几种处理的双向固定效应回归

de Chaisemartin和D\'Haultfoeuille（2020）在其网络附录的第4节中，仅用一种治疗方法涵盖了该情况下的扩展。对于几种处理方法，非二元处理的扩展是相似的。我们使用聚集在州一级的b ootstrap来计算DIDMestimator的标准误差。在该应用中，标准误差低于TWFE系数的标准误差。尽管在实践中，TWFE系数的标准误差往往低于异质性稳健DID估计值，但正如这个例子所示，也可能出现相反的情况。两个估计值存在显著差异（t-stat=2.253）。在平行趋势下，这意味着治疗效果不变的假设被否定：如果一年的受教育程度和STAF-to-child比率治疗在一段时间内和组间都是不变的，那么WFE系数将无法估计受教育程度不变的治疗效果。总的来说，增加中心日托中心主任所需的受教育年限会减少家庭日托中心收入的结论可能并不可靠。首先，DID和TWFE估计器之间的显著差异表明，在这种应用中，影响是不均匀的。然后，由于附加了较大的负权重，在存在异质效应的情况下，TWFE系数可能会出现偏差，并受到其他处理效应的影响。最后，双估计器对异质效应具有鲁棒性，且不受其他处理效应的污染，比TWFE系数小7倍，且不显著。6结论在这篇论文中，我们表明，使用几种治疗的TWFE回归中的治疗系数可能对异质效应不稳定，并且可能会被回归中其他治疗的效应所污染。

我们提出了对异质性影响具有鲁棒性且不受污染问题影响的替代DID估计器。7.校对。1定理1结果直接来自定理2。如果K=2，D-1g，t=Dg，t.然后，D-1g，t6=0-1如果且仅当Dg，t=1，则其中一个有Dg，t-1g，t=Dg，t0,1g，t.7.2推论1第一个结果是de Chaisemartin a and D\'Haultfoeuille（2020）中定理1的直接结果：通过对称性，所有处理单元的重量都是相同的。关于第二个结果，为了简化符号，我们来介绍（k，g，t）的Ikg=1{g>Gk}和Jkt=1{t>Tk}∈{1,2}×{1，…，G}×{1，…，T}。因为Ng，t/Ng，t-1不随g变化，我们也可以写，t=Aagbtwith A=Pg，tNg，t，ag=PtNg，t/A和bt=PgNg，t/A。然后，Pgag=Ptbt=1。最后，我们让k∈ {1,2}，pkG=pgagikg，pkT=PtbtJkt。现在，考虑第一次治疗对其他回归因素的回归（1）。我们可以在不丧失普遍性的情况下，假设Pgagγg=Ptbgνt=0。结合下面的条件（8）和（9），我们得到α=pGpT- pGpTζ，γg=（Ig- pG）pT- （Ig）- pG）pTζ，νt=pG（Jt）- （pT）- pG（Jt）- pT）ζ。通过定义剩余εg，tof（1），我们也得到了Pg，tNg，tDg，tεg，t=0。然后，利用G<Gand T<T这一事实，我们得到bta inpGpT=αpGpT+XgagγgIg！pT+pGXtbtνtJt！pT+pGpTζ。在这个方程中插入α，γ和ν的表达式，我们在一些代数之后得到ζ=（1）- 第（1）页- （1）- 第（1）页- pT）。再次使用α，γ和νtabove的表达式，我们得到εg，t=（Ig- pG）（Jt）- （pT）-(1 - 第（1）页- （1）- 第（1）页- pT）（Ig- pG）（Jt）- pT）。（4） 现在，如果Dg，t=1，那么Ig=Jt=1，也就是Ig=Jt=1。因此，εg，t=0。这表明没有污染重量。最后，假设（g，t）∈ {G，…，G-1} ×{T，…，T-1}.然后Dg，t=1，但Ig=Jt=0，我们用（4）得到εg，t=（1）- 第（1）页- pT）“1-pGpT（1- 第（1）页- pT）#。因此，如果pGpT>（1），εg，t<0- 第（1）页- pT）。

最后一个结果是，通过定义pG、pT和使用Ng，t=Aagbt，我们得到了APGPt=Xg、tNg、tDg、t、A（1- 第（1）页- pT）=Xg，tNg，t1{g<g}1{t<t}。7.3定理2我们首先建立以下引理。引理1如果假设s1-4成立，对于所有（g，g′，t，t′）∈ {1，…，G}×{1，…，T}，E（Yg，T|D）- E（Yg，t′|D）- （E（Yg′，t|D）- E（Yg′，t′|D））=Dg，tEg、 t（D）-1g，t）D+ E-1g，tD- Dg′，tEg′，t（D）-1g′，t）D- E-1g′，tD-Dg，t\'Eg、 t′（D）-1g，t′）D- E-1g，t′D+ Dg′，t′Eg′，t′（D）-1g′，t′）D+ E-1g′，t′D.所有（g，t）引理1的证明∈ {1，…，G}×{1，…，T}，E（Yg，T|D）=ENg，tNg，tXi=1Yi，g，tD=ENg，tNg，tXi=1hYi，g，t（0,0-1） +Di，g，t（Yi，g，t（1，D-1g，t）- Yi，g，t（0，D）-1g，t）+Yi，g，t（0，D）-1g，t）- Yi，g，t（0,0-1)) + (1 - Di，g，t）（Yi，g，t（0，D）-1g，t）- Yi，g，t（0,0-1） ）我D=EYg，t（0,0-1)D+ Dg，tEg、 t（D）-1g，t）D+ E-1g，tD=EYg，t（0,0-1)Dg+ Dg，tEg、 t（D）-1g，t）D+ E-1g，tD, （5） 其中第三个等式来自假设2，第四个等式来自假设3。此外，假设4EYg，t（0,0-1)Dg- EYg，t′（0,0-1)Dg- EYg′，t（0,0-1)Dg+ EYg′，t′（0,0-1)Dg=0.（6）结果由（5）和（6）组合而成。定理2的证明源自弗里希-沃定理和εg，tthatE的定义bβfeD=Pg，tNg，tεg，tE（Yg，t | D）Pg，tNg，tεg，tDg，t.（7）现在，通过定义εg，tagain，TXt=1Ng，tεg，t=0表示所有g∈ {1，…，G}，（8）对于所有t，GXg=1Ng，tεG，t=0∈ {1，…，T}。（9） 然后，Xg，tNg，tεg，tE（Yg，t | D）=Xg，tNg，tεg，t（E（Yg，t | D）- E（Yg，1 | D）- E（Y1，t | D）+E（Y1，1 | D））=Xg，tNg，tεg，tDg，tEg、 t（D）-1g，t）D+ E-1g，tD- D1，tE1，t（D）-11，t）D- E-11，t）D- Dg，1Eg、 1（D）-1g，1）D- E-1g，1）D+ D1,1E1,1（D）-11,1)D+ E-11,1)D=Xg，tNg，tεg，tDg，tEg、 t（D）-1g，t）D+ E-1g，tD=X（g，t）：Dg，t=1Ng，tεg，tEg、 t（Dg，t）D+X（g，t）：D-1g，t6=0-1Ng，tεg，tE-1g，tD.

（10） 第一个和第三个等式来自等式（8）和（9）。第二个等式来自引理1。第四个等式来自假设2和以下事实：g、 t（0-1) = 0.最后，假设2还意味着xg，tNg，tεg，tDg，t=X（g，t）：Dg，t=1Ng，tεg，t.（11）结合（7），（10），（11）屈服bβfeD=X（g，t）：Dg，t=1Ng，tNwg，tEg、 t（Dg，t）D+X（g，t）：D-1g，t6=0-1Ng、tNwg、tE-1g，tD. （12） 然后，第一个结果遵循迭代期望定律。最后，如果K=2或处理相互排斥，X（g，t）：D-1g，t6=0-1Ng，tεg，tE-1g，tD=KXk=2X（g，t）：Dkg，t=1Ng，tεg，tE-1g，tD.此外，通过定义εg，t，P（g，t）：Dkg，t=1Ng，tεg，t=0表示所有k=2。。。，K- 1.第二个结果如下。定理3首先，通过定义DIDM，DIDM=TXt=2Xd-1.∈{0,1}K-1N1,0,d-1，tNSDID+，d-1，t+N0，1，d-1、tNSDID-,D-这里使用0/0=0的约定。让我们≥ 2和d-1.∈ {0,1}K-1使N1，0，d-1，t>0和N0，0，d-1，t>0。对于每个g，Dg，t-1=0、Dg、t=1和D-1g，t=D-1g，t-1=d-1.我们有（Yg，t- Yg，t-1 | D）=Eg、 t（D）-1g，t-1)D+ EYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)D. （14） 在假设3和6下，对于所有t≥ 存在ψ0，d-1，t∈ R这样，对于所有的g∈G0,0，d-1，t∪ G1,0,d-1，t，EYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)D=EYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)Dg=EYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)Dg，t-1=0，D-1g，t-1=d-1.=ψ0，d-1，t.（15）因此，N1，0，d-1，tE（DID+，d-1，t | D）=Xg∈G1,0,d-1，tNg，tEg、 t（D）-1g，t-1)D+Xg∈G1,0,d-1，tNg，tEYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)D-N1，0，d-1,tN0,0,d-1、tXg∈G0,0，d-1，tNg，tEYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)D=Xg∈G1,0,d-1，tNg，tEg、 t（D）-1g，t-1)D+ ψ0，d-1，tXg∈G1,0,d-1，tNg，t-N1，0，d-1,tN0,0,d-1、tXg∈G0,0，d-1，tNg，t=Xg∈G1,0,d-1，tNg，tEg、 t（D）-1g，t-1)D.第一个等式后接（14），第二个等式后接（15），第三个等式后接代数。

Giventhat DID+，d-1，t=0，如果N1,0，d-1，t=0或N0，0，d-1，t=0，通过定义S，我们得到空集上的和为0，E（N1，0，d）-1，tDID+，d-1，t | D）=EXg:Dg，t=1，D-1g，t=d-1（g，t）∈SNg，tg、 t（D）-1g，t-1)D（16） 尽管如此，一个类似的推理还是产生了t≥ 2和d-1.∈ {0,1}K-1，E（N0，1，d-1，tDID-,D-1，t | D）=EXg:Dg，t=0，D-1g，t=d-1（g，t）∈SNg，tg、 t（D）-1g，t-1)D（17） 将（16）和（17）插入（13）yieldsE（DIDM）=EETXt=2Xd-1.∈{0,1}K-1Xg:D-1g，t=d-1（g，t）∈SNg，tg、 t（D）-1g，t-1)D=EEX（g，t）∈SNg，tg、 t（D）-1g，t-1)D=δS定理4首先，根据假设9，对于所有t≥ 2有一个Dψt（D）的函数，使得ψt（D）=E（Yg，t（0T；0T）- Yg，t-1（0T；0T）| D）。（18） 然后，f或全部1≤ f<t≤ T，E[Yg，T（（0f-1，1T-f+1）；0吨）- Yg，t-1（（0f）-1，1T-f+1）；0T）| D]=E[Yg，t（（0f）-1，1T-f+1）；0吨）- Yg，t（0T；0T）| D]- E[Yg，t-1（（0f）-1，1T-f+1）；0吨）- Yg，t-1（0T；0T）|D]+E[Yg，t（0T；0T）- Yg，t-1（0T；0T）|D]=uf，t（D）- uf，t-1（D）+ψt（D）；（19） 其中第二个等式使用（18）和假设10。那么，对于任何l ∈ {0，…，Lnt}，f∈ Fsuch那个NTf≥ l + f+1和t∈ {l + f+1。。。，NTf}这样Nft，l> 0和Nnt，英尺>0，东迪夫特，l|D=Xg∈Gf:Fg=t-l吴，tNft，lE（Yg，t）- Yg，t-l-1 | D）-Xg∈Gf:Fg>tNg、tNnt、ftE（Yg、t- Yg，t-l-1 | D）=Xg∈Gf:Fg=t-l吴，tNft，lEYg，t（Dg；（0t）-l-1, 1l+1)) - Yg，t（Dg；0T）|D+Xg∈Gf:Fg=t-l吴，tNft，lEYg，t（Dg；0T）- Yg，t-l-1（Dg；0T）|D-Xg∈Gf:Fg>tNg、tNnt、ftEYg，t（Dg；0T）- Yg，t-l-1（Dg；0T）|D=Xg∈Gf:Fg=t-l吴，tNft，lEYg，t（Dg；（0t）-l-1, 1l+1)) - Yg，t（Dg；0T）|D. （20） 第一个等式源自DIDft的定义，l, 以及Nft，l> 0和Nnt，英尺>0。第二个等式来自假设8。第三个等式来自（19）。通过对NTf的定义，我们得到了所有f的Nnt，ft>0∈ F和t使得NTf≥ t、 我们采用空集上的和等于0的约定。

那么，任何l ∈ {0，…，Lnt}，f∈ Fsuch那个NTf≥ l + f+1和t∈ {l + f+1。。。，NTf}，等式（20）意味着Nft，lE迪夫特，l|D=Xg∈Gf:Fg=t-lNg，tEYg，t（Dg；（0t）-l-1, 1l+1)) - Yg，t（Dg；0T）|D.我们通过对f求和得到结果∈ F和t使得NTf≥ l + f+1和t∈{l + f+1。。。，NTf}，并根据迭代期望定律。阿尔贝托，萨巴迪。2005.“差异估计中的半参数差异。”经济研究综述，72（1）：1-19。Abbring、Jaap H和Gerard J Van den Berg。“持续时间模型中治疗效果的非参数识别。”《计量经济学》，71（5）：1491-1517。阿森费尔特，奥利。1978年，“评估培训项目对收入的影响。”经济与统计回顾，47-57。伯特兰、玛丽安、埃丝特·杜弗洛和森迪尔·穆莱纳坦。2004年，“我们应该在多大程度上相信差异估计中的差异？”《经济学季刊》，119（1）：249-275。Borusyak、Kirill和Xavier Jaravel。2017年，《重温事件研究设计》工作纸。波托萨鲁、艾琳和费德里科·H·古铁雷斯。2018年，“当治疗状态仅在一个时期内观察到时，差异中的差异。”应用计量经济学杂志，33（1）：73-90。Callaway、Brantly和Pedro H.C.Sant\'Anna。2021。“多个时间段的差异中的差异。”《计量经济学杂志》，225:200-230。坎托尼、恩里科和文森特·庞斯。2021、“严格的ID法并不能阻止选民：美国全国委员会的证据，2—008—2018。”《经济学季刊》，136（4）：2615-2660。德蔡斯马丁、克莱门特和泽维尔·德豪特·尤耶。2020年，“具有异质性治疗效果的双向固定效应估计器。”《美国经济评论》，110（9）：2964-96。德蔡斯马丁、克莱门特和泽维尔·德豪特·尤耶。2021。

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