远期效用与市场调整

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, n})πi,*t=νi+ σi1 +θi(1- δi)n-1.θiσi(1 - δi)nn - 1.σπt+ μiδi, 哪里σπt=nnk=1.σkπk,*t.最后一个身份表达πi,*作为未知的函数σπt. 为了确定它，我们将πi,*表达方式σi平均超过i ∈ {1, . . . , n}. 这就产生了可解性条件σπt= σπtψσn+ φσn<=> σπ =φσn1.- ψσn只要ψσn≠ 1.（A.1）插入表达式σπ 为了这个πi,*产生结果。最优策略是不变的，这一点现在很明显，我们发现相应的η （见（3.13））与时间无关ηit= ηi.如果ψσn= 1，则不存在纳什均衡。第二步。寻找ηi.就像σπt, 我们得到了μπt=nki=1.μkπk,*t乘πi,*通过μi关于两边和平均i. 我们有μπt=nn - 1.φσn1.- ψσnψμn+ φμn, μπt(-i)=nn - 1.μπt-n - 1.μiπit, （A.2）在哪里φμn, ψμn定义为φμn=nnk=1.δkμkνk+ σk(1 +θk(1- δk)n-1), ψμn=n - 1.nk=1.θk(1 - δk)μkσkνk+ σk(1 +θk(1- δk)n-1).同样，定义(νπt)=nnk=1(νkπkt)=> (νπt)=nnk=1.νkθkσk·nn-1·φσn1.-ψσn+ νkμkδkνk+ σk1 +θk(1- δk)n-1., （A.3）连同(νπt)(-i)=nn-1(νπt)-n-1(νiπit). 最后∑πt= (νπt)+ (σπt), 就像（A.3）我们有(σπt)=nnk=1.σkθkσknn-1.φσn1.-ψσn+ σkμkδkνk+ σk1 +(1- δk) θkn-1.（A.4）与Σπt=nn - 1Σπt-n - 1(νi+ σi)(πit).将这些表达式替换为常数的表达式ηit= ηi在第3.3节的等式（3.12）中，我们得到了应力表达式（在定理的陈述中）。第三步。找到消费策略和相关性能实用程序。假设3.10下的方程组（3.11），即：。，gi(t) = fi(t)1.-κ, 变成cit= ε-δii~c(-i)tθi(1- δi)fi(t)-κ δi,fi(t) +ηi+ θi1.-δic(-i)tfi(t) +ε-δiiδi~c(-i)tθi(1- δi)fi(t)1.-κ δi= 0，（A.5）在哪里η 由（3.13）给出。我们主要遵循证明[39，定理2.2]的机制来获得闭式解。

我们重复这些论点，并强调显著的差异。将（A.5）的第一个方程的H代入第二个方程，我们得到线性常微分方程，其解为fi(t) = 经验-tηi+ θi1.-δic(-i)s+δicisds.现在把它插回到（A.5）的第一个等式中，我们得到cit经验- κtcisds= ε-δii~c(-i)tθi(1- δi)e-κ δiηit经验- κ(1 - δi)θitc(-i)sds.在重写了它之后ct=nk=1.cktn和‘ct=nnk=1.ckt, 我们得到cit经验- κtcisds= ε-δi1+θin-1(1-δi)i~cnn-1.θi(1-δi)1+θin-1(1-δi)te-κ ηiδi1+θin-1(1-δi)t（A.6）×exp- κnn - 1.θi(1 - δi)1 +θin-1(1 - δi)tcsds.我们取方程（A.6）的几何平均值i = 1.n 获得ct经验- κtcsds=εδ-1.eκ η δt~ct经验- κtcsdsθ (1- δ),哪里εδ=nk=1.εδk1+θkn-1(1-δk)kn, ηδ =nnk=1.ηiδi1 +θkn-1(1 - δk),和θ (1 - δ) =n - 1.nk=1.θk(1 - δk)1 +θkn-1(1 - δk).因此我们得到ct经验- κtcsds=εδθ (1- δ)-1.e-κ η δθ (1- δ)-1.t. （A.7）使用前面的等式，我们将（A.6）改写为cit经验- κtcisds= λie-κ βit, （A.8）在哪里λi= ε-δi1+θin-1(1-δi)iεδnn-1.θi(1-δi)( θ (1- δ)-1) (1+θin-1(1-δi) ),βi=1 +θin-1(1 - δi)nn - 1.θi(1 - δi)θ(1 - δ) - 1.ηδ - ηiδi.现在考虑两种不同的情况κ ≠ 0和κ = 0.案例1：让κ ≠ 0.将（A.8）从0积分到t 取对数，我们得到κtcisds =- 日志1 +λiβie-κ βit- 1., βi≠ 0,- 日志（1）- λiκt), βi= 0.（A.9）最终区分（A.9）关于t, 我们获得cit=βi+λi-βieκ βit-1.βi≠ 0,- κt +λi-1.βi= 0.（A.10）通过直接检查，很明显，对于某些参数组合κ > 0, βi< λi和κ > 0, βi= 0，最佳消费c 在不连续的情况下，甚至可能是消极的。这些案件是不允许的。表5.1总结了参数组合的容许性。现在，从（A.5）的第一行，我们得到了fi(t) =citδi~c(-i)tθi(δi-1)εi-κ和gi(t) = fi(t)1.-κ. （A.11）案例2：让κ = 0