指定错误模型的不协调松弛

要了解这意味着什么，请考虑一个简单的例子，即reθ是一个scalar。假设我们对θ的符号感兴趣。假设Θ*iTunes显示为正实线，即Θ*我 R++。那么，定理5意味着θ为正的陈述，即θ∈ R++，是非冲突的。这意味着某些子模型将θ的符号识别为正，而当一个子模型可以识别θ的符号时，θ的符号总是正的。我们是*是∧if S中的最小元素*∈ ∧与S* 这是给纽约人的∈ Λ. 什么时候*是∧中最小的元素，然后是θ∈ S是非冲突的当且仅当Θ*我 在这种情况下，Θ*除了定理5，我还有更丰富的解释。再考虑一下上一个简单的例子。假设结果是Θ*我∩ R++6= Θ*我∩ R--6=  所以θ∈ Θ*我没有暗示θ的符号。如果我们知道Θ*如果是∧中的小元素，那么我们得到以下结论：θ是正的，θ是负的，这两种说法都是矛盾的。换句话说，Θ的价值*这种情况意味着数据和模型不能提供关于θ符号的明确说明。在下一个定理中，我们研究当Θ*是∧的小t元素。定理6。假设定理5中的相同假设成立。对于以下三种说法：（S1）Θ*iI∧中最小的元素，（S2）有一个最小的元素，（S3）至少满足以下两个条件之一：（T6.C1）存在唯一的最小数据一致松弛，（T6.C2）对于任何最小数据一致松弛，ΘI（eA）是一个单态，我们有（S3）=> （S1）=> （S2）。此外，如果下列条件成立：（T6.C3）对于任何带ΘI（A′）的A′和A′） ΘI（A′）和ΘI（A′）6=, 我们有ΘI（A′）∪ A′6=,然后我们有（S3）<=> （S1）<=> （S2）。定理6提供（S3）作为Θ的充分条件*i是∧中最小的元素。在上一节中，我们已经讨论了（T6.C1）的情况。

要理解（T6.C2），请注意，当完整模型出现错误时，数据一致性子模型的识别集将在a中施加越来越多的假设时逐渐缩小，最终缩小为空集。条件（T6.C2）意味着，在此过程中，子模型的识别集在变为空之前将始终为单个。正如我们稍后将看到的，这种情况出现在我们的介绍者示例中。当条件（T6.C3）成立时，定理6指出（S3）不仅有效，而且对Θ而言还必须对错误指定的模型进行不协调的松弛*i是∧中最小的元素。它还意味着每当∧有一个小元素时，最小的元素必须是Θ*定理6还表明，唯一的情况是∧有一个最小的元素，但它不等于Θ*违反（T6.C3）时使用Iis。我们不认为这是一种限制*I.相反，我们认为∧中的小元素在（T3.C2）无法保持时不太可靠。要了解这一点，请考虑一个带有a={a，a}的示例。设F为可观测随机变量的分布。因为我∈ {1,2}，定义为不可观测和可观测随机变量的分布G的集合，使得G满足假设ai，且G在可观测变量上的边际分布等于F。那么，如果ΘI（a），就会违反（T6.C3） ΘI（a）而G∩ G=. 在这种情况下，ΘI（A）= {a}和{a}都是最小数据一致松弛。因此，Θ*I=ΘI（a）∪ΘI（a）=ΘI（a）。同时，可以证明ΘI（a）是∧中最小的元素。在这个例子中，Θ*Iis仍然在∧中，但它不再是∧中最小的元素。这种差异是由于∧中的smallestelement隐式地cho ose G∈ 戈弗G∈ G关于信息性，而Θ*它会吃掉两个G∈ 甘德·G∈ Gequaly的健壮性。5.1.1. 介绍性示例继续。

对于模型（2.1），以下结果给出了误判鲁棒界：命题2。假设假设1成立，那么：Θ*我=[γ，γ]如果γ≤ γ、 [γ，γ]如果γ<γ，P（E[Y | Z]≤ γ] ）>0和P（E[Y | Z]≥ γ] ）>0，（γ，γ]如果γ<γ，P（E[Y | Z]≤ γ] ）=0和P（E[Y | Z]≥ γ] 如果γ<γ，P（E[Y | Z]≤ γ] ）>0和P（E[Y | Z]≥ γ] ）=0，（γ，γ）如果γ<γ，P（E[Y | Z]≤ γ] ）=0和P（E[Y | Z]≥ γ]) = 0 .（5.1）此外，条件（T6.C2）保持不变，因此*Iis是∧中的最小元素，即Θ*我=∩s∈∧S.P位置2的直接含义是如果P（E[Y | Z]≤ γ] ）>0和P（E[Y | Z]≥ γ] ）>0hold是温和的技术要求，错误定义将简化为Θ*I=[min（γ，γ），max（γ，γ）]，无论完整模型是否被反驳。5.1.2. 二元IV模型继续。在第4.1.1节讨论的二元IV模型中，Θ*I=ΘI（A）*)等式（4.7）中定义的是唯一的最小数据一致松弛，那么定理6意味着Θ*是∧中最小的元素。此外，最小数据一致性松弛的唯一性意味着我们可以从最小数据一致性松弛和Θ中推断出违反初始模型的原因*I.例如，如果{a，a，a}是最小的数据一致性松弛，我们知道a被违反了，因为ACDE（1）=0是冲突语句，而leacade（1）>0是非冲突语句。类似的解释适用于第4.1.2节中的自适应单调IV示例。错误指定模型的不协调松弛215.2。离散松弛与连续松弛。错误定义鲁棒边界以离散方式放松了被驳斥的模型：在松弛过程中，假设要么完全保持，要么放弃。有许多其他方法可以放松和挽救被驳斥的模型。人们也可以像马斯滕和波里耶（20）那样持续放松假设。

一般来说，不同的放松会导致不同的结果，很难比较所有可能的方法。然而，在一个特殊的情况下，不连续的放松总是比任何其他放松方式产生更强烈的结果。为了说明下一个结果，我们需要介绍Masten和Poirier（2020）中使用的术语。不管怎样∈ [0,1]和任何a∈ A、 让A表示放松假设后的假设A。弛豫的程度由来衡量：当=0时，a=a；什么时候∈ （0,1），假设a部分放松，但a的确切形式取决于研究人员选择的具体放松方式；当=1时，假设a完全放松，而a是不施加任何限制的空假设。假设放松是单调的：如果≤ ，a比a长，因为a意味着a。对于任何δ：A→ [0,1]，定义A（δ）：={Aδ（A）：A∈ A} 作为purturbed的完整模型。对于任意两个δ：A→ [0,1]和δ：A→ [0,1]，如果δ（a），我们写δ<δ≤ δ（a）对于所有a∈ A和δ（A）<δ（A）对于某些A∈ A.那么，马斯滕和波里耶（2020年）的渔业边界可以定义为F={δ：A→ [0,1]：ΘI（A（δ））6= 不存在δ′，使得ΘI（A（δ′）6=, ΘI（A（δ′）（ΘI（A（δ））和δ′<δ}。我们稍微修改了Masten和Poirier（2020）对错误边界的定义，以确保在某些特殊情况下F的非空性。然后，falsi fifi fication adaptive setΘ+I定义为+I=∪δ∈FΘI（A（δ））。请注意，Θ+定义了一种特定的方式，即人们选择放松假设。如果一个人选择离散地放松它们，即，如果任何和a的a=a（>0），那么+Iis等于最小数据一致性放松*我

如果一个人选择了不同的放松方式，那么+II通常是不同的。然而，在某些特殊情况下*无论是哪种放松方式，Iis总是包含在Θ+中。定理7。假设定理6中的条件（S3）成立。那么Θ*我 Θ+对于研究人员选择的任何类型的放松。这个定理意味着Θ*当（S3）保持时，我提供了上述所有可能关系中信息最丰富的结果。在这种情况下，定理6也表明Θ*我是最小非冲突声明的解释。这些结果表明Θ*我提供了一个很好的方法来解释Masten和Poirier（2020）中的原始定义，用我们的符号写成，即F={δ：a→ [0,1]：ΘI（A（δ））6= 不存在δ′，使得ΘI（A（δ′）6= δ′<δ}。通过我们修改定义，我们不必担心存在{δi:i序列的可能性≥ 1} 这样δn→ δ*, ΘI（A（δ）*)) = , ΘI（A（δn））=ΘI（A（δ））6= 对于所有n，δn+1<δ≥ 1.22错误指定模型的不协调松弛在（S3）的情况下给出一个被反驳的模型。特别是，（S3）的一个重要子类是存在唯一的最小数据一致松弛。6.实证说明。1.背景和数据。由于教育水平的内生性，对经济学家来说，估计大学教育对后来收入的因果影响一直是一件令人困惑的事情。为了评估学校教育的回报，人们采用了不同的方法，其中大多数方法依赖于工具的有效性，如父母教育、学费、出生季度、到大学的距离等。所有这些IVs的有效性都受到了广泛的批评，因为它们与儿童未被观察到的技能有潜在的相关性。

为了适应可能无效的工具，Manski和Pepper（2000年、2009年）引入了mo notone IV（MIV），该IV不要求IV有效，但只在IV和潜在收益之间施加积极的依赖关系。例如，父母教育可能与潜在工资无关，但似乎不会对未来收入产生负面影响。在这种情况下，可以推导出平均教育回报的界限。在本应用程序中，我们将考虑第4.1.2节中引入的AMIV组件。因此，我们认为父母的教育可以对孩子未来的收入产生积极的影响，但这种边际的积极影响可能在某种程度上被削减后变得无效。我们方法的独特之处在于，利用我们的误判鲁棒边界，让数据决定这种切分效果。我们考虑了Heckman、Tobias和Vytlacil（2001年，HTV）中使用的数据。数据包括从1979年全国青年纵向调查（NSLY）中抽取的1230名白人男性样本。这些数据包含关于对数周工资、大学教育、父亲教育、母亲诱惑等诸多变量的信息。在HTV之后，我们认为大学入学指标是一种待遇：如果个人完成了至少13年的教育，则等于1，否则等于0。在这一经验练习中，我们使用父母教育的最大值作为候选仪器变量。表1列出了一些汇总统计数据。表1。汇总统计总计观察1230日志工资2.4138（0.59 37）学院0。4325（0.49 56）父亲的教育12。44715（3.26 38）母亲的教育12。1781（2.2781）max（父亲教育程度，母亲教育程度）13.1699（2.7123）平均值和s标准偏差（括号中）错误指定模型的不协调松弛236.2。方法和结果。

我们首先为平均结构函数E[Yd]，d的识别集构造95%置信域∈ {0,1}和平均治疗效果[Y]- Y] 在Manski（1990）的平均独立假设下，表示为ΘI（MI），在MIV假设下，表示为ΘI（MIV）。此外，我们在AMIV假设下构造了一个误判鲁棒界的估计值，表示为Θ*我（阿米夫）。和命题1一样，让az*表示最小数据一致松弛中的最强假设。回想一下当z*等于支持Z，Θ的lowes t值*I（AMIV）等于ΘI（MI）。当z*等于支持Z，Θ的最高值*I（AMIV）等于ΘI（MIV）。结果总结在表2中。在第（1）列中，我们计算了平均独立性假设下ATE的95%置信区间，结果是空的，这意味着数据显示了反对将父母教育用作第四个变量的明确证据。在第（4）列中，我们考虑了MIV假设，我们使用许志强、刘志强和施（2019）提出的测试来测试MIV的有效性，即使在10%的水平上，我们也不拒绝MIV假设，那么第（4）列给出了ΘI（MIV）的估计值。可以看出，当使用Mansk i和Pepper（2000）MIV松弛时，我们从一个空的识别区域转移到一个广泛的非信息识别区域。然而，我们的误判稳健指数为ATE提供了相对较小的估计值。第（3）列显示了当对提议1中的两种潜在结果施加相同的切分时，我们对错误指定稳健界限的估计，而第（2）列显示了当我们允许切分与备注2中讨论的潜在结果不同时的估计。在后一种情况下，我们发现所提出的方法几乎可以识别ATE的标志。表2。

结果（1）（2）（3）（4）设定估计值/ΘI（MI）Θ*我（阿米夫）Θ*I（AMIV）ΘI（MIV）95%形态界限（z）*, Z*) = （0,11）（z）*, Z*) = (11, 11)θ≡ E[Y][2.535,2.815][2.535,2.815][2.412,2.816][0.933,2.815]θ≡ E[Y]空[2.547,2.591][2.547,2.591][2.548,2.814]≡ E[Y]- Y] 空的[-0.056, 0.268] [-0.179, 0.269] [-1.881,0.267]第（1）列中的所有值均为95%置信区间。第（2）-（4）列中的所有值都是基于ΘI（az）的95%置信区间设定的估计值。7。在本文的讨论中，我们发现在存在模型误判的情况下，在很多模型中都可能存在不协调的子模ls。这提供了另一个使用夏普公式的原因，因为我们在本文中主要关注的是识别，我们不试图研究与推导错误识别稳健界的有效置信区域相关的统计数据。我们将这个问题留给未来的研究。24错误指定模型的不一致松弛尽可能对识别集进行分形：识别集不仅耗尽了模型结构和假设中的所有识别限制，而且不受不一致子模型可能产生的误导性结论的影响。与外部集不同，当模型被数据推翻时，识别集将为空。在实证应用中，如果识别集的特征不易处理，我们的结果表明，实证研究人员在处理外部集时应该更加小心，尤其是当它们得到的边界非常紧密时。

例如，作为稳健性检查，可以以不同的方式构造外部集，并查看这些外部集之间是否存在任何不一致。打捞一个被驳斥的模型通常是一项具有挑战性的任务，因为它通常涉及到模型放松时的一些任意性，有时可能在计算上很难处理。然而，当最小数据一致性松弛是唯一的时，事情就容易多了。在这种情况下，很明显哪些假设与数据一致，哪些假设不一致，因为所有数据一致的假设都是相容的（定理4）。这个结果有很好的解释（定理6）。此外，任何数据一致性子模型的识别集都可以被视为误判鲁棒界的保守界，这使得计算变得更加容易。在实践中，通常存在多种不同的方法来分解同一个模型。例如，在我们的二进制IV示例中考虑的假设的构造只是代表IV的独立性和排除限制的一种方式。在所有这些可能性中，我们建议选择一种，在可能的情况下导致唯一的最小数据一致性再松弛。即使最小数据一致性松弛的唯一性无法达到，人们仍然可以选择找到我们在本文中提出的误判鲁棒界。它总是导致非冲突陈述（定理5），有时是信息量最大的非冲突陈述（定理6）。我们在一些简单的例子中计算出了误判鲁棒界，但当基础模型涉及多个结构时，其示例解可能过于复杂，难以求解。在这些具有挑战性的情况下，可能会构建一个外部集合，以始终覆盖本文提出的错误定义。

这种类型的外部集合将与本文中提出的问题无关。目前尚不清楚如何构建这样的外部集合，但这可能是本文发现之外的一个合理步骤。错误模型的不协调松弛25参考Allen，R.和J.Rehbeck。202 0. “满足性、聚集性和拟线性效用。”未出版的手稿。Andrews，D.W.K.，W.Kim和X.Shi。2017.“用于测试条件动量等式/等式的Stata命令。”《国家统计杂志》17（1）：56-72。Andrews、D.W.K.和S.Kwon。2019.“矩不等式模型中的推理，在模型误判下对纯精度具有鲁棒性。”工作文件。Andrews，D.W.K.和X.Shi。2013年，《基于条件矩不等式的推理》计量经济学81:609–66。阿特斯坦，Z.1983。“随机集和随机变量的分布。”以色列数学杂志46:313–324。Aucejo，E.M.，F.A.Bugni和V.J.Hotz。2017.“缺失协变量数据回归的识别和推断。”计量经济学理论33（1）：196-241。布伦德尔、理查德、阿曼达·戈斯林、一村英彦和科斯塔斯·梅吉尔。2007年，“C改变了男性和女性工资的分布，使用界限解释了就业构成。”计量经济学75（2）：第323-363页。蔡，Z。，M.Kuroki、J.Pearl和J.Tian。200 8. “在存在已知中间变量的情况下，可怕的ct效应的界限。”生物特征64:695–701。Chen，X.，C.A.Flores和A.Flores Lagunes。2 018. “超越迟到：就业团队培训的边际平均治疗效果。”人力资源杂志53（4）：1050-1099。切尔诺朱科夫、维克托、苏克贝·勒伊和亚当·M·罗森。2013 . “交集边界：估计和推断。”计量经济学81（2）：667-737。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.3982/ECTA8718.Chesher，A.和A.M.罗森。2020