论政治运动的资源配置

对于任何x，y∈ Rn和正对角矩阵D∈ Rn×n，它认为（xTy）≤xTDyxTD-1y。证据xTy= kxTyk=kxTD1/2D-1/2yk≤ kxTD1/2kkD-1/2yk=xTDyxTD-1 Y，莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：提交给POMS的政治活动资源分配章程；第35号手稿，其中不等式来源于柯西-施瓦茨不等式。附录B：定理2的证明。LetG（x，y）：=xxQAyxQAxyQByyQB.利用Rosen（1965）的定理2，我们需要证明G（x，y）+GT（x，y）是负定义。注意yxQAandXYQ对称矩阵，因为效用函数Ra和RB和都有连续的二阶导数。然后xyQBT=xy1.-质量保证T=-xyQAT=-xyQA=-yxQA。ThenG（x，y）+GT（x，y）=2倍xxQAN×NN×NyyQB.但我们已经证明了这一点xxQAand定理1证明中的负定义。因此，G（x，y）+GT（x，y）也是负定义，从而得出结论。附录C：命题1的证明为此，我们求解以下双KKT方程组：vi（QA+QB）（sBi+sCi）σi-QAvisCiσi=λ（QA+QB）J∈ 我*（19） vi（QA+QB）（sAi+sCi）σi-QBvisCiσi=η（QA+QB）J∈ 我*（20） Xj∈我*xj=1（21）xj∈我*yj=1（22）加上方程（19）和（20），再加上sAj+sBj+sCj=1，我们得到了所有j的vjσj=（λ+η）（QA+QB）∈我*, 对于所有j，等效yvj=（λ+η）（QA+QB）σj（23）∈我*. 把方程（23）加起来∈我*, 利用方程（21）和（22），我们得到*= （λ+η）（QA+QB）（2+αI）*+ βI*+ γI*) （24）任何z的位置∈阿尔南德一世*I={1，…，n}，我们定义了zI*:=Pj∈我*zj。将等式（24）中的项（λ+η）（QA+QB）替换为等式（23），得到以下等式vjσj=vI*2+αI*+ βI*+ γI*（25）莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：政治活动的资源分配36篇提交给POMS的文章；手稿编号：j∈我*. 让QAI*是候选人A在区域I集合中获得的票数*.

类似地定义QBI*候选人B和QCI*弃权票总数。然后，使用等式（25）确定QAI*, QBI*, 和QCI*结果inQAI*=Xj∈我*vjxj+αjσj=vI*1+αI*2+αI*+ βI*+ γI*（26）QBI*=Xj∈我*vjyj+βjσj=vI*1+βI*2+αI*+ βI*+ γI*（27）QCI*=Xj∈我*vjγjσj=vI*γI*2+αI*+ βI*+ γI*. （28）将方程（19）乘以σjand，再加上整个j∈我*, 我们得到λ（QA+QB）（2+αI）*+ βI*+ γI*) = （QA+QB）（QCI）*+ QBI*) -QAQCI*. （29）在方程（29）上使用方程（26）、（27）和（28）得到λ=vI*（QA+QB）（1+βI）*+ γI*) -QAγI*（QA+QB）（2+αI）*+ βI*+ γI*)（30）所有值都已知的情况。通过类似的步骤，我们可以得出η=vI的结论*（QA+QB）（1+αI）*+ γI*) -QBγI*（QA+QB）（2+αI）*+ βI*+ γI*)（31）将方程（30）和（31）替换为方程（19）和（20）中的方程（30）和（31），在安排一些项之后，我们得到xUB（I）*)i=vivI*1+αI*+QAQA+QBγI*-QAQA+QBγi-αi（32）yUB（i）*)i=vivI*1+βI*+QBQA+QBγI*-QBQA+QBγi-βi（33）为所有i∈我*. 最后，Qa和QB，即候选人A和B分别获得的票数，可以通过等式（26）和（27）加上在没有竞选活动的地区获得的票数得到。NamelyQA=Xj∈Ivjxi+αixi+αi+yi+βi+γi=QAI*+Xj6∈我*vjαiαi+βi+γi*式（26）给出了该公式。与QB类似，总结证据。附录D:I的MS无界平衡*= 在这种情况下，QA=QAI*= 六、*1+αI*2+αI*+βI*+γI*= （Pjvj）1+Pjαj2+Pjαj+Pjβj+Pjγj.与QB类似。因此，我们有qaqa+QB=1+Pjαj2+Pjαj+Pjβj*)我和你（我）*)iof方程（32）和（33）导致：xUBi=1+Pjαj2+Pj（αj+βj）“viPjvj2+Xj（αj+βj+γj）！-γi#-αiyUBi=1+Pjβj2+Pj（αj+βj）“viPjvj2+Xj（αj+βj+γj）！-γi#-如果我∈I.莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：提交给POMS的政治活动资源分配章程；手稿号。

37附录E：推论1的证明从命题1，我们知道xUB（I*)i=vivI*（1+αI）*) +QAQA+QBγI*-QAQA+QBγi-αi.但是，如果γj=0∈我*（因此，γI*= 0），那么最后的表达式是xUB（I）*)i=vivI*（1+αI）*) -αi（与y类似）。通过替换这个表达式，我们得到xub（I*)i+αixUB（i*)i+αi+yUB（i）*)i+β=1+αi*2+αI*+ βI*是的*)i+βixUB（i*)i+αi+yUB（i）*)i+β=1+βi*2+αI*+ βI*（35）附录F：定理3的证明。混合策略中均衡的存在性源于策略空间的紧性和效用函数的连续性。前一种说法是直接的，而后一种说法是因为候选A的获胜概率是xi上连续函数的积分（见等式（7））。附录G：命题2的证明。为了便于解释，假设x∈ 智力(n） 。让我们做x=h（w）的变换，使hi（w）=ewi/Pj∈Iewj公司. 注意，对于任何x∈ 智力(n） 存在一个w∈ rnx=h（w）；实际上，对于i>1，wi=ln（xi/x）+wf，而wc可以取任意值。然后，我们寻找h（w）在f最大增长方向上的方向导数，即。wf（h（w））。然后，每一次我∈我们有dxi=limt→0hi（w+t）wf（h（w）））-嗨（w）t=whi（w）·wf（h（w））（36），其中·是点积。然后你好wj=wjewiPk∈观察={i=j}ewiPk∈观察--ewiewj主键∈观察= hi（w）（{i=j}-hj（w））=xi（{i=j}-xj）（37）和Fwj=Xk∈我Fxk香港wj=Xk∈我Fxkhk（w）（{k=j}-hj（w））=hj（w）Fxj-Xk∈我Fxkhk（w）！=xjFxj-Xk∈我Fxkxk！=：τxi。（38）莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：政治活动的资源分配38篇提交给POMS的文章；将方程（37）和（38）组合成方程（36），我们得到dxi=Xj∈Ixi（{i=j}-xj）τxj=xiτxi-Xj∈Ixjτxj！。附录H：多数系统随机模型的梯度公式让我们表示事件W:=Pi∈IvisAi>Pi∈伊维斯比。

然后RA>RB=Z···Z{W}Yi∈Ifidsi。关于每个候选投资成分xiand yi的衍生工具可计算为：xiPRA>RB= kZ···Z{W}ln（赛）易∈Ifidsi+kzAiZ···Z{W}Yi∈Ifidsi叶RA>RB= kZ···Z{W}ln（sBi）Yi∈Ifidsi+kzBiZ···Z{W}Yi∈Ifidsiwhere zAi=ψ（k（αi+xi+βi+yi+γi））-ψ（k（αi+xi））和zBi=ψ（k（αi+xi+βi+yi+γi））-ψ（k（βi+yi）），其中ψ（·）表示双伽马函数。附录一：命题3Let s={（sAi，sBi，sCi）}ni=1b n个随机变量样本。给定参数（x，y），每个点的密度将表示为fi | x，y（sAi，sBi，sCi）。然后，我们可以在特定的（x+x、 y+y） asfi | x+x、 y+y（sAi，sBi，sCi）=（sAj）k（xj）+xj+αj）-1（sBj）k（yj）+yj+βj）-1（sCj）kγj-1B（k（xj+xj+αj），k（yj+yj+βj），kγj）=（sAj）kxj（sBj）kyj（sAj）k（xj+αj）-1（sBj）k（yj+βj）-1（sCj）kγj-1B（k（xj+xj+αj），k（yj+yj+βj），kγj）=（sAj）kxj（sBj）kyjB（k（xj+αj），k（yj+βj），kγjB（k（xj+xj+αj），k（yj+yj+βj），kγj）fi | x，y（sAi，sBi，sCi）=（sAj）kxj（sBj）k其中Kj=B（k（xj+αj），k（yj+βj），kγj）B（k（xj+xj+αj），k（yj）+yj+βj），kγj）。设K=iKi。然后，我们可以在给定作用（x+x、 y+y） asE（g（S）|x+x、 y+y） =Z··Z()ng（s）×Yjfj | x+x、 y+y（sAj，sBj，sCj）DsajDbjDscj=K×Z··Z()ng（s）×Yj（sAj）kxj（sBj）kyjfj | x，y（sAj，sBj，sCj）dsAjdsBjdsCj=K×Eg（S）×Yj（sAj）Kxj（SBj）kyj | x，y！。莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：政治活动的资源分配提交给POMS；第39号手稿附录J：命题4W和V的演示让W和V成为在点（x+x、 y+y） 和（x，y）。如果候选人A在策略（x+x、 y+y） ，否则W=B；对V来说也是如此。

让我们表示p=p（W=A）=p（g（S）|x+x、 y+y） ，q=P（V=A）=P（g（S）|x，y）。注：我们假设p>q。表示函数h（S）=K×Qj（SAj）K×xj（SBj）k×yj。利用总方差定律，我们得到了Var（g（S）|x+x、 y+y） =E[Var（g（S）|x+x、 y+y、 W）]+Var（E[g（S）|x+x、 y+y、 W]）。（39）关于方程（39）的RHS的第一项，我们有[Var（g（S）| x+x、 y+y、 W）]=Var（g（S）|x+x、 y+y、 W=A）P（W=A）+Var（g（S）|x+x、 y+y、 W=B）P（W=B）=Eh（g（S）-E[g（S）|x+x、 y+y、 W=A]）|x+x、 y+y、 W=AiP（W=A）+Eh（g（S）-E[g（S）|x+x、 y+y、 W=B]）|x+x、 y+y、 W=BiP（W=B）=Eh（1）-1） ip+Eh（0-0）我（1）-p） =0·p+0·（1）-p） =0。（40）关于方程（39）的RHS的第二项，我们有Var（E[g（S）|x+x、 y+y、 W]）=（1-E[E[g（S）|x+x、 y+y、 P（W=A）+（0-E[E[g（S）|x+x、 y+y、 P（W=B）=（1-E[g（S）|x+x、 y+y] ）p+（0-E[g（S）|x+x、 y+y] ）（1-p） =（1）-p） p+（0-p） （1）-p） =p（1）-p） 。（41）将方程（40）和（41）组合到方程（39）中，我们得到Var（g（S）|x+x、 y+y） =p（1）-p） 。（42）同样，使用总方差定律，我们得到Var（h（S）g（S）| x，y）=E[Var（h（S）g（S）| x，y，V）]+Var（E[h（S）g（S）| x，y，V]）。（43）关于方程（43）RHS的第一项，我们有[Var（h（S）g（S）| x，y，V）]=Var（h（S）g（S）| x，y，V=A）P（V=A）+Var（h（S）g（S）| x，y，V=B）P（V=B）=Eh（S）g（S）-E[h（S）g（S）|x，y，V=A]）|x，y，V=AiP（V=A）+Eh（h（S）g（S）-E[h（S）g（S）|x，y，V=B]）|x，y，V=BiP（V=B）莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：政治活动的资源分配提交给POMS的40篇文章；手稿编号=E“h（S）g（S）-pq|x、 y，V=A#P（V=A）+Eh（h（S）g（S）-0）| x，y，V=BiP（V=B）=E“h（S）-pq|x、 y，V=A#q+Eh（0-0）我（1）-q） >0（44），其中在第三个等式中，我们使用E[h（S）g（S）|x，y，V=A]=1这一事实。

这是真的，因为我们有P=E[h（S）g（S）|x，y]=E[h（S）g（S）|x，y，V=A]P（V=A）+E[h（S）g（S）|x，y，V=B]P（V=B）=E[h（S）g（S）|x，y，V=A]·q+0·（1）-q） =E[h（S）g（S）|x，y，V=A]·q。然后E[h（S）g（S）|x，y，V=A]=pq。关于方程（43）的RHS的第二项，我们有Var（E[h（S）g（S）| x，y，V]）=pq-E[E[h（S）g（S）|x，y，V]]P（V=A）+（0-E[E[h（S）g（S）|x，y，V]]P（V=B）=pq-E[h（S）g（S）|x，y]q+（0-E[h（S）g（S）|x，y]）（1-q）=pq-Pq+（0-p） （1）-q） =ppq-P. （45）将方程（44）和（45）组合到方程（43）中，我们得到var（h（S）g（S）| x，y）>ppq-P> p（1）-p） =Var（g（S）|x+x、 y+y） 。第二个等式是因为我们假设p>q，最后一个等式来自等式（42）。证据到此结束。作为旁注，请注意，我们可以给出一个表达式来计算随机变量h（S）g（S）|x，y的方差，只需在（x，y）点重复使用Dirichlet rv即可。Var（h（S）g（S）|x，y）=E（h（S））（g（S））|x，y-E[h（S）g（S）|x，y]=E（h（S））g（S）|x，y-p（46）附录K：引理1Cov的证明XX+Y，Z= 冠状病毒XX+Y，1-十、-Y= -冠状病毒XX+Y，X+Y= -E[X]+E[X+Y]×EXX+Y= -aa+b+c+a+ba+b+cEXX+Y（47）莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：提交给POMS的政治活动资源分配章程；第41号手稿关于EhXX+Yi，我们可以计算这个XX+Y= EX1-Z=ZZ1-zx1-z·fX，Y，z（x，1-十、-z、 z）dxdz=B（a，B，c）ZZ1-zx1-z·xa-1(1 -十、-z） b-1zc-1dxdz=B（a，B，c）Z（1-z）-1zc-1Z1-zxa（1）-十、-z） b-1dxdz=B（a，B，c）Z（1-z） a+b-1zc-1Zua（1-u） b-1dudz=B（a，B）B（a，B，c）Z（1-z） a+b-1zc-1dzZuua-1(1 -u） b-1B（a，b）du=b（a，b）b（a，b，c）·b（a+b，c）·aa+b=Γ（a）Γ（b）Γ（a+b+c）·Γ（a+b+c）Γ（b）Γ（c）·aa+b=aa+b+b（48）在第五等式中，我们使用变量u=x1的变化-Z

将等式（48）替换为等式（47），wegetCovXX+Y，Z= -aa+b+c+a+ba+b+c·aa+b=0显示协方差的结果。为了证明XX+Y~ Beta（a，b），我们计算它的pdf。设W:=XX+Y，然后（X，Y，Z）=（W（1-Z） ，（1）-W）（1）-Z） ，Z）。然后考虑一个w∈（0,1），fW（w）=ZZ1-z{x=wx+w（1-十、-z） }fX，Y，z（x，1）-十、-z、 z）dxdz=ZZ1-zfX，Y，Z（w（1-z） ，（1）-w） （1）-z） ，z）dxdz=z（1）-z） fX，Y，z（w（1-z） ，（1）-w） （1）-z） ，z）dxdz=wa-1(1 -w） b-1·B（a，B，c）·Z（1）-z） a+b-1zc-1dz=wa-1(1 -w） b-1B（a+b，c）b（a，b，c）=wa-1(1 -w） b-1B（a，b）我们在第六等式中使用了b（a，b，c）=b（a，b）·b（a+b，c）。得到的W=XX+y的pdf对应于带有参数（a，b）的贝塔分布，从而得出结论。莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：政治竞选资源分配42篇提交给POMS；手稿附录L：定理4的证明。如果候选人在MS下最大化预期投票数，候选人A的目标是E（PiviSAi），或通过线性预期达到等效性（SAi）。如果现在我们假设γ=0，那么E（SAi）=xi+αixi+αi+yi+βi。因此，候选A面临的问题是用x最大化epivxi+αixi+αi+yi+βi∈n、 类似地，candidateB最大化了y的活性Ii+βixi+αi+Ii+βi∈n、 根据EC，候选人A从i区isSAiSAi+SBi获得的预期票数。因为对于每一个i，sai和sbi都是同一个Dirichlet分布的组成部分，所以它的比率通过引理1遵循Beta分布。即SAiSAi+SBi~β（k（xi+αi），k（yi+βi））。然后，如果候选人将预期票数最大化，候选人A的目标是EhpiWisaai+SBii=PiwiEhSAiSAi+SBii=Piwixi+αixi+αi+yi+βi=Piθvixi+αixi+αi+yi+βi和x∈n、 式中θ：=wi/vifor all i（因为我们使用的假设是每个州的选民票数与各自州的普选票数成比例）。

候选人B也是如此，得出结论。附录M：定理5的证明为了便于读者记谱，我们有时将这个证明{X}表示为{X}。此外，为了便于解释，我们只考虑v∈Zn+和Pivis是奇怪的，因此不可能在EC下出现。我们想证明P（|{PivisAi>PivisBi}-{Pivi{sAi>sBi}>Pivi{sAi<sBi}>)K→0→ 任何人都可以 > 0.考虑0< < 1，然后（|{XivisAi>XivisBi}-{Xivi{sAi>sBi}>Xivi{sAi<sBi}})= P（|{XivisAi>Xivi}-{Xivi{sAi>1/2}>Xivi}|>)= P（XivisAi>Xivi>Xivi{sAi>1/2}{z}E）+P（XivisAi<Xivi<Xivi{sAi>1/2}{z}E），其中第一个等式使用无弃权的事实。我们将定义事件E，并展示（i）E∩E、 E=, 和（ii）P（E）→ 1作为k→ 注意，因为（i）它认为P（E）+P（E）+P（E）≤ 因为（ii）必须是P（E）+P（E）→ 0作为k→ 0.对于以下内容，我们将表示sAiassito reduce符号。考虑δ=1/（4Pivi），让我们定义事件Eas E={s∈ [0,1]n:Z∈{0,1}ns。t、 kz-sk∞< δ} 或者等价地E={s∈[0,1]n:|是的-{si>1/2}|<δi} 。为了说明（i），我们将首先讨论E∩E=. 以矛盾为例，我们来看看s∈ E∩然后我们得到了Pivisi>Pivi>Pivi{si>1/2}，相当于Pivisi>Pivi≥Pivi{si>1/2}+1/2 sincePiviis奇数和vitake整数值。从左手侧减去上一表达式的右手侧将导致toPivi（si-{si>1/2}）>1/2。自从∈E、 很容易看出，{si>1/2}={zi>1/2}=z，其中z是距离s最近的“角点”（在{0，1}n中）-{si>1/2}）=Pivi（si-(子)≤皮维|斯- zi |<Piviδ=1/4>1/2，这是一个矛盾。E的证明∩ E= 是类似的，因此省略。为了展示（ii），让我们定义事件Di={s∈[0,1]n |δ≤硅≤1.-δ}. 因此，可以看出sidi=Ec。事实上，如果有一些∈DII对于一些人来说，显然没有z∈{0，1}确保kz-sk<δ。

相反，莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：《政治竞选资源分配》提交给POMS；第43号手稿如果有一些手稿∈E、 那么至少有一个分量k，使得kz-sk∞≥δ为所有z∈{0,1}n；然后∈Dk，因此s∈西迪。现在，每个事件的概率可以表示为P（Di）=FSi（1）-δ)-FSi（δ），其中FSi是Si（实际上是SAi）的CDF，其分布为β（k（xi+αi），k（yi+βi））。自从西康维斯托成为伯努利之后→0，也就是P（Di）。然后我们有1个-P（E）=P（Ec）=P[iDi！≤XiP（Di）k→0→ 0.然后P（E）→1作为k→0，因此P（E）+P（E）→0总结证据。附录N：零和博弈作为LPP优化博弈可以表示为：minσBmaxσAσTBPσas。t、 eTAσA=1σA≥0eTBσB=1σB≥注意，（49）maxσAσTBPσAs的内部问题。t、 eTAσA=1σA≥0（50）具有以下二分音符。t、 ueA≥然后，我们可以将（51）替换为（49）中内部问题的原始值，以及getminu，σBus。t、 ueA-PTσB≥0eTBσB=1σB≥0（52），这是一个单独的LP。获得第一参与者均衡策略的LP类似。附录O：权利要求1We havem=nXi=1qxri=qnXi=1xri=q1的证明-nXi=1bqxicq！=Q-nXi=1bqxic=nXi=1（qxi-bqxic），（53）从最后一个等式之前的表达式可以看出，结果是整数的减法，结果是一个整数。从等式（53）的最后一个表达式中，我们可以看到，和边上的所有参数都是非负的，并且严格小于1。因此，总和可以至少为0，且atmost n-1.莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：政治活动的资源分配44提交给POMS的文章；手稿号附录P：引理2Let us的证明在算法2中迭代k时，向量w的值表示为w（k），在k次迭代中，与t（k）类似。

在进行（i）和（ii）的演示之前，我们将展示以下引理：引理4。对于算法2的每次迭代k，它认为对于所有h>k，z（k）j6=z（h）jj，其中j是算法2第6行中达到最小条件的成分之一。证据考虑到我们正在使用算法2。我们有一些w（k），我们假设w（k）∈[0,1]nandPni=1w（k）i=m（注意，这是在k=1的情况下完成的，而我们将在k+1的情况下展示这一点）。因为w（k）∈[0，1]nandPni=1w（k）i=m，如果w（k）至少有一个分数分量（这是我们进入算法2循环的有趣情况），那么一定是w（k）最多有n的情况- M- 1个零组件，最多m个-1.带1的组件。然后，算法的第4行强制每个分量i的z（k）i=w（k）i，使得w（k）i∈{0, 1}. 然后，该算法试图找到我们可以从矢量w（k）向w（k）方向移动的最大幅度-z（k）（显然后者不是零，因为w（k）至少有一个分数分量，而z（k）∈{0，1}n）。然后我们寻找t的最大值，使得w（k）+t（w（k）-z（k））∈[0,1]n，这相当于（I）w（k）I+t（w（k）I-z（k）i）≥0和（II）w（k）i+t（w（k）i-z（k）i）≤1对于所有分量i，其中w（k）为分数，因为对于其他分量，右项为零。（一） 相当于两个（k）iz（k）I-w（k）i≥如果z（k）i>w（k）i和w（k）iz（k）i-w（k）i≤如果z（k）i<w（k）i.后一种情况始终成立，那么（i）可以简单地写成asw（k）i1-w（k）i≥t如果z（k）i>w（k）i.至于（II），这等于1-w（k）iw（k）i-z（k）i≤t如果z（k）i>w（k）i，和1-w（k）iw（k）i-z（k）i≥t如果z（k）i<w（k）i，前一种情况可以消除，因为总是存在，那么（II）可以减少到1-w（k）iw（k）i≥如果z（k）i<w（k）i.把（i）和（II）放在一起，我们得到了算法2第6行中t（k）的表达式。