, 无论如何x > 0, t > 0，P-a.s.来自假设3.2，用于i ∈ {1, . . . , n} 正向地图的分解是dQi(x, t) = e-ρitUit(x, t)dt - ρie-ρitUi(x, t)dt + e-ρitVi( ^citx, t)dt, Qi(x, 0) = ui(x). （3.2）对于后面的用法，我们回顾了应用于随机场的芬切尔-勒让德变换的概念V 在上述假设下。*（3.1）中的第一项对应于代理人当时获得的效用t 从拥有大量财富x. 第二项捕获代理从时间0到时间累积的效用t 以^的速度消费cix. 在下文中，为了简单起见，我们称之为U 财富和财富的效用V 效用来自消费。定义3.3。允许V : Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R是一个随机的领域x → V (x, t) 是一个Pa.s.严格凹函数t > 0

定义随机场V : Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R asV (x, t) := 啜饮x>0V (x, t) - xx无论如何x> 0, t > 0和ω ∈ Ω.然后，我们打电话V 的芬切尔-勒让德变换V.要地图吗V 满足假设3.2，其差异性和严格的凹度确保V 3.2最佳响应我们推导出一个具有随机系数的偏微分方程和一个最优投资-消费策略，以满足某些代理零波动性的低相对性能标准i 假设所有其他特工j ≠ i他们已经做出了投资决定。提议3.4（最佳回应）。修理i ∈ {1, . . . , n}. 假设每个经理j ≠ i 跟着(πj, cj) ∈ A.j.考虑随机系数的偏微分方程x, t) ∈ (0, ∞) × [0, ∞) 给出者Uit=ρiUi+θiμπt(-i)- r (1 - θ) -θiσiσπt(-i)(μi- θiσiσπt(-i))νi+ σi-θiΣπt(-i)-θiσπt(-i)+n - 1(νπt)(-i)xUix(3.3)+(μi- θiσiσπt(-i))2(νi+ σi)(Uix)Uixx+θiσπt(-i)σiνi+ σi- 1.-θin - 1(νπt)(-i)xUixx+ θic(-i)tUix-Vi(Uix, t),哪里Vi代表芬切尔·勒让德的转变Vi可变的x. 假设在允许的初始条件下Ui(·, 0) = ui(·), Vi(·, 0) = vi（·），PDE有一个平滑的解决方案(Ui, Vi), 这不是必须的，但满足假设3.2。确定战略(πi,*, ci,*)πi,*t=νi+ σiθiσiσπt(-i)-μi- θiσiσπt(-i)Uix(Xi,*t, t)Uixx(Xi,*t, t)Xi,*t, (3.4)ci,*t=(Vix)-1.Uix(Xi,*t, t)~c(-i)tθi, t~c(-i)tθiXi,*t, （3.5）在哪里Xi,*解决（2.4）与(πi,*, ci,*) 正在使用中。那么，在定义3.1的意义上，如果(πi,*, ci,*) ∈ A.i如果Xi,*那么，这是很明确的Qi(x, t) 对管理者来说，是一个向前的相对绩效过程吗i 此外，还有政策(πi,*, ci,*) 这是最优的。让我们回顾一下CRRA效用图的概念。

在[46，第5节]之后，我们说一个实用地图U 如果局部风险容忍度函数r : Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R、 由商给出r(x, t) = -Ux(x, t)/Uxx(x, t) 在空间上是线性的，即。，r (x, t) = δx, 无论如何δ > 0和t > 0, x > 0.这是经典功率效用函数的情况，见下一节3.3。通过直接检查表达式πi,*在（3.4）中，如果本地风险承受功能满足ri(x, t) = δix, 无论如何t > 0（例如，CRRA实用工具），则最佳投资策略在整个时间内是恒定的，如果所有其他代理也选择恒定的投资策略。推论3.5（CRRA下的固定投资策略）。假定Ui和ViCRRA类型，即局部风险承受能力函数在空间上均匀线性。进一步假设所有特工j ≠ i 按照固定的投资策略进行投资πj∈ R.然后，πi,*这是不变的。目前尚不清楚特工是否j ≠ i 使用确定性的持续消费策略cj然后是最优消费策略ci,*在（3.5）中也是如此。接下来，我们将证明“最佳响应”结果，即命题3.4。命题3.4的证明。从（2.2）我们可以了解d (XitX(-i)t-θi) 和dXi.

使用（3.2），我们将It公式应用于Qi(Xit, t) = QiXitX(-i)t-θi, t, 并使用前面的符号集（2.4）获得dQi(Xit, t) = e-ρitUit(Xit, t)dt - ρiUi(Xit, t)dt + Uix(Xit, t)dXit+Uixx(Xit, t)dHXiti+Vi( ^citXit, t)dt= e-ρitUit(Xit, t)dt - ρiUi(Xit, t)dt + Uix(Xit, t)μiπit- θiμπt(-i)+ r (1 - θ)+θiΣπt(-i)+θiσπt(-i)+n - 1(νπt)(-i)- θiσiπitσπt(-i)Xitdt+ Uix(Xit, t)σiπit- θiσπt(-i)XitdBt(3.6)+ Uix(Xit, t)XitνiπitdWit- θin - 1.nk≠iνkπktdWkt+Uixx(Xit, t)(νiπit)+θin - 1(νπt)(-i)+σiπit- θiσπt(-i)Xitdt- Uix(Xit, t)cit- θic(-i)tXitdt + Vi( ^citXit, t)dt,具有Qi(Xi, 0) = Qixi(x(-i))-θi, 0= uixi(x(-i))-θi而且B, Wj所有i.i.d.都是根据定义3.1，流程Qi(Xit, t) 在最优点变成鞅(πi,*, ci,*), 因此，直接使用一阶条件进行计算(πi“漂移”=ci“漂移”=0）收益率πit=νi+ σiθiσiσπt(-i)-μi- θiσiσπt(-i)Uix(Xit, t)Uixx(Xit, t)Xit,cit=(Vix)-1.Uix(Xit, t)~c(-i)tθi, t~c(-i)tθiXit.（3.7）注射πit在（3.6）的漂移项和简化中，我们得到了一致性条件（3.3），尽管如此，我们并没有明确地执行这一步骤，而是使用这一对(Ui, Vi) 求解（3.3），方程式（3.6）简化为dQi(Xit, t) = e-ρitUix(Xit, t)XitνiπitdWit- θin - 1.nk≠iπktνkdWkt+ Uix(Xit, t)σiπit- θiσπt(-i)XitdBt+Uixx(Xit, t)νi+ σiπit(νi+ σi) -θiσiσπt(-i)- μiUix(Xit, t)Uixx(Xit, t)Xit(Xit)dt (3.8)+ Vi( ^citXit, t)dt - Uix(Xit, t)citXitdt -Vi(Uix(Xit, t), t)dt.平面上的凹度假设Ui(x, t) 这意味着上述表达式的第三项是非正的，并且在（3.7）成立时消失。

同时，由于Vi, 的芬切尔-勒让德变换Vi,我们注意到ViUix(Xit, t), t= Vi^ci,*tXit, t- UixXit, tci,*tXit,当ci= ci,*. 我们可以得出结论，如果(πi,*t, ci,*t) = (πit, cit) ∈ A.i以及相关的过程Xi,*明确了（2.4）的解决方案(πi,*, ci,*)),过程Ui(Xi,*t, t) 是局部鞅，否则是局部超鞅。结果得出结论。与[39]相比，我们不知道效用的明确形式，因为它是解决方案的一部分。因此，我们利用凸对偶性质结合HJB方法来证明极值论点。在[31]或[20]中，作者只探讨了投资问题，而这个问题没有出现。3.3初始CRRA功率优先的远期表现i ∈ {1, . . . , n}, 动态Qi由（3.2）给出。然后，方程（3.3）中给出的偏微分方程的解具有以下形式Ui(x, t) =1.-δix1.-δifi(t), δi≠ 1.δi> 0，日志(x) fi(t) + hi(t), δi= 1、（3.9）在哪里x > 0及（fi(t))t>0, (hi(t))t>0地图是否独立于x 令人满意的fi（0）=1和hi（0）=0，是可积且t → fi(t), t → hi(t) 是可以区分的。备注3.6。为了简单起见，我们省略了对数效用的表示，并强调这种情况下的最优策略与一般的幂函数情况一致δi= 1.插上电源。一致性条件（3.3）的结构意味着Vi（见[24，提案4.5]）如下：Vi(x, t) =εi1.-δix1.-δigi(t), （3.10）在哪里x > 0和(gi(t))t>0是独立于x 令人满意的gi（0）=1且可充分积。

我们提到常数δi> 0, δi≠ 1.和θi∈ [0,1]分别作为个人风险承受能力和竞争权重εi> 0表示与消费相比，代理人分配给财富的相对重要性。最后ρi代表代理人的个人折扣率。在这种情况下，初始的权力偏好，我们有当地的风险承受能力的功能Ui满足感ri= -Uix/Uixx= δix, 因此πi,*t=νi+ σiθiσiσπt(-i)+μi- θiσiσπt(-i)δi.我们现在开始寻找该案例的最佳消费地图ci以及公用事业领域。将上面的表达式注入Ui(x, t), Vi(x, t) 在（3.3）中，结合（3.7）中给出的最佳消耗政策，得出了（fi, gi, ci). 我们有cit=~c(-i)tθi(1- δi)ε-δiigi(t)fi(t)δi,fi(t) +ηi+1.-δiθic(-i)tfi(t) +ε-δiiδi~c(-i)tθi(1- δi)fi(t)gi(t)fi(t)δi= 0，（3.11）其中ηit=1.-δiδμi- θiσiσπt(-i)(1 -δi)2(νi+ σi)- r (1 - θi) - θiμπt(-i)+θiΣπt(-i)(3.12)+θiσπt(-i)+n - 1(νπt)(-i)1.-δi- ρi.我们有两个关于三个未知数的方程，现在我们需要进一步假设fi和gi为了解决这个系统。假设3.7。允许gi(t) = fi(t)1.-κi, 哪里κi∈ R.备注3.8。在这里，与[39]或[37]不同的是，人们会自然而然地κi= 1.我们发现了消费效用的非平凡时间依赖结构。我们强调，与HJB方法不同，FPP方法自然支持公用事业的时间动态，HJB方法不以时间为函数对Integrand进行额外加权。我们有两个不同的案例。案例1：让κi≠ 0

我们得到并求解了一个经典的伯努利方程型常微分方程（我们省略了t （用于简化）fi+ ai(t) fi+ bi(t) f1.-κiδii= 0代表ai(t) = ηit- θic(-i)t和bi(t) =ε-δiiδi~c(-i)tθi(1- δi).替换ki(t) := fi(t)-κiδi我们为你找到颂歌ki(t),κiδiki- ai(t)ki- bi(t) = 0.因此，解决我们的ODEki(t) = eκiδitai(s) ds+ κiδiteκiδitsa(r ) drbi(s)ds,和fi(t) = ki(t)κiδi, gi(t) = fi(t)1.-κi= ki(t)1.-κiκiδi. 堵住fi, gi在（3.11）的第一个等式中的表达式以及消费策略的一般形式，我们可以提取最优消费图的形式。案例2。允许κi= 0.在这种情况下，代理的最优消费策略i 简单程度相当高。更准确地说，从（3.11）我们得到cit=~c(-i)tθi(1- δi)εδii.3.4命题3.4最佳响应的正向纳什均衡观点我们现在求解同时最佳响应，以确定纳什均衡的存在性。定义3.9（正向纳什均衡）。让我们来看看i ∈ {1, . . . , n}, (πi,*, ci,*) ∈ A.i及(πi,*, ci,*) 是提案3.4意义上的最佳策略。允许πi, ci∈ A.i. 允许QiF-逐步可测量的随机场是否令人满意Qi(x, t) := e-ρitUi(x, t) +te-ρisVi( ^cisx, s)ds,在哪里ci由（2.3）和cj= cj,*, j ≠ i 和Ui, Vi: Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R是另外两个逐步可测量的随机场。前向纳什均衡包括n-F的三倍t-改编地图(Qi, πi,*, ci,*) 具有i = 1.n这样对任何人来说t > 0以下条件成立。i） 映射x → Ui(x, t) 和x → Vi(x, t) P-a.s.严格递增且严格凹；ii）让管理人员j ≠ i 依照(πj,*, cj,*), 经理i 按(πi, ci) ∈ A.i, 拿走Xi作为相关的相对绩效财富过程（2.4）和相对消费指标^ci由（2.3）给出。