论政治运动的资源配置

此外，请注意，前两个地区最终获得了全国最高的投票率。这可以从那里的大量选票中得到解释，这促使候选人将注意力集中在他们身上。使用第3.1节末尾描述的程序计算表1中所示的平衡。尽管如此，因为我们事后知道候选人只关注前三个地区，即theMorales、Sebasti\'an和Thraves，Charles：政治竞选资源分配提交给POMS的文章；21号手稿的平衡可以用命题1的封闭式表达式计算出来*= {1, 2, 3}.ZFvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.53.2 73.310 2.1 37 69 68 0.0 0.0 60.934.9表1确定性模型中MS下的平衡量。投票率列表示投票给候选人A或B的票数百分比，计算为每个区域i的（xi+αi+yi+βi）/（xi+αi+yi+βi+γi）。VFT A表示投票给候选人A的预期票数，对于每个区域i，这被计算为（xi+αi）/（xi+αi+yi+βi）。表1所示的候选人的均衡投资不仅是区域大小和偏差的结果，也是他们弃权的结果。为了理解后者的影响，我们分析了表1所示的相同实例，没有弃权，即每个区域的γi=0。

平衡如表2所示，我们可以从中得出以下两个观察结果：首先，请注意，与弃权情况下获得的平衡（见表1）相比，两位候选人都将部分优势从前两个区域转移到了第三个区域。这有两个原因：（a）当将弃权参数设置为零时，第三个区域变得更具投资吸引力，因为它在原始实例中拥有最大的弃权参数之一；（b）偏差参数（α和β）是所有区域中最低且最接近的，因此更容易影响该区域的选民。其次，由于两位候选人都在无弃权的情况下投资前三个地区，因此推论1的结果成立。也就是说，候选人A在所有这些地区获得的选票比例相同（见表2最后一列）。随机情况：我们现在开始在随机模型下求解MS博弈。表3显示了k=10时的结果。有趣的是，观察到候选人的表现与确定性情况下的相似（见表1）。因此，先前的偏见不利影响也成立，即候选人更多地投资于相对于主办方的偏见参数较小的地区。候选人A获胜的概率为57.4%。表3中给出的平衡量通过运行算法1获得。

回想一下，我们没有一个正式的证据证明随机莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯的均衡存在和唯一性，查尔斯：政治活动的资源分配22篇文章提交给POMS；vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.0 0.0 100.0 73.310 2.1 37 69 0.00.0 100.0 34.9表2确定性模型中无弃权情况下MS下的平衡量。投票率列代表候选人A或B的得票率，计算为每个地区i的（xi+αi+yi+βi）/（xi+αi+yi+βi+γi）。VFT A代表候选人A的预期投票率，（xi+αi）/（xi+αi+i+i+i+i+i+i+i+i+i+βi）每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，地区，地区，区域，区域，vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv2.42 41 79 0.0 0.0 51.250.69 3.4 85 31 102 0.0 0 0.0 53.2 73.310 2.1 37 69 68 0.0 0 0.0 60.9 34.9表3 k=10的随机模型中MS下的平衡量。投票率列代表投票给候选人A或B的票数的百分比，对于每个区域i，计算为（xi+αi+yi+βi）/（xi+αi+yi+βi+γi）。VFT A代表投票给候选人A的预期票数，对于每个区域i，计算为（xi+αi）/（xi+αi+yi+βi）。

鉴于后者，我们进行了实证分析，以检验所获得的策略是否确实是一种均衡。图3显示了每个参与者不同单边偏差的支付比率。例如，如果得到的平衡是（x，y）∈n、 然后是玩家在策略x下的比例∈nis计算了asP（RA>RB | x，y）P（RA>RB | x，y）。同样，对于参与者B，图3的y轴对应于两个参与者的单边偏差比率，而x轴代表平衡点和各自单边偏差策略之间的欧氏距离。请注意，每次计算的单边偏差都会导致比率低于1。因此，似乎两个参与者都没有改变策略的动机，至少是从被测试者的单边偏差。我们现在分析选举结果的不同不确定性水平。回想一下，对于随机情况，k是控制不确定性的参数（见等式（6））。一方面→ ∞ 方差接近于零，因此游戏类似于其确定性版本。另一方面，在k→0，每个区域的结果i遵循一个discreteMorales，Sebasti\'an和Thraves，Charles：提交给POMS的政治活动资源分配章程；第230.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.220%40%60%80%100%候选稿A0。2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.220%40%60%80%100%候选B图3中不同策略的单边偏差支付比率左面板中的候选A，右面板中的候选B。随机变量，所有选票都投给一位候选人或弃权票。图4显示了候选人A在平衡状态下，使用与之前相同的瞬时参数（见表3）获得不同k值的概率，但弃权参数γ除外。

更准确地说，我们通过缩放原始弃权向量γ（来自表3）的比例因子g来观察不同程度的弃权≥0.从图4可以看出，随着游戏变得更加确定（k→∞), 结果变得更加可预测，因此其中一名候选人（本例中为候选人A）获胜的概率接近100%。此外，对于固定的可变性水平k，在不同的弃权情况下，候选人a的获胜概率没有明显的趋势。0.1 110 10050%55%60%65%70%75%候选人获胜概率Ag=50 g=1 g=0图4参数k（对数刻度中的x轴）的不同级别候选人A（y轴）获胜概率。5.2。选举人团对于选举人团的情况，我们考虑与多数制相同的情况，具有相同的偏见和弃权参数，只是各州有选举人票。为了在固定策略中获得平衡，如果有，我们采用第3.2.1节所述的梯度下降法，使用第4.2节所述的导数方程。尽管在拉特莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯的竞选中，两位候选人都获得了一对策略，《查尔斯：政治竞选的资源分配》24篇文章提交给POMS；手稿号：程序，这两种策略不是均衡的。图5显示了获得的两种策略的单边偏差的两种条件的支付比率。我们可以看到，两个参与者都有动机将他们的策略改变为不同的策略。尽管如此，至少在当地，似乎没有这样的激励。

因此，获得的这对策略可能是局部纳什均衡。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.220%40%60%80%100%120%候选A0。2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.220%40%60%80%100%120%候选B图5单边偏差的支付比率。因此，我们运行算法3，以便在混合策略下找到均衡。表4显示了运行算法3后获得的实例参数和平衡。所示的向量是以正概率获得的策略。表4最后一行给出了这些概率。可以看出，（i）两位候选人都随机化了他们的策略，（ii）他们的工作主要集中在前三个州，这三个州的选举人票较多。候选人A的均衡策略彼此非常相似，主要集中在第一状态，较少集中在第二和第三状态。至于候选者B的不平衡，与候选者A相比，这些不平衡在前三个州之间的分布更加均匀，重点放在前两个地区。此外，可以看出，总体而言，候选人A赢得选举的预期概率为55.2%。表5显示了候选人A在表4中给出的混合均衡策略的每个组合中获胜的概率。无论候选人B使用哪种策略，候选人A使用前三种策略中的任何一种策略时，获胜的机会几乎相同。相反，如果候选人A采用第四种策略，获胜几率将在很大程度上取决于候选人B的策略，在某些情况下，获胜几率低于50%，尽管后者的几率低于2%（见表6）。平衡和状态的不确定性上述结果假设k=10。

回想一下，参数k调节着每个州选民结果的可变性；K→ 0倾向于所有选民选择一个选项的情况，莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：政治竞选资源分配提交给POMS；手稿第25号区域wαβx（1）x（2）x（3）x（4）y（1）y（2）y（3）y（4）1 34 45 71 75 0 64 52 0 02 27 68 37 8 8 9 47 0 48 61 3 21 32 24 16 16 46 36 0 39 384 13 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 12 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x（i）和y（i）与i∈ {1,2,3,4}对应于在q=100下运行算法3后以正概率获得的平衡力向量。P（A）获胜[%]y（1）y（2）y（3）y（4）x（1）55.154.9 55.1 55.1x（2）55.1 54.6 55.4 55.4x（3）54.8 54.9 55.4 55.4x（4）59.1 58.4 48.3 48.4表5候选人A在每对策略中获胜的概率。P（x（i），y（j））[%]y（1）y（2）y（3）y（4）x（1）4.2 3.2 2.8 1.4x（2）0.4 0.3 0.3 0.1x（3）29.7 23.5 19.9 9 9 x（4）1.5 1.2 1.0 0 0.5表6混合平衡中每种情况的概率。鉴于k→∞ 结果更具确定性（事实上，方差逐渐变为0）。在展示不同水平k的均衡结果之前，值得一提的是算法3为两个参与者的策略使用了一组起点。因此，当以不同的起点运行算法3时，平衡时间可能会有所不同。对于每个k，我们使用不同的随机初始策略集，对每个候选人运行算法3，总共M:=40次。

表7显示了不同水平的k：分别在第二列和第三列中，使用候选A和B获得的所有平衡策略对之间的欧几里德距离得出的平均地球移动距离；候选人A在第四列所有M次竞选中获胜的平均概率；以及分别在第五列和第六列中获得的候选A和B的平均平衡值。表7显示，对于较高的k值，算法3可能会导致不同的结果，而对于较低的k值，结果总是会导致两个候选的单一纯策略。这背后的推论是，对于一个更具确定性的游戏结果（高k值），玩家将倾向于随机化他们的策略，因为，否则，对手可能会利用这个确定性结果，就像在配对硬币游戏中一样。相反，一个更随机的博弈（低k）会产生纯策略。表7还显示，对于更高的k值，候选人A的获胜概率趋于略微增加。然而，值得注意的是，后一种影响在MS中比在EC中更明显（见图4和莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和瑟拉斯、查尔斯：《政治活动的资源分配》26篇文章提交给POMS；手稿号：表7）。因此，减少选民的不确定性（即增加k）并不意味着减少EC下选举获胜者的不确定性，与MS.k D（在x上）D（在y上）P（A赢）[%]| Sup（x）| | Sup（y）| 1 0.00 0.00 52.3 1.0 1.02 0.00 53.0 1.0 1.05 0.02 0.00 54.2 1.0 1.010 0.07 0.07 55.2 4.125 4.12520 0.07 0.08 55.4.85 4.8550 0.16 0.15 54.8 8 8.8 8.8.8.8.8.8.5100.15.35表35K对平衡行为的影响不同。5.4.

算法3的性能在本节中，我们通过求解不同的数值实例来研究算法3的性能。更准确地说，我们控制的是：（i）州的数量和（ii）州之间选举投票的集中程度。关于前者，我们考虑n∈{5, 10, 20, 50}; 对于后者，各州的选举人票是从多项式分布中取样的，其中该州的选举人票数（预期）与νi成正比，其中∈（0，1]是一个控制集中度的参数。如果ν=1，各州将有相似的选举人票数，而较小的ν值将导致选举人票分布更不均匀。我们认为∈ {0.8, 0.9, 1}. 此外，选举人票总数设为538张，每个州除抽样的选举人票外，还额外分配了3张选举人票（因此，多项式分布的试验次数参数为538张）-3n）。对于每一对（n，ν），我们采样并求解总共100个实例。关于算法3，表8显示了平均值和最大值：求解时间、迭代次数、完成算法3时玩家策略集的基数，以及正概率支持下的数字策略。可以看出，选举人票集中度较低（即较高的ν）的情况下，求解时间较长，策略集较大。这是因为，当所有州的选举人票数量相似时，候选人的策略将不得不考虑在几个州投资。这意味着最佳答案的求解时间更长，同时也会在玩家的策略集中添加更多策略。从表8中值得注意的是，具有正概率的策略的实际数量似乎与选举人票的集中度无关。

此外，值得注意的是，所需的迭代次数似乎不受实例大小（即n）或浓度水平的特别影响。尽管如此，迭代次数与实例大小和选举人票集中度之间存在轻微的负相关。斯皮特莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：提交给POMS的政治活动资源分配章程；（x）124124;124;124;124\\124\\124\\124124124124124124124124124124124124124124|124124124124124124124124124124124124124124124\\124124124124\\124124124\\124124124\\124124\\124\\124\\124124\\124\\124\\124\\\\124\\124\\\\124\\\\\\124124\\124124\\124\\124\\\\\\\\0.4382.962.960.952324513.833336.812736.1863.993.99.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 6表8平均值和最大值：完成算法3时，求解时间、迭代次数和玩家策略集的基数。Sup+（x）（Sup+（y））表示候选a（B）具有正概率的策略数量。单纯形格的指数基数，算法3的运行时间与实例的大小不呈指数关系。此外，迭代次数平均在10到15之间，见表8.5.5第五列。MS和ECI下的极化效应在迄今为止分析的所有示例中，我们已经确定了偏差参数的值，以及它们相对于候选人预算的幅度。