论政治运动的资源配置

类似定义sBi:R×R→[0,1]由于候选人B在第一区的选票被拉票，我们允许出现弃权的可能性，因此，0≤sAi+sBi≤1.我们将首先分析问题的确定性模型，然后给出一个随机版本。这里要分析的投票制度是多数制。在MS中，获得（全国）最多选票的候选人赢得选举。3.1. 确定性博弈在这种情况下，所有地区的投票结果分别由选民A和选民B的投票结果x和y决定。对于这种设置，我们将每个区域i的结果函数sAi和sBi定义为sAi（xi，yi）=xi+αixi+αi+yi+βi+γi和sBi（xi，yi）=yi+βixi+αi+yi+βi+γi。αi，βi>0分别是对候选A和B的偏差参数，以及γi≥ 0是区域i的限制参数。偏差参数表示该区域对特定候选对象的固有偏差。如果αi>βi，那么来自i区的人倾向于候选人A，因为他们的支持水平相同，即xi=yi，候选人A从该地区获得的选票比herMorales、Sebasti\'an和Thraves多，Charles:政治竞选资源分配提交给POMS的文章；第7号手稿竞争者。如果αi<βi，则相反。此外，请注意，偏差参数αi，βi的高值表明，区域i的结果对效果水平不太敏感，因此，鉴于候选人的竞选活动，选民的偏好高度分化，以改变他们的投票。相反，低水平的αi、βi意味着人民投票的结果对选民的影响更为敏感。弃权参数γi区域i是这样的：如果γi=0，就没有弃权。否则，弃权随参数单调增加。

平衡是一对力向量（x*, Y*) ∈n×确保每个人*和y*是在表达式（1）和（2）中给出的相应候选者的最大化问题的最优解。下面的定理说明了博弈均衡的存在性。定理1。确定性博弈存在一个均衡（在纯策略中）。证据见附录A。莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：政治竞选的资源分配8篇文章提交给POMS；手稿号。然后下一个定理说明了平衡点的唯一性。定理2。确定性博弈的均衡是唯一的。见附录B。不幸的是，对于博弈的均衡，没有封闭形式的解。在给出一种计算方法之前，我们将给出一个命题，该命题表示无界博弈均衡的闭式解。更准确地说，考虑与上述相同的选举游戏，不同的是候选人的影响力可以取负值（这些影响力加起来仍然必须等于一）。此外，考虑到两位候选人的作用都局限于区域I的特定子集* I.后一个子集代表候选人将集中注意力的地区，而此集合之外的地区将有投资。由给定特征定义的结果博弈称为受区域I约束的无界博弈*. 这个博弈均衡的存在性和唯一性可以用与原始博弈相似的参数来证明。下一个命题给出了其平衡的封闭形式。提议1。

对于任何非空集合，我* 一、 区域I集中约束的无界对策的均衡*是byxUB（I*)i=vivI*（1+αI）*) +QAQA+QBγI*-QAQA+QBγi-αi（3）yUB（1）*)i=vivI*（1+βI）*) +QBQA+QBγI*-QBQA+QBγi-βi，（4）对于所有i∈我*, 我在哪里*:=Pj∈我*αjand与βI类似*, γI*和vI*. 候选人的投票可以计算为QA=vI*（1+αI）*)2+αI*+βI*+γI*+Pj/∈我*vjαjαj+βj+γj，QB=vI*（1+βI）*)2+αI*+βI*+γI*+Pj/∈我*vjβjαj+βj+γj.证明。见附录C。从命题1中，我们可以得到无边界博弈的均衡，当我们对候选区域集进行筛选时，候选人可以在这些区域中投入他们的力量。注意，得到的平衡点有负分量，在这种情况下，它不能是原始博弈的平衡点。即使无约束平衡量都是非负的，这也可能不是原始博弈的平衡。然而，如果我*匹配原始博弈均衡中具有正投资值的区域集，然后（x*, Y*) = （xUB（I）*), 是的*)). 方程（3）和（4）可用于分析问题参数与博弈均衡（至少在局部邻域中）之间的关系。从命题1延伸出来的一个推论适用于我*= I.可以观察到，在后一种情况下，须壁六、玉壁vi>0，即得票率较高的地区将吸引两位候选人的更多选票（见附录D）。莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：政治活动的资源分配提交给POMS；第9号手稿我所处案件的有趣事实*= 一、 若无界平衡量（来自命题1）是非负的，那个么这也将和原始algame的平衡一致。

此外，在这种特殊情况下，可以证明，候选人TEA（就两位候选人而言）在每个地区获得的选票分数等于1+Pjαj2+Pj（αj+βj）。然后，候选人A获得的总票数等于后一个表达式。因此，候选人A获得的Votes总分数与弃权无关。此外，拥有更大价值的候选人将赢得选举。即，如果Pjαj>Pjβj，则候选人A赢得选举。另一个重要的观察结果是对I的无界名称约束* 在没有弃权的情况下，我将在下一个推论中陈述。请注意，游戏的无界版本可以被解释为一种假设环境，候选人可以在不同的地区之间借出和借入资金，在这种情况下，空头头寸是可能的。推论1。如果γi=0表示i∈ 我*, 对I的无界博弈约束的均衡*issuch表示候选人A在I中每个地区获得的选票分数*都一样。具体而言：xUB（I*)i+αixUB（i*)i+αi+yUB（i）*)i+βi=1+αi*2+αI*+ βI*,是的*)i+βixUB（i*)i+αi+yUB（i）*)i+βi=1+βi*2+αI*+ βI*. （5） 证据。见附录E。在强制投票制度下，如果我*匹配候选人在约束博弈均衡（即原始博弈）中的影响力为正的区域集，推论1的结果将成立。结果，每个候选人在集合I的每个区域获得的选票分数*都一样。为了计算原始博弈的均衡，在非负性约束下，我们可以通过求解一个参数化博弈迭代，其支付函数QAt（x，y）：=tQA（x，y）+Pjln（xj）-Pjln（yj）对于固定t>0，获得（x*t、 y*t） 这意味着这个游戏的平衡。

平衡点的存在性和唯一性的证明类似于定理1和2）中原始博弈的证明。然后，对于固定的t值，我们使用不可行的startNewton方法求解博弈，并进行迭代，直到找到极限博弈的平衡点。到目前为止，我们假设对于给定的向量（i）力x和y，（ii）双参数α和β，以及（iii）弃权参数γ；选举结果是众所周知的，因此可以准确计算出每个地区乃至整个国家的选举结果。后者可能是一个强有力的假设，因为尽管我们在某个特定区域拥有大量信息，但我们可能无法100%准确地预测结果。因此，在下一节中，我们将介绍一个随机模型，用于解释投票结果中的不确定性。莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：政治活动的资源分配10篇文章提交给POMS；手稿3.2。随机博弈对于每个区域i，让SAi、SBi和SCibe分别为候选人A、候选人B和弃权票获得的票数的随机变量，这样（SAi、SBi、SCi）~Dir（k（xi+αi），k（yi+βi），kγi），（6）其中Dirmis是m维Dirichlet分布（在本例中是三维的）。请注意，SAI和sBi的预期值与确定性模型中类似参数（SAI和sBi）的值相匹配。事实上，E（SAi）=xi+αixi+αi+yi+βi+γi，E（SBi）=yi+βixi+αi+yi+βi+γi。参数k>0调节投票结果的噪声，因此k值越高，代表性越低（反之亦然）。

事实上，候选人A的得票率的方差是Var（SAi）=（xi+αi）（yi+βi+γi）（xi+αi+yi+βi+γi）（1+k（xi+αi）），所以limk→∞Var（SAi）=0（与SBI和SCi类似）。在这种情况下，如果投票结果是随机的，候选人将发挥他们的努力，以最大限度地增加当选的机会，而不是最大限度地增加预期的票数。请注意，如果候选人要最大限度地增加预期的投票数，如果没有弃权的话，这将导致一场与决定性部分中介绍的游戏相当的游戏。让候选人A获得的票数，RB也一样。候选人A赢得选举的概率可以计算为：PRA>RB=Z···Z{Pi∈IvisAi>Pi∈伊维斯比}Yi∈如果sAi，sBi，sCidsAidsBidsCi。（7） 然后，候选A和B的优化问题可以写成：maxx∈NPRA>RB（8） 麦克西∈NPRB>RA.（9） 定义2。随机博弈的均衡是一对输出向量（x*, Y*) ∈n×确保每个向量x*和y*是表达式（8）和（9）中给出的相应候选最大化问题的最优解。与确定性博弈不同，在随机博弈中，我们无法保证纯策略中均衡的存在。然而，我们可以声明均衡混合策略的存在。定理3。随机博弈的混合策略存在一个均衡。证据见附录F。经过多次数值计算，我们发现目标函数总是碰巧是拟凹的，这表明纯策略中可能总是存在一个平衡点。因此，我们继续在以下小节中描述的纯策略中找到平衡。莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：政治活动的资源分配提交给POMS；第113.2.1号手稿。

计算均衡为了计算随机博弈的均衡，我们使用了梯度下降上升法。也就是说，我们根据两个参与者在当前解决方案下的收益同时移动他们的策略，并重复，直到我们达到一对策略（x，y），这样就没有参与者有偏离的动机。更具体地说，我们在螺旋方向上采取ρ>0的步骤，将新解更新为（x，y）←（x+ρdA，y+ρdB），其中dad和dba表示f（x，y）的最大和最小增长方向：=P（RA>RB）n、 为了计算这些方向，引入了以下命题：命题2。函数f:Rn的最大增长方向→R在Simplex区域内，n、 由di=xi给出τi-Pjxjτj, 式中τi=xiF十一-PjFxjxj.证据见附录G。可以很容易地证明，命题2的方向对应于两个候选者所面临的优化问题的互补松弛性。我们使用互补松弛度作为停止标准。我们使用的算法描述如下：起点设置为与随机博弈的算法1均衡成比例1：输入α，β，γ，v∈Rn+2：设定x，y=v/Pjvj, ξA=ξB={∞}ni=13:max{kξAk}，kξBk}> do4:x=x+ρdA，y=y-ρdB5：更新ξA，ξB6:End While7：返回（x，y）区域的投票数。虽然博弈不是凹凸的，但在实际应用中，算法总是在一个固定点上收敛。f及其导数的计算需要计算几个组合积分，见附录H中这些项的表达式。我们需要计算所提到的项的3n维积分，这在实践中是不可能的，即使是低值的n。因此，我们使用蒙特卡罗模拟来近似这些积分的值。3.2.2.

Boosting：需要通过蒙特卡罗模拟计算多个积分，这意味着在运行算法1时，在我们评估的每对策略（x，y）中，我们需要对多个Dirichlet随机变量进行采样；每个区域和模拟一个。下一个命题陈述了一个结果，该结果有助于我们重新使用nearbyMorales、Sebasti’an和Thraves、Charles的Dirichlet随机变量模拟：政治竞选的资源分配12篇提交给POMS的文章；手稿编号（即，与我们所处位置接近的候选策略）。为了便于记法，让usdenote S:={（SAi，SBi，SCi）}ni=1。提议3。让g：(n） n→R是一个标量函数。然后它认为e（g（S）|x+x、 y+y） =EK×g（S）×Yj（SAj）kxj（SBj）kyj | x，y！，（10） 其中K=QjB（K（xi+αi），K（yj+βj），Kγj）B（K（xi+xj+αi），k（yj+yj+βj）、kγj）和B（·，·，·，·）是多元β函数。证据见附录一。命题3允许我们在给定点x，y的其他点x+重复使用采样狄里克莱分布的模拟x、 y+y、 特别是，我们对使用命题3和函数g（S）={Pi感兴趣∈IviSAi>Pi∈IviSBi}，如果候选人A赢得选举，则取值1，否则取0。因此，我们可以在特定的一对（x，y）上对狄里克莱随机变量进行采样，并计算在任何其他点（x+x、 y+y） 用g（S）={Pi计算方程（10）的RHS∈IviSAi>Pi∈IviSBi}。然而，当我们从点（x，y）进一步移动时，可能会发现方程（10）的RHS中随机变量的方差增加。

（注意，等式（10）的RHS的随机变量与等式（10）的LHS中的rv不同，不遵循伯努利分布。）下一个命题陈述了关于等式（10）随机变量方差的结果。提议4。设g（S）={Pi∈IviSAi>Pi∈IviSBi}。如果在点（x+x、 y+y） 在点（x，y）处，即f（x，y）>f（x+x、 y+y） ，thenVar（g（S）|x+x、 y+y） <VarK×g（S）×Yj（SAj）kxj（SBj）kyj | x，y！，（11） 其中K=QjB（K（xj+αj），K（yj+βj），Kγj）B（K（xj+xj+αj），k（yj）+yj+βj），kγj）。证据见附录J。命题4提供了一个充分条件，表明rv K×g（S）×Qj（SAj）K的方差xj（SBj）kyj|x，y大于g（S）|x，y的方差。换句话说，从一个点（x，y）重用Dirichlet rv的模拟，以估计候选人a在点（x+x、 y+y） 可能会导致比在点（x+x、 y+y） 。有趣的是，在某些情况下，这并不成立；也就是说，在某些情况下，在某个点（x+x、 y+y） 从点（x，y）重复使用Dirichlet rv比在点（x+x、 y+y） 。莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和瑟劳斯、查尔斯的例子：政治活动的资源分配提交给POMS；手稿号。

13后一种情况是vT=（12,3,4），αT=（0.1,0.5,0.4），βT=（0.2,0.6,0.3），γT=（0.1,0.1,0.1），x=（0.1,0.35,0.55），y=（0.4,0.2,0.4），x=(-0.07, -0.02,0.09），以及y=（0.15，-0.1, -0.05); 方程（11）的LHS和RHS的方差表达式分别为0.30和0.23。最后，注意rv K×g（S）×Qj（SAj）K的方差xj（SBj）kyj | x，y可以通过从点（x，y）重复使用Dirichlet rvs来估计，参见附录J中的等式（46）。总之，我们在应用算法1时使用这些命题的结果，通过重复使用Dirichlet采样的RVA附近点，只要获胜概率的方差不增加。否则，我们将再次取样。4.选举人团在选举人团制度下，候选人获得对其竞争者拥有多数票的州的所有选举人票。让我们∈ Z+是第一州的选举票数∈ I.由于美国使用选举团，我们更倾向于将地区表示为州。如第3.2节所述，我们将假设每个州∈ 一、 候选人A和B在每个州获得的votesat分数，以及弃权票分数（SAi、SBi、SCi），遵循方程式（6）中的迪里克莱分布。在选举团制度中使用Dirichletdistribution的后果之一是，候选人获得的票数相对于候选人总票数的分数与弃权之间的独立性。这是在下面的引理中正式陈述的：引理1。If（X，Y，Z）~ Dir（a，b，c），那么X相对于X+Y的相对值与Z无关，即Cov（XX+Y，Z）=0。此外，它认为xx+Y~贝塔（a，b）。证据见附录K。因此，为了确定每个州的获胜者，我们需要关注rv SAi/（SAi+SBi），其分布为β（k（αi+xi），k（βi+yi））。