指定错误模型的不协调松弛

Galichon和Henry（2011）提供了一些方法，通过消除（3.2）中的重复邓丹不等式来减少不等式的数量，但一般来说，识别集的尖锐特征涉及大量不等式。在实践中，为了计算的可行性，实证研究人员通常预先选择子集的有限集合K，并且只对每个K进行检查（3.2）∈ K.例如，参见Ciliberto和Ta mer（2009年）以及Ciliberto、Murry和Tamer（2020年）。现在让我们检查命题1中的条件。命题1中的条件（L1.C1）与数据的总和相比是低水平的。假设X有一个紧的s支撑，P（Y=Y | X）>0几乎肯定，并且P（Y=Y | X=X）在X中对于每个Y都是连续的。假设1中错误指定模型（L1.C2）的条件12不协调松弛也成立，这是每个Y的原因∈ Y、 一个可以有L（{Y}，x；θk）→ 1.通过计算β=0、δ=0和letγ→ γ*γ在哪里*我=∞ 如果yi=1和γ*我=-∞ 如果yi=0.4。相容子模型和最小数据一致松弛如前一节所讨论的，当完整模型被驳斥时，可能存在不一致子模型。然而，完整模型的错误并不一定会导致子模型的不一致。在本节中，我们将提供一个有效条件，确保所有数据一致的子模型始终彼此兼容。为了说明我们的结果，我们需要引入一个新概念。在重新构建完整模型时，我们可以通过放弃或放松一些假设来获得一些数据一致的子模型。我们说，数据一致性子模型是一个最小松弛，如果我们只是放松最小数量的假设来恢复数据一致性。定义1。LeteA是a的子集。

我们说，如果ΘI（eA）是非空的，并且对于任何a，eA是a的最小数据一致松弛∈ A\\eA，ΘI（eA∪ {a}是空的。为了说明这个概念，让我们考虑一个简单的例子，其中a={a，a，a}。每个AIA的识别集都是R中的闭合区间，如图1所示，其中ΘI（a）=[b，c]、ΘI（a）=[d，e]、ΘI（a）=[f，g]和f≤ B≤ c<d≤ E≤ g、 我还认为ΘI（{a，a′}）=ΘI（a）∩ ΘI（a′）论坛，a′论坛∈ {a，a，a}。图1。在这个例子中，{a，a}和{a，a}都是最小的数据一致松弛。而且，{a}不是最小数据一致性松弛，因为在包含aor a后，它将保持数据一致性。以下定理证明了在一般情况下存在最小数据一致性松弛。定理3。假设满足以下两个条件之一，（T3.C1）A是一个有限集。（T3.C2）适用于任何∈ A、 ΘI（A）是紧凑的。此外，对于任何B A、 ΘI（B）=∩A.∈BΘI（a）。然后，存在A的一些最小数据一致松弛。此外，对于任何包含entA′的数据 A、 存在一些最小数据一致性松弛，因此A′eA。错误指定模型的不协调松弛13通常，最小数据一致松弛的数量可能是唯一的，也可能不是唯一的。我们将把关于多重最小数据一致性松弛的讨论推迟到下一节。在本节中，我们将重点讨论存在唯一最小数据一致弛豫的情况。结果表明，最小数据一致松弛的唯一性与子模型的相容性密切相关。定理4。考虑以下陈述：（T4.C1）存在一个唯一的数据组成子模型a*这样，任何数据一致的子模型A′都包含在*.

因此，ΘI（A*) = ∩A′：ΘI（A′）6=ΘI（A′）。（T4.C2）适用于任何A′ A、 A′是数据一致的当且仅当∈ A’数据一致。（T4.C3）存在唯一的最小数据一致松弛a*.然后，（t4.C1）<=> （T 4.C2）=> （t4.C3）和*在（T4.C1）和（T4.C3）中是相同的集合。此外，如果（T3.C1）或（T3.C2）保持不变，那么（t4.C1）<=> （T 4.C2）<=> （t4.C3）。定理4包含三个陈述。（T4.C1）是以下观察结果的推广：当完整模型a数据一致时，我们有ΘI（a） ΘI（A′）对于任何子模型A′。在（T4.C1）中，当完整模型A被驳斥时*扮演A的角色：A*是信息量最大的子模型，并且与任何其他数据一致的子模型都是兼容的。（T4.C1）的一个含义是不存在不协调子模型：对于任意两个数据一致的子模型A和A，ΘI（A）∩Θ（A）是非空的，因为ΘI（A）*)  ΘI（A）∩Θ（A）。更重要的是，在（T4.C1）下，我们不再具有定理1和定理2中所看到的子模型A′的ΘI（A′）的任意性。无论选择哪个数据一致的子模型来构造外部集，结果总是包括ΘI（A*). A的价值*取决于数据的分布。当完整的modelA数据一致时*= A.当A被驳斥时，A*可以将其视为从数据中学习的模型，通过在一段时间内删除所有受影响的假设，同时保持所有数据的一致性。解释*第5.1节将进一步研究其作为唯一最小数据一致性松弛的作用。定理4提供了一种检查（T4.C1）是否成立的方法。虽然*在（T4.C1）中，取决于数据的基本分布，我们可以在不知道数据的情况下使用（T4.C2）来验证（T4.C1）。条件（T4.C2）意味着所有数据一致的子模型彼此兼容。

等价地，（T4.C2）也意味着数据一致的子模型集，即{A′ 答：ΘI（A′）6=}, 在接受联合的操作下关闭：数据一致的联合子模型保持数据一致。我们可以通过导出检测到违反假设的可测试条件来验证（T4.C2）。这在以下在治疗效果文献中详细研究的模型中得到了说明。在第4.1.1节中，我们考虑了一个二元IV模型，其中违反假设与Pearl的工具不等式有关。然后可以通过研究这些不等式来验证条件（T4.C2）。在第4.1.2节中，我们介绍了另一种实现方法（T4.C2）。在该示例中，所有假设都是嵌套的，即a表示错误指定模型a′的14个不协调松弛，或a′表示任意两个a，a′的a′∈ A.因此，一组假设的数据一致性等同于该组中最强假设的数据一致性，这意味着（T4.C2）的有效性。4.1。一些示例。4.1.1。二元工具变量（IV）模型。考虑以下潜在结果模型：Y=[YZ+Y（1-Z） ]D+[YZ+Y（1-Z） [（1）-D） 其中Y、D和Z都是二进制的。YDZR表示当D和Z分别从外部设置为D和Z时的潜在结果。感兴趣的参数是平均潜在结果，即θdz:=e[Ydz]，θ：=（θ，θ，θ，θ）。

让我们考虑以下一组假设：oa:=Y≥ Y&Ydz⊥ Z、 d，Z∈ {0,1}，oa:=Y≤ Y&Ydz⊥ Z、 d，Z∈ {0,1}，oa:=Y≥ Y&Ydz⊥ Z、 d，Z∈ {0,1}，oa:=Y≤ Y&Ydz⊥ Z、 d，Z∈ {0, 1}.Manski（1990）研究了IV独立和排除限制下的平均潜在结果的识别，即=a、 a，a，a}={Ydz⊥ Z&Yd1=Yd0，d∈ {0, 1}.Pearl（1994）通过推导所谓的Pearl工具不等式证明模型A是错误的，Kitagawa（20 21）证明工具不等式是检测模型A的可观测vio的最具信息量。另见K’edagni和Mouri fi（2020）中的结果。让我们表示qij（z）：=P（Y=i，D=j | z=z）表示i，j∈ {0, 1}. 珍珠工具不等式如下：q（1）+q（0）≤ 1，（4.1）q（0）+q（1）≤ 1，（4.2）q（1）+q（0）≤ 1，（4.3）q（0）+q（1）≤ 1.（4.4）如果至少有一个不平等被违反，模型A将被拒绝。注意，任何假设，我∈ {1，…，4}有明确的经济解释。例如，目标是与治疗D=1相关的平均因果直接效应（ACDE）是非负的，即ACDE（D）=θd1- θd0≥ 0表示d=1。换句话说，工具Z不一定被排除在输出方程之外，但当处理假设a-a和本文后面的其他假设中对随机变量的所有不等式限制应理解为几乎肯定成立的限制时，工具Z对输出有直接的非负因果影响。请参阅Pearl（2001）和Cai等人（2008）对ACDE的详细讨论。错误指定模型的不协调松弛被外部设置为D=1。

一个人可以很容易地证明：ΘI（{a}）= <==> （4.1）被违反，ΘI（{a}）= <==> （4.2）被违反，ΘI（{a}）= <==> （4.3）被违反，ΘI（{a}）= <==> （4.4）被违反。（4.5）和（T4.C2）可以通过定理4进行验证。根据定理4，存在唯一的最小数据一致松弛*. 确切的形式*答案如下：a*=4.4）4.4）持有，但（4.3）4.4）持有，但（4.3）持有，但（4.3）是违反的，{A，A，A，A，A，A，A，A}如果（4.1）（4.1）（4.1）（4.1）（4.1）（4.1）（4.1）（4.1）（4.1）（4.2）（4.2）（4.4）持有，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，如果（A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A，A A，A}如果（4.2），（4.3）保持，但是（4.1）和（4.4）是可变的，{A，A}如果（4.2），（4.4）hold，但是（4.1）和（4.3）是vio-lated，{a，a}如果（4.2），（4.3）hold，但是（4.1）和（4.4）是vio-lated，（4.6）那么，我们有：*) =如果（4.2）如果（4.4）持有，但是（4.1）被违反，如果（4.4）持有，但是（4.1）被违反，如果（4.1）如果（4.1）持有，但是（4.1）被违反，如果（4.1）持有，但是（4.1）（4.1）（4.1）（4.1）（4.3）（4.3）（4.4）持有，4.4.4）持有，但是（4.1）被违反，但是（4.1）被违反，如果（4.1）被违反，如果（4.1）持有，但是（4.1）持有，但是（4.1）被违反，但是（4.1）被，（4.1）持有，（4.1）、（4.1）、（4.1）、（4.1）、（4.1）、（4.2）、（4.2）、（4.2）、（4.2）、（4）持有，4.4.4.4）持有，4）持有，但是（4）持有，但是（4）如果（4.2）、（4.4）保持，但是（4.1）和（4.3）被违反，如果（4.2）、（4.3）保持，但是（4.1）和（4.4）被违反，ΘI（{a，a}）如果（4.2），（4.4）保持，但是（4.1）和（4.3）被违反，ΘI（{a，a}）如果（4.2），（4.3）保持，但是（4.1）和（4.4）被违反，（4.7）其中ΘI（a）=θ :supzq（z）≤ θ= θ≤ 1.- supzq（z）supzq（z）≤ θ= θ≤ 1.- supzq（z）。ΘI（{a，a，a）}）=θ :q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），θ- θ≥ 极大值{0，q（1）+q（0）- 1} ，supzq（z）≤ θ= θ≤ 1.- supzq（z）。为了简洁起见，从ΘI（{a，a，a}）到ΘI（{a，a}）的保留集被放在附录a.2中。有关详细讨论，请参阅应用程序endix A.2。16指定错误模型的不协调松弛4。1.2.

自适应单调IV（AMIV）。考虑以下潜在结果模型：Y=Pz∈Z（Z=Z）[Y1zD+Y0z（1- D） ]中，处理D是二进制的，仪器Z的支持Z是离散和有限的。YDZ是指当治疗和仪器分别外部设置为d和z时的潜在结果。假设Z是一维的，在不失去普遍性的情况下，假设Z={1，…，k}。我们对d的平均潜在结果θd=PzP（Z=Z）Eydz感兴趣∈ {0, 1}. 对于任何一个z∈ {1，…，k}，将假设AZ定义为以下假设的集合：E.1每个d∈ {0，1}和任何t∈ {1，…，k}，P（Ydt）∈ [yd，yd]）=1。E.2每个d∈ {0，1}和任何t∈ {1，…，k}，E[Ydt|Z]=E[Ydt]几乎可以肯定。E.3每d∈ {0,1}，Ydt≤ Ydt′代表所有人≤ t′，对于所有t≥ z、 每个都有三个部分。E.1要求潜在结果得到有限的支持。E.2是与潜在结果Ydz相关的平均独立性假设。她的新奇感增强了。3这是排除限制的自适应放松。事实上，在一个极端情况下，当nz=1时，E.3相当于完全排除限制，也就是说，对于所有的d、z和z′，Ydz=Ydz′，因此。2和E.3相当于Manski（1990）中引用的平均独立假设，即E[Yd | Z]=E[Yd]。在另一个极端，当z=k时，E.2和E.3意味着Manski和Pepper（2000）中引入的MIV假设，即z<z=> E[Yd | Z=Z]≤ E[Yd | Z=Z]。然而，当1<z<k时，我们处于一种中间地带的情况，排除限制被放松，使得Ydz′在z′中是单调的，但在z′中保持不变≥ z、 关于E.3下Ydzdepe nds o n z的图示，请参见图2。我们把这个假设称为AMIV假设，因为我们允许这个切点z由数据决定。

AMIV的经济合理性在于，即使Z不是一个有效的IV，因为它可能会对潜在结果产生积极影响，在某些经验背景下，可以考虑IV对潜在结果的边际影响在某个切分点后变得无效。通过构造，对于所有Z=1。。。，K- 1，az表示az+1。此外，将a+定义为E.1和E.2的集合。设A={A，…，ak，A+}为所有假设的集合。然后，完整模型A是Manski（1990）考虑的经典平均独立性假设。在加法中，因为a中的假设是嵌套的，所以我们知道对于任何非空的a′ A、 有一些*∈ 这样的*表示A′中的所有假设。因此，（T4.C2）在本例中成立。定理4则意味着所有数据一致的子模型将相互兼容，并且存在唯一的最小数据一致松弛*. 要解决*,定义Yd=Y（D=D）+Yd（d6=D），Yd=Y（D=D）+Yd（d6=D），qdz=E[Yd|Z=Z]，qdz=E[Yd|Z=Z]。然后，我们得到以下结果：命题1。假设是P（Y）∈ [yd，yd]D=D=1表示任何D∈ {0, 1}. 设θ=（θ，θ）为感兴趣的七参数。然后，模型A总是有一个唯一的最小数据一致松弛A*,还有*始终包含+。此外，对于任何z=1。。。，k、 阿兹∈ A.*当且仅当下列错误指定模型的不协调松弛171 2 3 4 5ZYDZ图2。z=3和k=5时限制E.3的图示。每个d都有两个条件∈ {0 , 1}:z′<z，max（qdt:t≤ z′）≤ 最小（qdt:t）≥ z′）和最大值（qdt:t=1，…，k）≤ 最小（qdt:t）≥ z） 因此，az∈ A.*意味着az′∈ A.*对于所有的z′>z。

此外，如果{z:az∈ A.*} 是非空的，德涅兹*= min{z:az∈ A.*} 和Γd，z*=Xz<z*P（Z=Z）最大值（qdt，t≤ z） +Xz≥Z*P（Z=Z）max（qdt:t=1，…，k），Xz<Z*P（Z=Z）min（qdt:t≥ z） +Xz≥Z*P（Z=Z）min（qdt:t≥ Z*).然后，ΘI（A）*) = Γ1，z*×Γ0，z*. 如果{z:az∈ A.*} 是空的，那么ΘI（A*) =E[Y]，E[Y]×E[Y]，E[Y].备注2。值得一提的是，为了简单起见，我们在*为了与E.3中的所有潜在结果保持一致，我们不需要这样做。我们可以让数据分别确定每个潜在结果的切分。18错误指定模型的不协调松弛5。在本节中，我们考虑存在多个数据一致松弛的情况。根据定理4，数据一致松弛的多重性是不协调子模型存在的必要条件。事实上，只要存在两个互不兼容的数据一致性子模型，就至少存在两个最小数据一致性松弛。如果事先没有理由支持一个子模型而不是另一个子模型，那么考虑所有这些放松是合理的。定义2。设所有最小数据一致松弛的集合。错误的定义*Iis定义为Θ*I:=∪eA∈ARΘI（eA）。误指定鲁棒界可视为Masten和Poirier（2020）中引入的falsi fification adaptiveset c概念的特例。然而，本节的一个显著特点是，我们关注离散松弛，其中假设要么被放弃，要么被保留，而马斯滕和波里耶（202 0）只关注以连续方式放松假设。一般来说，再松弛的类型取决于所研究的实证问题。在下文中，我们将探讨离散松弛的各种特征，这些特征超出了它的正式定义。

特别是，我们将指出在哪些情况下，只考虑离散松弛更为有价值。5.1. 非冲突性声明。考虑一个关于θ的假设陈述∈ 代表Θ的某些子集。然后，这个假设将由某个子模型A′ifΘI（A′）隐含 相反，它将被子模型A′ifΘI（A′）拒绝∩S=. 我们假设θ∈ 如果（C1）θ，S是非冲突的∈ S由一些数据一致的子模型暗示。也就是说，存在一些子模型a′ A使得ΘI（A′） S和ΘI（A′）6=.（C2）θ∈ S不会被任何数据一致的子模型拒绝。也就是说，不存在asubmodel A′ 带ΘI（A′）6的A= 使ΘI（A′）∩ S=.我们使用∧表示所有非冲突语句的集合：∧≡nS Θ：（C1）和（C2）等等。非冲突性陈述不是唯一的。如果是∈ ∧，它的支持也是如此。当引用完整模型时，不同的数据一致性子模型可能意味着关于θ的不同且可能不一致的陈述。在所有关于θ的可能陈述中，我们认为，非冲突性是对一个陈述的最低要求，以确保其对模型误判具有鲁棒性。如果一条语句不具有非冲突性，那么它要么不是由任何数据一致性子模型暗示的，要么被某些数据一致性子模型拒绝。在以下两个定理中，我们探讨了非冲突语句与误判鲁棒界Θ之间的联系*I.错误指定模型的不协调松弛19定理5。假设（T3.C1）或（T3.C2）中的任何一个保持不变。还假设ΘI（a）6= 至少一个∈ A.那么Θ*我∈ λ，所以对于任意非空的Θ的子集S，Θ*我 S意味着S∈ Λ.定理5说明θ∈ Θ*Iis不冲突。它还提供了一个非冲突的有效条件：θ隐含的任何语句∈ Θ*Iis也是非冲突的。