跳跃过程和金融应用的重要性抽样

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英文标题：
《Importance sampling for jump processes and applications to finance》
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作者：
Laetitia Badouraly Kassim (LJK), J\\\'er\\^ome Lelong (LJK), Imane
  Loumrhari (LJK)
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Adaptive importance sampling techniques are widely known for the Gaussian setting of Brownian driven diffusions. In this work, we want to extend them to jump processes. Our approach relies on a change of the jump intensity combined with the standard exponential tilting for the Brownian motion. The free parameters of our framework are optimized using sample average approximation techniques. We illustrate the efficiency of our method on the valuation of financial derivatives in several jump models.
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中文摘要：
自适应重要性抽样技术因布朗驱动扩散的高斯背景而广为人知。在这项工作中，我们希望将它们扩展到跳转进程。我们的方法依赖于跳跃强度的变化以及布朗运动的标准指数倾斜。我们使用样本平均近似技术优化了框架的自由参数。我们在几个跳跃模型中说明了我们的方法对金融衍生品估值的有效性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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2022-4-28 17:27:55 上传

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关键词：跳跃过程 金融应用 重要性 Applications Quantitative

跳跃过程的重要性抽样及其在金融业中的应用*杰罗姆·勒隆*伊曼娜·卢姆哈里*2018年10月10日摘要自适应重要性抽样技术因布朗驱动的差异的高斯设置而广为人知。在这项工作中，我们希望将它们扩展到跳转进程。我们的方法依赖于跳跃强度的变化，结合布朗运动的标准指数倾斜。我们使用样本平均近似技术优化了框架的自由参数。我们在几个跳跃模型中说明了我们的方法对金融衍生品估值的有效性。关键词：重要性抽样；样本平均近似；自适应蒙特卡洛方法。1简介在过去十年里，莱维模型在金融领域非常流行。使用卡尔等人（1999）开发的快速傅里叶变换方法，普通期权可以轻松有效地定价，但对于奇异期权来说，情况变得更加微妙，蒙地卡罗经常从数值角度揭示，对于奇异期权来说，这是唯一可能的方法。在处理高维产品时，这一点变得更加真实。在这项工作中，我们想提出一种基于重要性抽样的自适应蒙特卡罗方法来计算Lévy过程函数的期望值。正如Kiessling和Tempone（2011）所解释的那样，当采用蒙特卡罗方法时，有限活动过程通常被有限活动过程近似，它总是可以表示为连续扩散（即由布朗运动驱动）和复合泊松过程之和。

在这项工作中，我们将集中讨论这样的跳跃效应，其中有一个由aBrownian驱动的部分和一个被写成复合泊松过程的jum p部分，或者多维情况下独立复合泊松过程的总和。我们考虑一个混合高斯和泊松框架，在这个框架中，我们想要解决一个基于一些重要抽样方法的自适应蒙特卡罗方法。设G=（G，…，Gd）为标准正态随机向量，Nu=（Nu，…，Nupp）为参数为u=（u，…，up）的p独立泊松随机变量向量。我们假设g和Nμ是独立的。我们着重于计算ofE=E[f（G，Nu）]（1.1）*格勒诺布尔阿尔卑斯大学，让·昆茨曼实验室，英国石油公司53号，38041法国格勒诺布尔Cédex 9号，电子邮件：Laetitia。巴杜拉利-Kassim@ensimag.imag.fr杰罗姆。lelong@imag.fr，伊曼。loumrhari@ensimag.imag.fr.This该项目得到了能源市场研究中心（www.fime-lab.org）的资助。式中：Rd×Np-→ R满意度E[|f（G，Nu）|]∞.引理1.1。对于任何可测函数h:Rd×Np-→ R为非负的或E[|h（G，Nu）|]∞, 有一个 θ ∈ Rd，λ∈ R*+p、 E[h（G，Nu）]=Eh（G+θ，Nλ）e-θ·G-|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNλii（1.2）其中Nλ是参数λ=（λ，…，λp）的p独立泊松随机变量的向量。这个引理的证明依赖于基本变量的变化。引理1.1使我们能够在计算E时引入一些额外的自由度。当使用蒙特卡罗方法计算期望E时，中心极限定理建议使用f（G，Nu）的表示形式，通过选择使off（G+θ，Nλ）E的方差最小化的参数（θ，λ）来实现可能的最小变量-θ·G-|θ| Qpi=1eλi-uiuiλiNλii。这就引出了本文研究的几个问题。

does是f（G+θ，Nλ）e的方差-θ·G-|θ| Qpi=1eλi-uiuiλiNλiI输入一个u nique极小值？如果是这样的话，如何进行数值计算，以及如何在进一步的蒙特卡罗计算中充分利用它？这些问题在蒙特卡罗计算中是很自然的，并且已经在纯高斯框架中被广泛讨论。首次应用于基于重要性的自适应蒙特卡罗方法的期权定价抽样goesback于Arouna（Winter 2003/04，2004）的论文。这些论文基于高斯随机法向量的均值变化，并使用随机截断的一些随机ap近似算法来搜索最佳参数。Lapeyre和Lelong（2011）后来对这种方法进行了进一步研究，他们提出了一个更通用的框架，用于使用随机逼近来解决自适应蒙特卡罗方法，这在实际应用中是一个小技巧。为了扭转随机逼近的微妙行为，Jourdain和Lelong（2009）提出了采用样本平均逼近，这基本上依赖于非确定性优化技术。Emaire和Pagès（2010）研究了随机截断的替代方法，他们设法修改了初始问题，以便应用更标准的Robbins-Monro算法。他们不仅将此应用于高斯框架，而且还考虑了一些Levy过程的例子，这些过程依赖于Cher变换来引入自由参数。Kawai（2007，2008a，b）也对使用埃舍尔变换器的想法进行了广泛调查。在这项工作中，我们想了解如何修改列维过程的绝对强度以减少方差。首先，我们解释用于高斯和泊松部分的p参数重要性抽样变换。

然后，在第二节中，我们证明了这种变换导致了一个凸优化问题，并研究了最优参数估计的性质。然后，在第3节中，我们将解释如何在蒙特卡罗方法中使用该估计量。我们证明了该方法满足自适应强大数定律和具有最优极限方差的中心极限定理。最后，在第4节中，我们将您的方法应用于带跳跃过程的期权定价。符号。o我们对Rmas列向量的任何元素进行编码如果x∈ Rm，x*是一个行向量。我们使用“*” 表示向量和矩阵的转置运算符的符号。o如果x，y∈ Rm，x·y表示x和y的标量积，相关范数由|·······························如果x∈ Rm，diagm（x）是由向量x给出的对角线元素和等于零的所有额外对角线元素组成的矩阵矩阵imx表示维度m中的单位矩阵m。o如果x∈ Rm，我们定义d（x）=min1≤我≤m | xi |是x和y之间的距离∈ Rm:Qmi=1yi=0}我们说一个随机向量X的值为rm，它的泊松分布参数为u∈ Rmif与夏尔无关，且具有泊松分布，参数ui.2用于计算最佳重要性采样参数2。1.方差的性质1.与引理1.1相比，期望E可以写成E=Ef（G+θ，Nλ）e-θ·G-|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNλii,  θ ∈ Rd，λ∈ R*+p、 注意，对于θ=0和λ=u的特殊选择，我们恢复方程（1.1）。基于这种新表示的E的montecarlo估计的收敛速度由f（G+θ，Nλ）E的方差决定-θ·G-|θ| Qpi=1eλi-uiuiλiNλii可以写成形式v（θ，λ）- 式中v（θ，λ）=E“f（G，Nu）E-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#。（2.1）将引理1.1应用于函数h（g，n）=f（g+θ，n）e，很容易得到v的这个表达式-2θ·g-|θ| Qpi=1e2（λi）-ui）uiλi2ni。

在计算方差后向后应用度量的变化，使我们能够以一种不涉及函数f的参数θ和λ的形式写出方差。这句话非常重要，因为它是下面说明v.proposition 2.1强凸性的关键结果的基础。假设（A1）i。（n，…，np）∈ N*p、 s.t.p（|f（G，（n，…，np））|>0）>0ii。γ>0，E|f（G，Nu）|2+γ< ∞.然后，函数v是完全连续可微的、强凸的，并且在梯度向量上由下式给出：θv（θ，λ）=E“（θ- G） f（G，Nu）e-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#（2.2）λv（θ，λ）=E“a（Nu，λ）f（G，Nu）E-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#（2.3），其中向量a（Nu，λ）=1.-Nμλ，1.-Nuppλp*. 第二衍生工具的定义如下：θ、 θv（θ，λ）=E”（Id+（θ-G） （θ）-G）*) f（G，Nu）e-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#（2.4）θ、 λv（θ，λ）=E“（θ- G） a（Nu，λ）*f（G，Nu）e-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#（2.5）λ、 λv（θ，λ）=E”（D+a（Nu，λ）a（Nu，λ）*) f（G，Nu）e-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#（2.6），其中对角线矩阵D由D=diagp定义Nμλ，Nuppλp.证据让我们定义函数F:Rd×Rd×R*+P-→ R byF（g，θ，n，λ）=f（g，n）e-θ·g+|θ| pYi=1eλi-uiuiλi镍。（2.7）对于（g，n）的任何值，f函数（θ，λ）7-→ F（g，θ，n，λ）是完全连续可微的。因为对于所有0<m<m，sup |（θ，λ）|≤M、 M<d（λ）|θjF（G，θ，Nu，λ）|≤M+eGj+e-Gjf（G，Nu）eM/2+pMdYk=1（eMGk+e-MGk）pYi=1e-uiμimNuii（2.8），其中右边是可积的，因为通过H"older不等式和假设（A1 ii），我们得到了所有（θ，λ）∈ Rd×Rp，E（f（G，Nu）Eθ·G+λ·Nu）<∞. 因此，勒贝格的理论证明v是连续可微的w.r.t.θ和θv由方程（2.2）给出。我们对导数w.r.t进行类似的处理。

λ通过使用以下上界sup |（θ，λ）|≤M、 M<d（λ）|λjF（G，θ，Nu，λ）|≤1+eNujj/m+e-Nujj/mf（G，Nu）eM/2+pMdYk=1（eMGk+e-MGk）pYi=1e-uiμimNuii。（2.9）高阶微分性质是通过类似的参数获得的，尤其是Hessian矩阵借助函数F编写v（θ，λ）=E“F（G，θ，Nu，λ）（θ）- G） （θ）- G）*(θ - G） a（Nu，λ）*a（Nu，λ）（θ）- G）*a（Nu，λ）a（Nu，λ）*!+F（G，θ，Nu，λ）id0d#注意（θ）- G） （θ）- G）*(θ - G） a（Nu，λ）*a（Nu，λ）（θ）- G）*a（Nu，λ）a（Nu，λ）*!=θ - Ga（Nu，λ）！θ - Ga（Nu，λ）！*.因此，Hessian矩阵的第一部分是一个正半有限秩一矩阵。E“F（G，θ，Nu，λ）id0d#≥ E[F（G，θ，Nu，λ）1{Nu=（N，…，np}]diagId，Nλ，…，npλp！。此外，E[F（G，θ，Nu，λ）1{Nu=（N，…，np）}]≥ Ef（G，（n，…，np））e-θ·G+|θ|pYi=1eni-2uiuini！妮妮！≥ Ehf（G，（n，…，np））e-θ·giheθ·GipYi=1eni-2uiuini！妮妮！≥ E[|f（G，（n，…，np））|]pYi=1eni-2uiuini！妮妮！由于条件（A1-i），这个下限是严格正的。因此，Hessian矩阵从下方一致有界，从而产生v的强凸性。因此，函数v允许一个唯一的极小值（θ, λ) 定义为θv（θ）, λ) =λv（θ）, λ) = 0.（θ）的表征, λ) 由于强凸函数的u nique极小值非常吸引人，但不希望以闭合形式计算v的梯度，因此在运行优化步骤之前，我们需要求助于某种近似。在研究逼近最佳参数的可能方法之前，让我们注意到，它的维数为d+p，特别是当变量SG和NL来自跳跃微分过程的离散化时，它会变得非常大。在许多情况下，减少求解优化问题的空间的维数是明智的。减少优化问题的维数。

设0<d′≤ d和0<p′≤ pbe缩小的维度。而不是在整个空间Rd×R中搜索最重要的采样参数（θ，λ）*+p、 我们考虑子空间{（Aθ，Bλ）：θ∈ Rd′，λ∈ R*+p′}其中A∈ Rd×d′是秩为d′的矩阵≤ d和B∈ R*+p×p′秩为p′的矩阵≤ p、 注意，因为B的所有系数都是非负的，所以对于所有的θ∈ R*+p′，Bθ∈ R*+PR的图像很容易被看到*+p′到B与R是同构的*+p′。对于这样的矩阵A和B，我们引入了函数vA，B:Rd′×R*+p′7-→ 定义byvA，B（θ，λ）=v（Aθ，Bλ）（2.10）函数vA，由v的正则性和凸性性质混合而成。因此，从命题2.1中，我们知道vA，B连续可微分且强凸。因此，存在一对独特的极小化子（θa，b）, λA，B) 例如，thatvA，B（θA，B, λA，B) = infθ∈Rd′，λ∈R*+p′vA，B（θ，λ）。我们还可以求出vA，Bn的梯度向量vA，B（θ，λ）=A*θ（Aθ，Bλ）B*λ（Aθ，Bλ）！及其Hessian矩阵vA，B（θ，λ）=E“F（G，Aθ，Nu，Bλ）A*（Aθ- G） （Aθ- G）*A*（Aθ- G） a（Nu，Bλ）*BB*a（Nu，Bλ）（aθ- G）*A B*aa*（Nu，Bλ）B+F（G，Aθ，Nu，Bλ）A*A 00 B*DB#其中，函数F由方程（2.7）定义。对于A=Id、B=Ip、d=d′和p=p′的特定条件，函数vId、Ip和v重合。Esscher变换是一种降维的方法。考虑一个二维过程（Xt）t≤Tof的形式为Xt=（Wt，~Nut），其中W是一个真正的布朗运动，~Nu是一个强度为u的泊松过程。应用于X的Esscher变换得出，对于任何非负函数h，我们有以下等式 α ∈ R、 λ∈ R*+,E[h（（重量，~N ~ut），t≤ T）]=Eh（（Wt+αt，~Nλ，t≤ T）e-αWT-|α| TeT（∧λ）-~u)~u~λ~N~λT设0=t<··<tp=t为[0，t]的时间网格。

如果我们把矢量G（相对Nu）看作网格上W（相对Nu）的增量，我们可以用a，B来恢复一种特殊形式的方程（1.2）∈ 由A给出=√T√T- Tptp- 总磷-1.*; B=（t，t）- T总磷- 总磷-1)*.2.2跟踪最佳重要性抽样参数最佳重要性抽样参数（θ*, λ*) 可以描述为期望的唯一零，这是应用s-tochastic近似的典型框架。特别是，我们可以使用陈和朱（1986）提出的算法；关于这些算法的收敛性和渐近性，我们参考了toLelong（2008，2011）的研究。Lapeyre和Lelong（2011）在最近的一次调查中深入研究了使用随机逼近设计自适应重要性抽样方法，他们强调了使这些算法实际收敛的困难。在这项工作中，我们采用了一种完全不同的观点，通常被称为样本平均近似，它基本上包括首先用样本平均值代替预期，然后在这些经验方法上使用确定性优化技术。Jourdain和Lelong（2009）在高斯框架下研究了这种方法，并证明其非常有效。让（Gj）j≥1是一个d序列-维度独立且同分布的标准正态随机变量。我们还引入了（Nu，j）j≥1a p的序列- 遵循Nu定律的维数独立且同分布的随机向量，即向量的分量独立且泊松分布参数为u。为了n≥ 1.我们介绍了函数vA的样本平均值，b定义为byvA，Bn（θ，λ）=nnXj=1f（Gj，Nu，j）e-Aθ·Gj+AθpYi=1e（Bλ）i-uiui（Bλ）i我是吉。（2.11）对于足够大的n，f（Gj，nu，j），对于某些指数j为0∈ {1, . . .

n}和近似值va，Bn也是强凸的，因此允许一个唯一的极小值（θa，Bn，λa，Bn）由va定义，Bn（θa，Bn，λa，Bn）=infθ∈Rd′，λ∈R*+p′vA，Bn（θ，λ）。位置2.2。在假设（A1）下，随机函数序列（vA，Bn）局部一致收敛于连续函数vA，B。为了证明这个结果，我们使用了后面提到的统一强大数定律，例如Rubinstein和Shapiro（1993，L emm a A1）。这个结果也是Banach空间Ledoux和Talagrand（1991，推论7.10，第189页）中强大的大数定律的结果。引理2.3。让我≥1是i.i.d.Rm值随机向量序列，是Rd和h:E×Rm的开放集→ R是一个可测函数。假设oa.s.，χ∈ E 7→ h（χ，X）是连续的，对于rdk的所有紧集K E、 Esupχ∈K | h（χ，X）|< +∞.然后，a.s.随机f函数序列χ∈ K 7→nPni=1h（χ，Xi）局部一致收敛于连续函数χ∈ E 7→ E（h（χ，X））。命题2.2的证明。这足以证明VN的结果，也将适用于vA，Bn。让M>M>0。对于所有（θ，λ），使得|（θ，λ）|≤ M和d（λ）>M，我们有f（G，Nu）e-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii≤ f（G，Nu）dYk=1（e-MGk+eMGk）eMpYi=1米-uiμimNuii。r.h.s.可由（A1）和霍尔德不等式积分；因此，我们可以应用引理2.3。位置2.4。在假设（A1）下，对（θA，Bn，λA，Bn）收敛于（θA，B）, λA，B) 作为n-→ +∞. 此外，如果（A2）δ>0，Eh|f（G，Nu）|4+δi<∞,√N（θA，Bn，λA，Bn）- （A，B）, λA，B)在规律上收敛于正态分布Nd+p（0，Γ），其中Γ=vA，B（θA，B）, λA，B)-1Cov(F（G，AθA，B）, Nu，BλA，B))vA，B（θA，B）, λA，B)-1用方程（2.7）定义的函数F及其梯度w.r.t.计算简化参数（θ，λ）。条件（A2）确保协方差矩阵Cov(F（G，AθA，B）, Nu，BλA，B)) 性别歧视。