多个市场中交易者偏好的碎片化：市场

对于θ介于0.48和0.5之间的情况，我们的数值计算表明可能存在强烈的碎片，但鉴于所需动作最小化的数值精度限制，无法得出明确结论。为了在以下分析中区分不同类型的稳定状态——新兴忠诚群体的数量、他们的市场偏好和规模，我们现在引入一个三角形符号，如图2所示，并在（θ，1/β）相图中使用。每个三角形角代表三个市场中的一个市场的偏好，而完整和空圆圈代表不同市场的M1 M2M3偏好：大峰值位置小峰值位置图3：交易员在学习在三个市场之间进行选择时偏好稳态分布的峰值结构，其中两个市场具有对称的市场偏差θ=1- θ，其中一个是公平的。顶部的三个插图显示了类别2（p（2）B=0.2）、θ=0.3和不同β的固定点结构，如相图中的灰点所示。相图中的全圈对应于稳定的（大峰值），空圈对应于亚稳定的固定点（小峰值），颜色（黑色=1级，红色=2级）在试剂类别之间不同。θ=0.5处的灰色带显示了θ=0.5情况下的吸引力分布类型，即当三个市场公平时；该区域吸引力分布峰值结构的示例如图2所示。大/小峰；不同的颜色表示不同的交易者类别。这个符号让我们很快意识到，一些市场是否失去了竞争，哪些市场占主导地位，哪些市场可能只吸引单一类别的交易者。此外，我们使用星号表示没有特定市场偏好的吸引分布峰值。

这仅适用于有三个公平市场的场景，如图4中相图的右带所示。右侧显示的三角形表示对应于带有固定点的流动图。2.在图3中，我们可以看到，对于β和θ<0.5的任何值，大多数贸易商都会倾向于在公平市场（第二大市场）进行交易，因此该市场将垄断其他市场→ 0限制。当代理具有有限记忆时，当β大于弱碎片阈值时，所有三个市场共存，但市场二仍然吸引了大多数交易。有趣的是，在具有中间β的相图区域（见插图（b）），所有三个市场共存，但市场一和市场三仅由一个类别访问，尽管这样的交易机会较低。总之，图3所示的结果告诉我们，除了三个市场都是公平的特殊情况外，当一个公平的市场与两个对称偏颇的市场竞争时，不会发生强烈的分裂。因此，我们接下来进行的是一个更加不对称的运动。5.2两个对称市场和一个有偏市场我们继续探索市场偏差的空间，考虑两个有固定市场偏差θ=0.3和θ=0.7的对称市场；这是我们在之前的工作中主要研究的市场设置。在没有第三个市场的情况下，当两类交易者在两个对称市场之间进行适应性选择时，发现βc=1/0.28[8]以上的弱碎片和强碎片。在这里，我们加入了第三个市场，改变了它的偏好，如图4所示，这导致了一系列不同的稳态吸引分布。我们首先注意到，出现了强烈的碎片化现象，并且在相当广泛的市场偏差范围内出现了这种现象（图4中的灰色区域）。

这个范围不包括上面研究的情况，其中market2是公平的：只有θ6才会出现强烈的碎片化∈ [0.45,0.55]，即当第二个市场出现严重偏差时。对于θ<0.45（分别θ>0.55），来自第一（分别第二）类的交易员在两个市场上强烈分裂，使每一类的平均每笔交易收益最大化。例如，在θ=0.4的情况下，买家（类别1中的交易员，p（1）B=0.8）会更喜欢在市场1和2上交易，而卖家则不会分裂。我们不探索低于第一个强破碎阈值的相图，因为这需要在交易者吸引力分布中存在两个（或更多）强破碎峰的情况下，对多个聚集体的自洽条件进行数值求解。这在数字上非常具有挑战性，因此我们将其留给未来的工作。然而，通过在θ范围内外推第二个市场接近公平的弱破碎区，可以得到低于该阈值的相图形状的信息。我们在图4中以图形方式展示了相图不同区域内稳态吸引分布的类型。这些预测是使用单剂流程图获得的，如图所示。2和3。我们在图5中展示了与随机多智能体模拟的示例性比较，并发现了极好的定性一致性。大多数人购买的代理类别（类别1，左面板）分为两个子群体，主要分别在市场1和市场2交易，因为θ，θ<0.5，所以他们将利润最大化。

在主要销售的这一类中，代理商更喜欢市场2，因为这两个由买家组成的市场偏见较小。我们推测，正是两个有利于买家的市场所施加的不对称，导致了围绕有利于买家的市场的整合，而卖家没有开发出有利于他们的市场吸引力。在描述了发生强碎裂的θ值范围后，weinspect更接近于仅发生弱碎裂的参数范围（见图4）。为此，我们研究了当β增加时，两类交易者的吸引力分布在固定θ=0.47时是如何演化的。对于与代理人吸引力相关的足够小的β值，强碎片强碎片图4：在市场θ=1之间选择的人群吸引力分布类型- θ=0.3，变化θ。灰色区域表示参数空间中的区域，其中至少一类代理的吸引力分布有两个较大的峰值，即出现强烈碎片化的区域。请注意，在每个未细分和高度细分的区域（市场1和市场3中出现大型忠诚群体）之间，总是有一个弱细分的区域（同一忠诚群体，即分布中的峰值，很小），但这些区域最窄，难以看到。中间的灰线对应于图3中的虚线。他们基本上会随机化他们的市场选择，对最接近公平的市场有微弱的偏好，市场2。这种偏好随着β的增加而增加，因此来自两个类别的交易者在市场2有效地协调，在利润和交易量之间提供良好的交易效果。随着β的进一步增长，吸引力分布中会出现额外的小峰值，而大多数贸易商仍处于更公平的市场中。

特别是，在β=1/0.246时，1类出现了对应于策略“在利润最大化市场交易”（市场1，θ=0.3）的峰值。然后，β=1/0.228，对应于“在利润最大化市场交易”（θ=0.7的市场三）策略的峰值出现在第二类代理的吸引力分布中。在一级和二级市场的公平市场和利润最大化市场之间连续两次出现弱碎片化后，与“交易量最大化市场”策略相对应的吸引分布的进一步峰值依次出现在二级市场的β=1/0.207和一级市场的β=1/0.198。我们的相图表明，第二市场的公平性削弱了碎片化。我们-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4-0.4-0.20.00.20.4100101-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6-0.4-0.20.00.20.40.610101图5：在有市场偏差（θ，θ，θ）=（0.3,0.35,0.7）的三个市场之间进行选择的交易员的吸引力差异分布。人口由两类N/2=10的交易者组成，他们有对称的买卖偏好p（1）B=1- p（2）B=0.8，反向记忆长度r=0.01，选择强度β=1/0.21。正如图4中的相图所预测的那样，我们看到第一类的吸引力分布是非常分散的（图（a）），而第二类的吸引力分布是不分散的（图（b））。然而，不能排除，即使θ接近0.5，对于比图4相图中研究的更大的β（低于1/β），也可能发生强烈碎裂。有趣的是，第三个市场的加入导致贸易从一个对称市场转移到图4中整个强分裂区域。只有当增加的市场接近公平时，这两个对称的市场才能继续共存，尽管两个市场都只接受一小部分交易。

事实上，市场2在整个图4中占有最大的市场份额。我们可以将上述结果背后的直觉总结如下。随着选择强度的增加，每一类代理人首先会在接近公平的市场（市场2）和为他们实现利润最大化的市场之间弱分化，然后在所有三个市场之间弱分化。另一方面，如果第二个市场不公平，该市场更有利的类别将在两个利润最大化的市场之间强烈分裂，而另一个类别将只在最接近公平的市场进行交易。本小节的结果表明，一旦交易者拥有一个合理的公平市场，他们就不会分裂，而是更愿意与公平市场进行交易；当他们没有公平的市场时，他们总是更喜欢利润最大化的市场，并且只会作为最后手段访问交易量最大化的市场（利润较低，但通常交易较多）。5.3不对称的市场第5.1和5.2小节中的两个例子导致了这样一种猜测，即存在一个公平或接近公平的市场——它在个体交易的利益和交易量之间提供了良好的交易效果——可以抑制碎片化。为了证实这一推测，我们考虑了三个市场，第一个市场偏向买家（θ=0.3），第二个市场公平（θ=0.5）；第三市场的偏差是我们将改变的参数。正如我们在前面小节中所做的那样，我们将绘制两类代理人的吸引分布类型的相图，作为选择强度β和第三市场θ偏差的函数∈ [0, 1]. 图6中的结果表明，在所研究的参数范围内，如果存在碎片，则其强度较弱，因此两个交易者类别的吸引力分布在r中总是单峰的→ 0限制。

（外推到比图6所示更低的1/β表明，在选择更大的强度时，这种情况不会改变。）只有一个峰的权重为一级，根据β和θ的值，稳态要么是未破碎的，要么是弱破碎的，有一个或两个小峰在r中消失→ 0限制。图6：当θ=0.3，θ=0.5，p（1）B=1时，不同吸引力分布的峰值结构- p（2）B=0.8。实线/虚线显示了微弱的碎片化转变，其中出现了有利于市场1或3的亚群体（线颜色表示发生转变的代理类别）。有人指出，一旦选择的强度增加到图6中全黑线所示的某个阈值以上，第一类代理人的吸引力分布中就会出现一个与“在市场1交易”策略相对应的弱峰值，其吸引力由黑圈标记；回想一下，market 1为买家提供了更高的回报，他们在一级代理商中更为频繁。当β超过第二个碎片阈值（图6中的红线）时，第二类主体的吸引力分布中出现了相同类型的弱峰（如前所示，用红色空圈表示）。上述两条销售线接近水平线的事实反映了这样一个事实，即由于几乎所有人都在公平市场上交易，第三市场的偏差不会显著影响交易者的偏好。这就是为什么第一类（和第二类）交易者在第一和第二市场之间的选择强度几乎与第三市场的偏好无关。与“市场交易3”策略对应的峰值出现阈值则不同，图中的倾斜虚线表示了这一点。

6.与之前讨论的结果一致，公平市场的存在抑制了强碎片化，在图6所示的参数范围内，我们只注意到弱碎片化。这意味着，在调查的参数范围内，公平市场吸引了大多数交易者。我们还注意到，当第三市场非常偏袒且选择的强度不够大时，它就会失去竞争（请注意，第三市场要么不吸引任何人，要么只吸引一个阶层的地区）。然而，有趣的是，对于足够大的选择强度β，所有三个市场都独立于第三个市场偏差而共存。6市场总体数量MSo到目前为止，我们已经讨论了三个市场结构中的各种分散情况。我们发现，在选择强度β的某个临界值以上，人口对市场仍然没有决定权的解永远不会稳定，至少会形成一个市场忠诚群体。现在一个明显的问题是，在M市场的一般情况下，我们是否可以对不同的代理群体的数量说些什么。在没有市场或代理对称的最一般情况下，对总体适应性的理论描述需要计算订单参数（每个市场一个）和代理吸引力的稳态分布的自洽过程。

在更高的维度上，这是一项不平凡的任务，但解决方案的普遍存在可以在一个简单的计算论证中合理化。在下文中，我们假设，对于所有M，存在一个碎片阈值βsabove，动力学的福克-普朗克表示中的漂移有多个零。然而，即使是在这种情况下，也不清楚所有代理类别是否会对每个市场（以及相应的吸引力分布峰值）发展忠诚群体，峰值是小还是大；在后一种情况下，碎片通过r中的定义持续存在→ 0限制。为了解决这个问题，我们考虑了一个代理类，它在Mmarkets之间非常分散，因此在极限r→ 其吸引力分布由M个δ峰组成，其权重为一级单位。我们可以通过定位漂移的零点来确定峰值位置，但如果没有福克-普朗克解，我们就无法获得峰值权重，弗赖德林-温策尔方法变得很困难。因此，我们询问，对于C代理类和M市场，通常可以存在多少非零峰值权重。如前所述，我们假设稳态分布的一般形状：P（c）（A）=MXm=1ω（c）mδ（A）- A（c）m）。每个代理类都由峰值权重ω（c）来描述，ω（c）m满足规范化条件pmm=1ω（c）m=1，因此在没有任何对称性的情况下，我们有m- 1类自由变量。另一方面，对于每个市场，我们定义了一个订单参数fm，因此我们需要求解方程组来找到一个强分段的解决方案：fm（ω（1），ω（1），ω（1）M，ω（C）M）=fm，这里fm表示峰值权重和市场订单参数之间的关系；等式5中明确列出了C=2和M=3的一个例子。

在没有对称性的情况下，当所有的方程和变量都是独立的，这个系统由M方程和C（M）组成- 1） 只有当方程的个数等于变量的个数时，变量才有唯一的解，即M=C（M- 1). 只有当市场和类别C的数量都等于2（C，M）=（2，2）时，该方程才具有整数解对。例如，到目前为止研究的C=2代理类的总体需要2（M- 1） M个市场的强分散权重，以及变量数量2（M- 1） 方程的数量M给出了M=2个市场，这是[6]中研究的情况。由于我们已经看到，只有在有两个市场和两个代理类的系统中（没有对称性），所有代理类都会为所有市场开发单独的忠诚群，所以完全分裂才能发生，接下来我们放松了对忠诚群数量的假设。让我们假设有M个市场和两个代理类，每一个都分成η（c）子组（即只有η（c）非零峰值权重），当η（1）+η（2）时，这些权重的方程组有唯一的解- 2=M。这表明，如果一个阶层分成M个忠诚群体，那么第二个阶层只会在两个市场上分裂；满足η（1）+η（2）=M+2区域的其他组合也是可能的。对于一般数量的代理人类别，类似的约束条件为η（1）+η（2）+···+η（C）=M+C（6）。例如，如果一个类别向所有M个市场发展忠诚群体，另一个类别向所有M个市场发展忠诚群体- 1类总共可以有C个这样的亚群，相当于一个双峰和C- 2单峰稳态分布。更一般地说，如果我们将每个忠诚群体与其偏好市场相关联，那么（6）表明人口阶层不可能发展出不相交的偏好市场集，因为这需要η（1）+η（2）+···+η（C）≤ M.E.g。