几种处理的双向固定效应回归

n，βfe=eX（g，t）：Dg，t=1Ng，tNwg，tg、 t（D）-1g，t）+KXk=2X（g，t）：Dkg，t=1Ng，tNwg，tδkg，t.此外，每k的P（g，t）：Dg，t=1Ng，tNwg，t=1，和P（g，t）：Dkg，t=1Ng，tNwg，t=0∈ {2，…，K}。因此，只有当治疗不是相互排斥的，并且可能是互补的或可替代的时，即使在恒定的治疗效果下，Bβ也会产生偏差。这是因为在这种情况下，回归1是错误的，应该包括处理s的影响。推论2中的权重可以使用双向权重Statacommand计算。在特殊情况下，K=3，回归中的三个处理变量是两个处理及其相互作用，我们有-1g，t=0,1g，t：当第一次处理等于0时，asin-1g，t，两种处理的相互作用必须等于0。因此，β-费恩定理2的分解涉及与定理1中没有交互项的回归中第一次处理的系数分解相同的因果效应。另一方面，重量不同。在定理1中的分解中，它们涉及Dg，ton Dg，t的TWFE回归的残差，而在定理2中的分解中，它们涉及Dg，ton Dg，tand Dg，tDg，t的TWFE回归的残差。在只有两个时间段的特殊情况下，如果组在第一个时间段没有接受任何两种处理，则可以证明Dg的系数，t与相互作用的回归估计了第一次治疗效果的加权平均值，并且不受第二次治疗效果的影响。另一方面，在没有相互作用的回归中，Dg系数验证了第一次治疗效果的加权平均值加上第二次治疗效果的加权和（非零权重）。

在这种特殊情况下，使用相互作用项的回归更可取，因为它会使污染问题消失。然而，这一结果并不能转化为具有两个以上时间段的更一般的设计，群体可以在每个时间段接受治疗。很容易找到将相互作用添加到回归中实际增加污染权重的例子。例如，我们在下面考虑的应用中就是这种情况：在没有控制变量的回归中，使用两种主要的治疗方法（日托中心主任所需的最小助产士比率和最小受教育年限），加上两种治疗方法之间的相互作用，实际上会增加污染权重的绝对值。4控制其他治疗的治疗效果的替代估计器4。1当治疗没有动态效应时的替代估计器我们首先引入=（（g，t）：t≥ 2，Dg，t6=Dg，t-1，D-1g，t=D-1g，t-1.g′：Dg′，t=Dg′，t-1=Dg，t-1，D-1g′，t=D-1g′，t-1=D-1g，t-1） NS=P（g，t）∈SNg，t.S是一组细胞（g，t），其第一次处理在t- 1和t，而他们的其他治疗没有改变，因此，这是另一组g\'的治疗在t之间没有改变- 1和t，并采用与t中g相同的处理- 1.

那么，让δS=ENSX（g，t）∈SNg，tXi=1hYi，g，t（1，D-1g，t）- Yi，g，t（0，D）-1g，t）i表示将第一个处理从0移动到1，同时将所有其他处理保持在其观察值的平均效果，以S为单位。人们可能有兴趣估计其他平均处理效果，例如同时移动多个处理的效果。这样的参数可以通过类似于我们估计δS的方法来估计。我们现在证明δ扫描可以通过DID估计量的加权平均来无偏估计。这个结果在以下条件下成立。假设6（强起源和共同趋势，v2）适用于所有（g，t）∈ {1，…，G}×{2，…，T}和d=（d，d）-1.dT，d-1T）使-1t=d-1t-1，我们有ehyg，t（dt-1，d-1t-1) - Yg，t-1（dt）-1，d-1t-1） | Dg=di=EhYg，t（dt-1，d-1t-1) - Yg，t-1（dt）-1，d-1t-1） | Dg，t-1=dt-1，D-1g，t-1=d-1t-1i。此外，这些条件预期不依赖于g。假设6既施加了强外生性条件，也施加了平行趋势条件。强外生性条件要求群体- 1-t结果演变，在反事实中，他们的所有治疗都处于t- 1周期t的值，是除t以外的每个周期的平均值，不受其处理的影响- 1.平行趋势假设要求具有相同周期的组-t- 1治疗具有相同的反事实趋势。注意，当NS=0时，我们简单地让括号内的术语等于0。假设6并不限制治疗效果的异质性。它也不意味着治疗效果的平行趋势，因为对于给定的Dgit值，它只对一个潜在结果施加平行趋势。下面我们将假设6与更标准的假设4进行比较。我们现在可以确定我们的估计器。

尽管如此，t∈ {2，…，T}，为所有人（d，d′）∈ {0,1}和所有-1.∈ {0,1}K-1，letGd，d′，d-1，t=ng:Dg，t=d，Dg，t-1=d′，d-1g，t=D-1g，t-1=d-1o。然后我们让Nd，d′，d-1，t=Pg∈Gd，d′，d-1，tNg，tdenote治疗1在t期与d\'相当的观察次数- 1和d a t周期t，其他处理等于d-在bo thdates。设alsoDID+，d-1，t=Xg∈G1,0,d-1，tNg，tN1，0，d-1，t（Yg，t- Yg，t-1) -Xg∈G0,0，d-1，tNg，tN0，0，d-1，t（Yg，t- Yg，t-1） 是吗-,D-1，t=Xg∈G1，1，d-1，tNg，tN1，1，d-1，t（Yg，t- Yg，t-1) -Xg∈G0,1，d-1，tNg，tN0，1，d-1，t（Yg，t- Yg，t-1) .注意，DID+，d-1，当N1,0,d-1，t=0或N0，0，d-1，t=0。在这种情况下，我们使用+d-1，t=0。同样地，我们也让他们这么做了-,D-当N1,1,d时，t=0-1，t=0或N0，1，d-1，t=0。d+，d-1、t比较t- 第一次治疗从0到1的组的1-to-outcome演变- 1至t，而其他处理相当于d-1在出生日期，至第一次和其他治疗分别等于0和d的组的结果评估-其他日期。在假设6下，后一种演变是第一组在T期的第一次治疗保持等于0时所经历的结果演变的有效反事实。做-,D-这是一个类似的解释。最后，Letdim=TXt=2Xd-1.∈{0,1}K-1.N1，0，d-1，tNSDID+，d-1，t+N0，1，d-1、tNSDID-,D-1，t（3） 如果NS>0，如果NS=0，则DIDM=0。定理3如果假设1-3和6成立，则E[DIDM]=δS.didme将de Chaisemartin和D\'Haultfoeuille（2020）中的DIDMestimator扩展到具有多个处理的设置。相对于我们前一篇论文中的估计器，本文中的估计器没有估计（g，t）细胞中第一次处理的效果，因此至少有一种ofg的其他处理在t- 1和t。同样，它也会降低对照组，这些对照组的初始治疗没有改变，但至少有一种其他治疗在两组之间改变-1和t。

这两个修正确保我们的估计器不受其他治疗效果的影响。另一个修正是，我们的新估计器将切换者和非切换者与其其他治疗的相同基线值进行比较。这确保了它不需要其他治疗的效果随时间保持不变。当群的数量趋于一致时，可以在类似的假设下，使用与de Chaisemartin和D\'Haultfoeuille（2020）的网络附录中显示定理S6所用的参数类似的参数，建立双估计器的渐近正态性。didmca可以通过did_multiplegt Stata命令计算，有关更多详细信息，请参阅该命令的帮助文件。我们的估计依赖于一个新的假设，即假设6，而不是更标准的假设4。尽管这两个假设是非嵌套的，但假设6可能更可信，因为它在基线期对各组的治疗施加了平行的趋势，而非无条件地。在基线期具有相同治疗的组可能更相似，然后更有可能经历平行趋势。此外，通过在反事实情景中施加平行趋势，群体的治疗达到了极限- 1在周期T处的值，而不是在不接受任何处理的反事实中，假设6可能会导致比假设4更精确的估计值，尤其是当处理数量较大或处理非二元时。在假设4下，异质性稳健DID估计器只能用作至少两个日期未接受任何治疗的对照组。此外，只能对至少在一个日期未接受任何治疗的群体进行治疗效果评估。这两组可能很小。

在第5节的实证应用中，有两种非二元处理，虽然有两种处理等于0的（g，t）细胞，但没有一组至少在两个日期不接受这两种处理中的任何一种。因此，在此应用中，不能基于假设4构造异质性稳健DID估计量。最后，请注意，假设6可以使用类似于de Chaisemartin a and D\'Haultfoeuille（2020）中提出的安慰剂估计器进行测试，并适用于几种治疗。本文中的DIDMestimator可以扩展以适应非二元治疗，正如de Chaisemartin and D\'Haultfoeuille（2020）中的DIDMestimator也可以扩展以适应非二元治疗（见de Chaisemartin and D\'Haultfoeuille，2020年网络附录第4节）。对于非二元处理，DIDMestimator首先计算DID的加权平均值，并比较t- 第一次治疗改变组和其他治疗未改变组的1-t结果演变，以及治疗未改变组和治疗相同组的相同结果演变- 1.然后，估计器通过切换器之间的平均治疗变化对加权平均值进行归一化。4.2替代估计器当治疗具有动态效应时，在上一小节中，我们隐含地假设治疗不具有动态效应，因为一个单位在t期的结果仅取决于她的t期治疗，而不是她之前的治疗。当治疗具有动态效应时，很难估计一种治疗对其他治疗的控制效果。我们提出了一种估计策略，当存在两个二进制特征时，它们都遵循交错采用设计。

对任何人来说∈ {1，…，G}，让Fg=min{t:Dg，t=1}表示G组接受第一次治疗的第一天，按照惯例，如果G组从未接受过治疗，则Fg=t+1。同样，让Fg=min{t:Dg，t=1}表示g组接受第二次治疗的第一天，如果g组从未接受过治疗，则按照惯例，Fg=t+1。假设7（两种二元处理的阶段性红色设计）适用于所有（g，t）∈ {1，…，G}×{2，…，T}，Dg，T∈ {0,1}，Dg，t∈ {0,1}，Dg，t-1.≤ Dg，t，Dg，t-1.≤ Dg、t和Fg≥ 前景。假设7要求随着时间的推移，这两种治疗都会微弱地增加，这意味着一旦EA组从未治疗组切换到治疗组，它就不能再切换到未治疗组。假设7还要求各组在第一次治疗后开始接受第二次治疗。当第二种疗法是对第一种疗法的强化时，这通常是令人满意的。我们举的例子是一位研究人员试图分别评估美国医疗和创意大麻法律的影响：到目前为止，各州在后者之前通过了前者，而自1990年代以来通过的医疗和娱乐法律都没有恢复。假设7适用的另一个例子包括美国的选民身份法，非严格法律通常在严格法律之前通过（见Cantoni和Pons，2021）。另一个例子是反森林砍伐政策，通常将一小块土地纳入特许经营权，然后一些特许经营权得到认证（见Panlasigui等人，2018年）。为了考虑动态影响，我们需要修改潜在结果符号。全部（d，d）∈{0，1}2T，如果她从第1期到第t期的两次治疗是相等的，则让Yi，g，t（d；d）表示g组在第t期观察i的潜在结果，并且让Yg，t（d；d）是该情景下g组和t期观察i的平均结果。

这种动态潜在结果框架与Robins（1986）中的框架类似。它允许当时的观察结果不受其过去和未来治疗的影响。我们的估算依赖于以下假设。假设8（无预期）适用于所有g，适用于所有（d，d）∈ {0，1}2T，Yg，t（d；d）=Yg，t（d，…，dt；d，…，dt）。另一方面，如上所述，当回归中的其他治疗变量滞后于治疗时，定理1和2确实适用于动态效应情况。假设5是假设7的特殊情况，治疗时间没有变化。假设8要求一个群体的当前结果不取决于她未来的治疗，即所谓的无预期假设。Abbring和Van den Berg（2003）在工期模型的背景下讨论了该假设，a和Malani和Reif（2015）、Bot osaru和Gutierrez（2018）以及Sun和Abraham（2021）在DID模型的背景下讨论了该假设。对于任何j∈ {1，…，T}，分别设j 0和1的0jand和1jdenote向量。我们还选择了0和1为空向量的约定。此后，我们将Yg，t（0T；0T）称为g组在t期接受治疗的潜在结果，如果她从未接受过这两种治疗中的任何一种，她的结果。我们的估计依赖于以下关于Yg，t（0T；0T）的假设。假设9（独立群体、强外生性和无复发结果的共同趋势）≥ 2和g∈ {1，…，G}，E（Yg，t（0T；0T）- Yg，t-1（0T；0T）| D）在g中没有变化。假设9是假设3-4与我们在本节中考虑的设置相适应，并考虑了动态影响。在假设7下，de Chaisemartin和D\'Haultfoeuille（2021）中提出的瞬时和动态治疗效果的估计值仍然可以用于两种治疗，将治疗重新定义为)Dg，t=Dg，t+Dg，t。

然而，这些估计器将平均第一次和第二次治疗的影响。单独估计第一次治疗的效果很简单：一个人只需计算Callaway和Sant\'Anna（2021年）或de Chaisemartin和D\'Haultfoeuille（2021年）中的估计值，将样本限制为所有（g，t）s，使dg，t=0。在大麻法律的例子中，为了评估医用大麻法律的影响，可以将样本限制在所有州×年（g，t），这样g州在t年还没有通过娱乐法。在第二次治疗之前，可以估计动态影响的范围必须被截断。单独评估第二次治疗的效果更具挑战性，但在以下补充假设下，仍然可以实现。假设10（对第一次治疗效果的限制）适用于所有g∈ {1，…，G}，j∈{1，…，T}，T>j，存在λj，g（D）和uj，T（D），使得e（Yg，T（（0j- 1，1T-（j）-1)); 0吨）- Yg，t（0T；0T）|D）=λj，g（D）+uj，t（D）。假设10要求第一次治疗的效果在每一组中随时间以相同的方式演变：对于任何t>j+1，e（Yg，t（（0j））- 1，1T-（j）-1)); 0吨）-Yg，t（0T；0T）|D）-E（Yg，t）-1（（0j- 1，1T-（j）-1)); 0吨）-Yg，t-1（0T；0T）| D），g组治疗t- （j）- 1） 和t- 1.- （j）- 1） 每个组的周期应该相同。尽管如此，假设10允许此类治疗效果以不受限制的方式随一组患者接受治疗的时间段数而变化，并随治疗时间的不同而变化。

在某种程度上，它还允许治疗效果因组而异：在开始接受治疗的第一个阶段，组的治疗效果可能是不均匀的，但在每个组中，这种效果的缓解期应该是相同的。为了理解为什么需要这个假设，让我们回到大麻法的例子。在没有假设10的情况下，一个通过休闲大麻法的州可能会开始经历与其他只通过医疗法的州不同的结果趋势，要么是因为休闲法，要么是因为其医疗法效果的演变与其他州不同。换句话说，这一假设是理清这两种治疗效果的关键，而这通常是令人感兴趣的。根据对从未治疗的结果的标准平行趋势假设（假设9），人们只能估计两种治疗的综合效果。尽管这一假设可以说是强有力的，但正如我们在下文中更详细地解释的那样，这一假设在一定程度上是可以验证的：它意味着，在同时开始接受治疗的群体在接受第二种治疗之前，应该有相同的结果演变。如果采用第二种治疗的组与未采用第二种治疗的组相比，第一种治疗的效果增加得更少（或更多），违反这一假设将导致我们的估计值向上（或向下偏移）。假设11（非病理性设计）存在（g，g′）∈ {1，…，G}使得Fg=Fg′和1<Fg<Fg′。对于任何f∈ {1，…，T}，letGf={g∈ {1，…，G}:Fg=f}表示在日期f开始接受第一次治疗的组集合。LetF={f∈ {1，…，T}（g，g′）∈ Gf:1<Fg<Fg′是一组日期，至少两组在该日期开始接受第一次治疗，并在不同日期开始接受第二次治疗。