多个市场中交易者偏好的碎片化：市场

2017年，英国伦敦国王学院博士论文。[30]汉内斯·里森。福克-普朗克方程。柏林斯普林格，1984年。[31]马克·弗莱德林和亚历山大·温策尔。动力系统的随机扰动。柏林斯普林格，1998年。ISBN 0387983627。[32]弗雷迪·布切特和朱利安·雷格纳。将Eyring–Kramers转化率公式推广到不可逆扩散过程。亨利·彭加勒学院年鉴，17（12）：3499–35322016。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/s00023-016-0507-4.[33]塞琳娜·布拉德和朱利奥·比罗利。非平衡系统中的广义阿累尼乌斯定律。arXiv预印本arXiv:1204.60272012。统一资源定位地址https://arxiv.org/abs/1204.6027.[34]亨德里克·安东尼·克拉默斯。力场中的布朗运动和化学反应的扩散模型。Physica，7（4）：284-304，1940年。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/S0031-8914(40)90098-2.[35]盖伊·布宁、亚里夫·卡弗里和丹尼尔·波多尔斯基。边界驱动系统中的大偏差：数值评估和有效的大规模行为。《欧洲物理学快报》，99（2）：200022012。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1209/0295-5075/99/20002.AKramers-Moyal展开式在本附录中，我们给出了方程（4）中Kramers-Moyal展开式中出现的漂移和协方差矩阵的表达式。我们只给出结果；推导的步骤可以在Alori\'c[29]的论文中找到。首先，吸引力差异的漂移为：u（c）(A（c），f，f，f）=P（c）（f）P（M=1）- P（c）（f）P（M=2）- A（c）（7）u（c）(A（c），f，f，f）=P（c）（f）P（M=1）- P（c）（f）P（M=3）- A（c）（8）这里P（c）m（fm）是c类交易者在m市场的平均报酬，P（m=m）是在m市场交易的可能性，这取决于向量A（c）吸引力差异。我们没有明确地写这种依赖性来减轻符号的负担。FMS是三个市场的市场总量，即买方与卖方的比率。

为了检查我们计算的有效性，我们将多智能体模拟过程中的聚集物F的动力学与[7]中详述的同质种群动力学下聚集物的演化进行了比较，得出了良好的一致性，如图7所示。接下来我们来看看作用于引力差的有效噪声的协方差矩阵，∑（c）∑（c）∑（c）∑（c）∑（c）∑（c）∑（c）！（9） 0 50 100 150 200t0。981.001.021.041.061.081.10φ1多智能体模拟确定性动力学图7：多智能体模拟（r=0.01，每类10个智能体）期间第一个市场的总体时间序列（买家与卖家的比率）及其在同质种群动力学下的演化之间的比较。图中曲线图的参数（θ，θ，θ）=（0.2,0.5,0.8），β=1/0.3，p（1）B=1- p（2）B=0.8。由∑（c）给出(A（c），f，f，f）=Q（c）（f）- 2.A（c）P（c）（f）P（M=1）+Q（c）（f）- 2.A（c）P（c）（f）P（M=2）+A（c）（10）∑（c）(A（c），f，f，f）=Q（c）（f）- 2.A（c）P（c）（f）P（M=1）+Q（c）（f）- 2.A（c）P（c）（f）P（M=3）+A（c）（11）∑（c）(A（c），f，f，f）=A（c）P（M=3）P（c）（f）- P（M=1）P（c）（f）+ A（c）P（M=2）P（c）（f）- P（M=1）P（c）（f）+ P（M=1）Q（c）（f）+A（c）A（c）（12），其中Q（c）m（fm）是平均平方支付，见[7]。B Freidlin-Wentzell理论在本节中描述了我们用来研究代理人学习动态稳态下多模态吸引分布的大偏差方法。如[7]中更详细的解释，小r的稳态吸引分布将在单体动力学的稳定定点附近达到峰值。对于r，这些峰的形状变成高斯分布→ 0，其协方差矩阵与r成正比，很容易确定。更难找到的是峰的权重，因为它们涉及从一个峰过渡到另一个峰的试剂的罕见波动。

在一维中，这个问题是可处理的，因为可以给出吸引物稳态分布的显式公式[6]。在更高的维度中，详细平衡[30]会有类似的简化效果，但我们在二维吸引空间中的单代理动力学（针对每类代理）不具有这种性质。因此，在我们的方法中，我们将吸引力分布中的峰值权重视为各种峰值之间过渡的平衡结果。因此，我们需要找到这些转变的比率。为此，请注意Kramers-Moyal展开式中的单个agentlearning由噪声方差为O（r）的朗之万方程描述。对于r→ 因此，我们在低噪声限制下寻找过渡速率。这使得我们可以使用弗雷德林-温策尔理论，该理论处理的是朗之万动力学在这个极限下的大偏差[31]。Freidlin-Wentzell理论我们使用[32,33]中发展的Freidlin-Wentzell理论，该理论将EyringKramers[34]公式推广到非保守动力学的噪声激活转换速率。我们简要总结了我们在数值应用中使用的弗雷德林-温策尔理论的各个方面，并参考[31]以获得严格的数学描述，参考[32]以获得更面向统计物理学的总结。Freidlin-Wentzell理论关注两个稳定态（hereA？和A？）之间的跃迁速率；下面我们将 根据低噪声极限下非保守随机动力学的吸引差（简而言之）表示法。一般的朗之万方程可以写成˙A（t）=u（A（t））的形式+√r[∑（A（t））]1/2ξ（t）（13），其中ξ（t）是具有单位协方差矩阵的白噪声。Langevin方程中噪声的漂移μ和协方差矩阵∑在[7]中给出，用于我们的学习动力学。

在上述通用版本中，我们省略了上标（c），表示我们正在考虑的代理类别，以及漂移和噪声协方差对市场总量的依赖性。与Langevin dynamics关联的是任何路径A（t）的Onsager Machlup动作S[A]：S[A]=Ztt˙A（t）- u（A（t））T∑-1（A（t））˙A（t）- u（A（t））dt（14）该动作根据Γ1确定观察任何路径[A（t）]的概率→2.~ 经验(-S[A]/r）（15）其中~ 这意味着等式在一个前置因子（取决于所用的时间离散化）上是真的。我们需要的主要Freidlin-Wentzell结果是速率Γ1→2.从一家公司过渡到另一家公司？托亚？（前进路径）是[31,35]Γ1→2.~ 经验(-s1.→2/r）（16）S在哪里？1.→2.任何途径都能从一个目标中实现的最小行动是什么？去一家？在有限的时间间隔内（t，t）=(-∞, ∞). 比率为2→1从A到A的反向过渡？去一家？同样是Γ2→1.~ 经验(-s2.→1/r）。我们所追求的吸引力分布将由A？安达？。这两个峰的权重ω和ω，代表了一个试剂稀释每个峰的概率，必须使前向和后向转换平衡：ωΓ1→2= ωΓ2→1(17)ωω∝ 经验s1.→2.- s2.→1r（18） 这个表达式表明，当向前和向后的最小作用不相等时，两个峰值中的一个将具有指数级的小权重r→ 0.在实践中，当（17）中的指数内的作用差与r相比较大时，这是正确的。如果它的阶数ror较小，那么我们就不能说任何关于权重的事情，因为我们不确定（17）中的前置因子，尽管我们认为它们是阶数统一的。按照Bunin等人的方法，数值求解最小作用路径。

[35]我们通过对路径[A（t）]进行离散化，将动作作为该离散化路径的函数进行评估，然后对（离散化）路径进行最小化，从而找到最小动作。将路径离散为t=0和t=10之间的10个等距时间步；我们发现，在结果的精确性和最小化离散化操作的复杂性之间，这种参数选择是一种合理的权衡。还有其他方法可用于确定公式（14）中定义的作用的最小值，例如求解汉密尔顿-雅可比方程[32]，但我们选择使用路径离散化方法，因为我们发现这对于模型参数的变化更为稳健。离散方法也可以进一步改进，例如使用几何最小作用法[26]，但我们发现这不是达到所需精度的必要条件。我们对此进行了测试，例如，通过对M=2[6]的封闭式结果进行基准测试。通过将注意力限制在路径的激活部分，可以简化数值路径优化。一般来说，对于具有两个稳定固定点的系统a？还有一个？它们之间有一个鞍点A，从A开始的最佳路径？将通过鞍点A，然后放松到A？根据弛豫动力学˙A（t）=uu（A（t）），等式（14）表明，当被积函数（拉格朗日函数）沿路径的这一部分完全消失时，弛豫动力学对总作用没有贡献。因此，在一个？还有一个？可以简化为在两个？和A，即从初始固定点到鞍座。

这一限制显著提高了数值路径优化的精度。通过上述方法，我们可以计算出单代理动态的任意两个固定点之间的行为差异，作为市场总量的函数。当两个单一代理固定点之间的行为差异消失时，这些聚集值确定了我们学习的稳态吸引分布可能有多个峰值的点。在这些值的任何一侧，吸引力分布中都有一个单峰占主导地位；在市场总量的零行动差异值下，这是一个不连续变化的峰值。