几种处理的双向固定效应回归

假设3要求不同组的潜在结果和治疗是独立的，但它允许这些变量随着时间的推移在每个组内相互关联。这是DID分析中常见的假设，其中标准误差通常在集团层面上进行分类（见Bertrand、Du Flo和Mullainathan，2004）。为了更好地理解消费4，让我们陈述两个条件，这两个条件加在一起，对它来说是足够的，并且很容易解释：1。E（Yg，t（0）- Yg，t-1（0）| Dg，1。。。，Dg，T=E（Yg，T（0）- Yg，t-1(0)).2. T≥ 2，E（Yg，t（0）- Yg，t-1（0））在g中没有变化。点1与面板数据模型中的强外生性条件有关。它要求影响g组从未接受过治疗的结果的电击与g组的治疗无关。例如，这就排除了一个群体因为经历了负性休克而接受治疗的情况，即所谓的阿申费尔特低谷（见阿申费尔特，1978）。第2点要求，在每个组中，对从未接受治疗的结果的预期随着时间的推移遵循相同的演变。它是DID模型中标准共同趋势假设的推广（见Abadie，2005）。我们现在定义引言中描述的FE回归。在整篇论文中，我们假设处理Dkg、tin回归1与这些回归中的其他独立变量sobβf eis不共线。回归1（使用K治疗的固定效应回归）假设βfe=Ehbβfei，其中Bβfei是Dg的系数，是Yi，g，ton组固定效应的回归，周期固定效应，向量Dg，t。设D为向量（Dg，t）（g，t）∈{1，…，G}×{1，…，T}收集所有（G，T）细胞中的所有处理。letDg=（D1，g，…，DT，g）是收集g组中所有处理的向量。N=Pi，g，tDi，g，tdenote是接受第一次处理的单元数。

让D-1g，t=（Dg，t，…，DKg，t）表示将细胞（g，t）的处理叠加在一起，不包括处理1。设εg，tdenote为Dg，ton组和周期固定效应和D回归中细胞（g，t）中的剩余观察值-1g，t:Dg，t=bα+bγg+bνt+（D-1g，t）′bζ+εg，t.（1）可以证明，如果回归1中的回归器不共线，则εg，t的平均值与所有处理（g，t）细胞的平均值相差0:P（g，t）：Dg，t=1（Ng，t/N）εg，t6=0。然后我们让wg，tdenoteεg，t除以平均值：wg，t=εg，tP（g，t）：Dg，t=1（Ng，t/N）εg，t.3分解结果3。1两种治疗变量对于暴露性紫癜，我们首先考虑两种治疗。这不包括TWFE回归包括两种治疗及其相互作用的情况，但我们在下一小节中的结果将涵盖这种情况，我们在回归中考虑三种（或更多）治疗，其中一种可能是两种治疗的相互作用。对于任何（g，t）∈{1，…，G}×{1，…，T}，对于任何（d，d）∈ {0，1}，让我们d、 dg，t=Ng，tNg，tXi=1[Yi，g，t（d，d）- Yi，g，t（0，0）]表示将第一次处理从0移动到0，并将第二次处理从0移动到d的平均效果，在细胞（g，t）中g、 t（Dg，t）=Ng，tNg，tXi=1hYi，g，t（1，Dg，t）- Yi，g，t（0，Dg，t）注意在细胞（g，t）中，将第一个处理f从0移动到1，同时将第二个处理保持在其观察值的平均效果。定理1假设假设作为假设1-4成立且K=2。那么，βfe=EX（g，t）：Dg，t=1Ng，tNwg，tg、 t（Dg，t）+X（g，t）：Dg，t=1Ng，tNwg，t0,1g，t.此外，P（g，t）：Dg，t=1Ng，tNwg，t=1和P（g，t）：Dg，t=1Ng，tNwg，t=0。定理1表明Dg的系数等于两项之和。第一项是将Dg，t从0移动到1，同时将Dg，t保持在其观测值，在所有（g，t）范围内，使Dg，t=1的平均影响的加权和，加权和为1。

第二项是将Dg，t从0移动到1，同时在所有（g，t）上保持Dg，tat 0，使Dg，t=1，且权重总和为0的影响的加权和。如果第二次处理的效果是恒定的，这意味着存在一个实数δ，对于所有（g，t），0,1g，t=δ，第二项消失。然后，定理1与de Chaisemartin和D\'Haultfoeuille（2020）的网络附录中的定理S4等价，其中Dg，t在双向固定效应回归中扮演控制变量的角色。定理1表明，除了对异质性治疗效果不敏感外，β-女性还可能受到二次治疗对结果的影响。另一方面，如果第一次和第二次治疗的效果都是恒定的(g、 t（Dg，t）=δ和0,1g，对于某些实数δ和δ，t=δ），t henbβfeis对于δ是无偏的。重要的是，下面的定理1和定理2可以很容易地推广到非二元处理的情况。然后是因果关系g、 t（Dg，t）和0,1g，tjust需要用潜在结果函数的斜率来代替，如de Chaisemartin and D\'Haultfoeuille（2020）的网络附录第3.2节所述。污染偏差出现在定理1中，因为Bβfemay利用了Borusyak和Jaravel（2017）创造的术语“禁止比较”。在这里，f-orbidden比较是指将开始接受第一次和第二次治疗的组的结果演变与仅开始接受第二次治疗的组的结果演变进行比较的差异（DID）。例如，假设有四个组和两个时间段。在第1阶段，没有任何组接受治疗，在第2阶段，第2组和第4组接受第一次治疗，而第3组和第4组接受第二次治疗。

然后，利用两个周期的差异相当于第一个差异回归的事实，以及两个处理的第一个差异是正交的事实，很容易证明bβfe=（Y2,2）- Y2,1- （Y1,2）- Y1,1）+（Y4,2- Y4,1- （Y3,2）- Y3,1）。前一个显示中的第一个DID将在第2阶段开始接受第一次治疗的组与未接受任何治疗的组进行比较。在未治疗结果Yg，t（0，0）的平行趋势假设下，这确实确定了第2组第2阶段第一次治疗的效果。另一方面，第二个DID将在第2阶段开始接受第一次和第二次治疗的组与只开始接受第二次治疗的组进行比较。在对未经治疗的结果Yg，t（0，0）进行平行趋势假设的情况下，第二个结果确定了三项的总和。第一个是E（Y4,2（0,1）- Y4,2（0,0）），第2阶段第4组接受第二次治疗与不接受任何治疗的效果。第二个是E（Y4,2（1,1）-Y4,2（0,1）），与第4组在第2周仅接受第二次治疗相比，接受第一次和第二次治疗的效果。最后一项是负E（Y3,2（0,1）- Y3,2（0,0）），第2阶段第3组接受第二次治疗的效果，而不是其他治疗。因此，在第2个周期的第4组和第3组中，bβFEI受到第二次治疗与不治疗的影响。重要的是，定理1并不一定排除过去治疗对结果的动态影响。例如，回归中的两种处理可能是当前处理及其第一个滞后。在这种情况下，我们的潜在结果符号允许当前和滞后的治疗影响结果。下面的定理2通过考虑带有K处理的TWFE回归，推广了定理1。

因此，它适用于总体结果取决于K的情况- 1袋的治疗。从这个意义上说，定理1和2补充了孙和亚伯拉罕（2021）的开创性工作。作者研究了所谓的事件研究回归，这是一个带有几个治疗的TWFE回归的例子，通常用于交错采用设计，其中回归中的治疗变量是开始接受单一二元和交错治疗的指标l 几年前。在这些回归中，作者们表明，接受治疗的影响l′周期可能会污染本应用于测量时间效应的系数l 回归中的处理周期，它们提供了一个分解公式，可以用来量化现象的范围。如果i）回归1中的K tr处理是开始接受单一二元和交错处理的指标l 几年前，ii）在Sun和Abraham（2021）考虑的事件研究回归中，没有收集到滞后，以及iii）在K+1暴露期后，治疗不再有效果，那么我们的定理2在Sun和Abraham（2021）中简化为命题3。尽管它们在上述条件i）-iii）下是一致的，但定理1和定理2及其结果是非嵌套的。我们的结果适用于回归中的治疗变量是不同的、非必要的互斥策略的情况，这些策略可能不是二进制的，也可能不遵循交错采用设计。另一方面，他们的结果也适用于一些治疗变量可能集中在一起或从回归中忽略的情况。

它们还可以在不施加共同趋势的情况下进行分解。如果处理对研究者指定的滞后数量有动态影响，则回归不包括其应有的所有解释变量。定理1和定理2没有考虑这种误判的后果。此外，我们的目标是强调即使在正确指定TWFE回归时也可能出现的问题。在分解过程中，Sun和Abraham（20 21）将在同一时期开始接受治疗的群体聚集到一个队列中。它们的分解可以进一步分解，从而最终得到定理2的结果。定理1也与赫尔（2018）的开创性工作有关。在他的第2.2节中，作者研究了TWFE回归，其中多项式处理可能采用的每个值的指标都包含在回归中，这是一个包含多个处理的TWFE回归的例子。据我们所知，其中的方程式（15）是首次出现污染现象。然而，本文没有讨论这一现象。它也没有给出像定理1那样的合成公式，因此不能使用pap er的结果来计算包含权重，并评估它们在给定的回归中是否重要。最后，当数据有两个周期时，本文的结果适用，并且在一些情况下，回归中的处理是多项式处理可能采用的每个值的指标。

因此，本文不包含两个以上的时间段和非排他性处理。另一篇相关论文发表在我们之后，是Goldsmith Pinkham、Hull和Kolesár（2021年），该论文表明，与Sun和Abraham（2021年）以及定理1中的污染现象类似的污染现象也出现在线性回归中，包括几种处理方法，以及一组控制方法，因此可以假设处理方法独立于这些控制方法的潜在结果。同样地，他们的结果并不是嵌套在一起的，也没有嵌套太阳和亚伯拉罕（2021年）或我们的结果：太阳和亚伯拉罕（2021年）和我们都假设了平行的趋势，而不是有条件的独立。有趣的是，在他们的条件独立性假设下，Dg影响的权重都是正的。因此，他们的结果表明，在没有德蔡斯马丁（de Chaisemartin）和德豪尔（D’Haultfoeuille，2020）在TWFE回归中提出的负权重现象的情况下，也可能出现连续现象。总的来说，我们的论文相互补充，并表明污染现象非常普遍，因为它是在几个确定的假设（平行趋势和条件依赖性）下产生的，并且与回归中包括的治疗的性质无关。定理1对估计异质处理效果的TWFE回归具有重要意义。通常情况下，研究人员使用治疗变量Dg、组水平二元变量Ig和（1）进行TWFE回归- Ig）。例如，为了研究贫困县和富裕县的治疗效果是否不同，可以将治疗与收入中位数以上县的指标以及收入中位数以下县的指标进行交互。定理1也适用于这些回归。

具体来说，一个人有βI=1fe=EX（g，t）：Dg，t=1，Ig=1Ng，tNwg，tg、 t+X（g，t）：Dg，t=1，Ig=0Ng，tNwg，tg、 t.式中，βI=1表示Dg、t×Ig和g、 t=Ng，tPNg，ti=1[Yi，g，t（1）- Yi，g，t（0）]。之前的显示表明，在（g，t）细胞中受治疗效应污染的Dg，t×Igis的系数为Ig=0。在本例中，与ich县指标相互作用的治疗效率受到贫困县治疗效果的影响。这就叫如果固定时间的影响与原污染相互作用，这种污染现象就会消失。质疑使用这种TWFE回归来估计异质效应。定理1表明，多个处理的TWFE回归可能会受到污染现象的影响，而污染现象不会影响一个处理的TWFE回归。然而，与仅使用一种处理的TWFE回归相比，使用几种处理的TWFE回归往往具有更多的负权重和更大的负权重之和绝对值。因此，几种处理的TWFE回归对异质性效应的鲁棒性可能较低。我们从以下简单的设计中正式展示这一点开始。假设5（两种治疗的标准）适用于所有（g，t）∈ {1，…，G}×{1，…，T}和k∈ {1,2}，Dkg，t=1{g≥ Gk}1{t≥ Tk}对于某些1<G<G≤ G和1<T<T≤ T假设5对应于标准的DID设置，有两种治疗方法：一些组在T日开始接受第一次治疗，这些组的一个子集随后在T日开始接受第二次治疗。当第二次治疗是第一次治疗的强化时，这些条件通常得到满足。注意，治疗时间没有变化：所有治疗组开始接受第一次（分别为。

第二）在同一日期进行治疗。在这一设置中，我们将TWFE回归与上述两种处理进行比较，将TWFE回归与第一种处理进行比较。具体而言，我们考虑在t之前的所有时期估计的Yi，g，ton组固定效应、周期固定效应和Dg，t的回归。我们让βFede注意到对Dg，t回归系数的预期。我们还让n′=Pg，t:t<t，Dg，t=1Ng，t表示在t期之前接受第一次治疗的单位数量。推论1假设假设假设1-5hold，K=2，对于所有t≥ 2，Ng，t/Ng，t-1在g中没有变化。那么，βfe=EX（g，t）：t<t，Dg，t=1Ng，tN′g、 t（0）,βfe=EX（g，t）：Dg，t=1Ng，tNwg，tg、 t（Dg，t）.如果Pg，tNg，tDg，t>Pg，tNg，t1{g<g}1{t<t}，则所有（g，t）满足g∈ {G，…，G- 1} 和t∈ {T，…，T- 1}.第一个结果表明，β代表了从周期1到周期T的平均治疗效果- 1.另一方面，第二个结果表明，一旦我们在回归中包括后续周期和第二次处理，Dg的效率，tmay现在可以确定Dg作用的加权和，t穿过处理过的（g，t）细胞，具有一些负权重。条件Pg、tNg、tDg、t>Pg、tNg、t1{g<g}1{t<t}要求在第二次治疗开始之前（t<t），接受第二次治疗的单位比“对照组”（g<g）中的单位多。有趣的是，定理1中的污染项在假设5下消失：将第二个处理添加到回归中会产生一些负权重，但不会导致污染偏差。除了假设5中考虑的简单设计外，多次处理的TWFE回归通常比仅进行一次处理的TWFE回归具有更多和更大的负权重。至少，我们在第5节重新讨论的应用程序就是这样，假设5失败了。

在该应用中，与仅使用一种处理的TWFE回归相比，使用几种处理的TWFE回归具有更大的负权重。3.2两个以上的治疗变量我们现在回到K可能大于2的一般情况。我们让0-1=（0，…，0）是K的向量- 1零。我们还定义了g、 t（D）-1g，t=Ng，tNg，tXi=1hYi，g，t（1，D）-1g，t）- Yi，g，t（0，D）-1g，t）i，-1g，t=Ng，tNg，tXi=1hYi，g，t（0，D-1g，t）- Yi，g，t（0,0-1） 下面的定理2推广了定理1。定理2假设假设1-4的假设成立。那么，βfe=EX（g，t）：Dg，t=1Ng，tNwg，tg、 t（D）-1g，t）+X（g，t）：D-1g，t6=0-1Ng，tNwg，t-1g，t.此外，P（g，t）：Dg，t=1Ng，tNwg，t=1，如果K=2或处理Dg，t。。。，DKg，皮重互斥，P（g，t）：D-1g，t6=0-1Ng，tNwg，t=0。定理2与定理1相似，只是当K>2时，我们并不总是有x（g，t）：D-1g，t6=0-1Ng，tNwg，t=0。其他处理效果的权重总和可能不等于0。因此，即使所有治疗的效果都是恒定的，bβ女性仍可能对第一次治疗的效果产生偏见。有三种特殊情况下，其他治疗效果的权重总和为0。第一个是当K=2时，如定理1所示。第二个是当治疗SDG，t。。。，DKg，皮重互斥，a s，如定理2所述。第三种是当处理Dg，t，…，之间没有互补性或可替代性时。。。，DKg，t。具体地说，假设对于所有（g，t），存在（δkg，t）k=2，。。。，太好了-1g，t | Di=KXk=2Dkg，tδkg，t.（2）然后，我们有以下分解：推论2假设假设假设1-4和（2）hold。