远期效用与市场调整

然后Qi(Xit, t) 是（本地）超级艺人。iii）让所有管理人员按照(πj,*, cj,*), 拿着Xi,*作为相关的相对性能和海拔过程（2.4）和相对消耗指标^ci,*由（2.3）给出。然后Qi(Xi,*t, t) 是（局部）鞅。与可分离功率因数形式的FPP的平衡为了获得明确的结果，我们关注（3.9）-（3.10）的可分离功率因数形式的情况，其中Uix/Uixx= Vix/Vixx= -δix. 值得注意的是，在我们表述问题的层次上，我们恢复了[39，定理3]的结果，对于这些结果，我们已经Uix/Uixx= -δix, 总之t 和x > 0（注意他们的评论5）。假设3.10。设置gi(t) := fi(t)1.-κ在（3.9）-（3.10）中κ ∈ 任何人都可以i = 1.n.可以看出，PDE（3.3）依赖于两个未知函数U 和V, 这样就形成了一个不确定的系统。因此，假设3.10对于确保方程对于唯一的纳什均衡是可解的至关重要。同时我们必须假设κ 在整个种群中保持不变，以得到纳什均衡解。定理3.11。让命题3.4的条件适用于所有代理人i ∈ {1, . . . , n}. 假设代理具有可分离的功率因数形式的前向映射Ui, Vi有初始条件。Ui(x, 0) = εiVi(x, 0) =1 -δix1.-δi, εi> 0, δi> 0, δi≠ 1，如（3.9）-（3.10）所示。确定数量φσn=nnk=1.δkσkμkνk+ σk1 +θk(1- δk)n-1., ψσn=n - 1.nk=1.θk(1 - δk)σkνi+ σi1 +θk(1- δk)n-1.,λi= ε-δi1+θin-1(1-δi)iεδθi(1-δi)( θ (1- δ)-1)1+θin-1(1-δi), βi=1 +θin-1(1 - δi)θi(1 - δi)θ(1 - δ) - 1.ηδ - ηiδi,εδ=nk=1.εδk1+θkn-1(1-δk)kn, ηδ =nnk=1.ηkδk1 +θkn-1(1 - δk),和θ(1 - δ) =n - 1.nk=1.θk(1 - δk)1 +θkn-1(1 - δk).也让我们一起去吧i = 1.

, n, 地图ηit被定义为ηit= ηi:=1.-δiδμi- θiσiσπ(-i)(1 -δi)2(νi+ σi)- r (1 - θi) - θiμπ(-i)+θiΣπ(-i)(3.13)+θiσπ(-i)+n - 1(νπ)(-i)1.-δi- ρi,其中的显式表达式σπ(-i), μπ(-i), (νπ)(-i)和∑π(-i)分别在（A.1）、（A.2）、（A.3）、（A.4）的补充材料中找到。如果ψσn≠ 1和假设3.10成立(κi= κ 总之i) 然后，一个唯一的最优候选策略存在于最优候选策略中πi,*和ci,*给出者πi,*=νi+ σi1 +θi(1- δi)n-1.θiσi(1 - δi)1 +n - 1.φσn1.- ψσn+ μiδi, (3.14)ci,*t=βi+λi-βieκ βit-1.βi≠ 0,- κt +λi-1.βi= 0，（3.15）和ηitin（3.13）在时间上是常数。此外，最优候选策略是一种前向纳什均衡策略，如果κ 60或κ > 0, βi> λi.前向纳什均衡由n-三倍{(Qi,*, πi,*, ci,*)}i=1.n在哪里Qi,*(x, t) =e-ρitUi,*(x, t) +te-ρisVi,*( ^cisx, s)ds, 具有Ui,*, Vi,*（3.3）（形式为（3.9）-（3.10））的最优策略解π·,*, c·,*插上电源。地图fi, gi可根据belowin（a.11）给出的闭合公式确定。如果ψσn= 1或κ > 0, βi6.λi那么就不存在纳什均衡。证据完整的证据可在补充材料的A部分找到。参数κ 被解释为市场风险相对消费偏好，在下文第5节中，我们将详细讨论其经济特征和比较解释。投资策略（3.14）是与[20,39,40]相匹配的经典表达。消费策略的表达式（3.15）与[39，等式（5）]中的结果相似，但在以下方面存在重大差异：κ. 什么时候κ = 1那么结果与[39]一致。对于某些参数组合λi, βi和κ, (ci,*t)t>由于时间限制，不允许使用0。我们进一步评论该案的可受理性c*在第5节。备注3.12（开放性问题）。

为了得到纳什均衡结果，我们仅限于κ 作为康斯坦塔克罗斯的代理人，同样的情况也将发生在下一节的制造案件。这种限制是技术性的，源于难以表达所有平均值的一致性方程ci（即，（A.7）不再是可及的）如果没有这样的方程，系统就无法求解。同时，为了“最佳回应”所有κi’它们可能是不同的。悬而未决的问题是，如果一个人允许不同的κi’s、 如何执行聚合过程来表示所有平均值的一致性方程ci?在[8]中可以找到一个如何克服这个问题的例子。在那里，聚集是通过所谓的加权扩张inf卷积实现的，作者们发现了代表他们经济的代理人的动力学方程，这使他们能够解决纳什均衡问题。在FPP的背景下，代表性代理方法仍有待探索。例如，目前尚不清楚如何在该框架中执行INF卷积，因为FPP事先不知道。与经典的效用博弈型问题相反，它是问题解决方案的一部分。最后，如果κ = 1然后我们的FPP解决方案可以在时间范围内重写T 准确地恢复[39]（和[40]的结果，如果Vi= 0）和[31]中的两名玩家，无消耗。这样的计算很简单，因此省略了。我们用单一股票案例的推论来结束这一部分。推论3.13。允许μi= μ, σi= σ, νi= 0，对所有人来说i = 1.n 和μ, σ > 0

然后λi, βi, θ暴击，ρδ, δ 表示为λi= ε-δi1+θin-1(1-δi)iεδθi(1-δi)( θ (1- δ)-1) (1+θin-1(1-δi) ), θ临界值=1-n-1.nk=1.θk(1- δk)1+θkn-1(1- δk)δ,δ =n - 1.nk=1.δk1 +θkn-1(1 - δk), ρδ =nnk=1.ρkδk1 +θkn-1(1 - δk)βi=μ2.σ1 +θin-1(1 - δi)1.-δi1 +θin-1(1 - δi)1.-θiθ暴击1 +θin-1.δi+θiθ暴击（1）- δi)+r1 +θin-1(1 - δi)(1 - δi)1.-θiθ暴击+1 +θin-1(1 - δi)θiθ暴击ρδδ(1 - δi) + ρiδi.那么，如果θ暴击≠ 1.最优候选策略与最优(πi,*, ci,*)πi,*=μσ1 +θin-1(1 - δi)δi+θiθ暴击（1）- δi),ci,*t=βi+λi-βieκ βit-1.βi≠ 0,- κt +λi-1.βi= 此外，最优候选策略是纳什均衡，如果κ < 0，或κ > 0, λi< βi.4中值前向优化博弈定理3.11我们可以看到，代理人的最优策略和FPP取决于该代理人的特定参数（模型参数、初始财富、风险承受能力和绩效关注）和所有代理人参数的特定平均值。这激发了游戏的MFG方法。在本节中，我们正式提出了CRRA前向平均场纳什博弈的概念，并在[20]中进行了介绍。我们使用[20,39,40]中介绍的类型分布的概念。我们关注的是当时的前沿地图t = 0为幂型，Ui(x, m, 0) = εiVi(x, m, 0) =1.-δixm-θi1.-δi, δ > 0, δi≠ 1.日志(xm-θi), δi= 1.在哪里x > 0, m > 0分别表示代理人的财富和其他代理人的平均财富（例如：Ui) 或该药剂的消耗量和其他药剂的平均消耗量（例如Vi). 我们指δi> 0和θi∈ [0,1]作为个人风险承受能力，竞争权重参数分别εi> 0表示代理人分配给财富相对于消费的相对重要性。最后，对于可容许的策略对集(πi,*, ci,*), i = 1.

, n, 我们回顾了前向相对绩效流程Qi(x, t) := e-ρitUi(x, t) +te-ρisVi( ^cisx, s)ds, 哪里cis由（2.3）给出。我们指的是ρi作为个人折扣率。在这里，与前一节一样（见备注3.6），我们跳过对数情况。对于n-代理游戏，我们为每个代理定义i = 1.n 类型向量ζi:= (xi, δi, θi, εi, ρi, μi, νi, σi),每个代理都有其独特的特点i. 这些类型向量产生了一种经验度量，称为类型分布，这是类型空间Z上的概率度量e:= (0, ∞) × (0, ∞) × [0, 1] × (0, ∞) × [0, ∞) × (0, ∞) × [0, ∞) × [0, ∞), （4.1）由mn( A) =nni=1.A(ζi), 对于Borel集A  Ze.假设随着代理数量的增加，n → ∞, 上述实证指标mn有弱点m 从某种意义上说Zef dmn→Zef dm 对于每个有界连续函数f 在Z上e. 例如，如果ζi’s是来自中国的i.i.d.样本m. 允许ζ = (ξ, δ, θ, ε, ρ, μ, ν, σ) 表示aZe-具有极限分布的有值随机变量m.我们接下来定义的平均场博弈（MFG）允许我们将极限策略导出为自包含均衡问题的结果，该问题直观地表示了一个具有连续类型分布的代理的博弈m. 我们没有直接建模一个连续的代理，而是遵循MFG范式建模一个我们认为是从人群中随机选择的单一通用代理。概率测量m 表示类型参数在代理连续体中的分布。等价地，泛型agent的类型向量是一个具有规律的随机变量m. 启发性地，连续统中的每个代理在两个布朗运动的驱动下交易一只股票，其中一个是该代理所独有的，另一个是所有代理所共有的。

我们将定义3.9的正向纳什均衡扩展到下面的制造设置。4.1作为类型分布样本和市场的试剂（Ω，F，F=（F）t>0，P）是支持两个独立布朗运动的随机基W =(Wt)t>0和B = (Bt)t>0与随机向量一起ζ 有分布m 由ζ = (ξ, δ, θ, ε, ρ, μ, ν, σ), （4.2）空间Z中的值e（4.1）中定义，且独立于W 和B. 设F=（F）t)t ∈ [0,T ]表示满足通常假设的最小过滤ζ FMF是可测量的吗W 和B 适应了。让我们也来看看FB= （F）Bt)t ∈ [0,T ]表示布朗运动产生的自然过滤B.通用代理的财富流程是dXt= r Xt+ πtXt( μ - r)dt + νdWt+ σdBt- ctXtdt, X= ξ, （4.3）对于自我融资战略(πt)t>0，代表投资于风险资产和消费政策的财富份额(cit)t>0，代表单位财富的瞬时消费率。它们必须一起属于允许的setAMF=(π, c) : F-逐步可测R×（0，∞)-有价值的过程(πt, ct)t>0，Et(|πs|+ |cs|)ds< ∞, 无论如何t > 0.无风险利率r 对整个人群来说是确定的和固定的。随机变量ξ 是仿制药的初始财富，而μ, ν, σ) 是市场参数。如前几节所述，我们表示μ := μ - r 作为超额回报。在续集中，参数δ, θ, ε 和ρ 将影响通用代理的风险和消费偏好。连续体中的每个代理都有不同的参考参数。因此，这八个参数是F-随机的，每个参数的解释与n-前一节的玩家游戏。4.2平均场均衡第3节的前向纳什博弈公式推动了我们在这里讨论的平均场博弈公式，另见[20,39]。

回想一下，在MFG配方中，通用药剂不会影响药剂连续统的平均财富，就像连续统中只有一种药剂一样。接下来，我们将介绍平均场（MF）的概念——远期相对绩效，π*, c*是货币基金均衡，主要利益对象是货币基金远期相对表现均衡。假设4.1。假设导数Ut(x, t), Ux(x, t), Uxx(x, t) 和Vx(y, t), Vxx(x, t) 为所有人而存在t > 0, x > 0，P-a.s.此外，x → U (x, t) 和x → V (x, t) 正在严格地增加(Ux, Vx> 0）且严格凹(Uxx, Vxx< 0）任何t > 0, x > 0，P-a.s.鉴于这种设置，我们接下来定义了平衡的概念（另见[20]）。定义4.2（MF CRRA远期相对绩效均衡（针对一般经理））。让(Xt)t>0和（Γ）t)t>0be FB-分别代表代理人连续统的几何平均财富和几何平均消费的自适应正平方可积随机过程。让(π, c) ∈ 阿姆芬德Xπ,c用公式求解（4.3）π 和c.设置一个逐步可测量的FMF随机场(Q (x, t))t>对一些人来说ρ > 0，动态Q(x, t) = e-ρtU(x, t) +te-ρsV ( ^csx, s)ds, （4.4）在哪里ct= ctΓt-θ和U, V : Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R是另外两个F-逐步可测量的随机场。田野Q 通用经理的MF远期相对绩效是否t > 0，以下条件成立：i）映射x → U (x, t), x → V (x, t), 是P-a.s。

严格递增和严格凹；ii）任何(π, c) ∈ AMF，Q(Xπ,ctX-θt, t) 是（本地）超级马丁格尔Xπ,c是通用代理对策略的第四个解决过程（4.3）(π, c);iii）存在(π*, c*) ∈ Amf就这样Q (X*tX-θt, t) （局部）鞅X*解决（4.3）与(π*, c*) 插入作为策略；iv）我们打电话(π*, c*) iii）MF平衡，如果Xt= exp E[logX*t|FBt] Γt= exp E[logc*t|FBt] 总之t > 0，P-a.s.，在哪里X*解决（4.3）与(π*, c*) 作为策略插入。我们表示六元组(U, V, π*, c*, X, Γ）满足i）-iv）MF远期相对绩效平衡。最后一点可以理解为一个定点参数，它在代理的连续统一体中创建了通用代理之间的兼容性条件。布朗运动的条件B, 每个人都面临着独立的噪音W 和一个独立的类型向量ζ. 如[20,39,40]所述，有条件地B, 所有代理都面临相同优化问题的ID副本。大数定律表明，全体人口的几何平均终端财富应为exp E[log]X*t|FBt].我们的构造允许我们识别exp E[logX*t|FBt] 然后，将该组件视为一个额外的非受控状态过程。这避免了使用带有不同类型代理的主方程模型的争论。目前尚不清楚我们提出的远期制造定义（具体为第四点）是否能够有效地处理随机系数的情况，或远期效用图的一般设置，以及完整的It领域表示（具有波动性）。如果我们想将其归纳为随机系数，那么在早期的著作[39,40]中已经存在同样的问题。

尽管如此，这一定义在默顿市场模型体系中非常有效，产生了一个特别容易理解的研究框架，以理解一般案例的内在困难。此外，我们的目标是进一步解释结果，因为这是将MFG与前瞻性性能标准相结合的首批工作之一。4.3解决优化问题我们现在展示本节的主要结果。根据定义4.2，在类似于（3.9）的结构假设的背景下，通用经理存在MF远期相对绩效平衡。从方法论的角度来看，这个问题还是像以前一样得到了解决。把它的公式应用到Q(Zπ,ct, t),确定最佳策略(π*, c*) 以及Q 使定义4.2的前三个条件成立。最后一个条件，来证明(π*, c*) 事实上，由于整个配方从一开始就嵌入了固定点条件，因此制造平衡将随后进行构建。接下来，我们提出了可分离功率因数形式的假设U 和V .假设4.3。允许U(x, t), V (x, t) 例如，请接受以下表格x > 0, t > 0,U(x, t) =1.-δx1.-δf (t), V (x, t) =ε1.-δx1.-δg(t),对于t → f (t) 对任何人来说都是不同的t > 0和f （0）=1，对于某些随机变量ε > 0和g(t) = f (t)1.-κ对一些人来说κ ∈ R（我们在哪里g(0) = 11-κ= 1). 此外，让我们考虑一下t > 0,t| f (s)|ds < ∞, P-a.s.参数δ > 0, δ ≠ 1代表代理人的风险承受能力ε > 与消费元素相关联的0表示与财富相比，代理人分配给消费的相对重要性。

参数κ 代表市场风险相对消费偏好（在第5节中，我们讨论其经济特征）。如前一节所述，为了解决以下（4.7）问题（另请参见[24]、[3，定义2.9]或[15，第4节]），这个假设是自然的。定理4.4。假设δ > 0, θ ∈ [0, 1], μ > 0, σ > 0, ν > 0以至于σ+ ν> 0.定义常数ψσ, φσ, ψμ, φμ, 假设它们是有限的，并且具有ψσ= Eθ(1 - δ)σν+ σ, φσ= Eδμσν+ σ, ψμ= Eθ(1 - δ)μσν+ σ, φμ= Eδμν+ σ.进一步设想ψσ≠ 1和定义一些κ ∈ Rπ*=ν+ σθ(1 - δ)σφσ1.- ψσ+ μδ, c*t=β+λ-βe-κ βt-1.β ≠ 0,κt +λ-1.β = 0，（4.5）其中λ = ε-δeE[δ 日志ε ]θ (1- δ)E[θ (1- δ ) ]-1.β =θ(1 - δ)E[θ (1 - δ)] - 1E[ηδ] - ηδ,和η =1.-δδμ - θσσπ*(1 -δ)2(ν+ σ)- r (1 - θ) (4.6)- θiμπ*+θΣ(π*)+θσπ*1.-δ- ρ,哪里σπ*, μπ*和∑(π*)分别由（B.4）、（B.7）和（B.8）给出。拿这块地来说Q （4.4）的U, V 满足假设4.1和4.3（对于κ （上图），以及一致性Ut= θφσ1.- ψσψμ+ φμ-σφσ1.-ψσ(μ - θσφσ1.-ψσ)ν+ σ- r (1 - θ) -θΣ(π*)-θφσ1.- ψσxUx+ ρU +μ - θσφσ1.-ψσ2(ν+ σ)(Ux)Uxx+θφσ1.- ψσσν+ σ- 1.xUxx(4.7)+ θUxct-V (Ux, t),其中∑(π*)由（B.8）给出，“ct= E[c*t], 哪里c*来自（4.5）和V 芬切尔·勒让德是V（根据假设4.3，初始条件为功率类型t = 0).那么，如果κ < 0或κ > 0, β > λ 存在一个唯一的（由κ) 根据定义4.2，MF远期CRR处于相对绩效平衡状态。MF均衡策略如下所示：(π*, c*)根据（4.5）和MF forward CRRA，相对性能实用程序如下所示：Q, 对于U, V 满足（4.7）和Xt= 经验E日志(Xπ*,c*t), Γt= exp E[log(c*t)]. 最后，效用时间动力学f 和g 满足f (t) =ctδ~ctθ (δ-1)ε-κ, κ ≠ 0，expθ(δ- 1） E类[λ] - η -λδt, κ = 0，以及g(t) = f (t)1.-κ.