指定错误模型的不协调松弛

这意味着ΘI（B）∩ ΘI（A）∩ · · · ∩ ΘI（AK）是空的，这与Z是一条链的事实相矛盾 ΘI（A′）对于每个A′都是不重要的∈ A.因为ΘI（A+）是非空的，所以A+∈ A.此外，通过A+，A′的构造 A+表示任何A′∈ Z通过Zorn的le mma，我们得出A包含一个偏序极大元. 这就完成了pro。定理2的证明。当存在两个子模型A和A且ΘI（A）6=, ΘI（A）6= 和ΘI（A）∩ΘI（A）=, ΘI（A）∪ （A） ΘI（A）∩ ΘI（A）意味着ΘI（A）∪ A） = 所以ΘI（A）=. 此外，存在一个*当ΘI（A）= 这意味着总是存在一些非空的子模型B A带ΘI（B）6=. 因此，为了证明定理2中的所有结果，我们只需要证明当ΘI（A）=, 对于任何非空B A带ΘI（B）6=, 在ΘI（B）处存在两个有限集B′和B′∪ B′）6=, ΘI（B′）6= 和ΘI（B）∪ B′）∩ ΘI（B′）=.现在，假设ΘI（A）= 设B是一个具有 6=B A和ΘI（B）6=. 引理4意味着存在一些A A使（i）B~A，（ii）ΘI（~A）6=, （iii）任何∈ A\\~A，ΘI（~A∪ {a} ）=. 自从∩A.∈A.* ΘI（a）=,一定有某种原因*∈ A.*以至于我*) ∩ ΘI（ΘA）（ΘI（ΘA），因为否则ΘI（ΘA） ∩A.∈A.* ΘI（a）影响∩A.∈A.* ΘI（a）=. 因为我（a）*) ∩ ΘI（ΘA）（ΘI（ΘA）意味着/∈ΘA的构造意味着ΘI（{A*} ∪~A）=. 在条件（T2.C2）下，我们现在kΘI（a*) ∩ ΘI（~A）=.假设A是一个有限集。那么，~A\\B也是一个有限集。因此，我们用B′=~A\\B和B′′={A来得到期望的结果*}.假设A是一个有限集。然后，条件（T2.C3）在这种情况下保持不变。定义T:={I（B）∪ {a，a*}) : A.∈~A}。那么，T不是空的，因为ΘI（B∪ {a*}) ∈ T和BΘA.因为ΘI（A）*) ∩ ΘI（~A）=, 因为条件（T2.C2）成立，∩s∈TS=ΘI（ΘA∪ {a*}) = . 因此，ΘI（B） ( ∩s∈TS）Cso即ΘI（B） ∪s∈TSC。

因为任何∈ T在条件（T2.C3）下是紧的，并且henc是闭的，{SC:S∈ T}是ΘI（B）的开放覆盖。由于ΘI（B）是紧致欠条件（T2.C3），因此必须存在一定数量的S。。。，锡∈ ΘI（B） 联合国安全理事会∪ ... ∪ SCn=（S）∩ ... ∩ Sn）C，或等式，ΘI（B）∩ s∩ ... ∩ Sn=. 这意味着存在一个，一个。。。，一∈ΘI（B）∩ ΘI（B）∪{a*, a} )∩ ... ∩ ΘI（B）∪ {a*, an}=. 在条件（T2.C2）下，这相当于ΘI（B）∪ {a，…，an}）∩ ΘI（a）*) = .自从。。。，一∈ΘA，我们知道ΘI（B）∪ {a，…，an}）6=. 因此，我们用B′={a，…，an}和B′\'={a，…，得到期望的结果*}. B.2.1。当定理2不成立时。在这一节中，我们给出了四个反例来说明定理2的结果，如果违反了其中的任何一个条件，那么它就会失败假设只违反了条件（T2.C1）。考虑下面的例子，其中A={A，A，A}与ΘI（A）ΘI（a），ΘI（a）6= ΘI（a）=. 然后，驳斥了完整的模型A，但A只有三个数据一致的子模型，即，{A}，{A}和{A，A}。以及，ΘI（a）∩ ΘI（a）∩ ΘI（{a，a}）=ΘI（a）6=.o 假设只违反了条件（T2.C2）。考虑下面的例子。让成为一些不可观察的随机变量。假设A假设E[]=1，假设A假设E[]=2。设θ为的方差。如果a={a，a}，我们知道a总会被驳斥，因为a和aare永远不相容，但是ΘI（a）∩ΘI（a）=[0,1]。o假设只有条件（T2.C3）被违反，并且A是有限的。考虑下面的例子，让A={A，A，…}用ΘI（ai）=（0，1/I）。n，ΘI（A）=∩我≥1ΘI（ai）=, 但对于任何i 6=j，Θi（ai）∩ ΘI（aj）=（0,1/max（I，j））6=.由于每个AI的识别集都是嵌套的，因此我们得出结论，对于任何A，A的ΘI（A）6=, ΘI（A）6=, 我们会有ΘI（A）∩ ΘI（A）6=.B.2.2。定理2的另一个版本。定理2′。假设A是一个有限集。

此外，假设（1）每当ΘI（A）=, 存在一个非空子集a*关于这样的一个ΘI（A）*) =  ΘI（a）6= 为了阿拉∈ A.*.（2） 对于任何A′，A′ A、 ΘI（A′）∩ ΘI（A′）6= 暗示ΘI（A′）∪ A′6=.然后，（a）当ΘI（a）=, 对于任何B A带ΘI（B）6=, 存在一些B′和B′ A以致于B B′，ΘI（B′）6=, ΘI（B′）6= 和ΘI（B′）∩ ΘI（B′）=.（b） ΘI（A）= 当且仅当存在A′和A′时 A使得ΘI（A′）6=, ΘI（A′）6= 和ΘI（A′）∩ΘI（A′）=.错误指定模型的不协调松弛定理2′的证明。让我们首先证明定理的第一部分。假设ΘI（A）=. 修正一个任意的B A带ΘI（B）6=. 假设存在一个∈ A.*使ΘI（B）∩ ΘI（a）=, 那我们就完了。相反，假设ΘI（B）∩ ΘI（a）6= 对于任何一个∈ A.*, 定义A={B∪ {a} ：a∈ A.*}. 自ΘI（B）∩ ΘI（a）6= 对于任何一个∈ A.*, 我们知道ΘI（B′）6= 对于任何一个B′∈ A.此外，A也是一个有限集和ΘI(∪B′∈AB′）=. 枚举A={B，…，Bn}an dde fine＠Bk=∪i=1，。。。，kBi。那么，ΘI（~B）6= 和ΘI（~Bn）=. 定义k*= min{k:ΘI（~Bk）=}. 注1<k*≤ n、 和定义B′＝Bk*-1和B′′=Bk* . 那么，ΘI（B′）6= ΘI（B′）6=. 此外，ΘI（B′）∪ B′）= 意味着ΘI（B′）∩ ΘI（B′）=. 最后，根据结构，B B′，完成了第一部分的证明。现在让我们来看一下定理的第二部分。如果ΘI（A）=, 我们从第一个结果中知道，一定存在一些A′和A′ A使得ΘI（A′）6=, ΘI（A′）6= 和ΘI（A′）∩ ΘI（A′）=. 相反，如果存在A′和A′的话 A使得ΘI（A′）6=, ΘI（A′）6= 和ΘI（A′）∩ ΘI（A′）=, 那么我们必须有ΘI（A′）∪ A′）= 这意味着ΘI（A）=. B.3。定理3的证明。假设为任何非空B A、 ΘI（B）=. 还记得ΘI吗() = Θ. 然后，空集是A的唯一最小数据一致松弛，我们完成了。假设存在一些B A使得ΘI（B）6=.

n，引理4给出了期望的结果。B.4。定理4的证明（T4.C1）=> （T4.C2）：仰卧姿势（T4.C1）是正确的。我们想证明（T4.C2）。设A′是A的任意子集，因为ΘI（A′） ΘI（a）对于任何a∈ A′，如果A′是数据一致的，那么∈ A’数据一致。相反，如果所有的∈ A′是数据一致的，那么（T4.C1）意味着∈ A.*尽管如此∈ A′，即A′ A.*因此，ΘI（A*)  ΘI（A′）。因为*数据是一致的，A′也是一致的。因此，（T4.C2）是正确的（T4.C2）=> （T4.C1）：假设（T4.C2）为真。我们想要证明（T4.C1）。定义A*= {a∈ 答：ΘI（A）6=}.因为（T4.C2）是真的，ΘI（A*) 6= . 修复任意数据一致的A′。我们知道ΘI（a）6= 对于任何一个∈ A′，所以A′ A.*. 因此，（T4.C1）是正确的（T4.C1）=> （T4.C3）和A*在（T4.C1）和（T4.C3）中是相同的集合：假设（T4.C1）为真。我们想证明（T4.C3）。让我们*是（T4.C1）中包含所有数据一致性子模型的数据一致性子模型。首先，请注意*必须是唯一的。如果存在另一个包含所有数据一致性子模型的数据一致性A，那么我们必须有一个 A.*还有*eA。第二，A*在（T4.C1）中必须是最小数据一致松弛，因为/∈ A.*暗示sΘI（a）= 而且，他说，ΘI（A*∪ {a} ）=. 最后，一个*是唯一的数据一致性松弛。因为ΘI（a）= 对于任何一个/∈ A.*, 除A的子集外，不存在任何其他data-c ConsistentSubmodel*.o （T4.C3）=>（T4.C1）如果（T3.C1）或（T3.C2）保持：假设（T4.C3）和（T3.C1）或（T3.C2）保持。设A′为任意数据一致的子模型。根据定理3，re存在一个包含A′的最小数据一致松弛。因为*是唯一最小数据一致松弛，我们得出结论A′ A.*. 因此，（T4.C1）必须为真。B.5。定理5的证明。让我们首先证明第一个结果。

证明Θ*我∈ ∧，我们需要检查（C1）和（C2）中的Θ*一、证明（C1）为Θ*一、 注意，在a-相容弛豫a上存在一些非空极小值d*根据定理3。然后，ΘI（A）*) 6=  ΘI（A）*)  Θ*一、证明（C2）为Θ*一、 注意，根据定理3，对于任何A′ 带ΘI（A′）6的A=, 存在一些最小数据一致松弛*以至于 A.*. 因此，ΘI（A*)  ΘI（A′）∩ Θ*Iso即ΘI（A′）∩ Θ*I6=.这证明了Θ*我∈ Λ. 最后，对于任何带有Θ的S*我 S、 （C1）和（C2）适用于Θ的事实*（C1）和（C2）也适用于s.B.6。定理6的证明。我们首先证明（S3）=> （S1）=> （S2）。然后，我们证明（S2）=> （S3）在条件下（T6.C3）。证明（S3）=> （S1）：显示Θ*iI是∧中最小的元素，请注意Θ*我∈ 根据定理5∧。我们只需要证明这一点∈ Λ, Θ*我 假设存在唯一的最小数据一致松弛a*. 那么Θ*I=ΘI（A）*) 根据Θ的定义*I.对于任何类型的∈ ∧，一定存在这样的A′hatΘI（A′） S和ΘI（A′）6=. 根据定理3，我们知道A′ A.*所以我*)  Θ（A′） 因此，Θ*我 S代表任何S∈ Λ.假设对于任何最小数据一致的r elaxationeA，ΘI（eA）是一个单态集。对于任何人来说∈ ∧，因为（C2）表示，对于任何最小数据一致松弛，我们有ΘI（eA）∩ s6=. 由于ΘI（eA）是一个单态集合，因此我将ΘI（eA）包含在内 S表示所有最小数据一致性。因此，Θ*我 美国证明（S1）=> （S2）：这个结果是立竿见影的。

如果Θ*是∧中最小的元素，∧当然有最小的元素。34指定错误模型的不协调松弛（S2）=> （S3）在条件（T6.C3）下：显示（S2）=> （S3），我们只需要证明当至少存在两个最小数据一致松弛时，（S2）意味着对于任何最小数据一致松弛，ΘI（eA）是一个单集。为了证明这个结果，我们需要以下两个引理，其证明将在后面的章节B.6.1和B.6.2中给出。引理5。让我们。。。，Snbe是满足以下条件的有限个集合：（i）对于任何i=1。。。，n、 Si6=; 和（ii）对于任何i，j=1。。。，n，其中i6=j，Si*Sj和Sj*Si。定义T=∪ni=1定义W={S：以下条件适用于S，（i）我∈{1，…，n}这样 s（二）J∈ {1，…，n}，Sj∩ s6=}. 设W=∩s∈WS。然后，我们得到以下结果：（1）如果n=1，W∈ W.（2）如果n≥ 2，W∈ W当且仅当所有i=1的Si为单态时。。。，n、 （3）W∈ W意味着W=T。引理6。设T是满足（i）任何S的集合的非空集合∈ T，s6=; （ii）对于任何两个，S′∈ T，S∩ S′=. 定义T=∪s∈TS和定义W={S：以下条件适用于S，（i）S′∈ Tsuch那是\' s（二）S′∈ T，S′∩ s6=}. 设W=∩s∈WS。然后，我们得到以下结果：（1）如果T只包含一个集合，那么W∈ W.（2）如果T至少包含两个集合，则W∈ W当且仅当S是所有S的单态∈ T（3） W∈ W意味着W=T。假设（S2）保持，即假设∩s∈∧S∈ Λ. 假设至少存在两个最小数据一致性松弛。我们将使用上述两个引理来证明，对于任何最小数据一致松弛，ΘI（eA）是一个单态集当A是有限集时，我们可以将所有最小数据一致松弛计算为A。。。，安维思≥ 2.定义I=1的Si=I（Ai）。。。，N

通过定义最小数据一致性松弛，Si6= 对于eachi=1。。。，n、 此外，条件（T6.C3）暗示不存在i，j∈ {1，2，…，n}与I6=j，如Si Sj，becau se，否则，ΘI（Ai）∪ Aj）6= 因此，AIA和AJ将不会是最小的数据一致性松弛。定义W={S：以下条件适用于S，（i）我∈ {1，…，n}这样 s（二）J∈{1，…，n}，Sj∩ s6=}. 然后，W=定理3中的结果。因为≥ 2，引理5中的第二个结果意味着每个i=1。。。，n、 o假设A是一个有限集。因为我们假设定理3中的所有条件，我们知道∈ A、 ΘI（A）是紧凑的。此外，对于任何B A、 ΘI（B）=∩A.∈BΘI（a）。然后，对于任意两个最小数据一致松弛A′和A′，我们必须有ΘI（A′）∩ ΘI（A′）=, 因为，如果不是这样，ΘI（A′）∪ A′）=I（A′）∩ ΘI（A′）6= 所以A′和A′不是最小数据一致性松弛。定义T={I（A′）：A′是最小数据一致性松弛。}定义W={S：以下条件适用于S，（i）S′∈ 不是这样的s（二）S′∈ T，S′∩ s6=}. 根据定理3中的结果，W=∧。因为T至少有两个元素，引理6中的第二个结果意味着T中的所有集合都是单态集合。因此，在这两种情况下，我们已经证明，对于任何最小数据一致松弛，ΘI（eA）是一个单态集。B.6.1。引理5的证明。引理5的证明建立在以下引理的基础上，其证明将在本节后面提供。引理7。让我们。。。，Snbe是满足以下条件的有限个集合：（i）对于任何i=1。。。，n、 Si6=; 对于anyi，j=1。。。，n具有i6=j，Si*Sj和Sj*Si，并且（iii）存在i=1。。。，n使SiC至少包含两种元素。定义B={S:i=1。。。，n、 S∩ Si6=}.

我们说S是B中的最小元素，如果S∈ 对于任何S′（S，S′）/∈ B.那么，B至少有两个不同的最小元素。引理5的证明。首先，请注意∈ 通过定义W，假设n=1。然后，T=sb，通过T的定义。此外，S∈ W的定义为W。最后，对于任何∈ W、 我们必须有一个 S由定义W的第一个条件决定。因此，S=W和W=T。假设n≥ 2.我们要证明，对于下列语句：（L7.S1）对于每个i=1。。。，n、 她是单身汉。（L7.S2）W∈ W（L7.S3）W=错误指定模型的TDISCORDANT松弛35以下关系成立：（L7.S1）=>（L7.S2）和（L7.S3）（L7.S2）=> （L7.S1）。显示（L7.S1）=>（L7.S2）和（L7.S3）. 假设（L7.S1）为真。注意，如果S是单态的，那么对于任何其他集合S′，S′∩ s6= 当且仅当S S′。现在，对于任何∈ W、 定义W的第二个条件是： 对于所有i=1。。。，n所以 自从T∈ W、 我们知道T=W和W∈ W.展示（L7.S2）=> （L7.S1）。假设（L7.S2）为真。我们证明了对于所有i=1。。。，n使用以下步骤：步骤1：我们显示如果存在一些i=1。。。，n使得Si为单态，那么Sj为所有j=1的单态。。。，N想知道为什么会这样，让我们*∈ {Si:i=1，…，n}是单态的。假设，为了矛盾的目的，存在j=1。。。，确保她不是单身汉。然后，应用引理7，我们知道存在B={S的两个不同的最小元素S′和′：i=1。。。，n、 S∩ Si6=} 所以（i）对于任何i=1。。。，n、 S′∩ Si6= 和S′∩ Si6=; 和（ii）S′∩ S′\'/∈ B.因为*∈ {Si:i=1，…，n}是单态的，我们知道S* S和S* 所以在∈ W和S′∈ W.此外，sinceS\'∩ S′\'/∈ B、 我们知道S\'∩ S′\'/∈ W

因为W （S′）∩ 通过对W的定义，我们得出了W的结论/∈ W、 这导致了矛盾。第二步：我们证明了一定存在一些i=1。。。，n以至于Si是单身汉。假设，为了矛盾的目的，Si不是所有i=1。。。，n、 自从W∈ W、 肯定存在一些问题*∈ {S，…，Sn}这样* W定义P={Si:Si6=S*, 硅∩ s*6= } Q={Si:Si∩ s*= }.o 当q6=, 将引理7应用于Q中的集合，则存在两个不同的最小元素S′和S′ofB={S：S′∈ Q、 S∩ S′6=} 因此，对于任何∈ Q、 S′∩ s6= 和S′∩ Si6=; 和（ii）S′∩ S′\'/∈ B.通过定义W和构造P和Q，我们知道*∪ S′∈ W和S*∪ S′\'∈ 然而，自从S\'∩ S′\'/∈ B、 我们知道*∪ S′）∩ （S）*∪ S′）=S*∪ （S′）∩ （S′）/∈ 因为定义W的第二个条件在Q中的某些集合中被违反 s*∪ （S′）∩ S′），我们得出结论：/∈ W、 这会导致矛盾当Q=, 我们知道P6= （如果按其他方式，n=1）和S*∈ W.根据W的定义，我们知道W s*.因为* W根据S的定义*, 我们的结论是W=S*. 接下来，我们考虑两个子案例：–当** ∪s∈PS：将W′构造为W′=∪s∈通过W′的构造，我们知道W′∈ 这意味着 W’由W的定义。然而，W=S** W′，这导致了矛盾什么时候* ∪s∈那么，P至少包含两个集合。如果不是这样的话，那就是* ∪s∈PS意味着存在一些S∈ {Si:i=1，…，n}这样S* 排除了这个引理的假设。修正一个轨道∈ P.对于任何S∈ 当s6=S时，选择任意θ∈ S\\S*. 设S+是这些θS的集合。通过S+的构造，我们知道S+∩ s*=  而且，对于任何一位女士来说∈ P与s6=~S，S+∩ s6=. definefw=~S∪ S+。那么，fW∈ W、 因为*∩fW=S*∩~S 6= （回忆)∈ P） ，SfW，这是任何一个S∈ Pwith S 6=~S， 6=S+∩ sfW∩ s

然而，W∩fW=S*∩fW=S*∩ （）∪ S+）=（S）*∩~S）∪ （S）*∩ S+=S*∩■S（因为S）*∩ S+=)（S）*（因为**~S和~S*S*).因为W=S*, 这就是W∩但是，这意味着W*fW，这与那个fW相矛盾∈ W和W=∩s∈WS。因此，当Q=.由于我们在上述所有情况下都得到了矛盾，我们得出结论，一定存在一些i=1。。。，n以至于西辛格尔顿。这一结果结合了步骤1，表明所有i=1。。。，n、 综合以上所有结果，我们已经证明（L7.S1）<=> （L7.S2）当n≥ 2.最后，我们需要展示W∈ W意味着W=T。假设W∈ 当n=1时，我们在W=T时表示th。当≥ 2，我们已经证明（L7.S2）暗示（L7.S1），这进一步暗示（L7.S3）。在这两种情况下，W=T∈ W意味着W=T。引理7的证明。在不丧失普遍性的情况下，让我们假设scon至少包含两个元素。选择两个任意点θ和θ′，其中θ6=θ′。因为对于任何i=2，…，我们都有Si*s。。。，n、 我们可以选择θi∈ 对于任何i=2。。。，n、 根据结构，S∩ {θ，…，θn}=, {θ，θ，…，θn}∈ B和{θ′，θ，…，θn}∈ B.可能存在一些θi∈ {θ，…，θn}这样{θ，…，θn}\\θi∈ B.不断移除这些冗余元素，直到不存在任何36个不协调的松弛错误指定的模型冗余元素。通过这种方式，可以找到S的子集* {θ，…，θn}这是*是B的最小元素。类似地，我们可以找到子集S′ {θ′，θ，…，θn}使得S′是B的极小元。因为{θ，…，θn}∩ S=, 我们必须有θ∈ s*, 因为*/∈ B如果不是的话。类似地，我们知道θ′∈ S′。因为θ6=θ′，我们知道*6=S′。因此，B至少有两种不同的微量元素。B.6.2。引理6的证明。假设T只包含一个集合，比如T={S}。然后，通过T的定义，T=S。