指定错误模型的不协调松弛

例如，如果观察到Θ（h） (0, +∞) 对于某些h，如果不验证所识别集的非空性，就不应该直接得出θ的符号为正的结论。如定理1所示，如果识别集恰好为空，则可以通过选择不同的h函数来任意选择EΘ（h）的值。不同地说，定理1暗示，当（2.1）的识别集为空时，存在两个h和h\'，使得Θ（h）和Θ（h′）都不是空的，但eΘ（h）∩eΘ（h′）是空的。因此，两名研究人员可以在相同的数据集上应用相同的模型，但通过选择不同的h函数，可以从外部得出完全不同的结论。备注1。这一结果补充了Andrews和Shi（2013）的发现。在Andrews、Kim和Shi（2017）中，他们提出了一个推理程序和一个名为“cmi区间”的Stata，该Stata为（2.1）等模型中的参数θ构造了一个置信域。他们的推理方法通过在h+m的子族中选择h，将（2.1）转化为（2.2）→ ∞ 随着样本大小的增加。我们的结果表明，如果（2.1）可能被误判，那么增加m到完整性对于确保结果的稳健性至关重要。如果h的维度是固定的，那么（2.2）的经验结果可能会产生误导，即使推理一致地控制大小。“cmi-区间”命令使研究者有可能对m进行定义。在这种情况下，如果（2.1）确实是错误定义的，两个不同的研究者可以选择两个不同的对（m，h）6=（m′，h′），其中每一对都将提供一个非常正确的外部集，但具有不一致的信息。然后，这就提出了一个问题，即如何解释模型误判下的结果。最后，定理1还表明，外部集合的信息性并不一定意味着识别集的信息性。

外部集合可以和单个集合一样紧密，但这样的精度非常高，因为它的值可能与underyingparameter无关。这种对外部环境的警告是我在文献中最喜欢的。正如我们在导言中列出的一些论文，研究人员通常会为外部集合构造一个置信区间，并仅根据其结果得出结论。如果模型是可反驳的，并且在经验分析中只研究一个外部集，而不知道所识别的集是否为空，那么定理1表明，在这种情况下，基于外部集的结果可能会在相交边界模型中产生误导。在下一节中，我们将把我们的分析扩展到更一般的模型，并将表明，对于文献中广泛使用的一些其他部分识别模型，这个警告确实是一个例子。3.误导性的子模型在一般设置中在这一节中，我们在更一般的设置中证明了定理1中类似结果的存在。让A成为一些非空的收藏。对于任何非空子集A′ A、 定义ΘI（A′）为θ的确定集，当所有A∈ A′是一个假设，给出了错误指定模型7观测数据的离散松弛的真实分布。允许 请注意空的集合和定义() = 其中，表示参数空间。在本文中，我们假设Θ是度量空间中的某个子集。每一个∈ A、 我们把ΘI（{A}）缩写为ΘI（A）。我们将A解释为完整模型，将A′（A）解释为子模型。在介绍性示例中，A的作用由仪器函数h索引的所有模型集（2.2）发挥。并且，（2.1）当且仅当所有假设A均成立时成立。

根据定义，ΘI（·）具有以下两个性质：对于任意两个子模型A′和A′，（I）ΘI（A′） ΘI（A′）ifA′ A′；（ii）ΘI（A′）∪ A′） ΘI（A′）∩ ΘI（A′）。如果ΘI（A′）是非空的，我们说模型A′是数据一致的，如果相反的是真的，我们称之为反驳。根据定义，ΘI（A） ΘI（A′）表示任何A′ 因此，如果完整的模型A是一致的，我们知道每个A′ A也是数据一致的，而ΘI（A′）∩ ΘI（A′）对于任何两个子模型A′和A′都是非空的。换句话说，当整个模型数据一致时，每个ΘI（A′）都可以被视为ΘI（A）的保定界，并且所有这些子模型都是相互兼容的。我们感兴趣的是当完整的模型A被驳斥时会发生什么。我们将给出两种类型的结果：（i）在本节中，我们想找到存在两个数据一致子模式ls A′和A′的条件∈ A使得ΘI（A′）∩ ΘI（A′）是空的。当这样的集合A′和A′存在时，我们称之为不协调子模型，因为这两个子模型都无法检测完整模型的故障，并导致不协调的实验结果。这一点很重要，因为它表明了使用外部集合会导致对实证工作产生误导性解释的模型类别。我们将举例说明这种情况，展示一些文献中可能导致误导性解释的常见做法。（ii）然而，在下一节中，我们将展示不协调子模型可能并不总是存在于反驳模式l中。我们将推导不存在不协调子模型的有效条件，并将举例说明如何使用该结果构建数据一致的子模型，而不存在不协调。第二个结果刻画了一类模型的特征，对于这类模型，构造外部集不会误导解释。

现在，让我们首先讨论不协调子模型的存在时间和原因。定理2。当ΘI（A）=, 存在一些非空的A* 这是一个*) =  ΘI（a）6= 对于任何一个∈ A.*.（T2.C2）对于任何非空子集B A、 ΘI（B）=∩A.∈BΘI（a）。如果A不是一个有限集，另外，假设以下条件（T2.C3）ΘI（A）对于每个A都是紧的∈ A.然后，驳斥完整模型，即Θi（A）=, 当且仅当存在两个有限子集A′，A′时 A、 使得ΘI（A′）和ΘI（A′）都是非空的，但ΘI（A′）∩ ΘI（A′）是空的。此外，当ΘI（A）=, 对于任何子模型B 对于非空的ΘI（B），存在A的两个单元B′，B′，使得ΘI（B∪ B′）6=, ΘI（B′）6= 和ΘI（B）∪ B′）∩ ΘI（B′）=.8错误指定模型的不协调松弛首先，定理2表明，在条件（T2.C1）-（T2.C3）下，每当完整模型被推出时，总是存在一对数据一致且相互不协调的子模型。第二，它表明，对于每个数据一致的子模型B，都存在另一个数据一致的子模型，它与B的某个更强版本不兼容。此外，它表明，即使A不是一个有限集，我们也只需要两个有限子集就可以拒绝A。在部分识别文献中，每当强as假设的有效性受到质疑时，一些较弱的假设（或者我们在这里称之为子模型）通常被认为是更好的建模选择，尤其是当这种较弱的假设仍然导致信息性的结果时。定理2表明，这种自上而下的策略可能具有误导性，除非研究人员事先对这些相互不兼容的较弱假设有偏好顺序，因为人们可以通过选择不同的模型得到不同的结论。现在让我们简要地讨论定理2中的三个条件。

条件（T2.C1）是产生误导性子模型的关键条件。在条件（T2.C1）中*可以是它本身，也可以是它的子集。A.*也可能取决于基础数据基因评级过程。它要求存在一系列假设，这些假设分别是数据一致的，但被联合驳斥。直觉是，如果一些数据一致的假设被联合驳斥，那么其中一些肯定是互不兼容的。然而，仅此条件并不能保证定理2的结果。在条件（T2.C2）中，我们假设一组假设的识别集等于每个假设的识别集的截面积。如果每个假设都是对可观测项和参数施加的，则该条件成立，当一些子假设涉及不可观测项时，该条件可能不成立。然而，请注意，条件（T2.C2）仍然可以覆盖整个模型涉及对不可观测项的假设的情况。在大多数部分识别的模型中，存在一系列关于可观测项和参数的假设a，因此，当且仅当假设a适用于每个a时，涉及不可观测项的原始假设成立∈ A.如后面的例子3所示，定理2在这些例子中很有用。此外，当A是一个有限集时，条件（T2.C2）会进一步减弱。为了简单起见，参见定理2′归入附录。最后，条件（T2.C3）在大多数经验模型中都是满足的，其中θ是有限维的，只有当A c包含n个有限数量的假设时才需要。在附录B.2.1中，我们证明了如果违反这些条件中的任何一个，定理2的结果都可能失败。在下文中，我们将探讨定理2对部分识别模型的不同类别的含义。3.1. 介绍性示例继续。

在回顾这些更高级的案例之前，我们可能有助于重温介绍性示例，以说明这些条件如何在一个简单的模型中得到体现。在介绍性的例子中，回顾H+代表满足一些基本正则条件的全维非负工具函数集。介绍性示例中的集合A是由h索引的所有假设的集合∈ （2.2）保持不变的H+。而且，A确实是完整模型，因为（2.1）成立当且仅当（2.2）成立时，错误指定模型9h的每一个离散松弛都成立∈ H+。此外，对于所有h∈ H+，模型（2.2）的识别集Θ（H）等于以下区间E[h（Z）Y]E[h（Z）]，E[h（Z）Y]E[h（Z）],当E[Y | Z]≤ 几乎可以肯定。因此，如果我们简单地让*= A、 那么ΘI（A）6= 尽管如此∈ A.*. 因此，条件（T2.C1）是满足的。由于（2.2）是仅依赖于可观测值和参数的动量等式，条件（T2.C2）是满足的。最后，由于（2.2）所表征的识别状态总是一个闭合区间，条件（T2.C3）在定义H+的正则条件下是满足的。注意，在本例中，如果 A和B由m个假设组成，然后B指的是（2.2）对某些h持有的子模型∈ 因此，定理2暗示当（2.1）被引用时，一定存在一些H∈ H+和H∈ H+m，使得eΘ（H）6= 安第斯（h）6= 布特（h）∩eΘ（h）是空的。与我们在定理1中发现的结果相比，这是一个较弱的结果，这并不奇怪，因为定理1使用了一些模型结构，而定理2建立在更一般的性质之上。

在附录A.1中，我们提供了定理2适用于以下条件矩不等式的有效条件：E[m（X，Z；θ）|Z]≤ 0几乎可以肯定，（3.1）其中X∈ RK和Z∈ Rk是可观测的随机m变量和m（·，·；θ）∈ R是已知的每个θ的可积函数。随机集和Choquet容量。在这一部分中，我们考虑了一个包含随机变量Y的向量和外生可观测协变量X的向量的模型。设Y（θ）是某个随机闭集，并假设P（Y）∈ Y（θ））=1。然后，Artstein（1983）证明了给定X的Y的条件分布等于F当且仅当对于支持Y的任何紧集K，以下不等式成立：PF（Y∈ K | X）≤ L（K，X；θ）：=P（Y（θ）∩ k6= |十） 几乎可以肯定，（3.2）其中pf指的是与分布F相对应的概率度量。量度（·，X；θ）通常被称为Choquet容量函数。这类mo-de-ls是在利钦和亨利（2011）的研究中发现的。通常在实践中，PF（Y）或∈ K | X）或L（K，X；θ）可以从数据中识别，另一个通常可以从一些附加假设中推导或模拟。为了便于说明，我们认为Y是可观测的，并假设L（K，X；θ）是给定θ的K和X的已知函数。一般来说，需要检查（3.2）的所有紧集，以确保（3.2）中的不等式集合与Y上的分布假设之间的等价性。在某些情况下，检查紧集集合的不等式相当于检查所有紧集的不等式，在这种情况下，在Galichon和Henry（2011）的错误指定模型的lang uage10不协调松弛中，集合被称为核心决定类。

然而，在实践中，研究人员通常预先选择紧集的有限集合K，这通常不是一个核心决定类，他们只检查（3.2）forK∈ K.例如，在治疗效果文献中，著名的马恩斯基（1994）对各种应用中实施的潜在结果分布进行了研究，如布伦代尔等人（2007年）或彼得森（1976年）对竞争风险的界限，只使用了有限而非有效的阿特斯坦不等式集合。有关详细讨论，请分别参见Molinari（2020）和Mouri fi'e、Henry和M'eango（2020）。在实证游戏、拍卖和网络应用中，我们还可以列举Ciliberto和Tamer（2009年）、Haile和Tamer（2003年）、Sheng（2020年）、Chesher和Rosen（2020年），以及其他许多关注于一个完整而不充分的Artstein不等式集合的人。当原始模型可能被驳斥时，我们想探究这种预选程序的后果。为了将该模型纳入第3节的总体框架，定义K为所有非空对比的集合，以支持Y。将A定义为byK索引的所有假设集∈ K（3.2）适用。然后，对于任何有限的子集A′ A、 ΘI（A′）指的是在（3.2）只检查了一个明确的差异后确定的序列。如前一节所述，定理2的条件（T2.C2）通过构造满足。我们只需要验证条件（T2.C1）和（T2.C3）。条件（T2.C3）通常很容易检查，仅当Y的支持不确定时才需要。条件（T2.C1）更具挑战性。没有更多的建筑，最自然的选择*是一个*= A.一般来说，我们需要更多的正则性条件来确保ΘI（A）6= 尽管如此∈ A.当Y的支持是离散的和有限的时，以下命题为（T2.C1）提供了一个有效条件。引理1。

设X和Y分别为X和Y的支承。假设Y是离散且有限的，参数空间Θ 另外，假设以下条件适用于任何y∈ Y:（L1.C1）infx∈XP（Y={Y}|X=X）>0，（L1.C2）存在一个序列θ，θ。。。以使infx∈XL（{y}，x；θk）→ 1作为k→ ∞,其中，上述两个条件中的inf表示必要的限制。然后，存在一个紧集，使得定理2的条件（T2.C1）无论何时都成立 Θ.引理1意味着定理2中的结果在这个例子中成立，如果（L1.C1）和（L1.C2）hold，如果Θ足够大，可以包含紧集Θ。要了解为什么我们需要Θ足够大，请注意，如果Θ与单例集一样小，那么任何数据相关的子模型都将自动具有相同的识别集，因为Θ的大小使其非常受限。为了防止这种情况发生，我们需要足够大的参数空间。EΘ的要求 Θ意味着Θ的大小在分析中不会成为约束性限制。确保该条件的最简单方法是，让Θ=Rd.引理1和定理2隐含以下推论。有关详细讨论，请参见Molinar i（2020）。错误指定模型的不协调松弛11推论1。假设Y的支撑是离散和有限的，参数空间Θ 假设（L1.C1）和（L1.C2）保持不变，且Θ足够大，足以将Θ包含在引理1中。对于紧凑集的任何集合K，定义ΘI（K）为子模型的识别集，每个K满足（3.2）∈ K

然后，当且仅当存在两个紧集的有限集合且ΘI（K）和ΘI（K）都是非空的，但这两个识别集有空交集时，整个模型被驳斥。此外，每当完整模型被驳斥时，对于任何具有非空ΘI（eK）的紧凑集集，都存在并证明了ΘI（eK）的存在∪ K） 6= ΘI（K）6=, 但是ΘI（eK）∪（K）∩ ΘI（K）=.我们用一个进入博弈模型的例子来结束这一小节。例3（入门游戏）。考虑一个n人完全信息输入游戏，如Ciliberto和Tamer（20 09）。假设有n个参与者，其中参与者i的支付函数指定为πi=γi+X′iβ-Xj6=iδjYj+i其中Xis是一些协变量，可能是特定的参与者i，γ和β是参数系数Yj∈ {0，1}代表玩家j的进入决策，δj>0是玩家j的交互参数。为简单起见，我们假设Y=（Yi:i=1，…，n）始终是一个纯策略。假设=（，…，n）独立于X，且服从正态分布n（0，∑）。设γ=（γ，…，γn）和θ=（γ，β，δ，∑）为所有参数的向量。让Y={Y=（Y，…，yn）：yi∈ {0,1}，i=1。。。，n} 是所有可能进入决策的集合，并且让2yde注意任何K的lly子集的集合∈ 2Y，定义L（K，X，θ）为至少一个y∈ K是给定X和θ的纯策略纳什均衡。在实际中，L（K，X，θ）通常可以通过数值模拟得到。在Galichon和Henry（2011）中，该模型的识别集显示为所有θ的集合，对于Y的所有非空集K，该集合满足（3.2）。这些不等式的数量随着n的增加而迅速增加，顺序为2n。