多个市场中交易者偏好的碎片化：市场

为了得到这些图表，我们在每个类别中用r=0.01和N/2=10000的交易者进行模拟，直到达到稳定状态。第一类交易者倾向于购买p（1）B=0.8，第二类交易者倾向于购买p（2）B=0.2。（A）- A、 A- A） 这架飞机被分为三个区域，表明具有相应景点的代理商最常选择哪个市场。市场1、2和3的区域分别为蓝色、红色和绿色，如（a）所示。我们现在简要描述每个面板中的吸引力分布，并解释（i）强碎片（持续存在于大内存限制中）和（ii）弱碎片（消失于相同限制中）之间的差异；[6,8]讨论了两种市场体系的类似结果。在图1的面板（a）中，我们可以看到景点的分布有三个峰值，所有峰值的大小为O（1）级，对应于选择主要在单一市场交易的商人的亚群体。换句话说，交易者群体（图中所示的类别）分为三个子群体，这三个子群体对一个市场的吸引力大于对其他市场的吸引力，例如，交易者对其中一个市场建立了个人忠诚度。这种具有多个峰且大小为一级的引力分布称为强碎片[8]。正如在之前的研究中所讨论的，这并不意味着交易者的偏好被冻结：他们确实会改变他们的偏好市场，但只有在长时间持续之后才会改变[6]。我们还注意到，在所示的状态中。

对于给定的参数，三个相同的市场共存，并平均获得同等份额的贸易商。第二个分布，如图（b）所示，对应于被分成两个忠诚群体但规模不同的人群：一个大的（N阶）亚群体被吸引到第二个市场（公平市场，θ=0.5），而第二个小的亚群体则持续尝试在市场3交易。吸引力分布中较小的峰值的大小以指数形式减小→ 0[7,8]，尽管市场二和市场三对任何有限的内存都是共存的，但在大内存限制下，市场二具有垄断地位。当吸引力分布是多峰的，但只有一个峰的权重为1级（即碎片仅在有限的r处出现）时，我们称之为弱碎片。图（c）中绘制的分布对应于高度分散的人口，但与图（a）中描述的情况相反，第三个市场现在已经失去了竞争。此外，两个市场之间吸引的交易者所占的份额并不相同（如图（a）所示），但这两个峰值都存在长记忆极限。上述模拟结果有助于了解吸引力分布（峰值的数量和大小）的各种定性不同结构，以及三个市场竞争的不同结果。为了更详细地研究这些问题，我们将重点放在前面[7,8]所述的分析和数值方法上，这些方法适用于大量交易者和大型记忆极限（r→ 0.4分析为了继续进行分析，与我们之前的研究[6,7,8]一致，我们从系统是马尔可夫的这一事实出发，因此[6]中引入的主方程是在有限总体N和大内存1/r的限制下，对代理进化的精确而完整的描述。我们在这里重点讨论这种动态进化的稳态。

对于具有固定购买/出售偏好的人群，这是由稳态分布P（a | pB）确定的，其中a是吸引力的M维指标，根据购买偏好区分不同类别的交易者。当我们研究两个以上的市场时，分布是多元的，尽管我们可以引入吸引力差异，并在结果中寻找解决方案-1.变量。描述系统在不同交易轮n中演化的主方程[6]不是标准的线性Chapman-Kolmogorov方程，因为转换核K取决于交易概率，而交易概率又取决于Pn（A | pB）。描述的这种自洽性来自于将所有N个代理的吸引力描述减少为单个代理的吸引力描述；对于N来说，这种减少是精确的→ ∞. 原则上，可以通过跟踪初始条件P（a | pB）=δ（a）的时间演化来找到稳定状态，该初始条件对应于对所有市场都没有吸引力的所有代理。我们采用不同的路线，首先使用Kramers-Moyalck展开式将时间演化方程转化为福克-普朗克描述。这适用于小r，即具有长内存的代理。即使在对福克-普朗克方程进行了简化之后，问题的维数也使得确定稳态成为一项不平凡的任务。但我们可以通过考虑限制r来取得进展→ 0; 这将使我们能够评估碎片的开始。我们通过分析附录A中定义的福克-普朗克方程的漂移u（c）min来实现这一点。为了找到单一代理的稳定状态，我们将在假设固定的市场订单参数（即交易概率）的情况下搜索漂移的零。我们首先假设这两类人对市场有同质偏好（即P（A（c）| P（c）B）是一个delta分布）。

这是在低β极限下的预期解决方案，此时稳态为未破碎状态。在这个假设下，市场序参数的表达式简化了，我们可以求解这两类的联立方程。在任意定点解（A（1）*, A（2）*) 我们评估市场订单参数，并检查单代理动力学是否与同质人口假设一致：当我们解u（c）m（A）=0时，我们预期只有一个0与A相一致*). 然后，碎片化的开始（弱或强）由选择强度给出，当在同质人口市场秩序参数下进行评估时，单主体动力学首先具有多重性，这表明r>0时，景点的分布将有多个峰值。为了确定每个峰值对应于固定点的吸引力分布的权重，我们使用附录B中详述的Freidlin-Wentzellach方法。这使我们能够区分小峰值和大峰值之间的差异，小峰值与记忆长度1/r成指数衰减，而大峰值的权重在→ 采用0限制。在本文的其余部分，我们将重点分析M=3市场的情况，并根据两种吸引力差异描述这两类市场A=A- 而且A=A- A.我们对交易者的学习动力学进行Kramers-Moyal展开，得到两个福克-普朗克方程（每个c类一个）∈ （交易者的{1,2}）的吸引力差异分布P(A（c），t）：总磷(A（c），t）=-Xm=2A（c）mhu（c）m(A（c），f，f，f）P(A（c），t）i+rXm，m=2A（c）mA（c）mh∑（c）mm(A（c），f，f，f）P(A（c），t）i（4）这里的时间变量t=nr是重新标度的交易轮数，A（c）=(A（c），A（c））和Fm是市场订单参数，即市场m的买方与卖方的比率（实际上是供需比）。

漂移矢量u（c）m的表达式(A（c），f，f，f）和方差矩阵∑（c）mm(A（c）、f、f、f）在附录A.4.1中给出了每一类的三个公平市场。我们首先看看当三个市场都公平时会发生什么，即θ=θ=θ=θ=0.5。这意味着他们设定的交易价格正好是平均出价和平均要价的平均值。如前所述，公平市场对应于一种市场机制，只要买家的数量等于卖家的数量，就可以提供均衡的交易价格。根据类似物理系统的直觉，人们可能会预期自发对称性破缺，即随机波动导致全体人口只选择一个可能的对称市场。然而，在随机多智能体模拟中，我们观察到的是稳定状态，每个类中都有分散的种群；因此，我们关注交易者学习动态的稳态，而不是对称性破缺。由于这三个市场具有相同的偏差θ，在对称解决方案中，它们应该吸引相同数量的代理，而不考虑其类别。另一方面，当我们研究具有对称偏好的代理人购买p（1）B=1的类别时-p（2）B，单一市场上买家和卖家数量的差异是有序的√N、 NB=NS+O(√N） 。因此，在大面积限制中，每个市场的买家数量与卖家数量之比等于1。这种简化正是我们选择从三个公平市场的简单案例开始分析的原因，这使我们能够探索三个双重拍卖市场的分裂现象，而无需自行确定市场秩序参数[7,8]。我们首先研究选择强度β较小时单剂动力学的定点结构。

正如所料，学习动力的唯一固定点是- A=A-A=0，对应于在三个市场之间随机选择的交易者（见图2（A））。当选择强度β达到临界值βc=1/0.254时，三个鞍结分叉同时发生，出现三对稳定和不稳定固定点（见图2（b））。这三个鞍结分叉在市场对称性的相同时间发生的原因，即它们相同的偏差θ=0.5。在三个市场不同的更一般情况下，我们预计每对新固定点的出现都会以不同的β值出现。当研究低强度选择的确定性动力学时（见图2（a）），很明显，系统没有碎片，只有一个稳定的固定点。在图2（b、c、d）所示的较大选择强度下，了解确定性动力学不足以区分“稳定”固定点（在我们的术语中，大峰值将居中的点）和“亚稳定”点（对我们来说，这表示小峰值的位置）。为了评估图2中固定点的稳定性和潜在峰值的权重大小，我们使用附录B中详述的Freidlin-Wentzellach方法。作为吸引分布的一个例子，我们考虑了1/0.252的范围≥ β ≥ 1/0.254表示选择强度，其中系统是弱碎片化的（如图2（b））。中心固定点是稳定的，吸引力分布中的一个大峰值位于该固定点，而三个外部固定点是亚稳定的，对应于小峰值。当β增加到第二个临界值βc=1/0.252时，三个外部固定点变得稳定，系统经历强烈的碎裂转变。

对于任何高于第二个分割阈值的β值，系统将被强烈分割，因为交易者的偏好分布将有三个同等权重的峰值，每个峰值对应于单一代理动力学的一个稳定固定点（图2（c，d）中的红点）。1/0.237≤ β ≤ 1/0.252，景点的分布在（0,0）处的最后一个点处保留了一个额外的峰值，但随着记忆长度的增加，该峰值的权重将以指数形式变小（见图2（c））。这个亚稳态固定点和相关的吸引子分布小峰值随后消失≥ βc=1/0.237（见图2（d））。我们简要总结了上述结果对于在三个公平市场之间进行长记忆选择的代理人系统中吸引力分布的直观意义。当选择的强度很小时，代理商无法对任何特定市场产生强大的吸引力，因为低β意味着他们在很大程度上随机选择一个市场。随着β的增加，每一类中的三小群代理人对其中一个市场产生了忠诚度，这是吸引力增加的信号，但随机选择策略仍然占主导地位。这些忠诚的亚群体一直在增长，直到（超过βc），它们涵盖了每一个代理类别的大部分。（d） （a）（b）（c）图2：p（2）b=0.2，在三个公平市场中选择的单个交易者的学习动态流程图和固定点。（a） 在弱碎裂阈值β=1/0.254以下，动力学只有一个固定点，该点是稳定的（用红星表示）。

（b） 当β达到弱破碎阈值βc=1/0.254时，出现三对不稳定（蓝色）和亚稳定（赎回圈）固定点，系统变得弱破碎，出现一个大峰值，对应于在三个市场之间随机化的交易者，以及三个小峰值，其中交易者优先在三个可用市场之一进行交易。（c） 当βc=1/0.252时，三个外部固定点变得稳定，而中心固定点变得亚稳定，系统现在变得非常分散，有三个大小相等的峰值，每个峰值对应于单一市场的优先交易。（d） 随着β的增加，亚稳态固定点最终变得不稳定。在每个图表上方，我们用三角符号表示每个定点结构所属的类别（详情见正文）。为了帮助理解各种不同的稳态，我们引入了三角形形状的吸引子分布符号，如图2的面板所示。我们关注的是峰值的数量和大小，而不是它们的确切位置，并使用三角形来可视化对三个市场中任何一个的吸引力（靠近角落的圆圈）或市场差异（星形）。为了区分大峰值和小峰值，我们使用填充或空对象（星星和圆圈）。在迄今为止考虑的三个相互竞争的市场的简单案例中，我们发现它们总是存在的，但在不同的场景中，从随机选择市场的所有交易者到持续忠诚于市场的交易者分成子群体。一个明显的问题是，这种分裂是否严重依赖于所有市场都是相同的这一事实。为了回答这个问题，我们接下来将分析扩展到具有不同偏见的市场。5.参数空间探索：具有不同偏差的市场每个市场偏差θ，θ，θ在0和1之间，即。

市场参数空间是一个单位立方体。当然，在市场偏见的排列下，碎片化现象是独立的，因为这实际上只是改变了市场的标签。因此，我们可以将我们的分析限制在1/6的立方体上，其中θ≤ θ≤ θ和可以通过对称性重建参数空间其余部分的行为。我们将主要遵循这个方案，但有时允许不同的参数排序，以获得更简单的二维相图，沿x轴有典型的偏压，沿y轴有相反的选择强度。我们研究了三种不同类型的情景，在我们之前工作的探索指导下：（i）一个公平市场θ=0.5，两个对称的双市场θ=1- θ、 如图3所示，θ作为自由参数在0和1/2之间变化，（ii）两个对称偏压市场θ=0.3，θ=0.7，θ作为自由参数变化，如图4所示，（iii）θ=0.3，θ=0.5，θ再次从0到1变化，如图6所示。正如本节其余部分将要明确的那样，这些参数设置允许分析一些属性对碎片化发生的影响，例如市场对称性、市场偏差之间的“距离”以及市场公平性的影响。5.1两个对称偏差市场和一个公平市场根据我们在三个公平市场中使用的推理，我们继续关注不会破坏市场对称性的解决方案。这种假设得到了随机多智能体模拟的支持，在这种模拟中，我们没有观察到市场对称性破缺。我们使用对称性来限制“市场总量”的可能值，即供需比。特别是，我们可以证明，对于对称的双向市场，这些比率是彼此相反的，并且在公平市场上，这个比率和以前一样是统一的。

要了解这一点，首先请注意，当θ=1时-θ和θ=0.5，对于具有对称购买偏好的交易者，market1对1类交易者所起的作用与Market3对2类交易者所起的作用相同，反之亦然。因此，1类（分别为2）交易者在第一市场交易的概率等于2类（分别为1）交易者在第三市场交易的概率。我们可以写出市场1和3的买方/卖方比率asf=P（1）（M=1）P（1）B+P（2）（M=1）P（2）BP（1）（M=1）（1）- p（1）B）+p（2）（M=1）（1）- p（2）B）f=p（1）（M=3）p（1）B+p（2）（M=3）p（2）BP（1）（M=3）（1）- p（1）B）+p（2）（M=3）（1）- 当把等式p（1）（M=1）=p（2）（M=3），p（2）（M=1）=p（1）（M=3）代入这些表达式时，请记住p（1）B=1- p（2）B，我们可以看到f=1/f。公平市场（市场2）上买卖双方的比例是统一的，这一事实由类似的推理得出。让我们首先计算交易员开始支离破碎时的选择强度值。为此，对于自由参数θ的给定值，我们从β的低值开始，逐渐增加选择的强度，直到它达到一个临界值，其中单剂动力学有两个稳定的固定点。这些β值由图3中的上实线表示。这种分析的自然延续是寻找——如果存在的话——强烈的碎片化阈值。由于我们之前对对称市场的分析，我们知道，对于θ=0.5，在β=1/0.252时发生强碎裂，但我们的数值方法表明，对于合理的对称市场，即θ<0.48，在相图中数值考虑的整个β值范围内，不会发生强碎裂。