指定错误模型的不协调松弛

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英文标题：
《Discordant Relaxations of Misspecified Models》
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作者：
D\\\'esir\\\'e K\\\'edagni and Lixiong Li and Isma\\\"el Mourifi\\\'e
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  In many set-identified models, it is difficult to obtain a tractable characterization of the identified set. Therefore, empirical works often construct confidence regions based on an outer set of the identified set. Because an outer set is always a superset of the identified set, this practice is often viewed as conservative yet valid. However, this paper shows that, when the model is refuted by the data, a nonempty outer set could deliver conflicting results with another outer set derived from the same underlying model structure, so that the results of outer sets could be misleading in the presence of misspecification. We provide a sufficient condition for the existence of discordant outer sets which covers models characterized by intersection bounds and the Artstein (1983) inequalities. We also derive sufficient conditions for the non-existence of discordant submodels, therefore providing a class of models for which constructing outer sets cannot lead to misleading interpretations. In the case of discordancy, we follow Masten and Poirier (2020) by developing a method to salvage misspecified models, but unlike them we focus on discrete relaxations. We consider all minimum relaxations of a refuted model which restores data-consistency. We find that the union of the identified sets of these minimum relaxations is misspecification-robust and has a new and intuitive empirical interpretation.
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中文摘要：
在许多集识别模型中，很难获得识别集的可处理特征。因此，经验工作通常基于识别集的外部集合构造置信区域。因为外部集合总是已识别集合的超集，所以这种做法通常被视为保守而有效。然而，本文表明，当模型被数据驳斥时，一个非空的外部集可能会产生与来自同一底层模型结构的另一个外部集相冲突的结果，因此外部集的结果可能会在存在错误指定的情况下产生误导。我们给出了不协调外集存在的一个充分条件，该外集覆盖了以交界和Artstein（1983）不等式为特征的模型。我们还推导了不协调子模型不存在的充分条件，因此提供了一类构造外部集不会导致错误解释的模型。在不一致的情况下，我们遵循Masten和Poirier（2020）的方法，开发了一种修复错误指定模型的方法，但与他们不同的是，我们专注于离散松弛。我们考虑了一个被驳斥模型的所有最小松弛，它能恢复数据的一致性。我们发现，这些最小松弛的确定集合的并集是错误规定的稳健的，并且有一个新的直观的经验解释。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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关键词：econometrics Conservative Constructing inequalities Econometric

错误指定模型的不协调松弛*爱荷华州州立大学、约翰·霍普金斯大学和多伦多大学及NBERAbstract。在许多集识别模型中，很难获得识别集的易于处理的特征。因此，实证工作通常基于已识别集合的一个外部集合构建置信域。由于外部集合始终是已识别集合的辅助集合，因此这种做法通常被视为保守而有效。然而，本文表明，当模型被数据驳斥时，一个非空的外部集可能会产生与来自同一基础模型结构的另一个外部集相冲突的结果，因此外部集的结果可能会在存在误判的情况下被误导。我们给出了不协调外集存在的一个充分条件，该外集覆盖了以交界和Artstein（1983）不等式为特征的模型。我们还推导了不协调子模型不存在的充分条件，因此提供了一类构造外部集不会导致错误解释的模型。在不一致的情况下，我们遵循Masten和Poirier（2020）的方法，开发了一种修复错误模型的方法，但与他们不同的是，我们专注于离散松弛。我们考虑一个被驳斥的模型的所有最小松弛，以恢复数据的一致性。我们发现，这些最小松弛的确定集合的结合是不明确的，并且具有新的直观的经验解释。关键词：部分识别、识别/外部集、误判、非冲突假设、稳健识别集。JEL学科分类：C12、C21、C26。1.

引言经济模型结构估计的一个核心挑战是，由于多重均衡或数据的可观测性收缩，假设结构往往无法识别数据的单一生成过程。在这种情况下，部分识别模型的计量经济学一直试图获得与日期兼容的参数的易于处理的特征：目前的版本截至2021 12月3日。这篇论文包含了同一作者之前发表的一篇工作论文（现已退役），题为：“使用无条件力矩限制的边界治疗效应”穆里感谢康诺和SSHRC Insight Grants#435-2018-1273的支持。所有的错误都是我们的。+爱荷华州立大学经济系。电子邮件：dkedagni@iastate.edu通讯地址：约翰·霍普金斯大学经济系。电子邮件：lix Long。li@jhu.edu*多伦多大学和NBER经济系。电子邮件：伊斯梅尔。穆里菲e@utoronto.ca.2错误指定模型的不协调松弛可用数据，并维持假设（以下为确定集）。在应用工作中，一个特别相关的问题是，通常很难找到身份集的可处理特征，然后为其获得有效的信任记录。为了避免这种困难，大部分文献都试图为外部集合提供信任区域，即包含已识别集合但也可能包含其他值的感兴趣参数的值集合。由于其可处理性，当感兴趣的参数仅被部分识别时，为外部集构造置信域已在各种研究主题中得到证实，例如，见Blundell等人。

（2007年）、西利贝托和塔梅尔（20 09）、奥杰霍、布尼和霍茨（2017年）、盛（2020年）、德·保拉、理查兹·舒比克和塔默（2018年）、迪克斯坦和莫拉莱斯（2018年）、霍诺尔和胡（2020年）、切希尔和罗森（2020年）等。在大多数实证研究中，获得一个紧密的外部集合通常被解释为一个小且信息丰富的识别集合的证据；这是因为，在正确的定义下，任何外部集都包含识别集。然而，当初始模型本身被错误定义时，估计外部集可能会产生非常误导的结果。本文的第一个主要贡献是描述一类部分识别的模型，当初始模型被错误指定时，我们总是可以找到至少两个非空的外部集合，它们无法检测到初始模型的违反，并且彼此不一致。我们证明了不同的模型，对于这些模型，识别集具有交集界、条件矩不等式或Artstein（1983）不等式的特征。这是这类模型的负面结果。它表明，在存在误判的情况下——由于识别集表征的不可处理性，通常无法直接测试误判——外部集提供的结果完全可以由研究人员选择构造该外部集的一系列限制条件驱动，我们总是可以考虑另一种限制选择，它提供的结果与研究人员最初提供的结果相矛盾。然而，不和谐的子模型并不存在于所有被驳斥的模型中。然后，我们导出了不协调子模型不存在的充分条件。第二个结果描述了一类模型的特征，对于这些模型，构造外部集合不会导致错误的解释。

在这种情况下，外部集是保守的，但总是稳健的。在我们之前，各种论文都在关注部分识别模型中的误判。一个重要的重点是分析模型错误对用于集合识别模式ls的标准置信区域的影响。Bugni、Canay和Guggenberger（2012）分析了在局部模型错误定义下，运动不平等模型的常用推断方法的行为。Ponomareva和Tamer（2011年）以及Kaido和White（2013年）分别在具有区间值结果的线性回归模型和一些非参数动量的框架中，考虑了误判对半参数部分识别模型的影响。有关详细讨论，请参见Molinar i（2020年）。这里的紧密外部集合指的是非常小且信息丰富的外部集合。错误指定模型的不协调松弛3不平等被正确地描述，错误指定是由于参数函数形式。参见Allen和Rehbeck（2020），他们提出了一种统计推断方法，用于解释拟线性效用模型中的聚合数据所需的最小近似误差。值得注意的是，如果一个人试图为一个外部集合找到一个信任区域，那么任何推理方法，包括在引用前的论文中开发的方法，都无法解决我们在这里提出的问题。这是因为从同一基础模型结构派生的两个非空外部集可能会导致不一致的结果。在不检查基础模型的有效性的情况下采用这些外部集合之一可能会导致误导性结论。

在此之前，我们需要在本文中提出一种更原始的方法来处理这些不一致的结果。这一目标导致了我们的第二个主要贡献，即提供了一种方法来保存由于不一致的不一致的不一致的子模型或不一致的非空外部集而可能被错误指定的模型。主要的直觉是通过移除不协调的子模型，直到所有剩余的子模型都兼容，从而构造完整模型的一些最小松弛。因为有多种方法可以放松模型以恢复数据一致性，所以我们采用所有这些放松模型的识别集的并集。通过这样做，我们构造了所有误码鲁棒界。我们提供了我们的误判鲁棒界存在的一般充分条件，并为其提供了一种新的直观的经验解释。直观地说，如果一个假设与所有数据一致的放松模型都是相容的，那么我们会说该假设对误判是稳健的。误判鲁棒界概念与Andrews和Kwon（2019）中引入的最小松弛识别集有关，可被视为Masten和Poirier（20）中引入的falsi fifification adaptiveset c概念的特例。与Masten和Poirier（2020）的主要区别在于，我们专注于离散的放松，而Masten和Poirier（2020）专注于以连续的方式唯一放松的假设。一般来说，椎间盘网或持续放松的使用取决于仔细观察的经验应用。

在下文中，我们将探讨离散性放松的各种特征，这些特征超出了其正式定义，特别是，我们将指出仅考虑离散性放松更具信息性的情况。值得注意的是，在现有的模型中，离散松弛的错误模型已经得到了广泛的应用，例如，曼斯基和佩珀（2000年、2009年）、布伦德尔等人（2007年）、克雷德等人（2012年）、陈、弗洛雷斯和弗洛雷斯·拉古内斯（2018年）、凯达尼（2021年）、莫里、亨利和米昂戈（2020年），以及其他许多模型。在这些论文中，当初始模型过于严格时，他们提出了替代性较弱的假设，这些假设被认为更符合正在审查的实证应用，且识别/外部集不是空的。然而，一些交替的合理放松可能会导致与他们建议不一致的结果。为了缓解这个问题，我们的错误定义稳健bo und方法建议ts从初始模型的所有潜在不一致最小松弛中收集信息。4.错误指定模型的不协调松弛我们将pape r的其余部分组织如下。第2节通过一个简单的示例介绍了我们的主要思想。第3节介绍了我们关于不协调子模型特征的一般设置和主要结果。第4节讨论了一类模型，对于这类模型，构造外部集合不会导致误导性解释。第5节介绍了用于修复误判模型的误判鲁棒边界。第6节以回归教育为例，说明了我们的专业缺失稳健界限。最后一节总结，其他结果和证明归入附录。2.

介绍性示例：交叉点边界尽管本文的主要思想可以应用于一般模型，但让我们从一个简单的介绍性模型开始，在这个模型中，我们的主要思想可以用一种简单的方式加以说明。让我们考虑Chernozhukov，Lee和Rosen（2013）中交叉边界的一个特例，其中参数θ由上界和下界的条件平均值E[Y | Z=Z]确定≤ θ ≤ E[Y | Z=Z]几乎可以肯定，（2.1）其中Y和Y是两个可观察的随机边界，Z是工具变量的向量。设Zbe为Z的支撑，定义γ：=supz∈ZE[Y | Z=Z]和γ：=infz∈ZE[Y | Z=Z]。当γ≤ γ. 在本例中，我们假设以下规则性条件成立。假设1。假设E|Y|<∞ 和E|Y|∞. 此外，假设条件期望E[Y | Z]和E[Y | Z]存在且E[Y | Z]≤ 几乎可以肯定。这个简单的框架包含一些重要的治疗效果模型。例1（离散治疗模型）。考虑一个设置，其中X:={X，…，xK}是所有可能的处理方法的集合。当治疗外部设置为xk时，让YK成为潜在的outco me。观察结果Y定义如下：Y=Pk（X=xk）Yk。让我们定义θk≡ 假设有一个有界支撑[Yk，Yk]。Yk的随机界可以如下构造≡ Y（X=xk）+yk（X=xk）和yk≡ Y（X=xk）+yk（X 6=xk）。如果我们假设平均独立性假设E[Yk | Z]=E[Yk]，我们得到（2.1）的一个特例。Manski’swork通常考虑具有有限潜在结果的离散治疗模型。例如，见Manski（1990、1994）等。例2（平滑处理模型）。考虑Kim等人（2018）提出的平滑治疗模型。

当治疗为x时，潜在结果为Y（x）=g（x，），其中g为未知函数，为个体异质性表征。假设g（x，）是Lipschitz常数等于τ的错误指定模型5in x的Lipschitz连续不协调松弛。假设我们对θx=E[Y（x）]感兴趣。上下界可以构造为Y（x）=Y- kX- xkτ和Y（x）=Y+kX- xkτ。在离散处理的情况下，如果我们假设E[Y（x）| Z]=E[Y（x）]，我们得到模型（2.1）。作为一种特殊情况，我们还可以考虑一个具有异质系数的线性模型，Y=X′β+其中β是一个非观测随机系数的向量。假设β的系数空间为[β，β]。那么，Y（x）=Y+Piminn（xi- Xi）βi，（Xi）- Xi）βioi，其中，i代表相应变量的尺寸。类似地，Y（x）=Y+Pimaxn（xi- Xi）βi，（Xi）- Xi）βio。在实践中，模型（2.1）有时通过求解其无条件版本E来实现h（Z）（θ）- Y）≥ 0和Eh（Z）（Y）- θ)≥ 0，（2.2），其中h是一些非负函数，将其输入映射到m<∞, （2.2）中的不等式是向量不等式。（2.2）的推论通常比原始模型（2.1）的推论简单得多，尤其是当Z是多维的时候。LeteΘ（h）是模型（2.2）中θ的识别集。正如表中明确指出的，eΘ（h）取决于仪器函数h的选择。然而，由于（2.1）意味着（2.2），我们知道，对于h的每一个选择，eΘ（h）总是区间[γ，γ]的外部集合，即模型（2.1）中θ的识别集，即[γ，γ]eΘ（h）。

这种包含关系通常被用作使用模型（2.2）的理由，它可能不是模式l（2.1）的信息，但其识别结果Θ（h）通常被视为模型（2.1）的识别集[γ，γ]的保守界。我们的第一个观察结果是，基于结果的1Θ（h）并不总是可靠的。要看到这一点，defineh+mto是维度为m的所有非负工具函数的空间。更正式地说，letH+m:={h:Z 7→ Rm+使E kh（Z）k<∞, E kYh（Z）k<∞, EY h（Z）< ∞ E[hi（Z）]>0， i=1。。。，m} 。然后，我们有下面的定理。定理1。假设假设1成立。如果（2.1）中的限制被驳斥，即γ>γ，那么，对于（γ，γ）中的任何θ，都存在一些h∈ H+使得eΘ（H）={θ}。相反，如果存在某个整数m和某个h∈ H+msuch thateΘ（H）={θ}，然后θ∈ [γ, γ].当（2.1）被驳斥时，定理1表明，无条件力矩限制可以用适当选择的工具函数识别交叉界（γ，γ）中的任何元素。（γ，γ）的宽度取决于模型破坏的程度：破坏越严重，间隔越宽。在极端情况下，当平均独立性条件受到严重影响时 （γ，γ），这意味着Mans ki最坏情况边界c中的任何点都可以通过选择h作为点识别结果。定理1建议对外部集进行警告。如果不知道识别集是否为空，则不应使用外部集合Θ（h）来推断识别集。对于这一目的，另一个eΘ（h）可能是误导性的，因为在错误指定的模型的6个不协调松弛中可能不存在θ。确定的et使得θ∈eΘ（h）。