复杂性、混沌和达芬振子模型：对

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英文标题：
《Complexity, Chaos, and the Duffing-Oscillator Model: An Analysis of
  Inventory Fluctuations in Markets》
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作者：
Varsha S. Kulkarni
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Apparently random financial fluctuations often exhibit varying levels of complexity, chaos. Given limited data, predictability of such time series becomes hard to infer. While efficient methods of Lyapunov exponent computation are devised, knowledge about the process driving the dynamics greatly facilitates the complexity analysis. This paper shows that quarterly inventory changes of wheat in the global market, during 1974-2012, follow a nonlinear deterministic process. Lyapunov exponents of these fluctuations are computed using sliding time windows each of length 131 quarters. Weakly chaotic behavior alternates with non-chaotic behavior over the entire period of analysis. More importantly, in this paper, a cubic dependence of price changes on inventory changes leads to establishment of deterministic Duffing-Oscillator-Model(DOM) as a suitable candidate for examining inventory fluctuations of wheat. DOM represents the interaction of commodity production cycle with an external intervention in the market. Parameters obtained for shifting time zones by fitting the Fourier estimated time signals to DOM are able to generate responses that reproduce the true chaotic nature exhibited by the empirical signal at that time. Endowing the parameters with suitable meanings, one may infer that temporary changes in speculation reflect the pattern of inventory volatility that drives the transitions between chaotic and non-chaotic behavior.
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中文摘要：
显然，随机的金融波动往往表现出不同程度的复杂性和混乱。由于数据有限，很难推断此类时间序列的可预测性。虽然设计了有效的Lyapunov指数计算方法，但有关驱动动力学过程的知识极大地促进了复杂性分析。本文表明，1974-2012年全球市场上小麦的季度库存变化遵循非线性确定性过程。这些波动的李雅普诺夫指数是使用长度为131个四分之一的滑动时间窗计算的。在整个分析过程中，弱混沌行为与非混沌行为交替发生。更重要的是，在本文中，价格变化对库存变化的立方依赖性导致建立确定性杜芬振子模型（DOM），作为检验小麦库存波动的合适候选者。DOM代表商品生产周期与外部市场干预的相互作用。通过将傅里叶估计的时间信号拟合到DOM来获得用于移动时区的参数，能够生成再现当时经验信号所显示的真实混沌性质的响应。赋予这些参数适当的含义，可以推断投机行为的暂时变化反映了推动混沌行为和非混沌行为之间转换的库存波动模式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Complexity,_Chaos,_and_the_Duffing-Oscillator_Model:_An_Analysis_of_Inventory_Fl.pdf (816.08 KB)

2022-4-29 16:18:08 上传

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关键词：复杂性 Fluctuations Quantitative Mathematical Applications

复杂性、混沌和Du ffing振荡器模型：对市场中库存波动的分析美国印第安纳大学布卢明顿分校信息学和计算学院Arsha S.KulkarniSchool，邮编：47408摘要：显然随机的财务波动往往表现出不同程度的复杂性、混沌。由于数据有限，很难推断此类时间序列的可预测性。虽然设计了有效的Lyapunov指数计算方法，但有关驱动动力学过程的知识极大地促进了复杂性分析。本文表明，1974-2012年全球市场上小麦的季度库存变化遵循非线性确定性过程。这些函数的李雅普诺夫指数是使用滑动时间窗口计算的，每个长度为131个四分之一。在整个分析过程中，弱混沌行为与非混沌行为交替发生。更重要的是，在本文中，价格变化对库存变化的强烈依赖导致建立确定性杜芬振子模型（DOM），作为检验小麦库存变化的合适候选。DOM代表了商品生产周期与外部市场干预之间的相互作用。通过将傅里叶估计的时间信号拟合到DOM，可获得用于移动时区的参数，从而产生重现当时经验信号显示的真实混沌性质的响应。赋予这些参数适当的含义，可以推断投机行为的暂时变化反映了推动混沌行为和非混沌行为之间转换的库存波动模式。1简介财务波动的时间序列往往表现出不同程度的复杂性和复杂性。对这些性质的统计分析已成为数学科学家研究的主要领域[1,2,3,4]。

对控制这些波动的动力学过程的先验知识有助于正确识别其性质。然而，一个典型的时间序列，例如商品市场中的库存变化，并不表明驱动它的过程。此外，数据的缺乏阻碍了复杂性度量的准确计算。考虑到这一点，一些研究人员构建了一种计算Lyapunov指数的高效算法，该指数指示时间序列是否混沌[5,6]。本文定量研究了1974-2012年全球市场上商品小麦季度库存波动的复杂性和混乱性。在农业市场，高波动期的标志是大宗商品库存的急剧上升或下降。存货是因生产而积累或因消费而消耗的存货。如前所述[7]，需求和供应在为此类变化制造价格恐慌方面可能起到更复杂的作用。金融市场的高度波动行为表明金融市场存在一个复杂的、非随机的特征。虽然商品市场的嘈杂混沌行为已经得到了检验，但经济时间序列中混沌的证据并不充分[8]。无论库存波动的控制过程是确定性的还是随机的，研究非线性的存在都很重要[9]。非确定性过程有助于经济主体更好地预测未来。本文试图证明，在物理学研究[10,11,12]中广泛研究的杜芬振子模型（DOM），有时用于分析商品市场的波动性[13]，对于研究库存波动的振荡行为是可靠的。这里的证据来自于给定时期内小麦的立方价格-存量关系。

分析具有正阻尼且无外力的Duffing方程会产生稳定的固定点，对应于关于平衡点的收敛振荡。然而，当价格不稳定影响预期的形成，从而导致市场中交易员的不稳定投机行为时，金融危机会导致异常。负阻尼杜芬振子产生的发散振荡可能适合于近似这种行为。此外，这些经验波动对市场稳定起着重要作用。外部（政策）干预是一种旨在稳定投资活动的策略，通常应用于时间信号的感知主导频率。然而，外部信号强度的变化可能会导致混沌行为和规则行为之间的转换，反之亦然。Du ffing’sequation表示这种干预作为一种外力与商品生产周期[14]的相互作用，以及前者如何响应库存波动。该方程的参数从交易者心理、投机等方面反映了市场状况。最后，将模型产生的响应的性质与时间序列的实证分析给出的真实性质进行了比较。论文的结构如下。在第2节中，使用复杂性度量分析了小麦的经验存量波动。第3节给出了杜芬振荡器作为库存波动模型的概述和推导。接下来是第4节中对模型的分析，包括参数估计、李雅普诺夫指数，以及与观测值的比较。

第5节最后讨论了关键发现。2库存波动的经验复杂性分析图1显示了1974-2012年期间农产品小麦价格和库存/库存的季度变化。库存模式揭示了在库存期间的行为变化。分析期间涵盖了1974年和2007年前后发生的两次重大粮食危机。从图表中可以明显看出，这些年的价格大幅上涨。据记录，造成这种严重持续波动的一个著名原因是投机活动增加和恶劣天气影响了世界上大多数小麦生产地[7]。74Q1-第四季度79Q1-第四季度84Q1-第四季度89Q1-第四季度94Q1-一九九九年第四季度-第4季度第1季度-第四季度第七季度-第4季度第12季度-第四季度-50050100库存变化74Q1-第四季度79Q1-第四季度84Q1-第四季度89Q1-第四季度94Q1-一九九九年第四季度-第4季度第1季度-第四季度第七季度-第4季度第12季度-第四季度-100-50050100价格变化图1：1974-2012年期间全球小麦库存（顶部）和价格（底部）季度变化的时间变化。横轴表示以季度为单位的时间。每年有4个数据点，共绘制了155个变化。库存和价格单位分别为百万吨（mt）和美元/吨。从图2可以看出，一个时期内的股票变化对下一个时期的股票变化的影响。下面的等式（1）给出了股票价格随时间的变化t表示为x（t）=s（t+（t）- s（t）（1）图2中的曲线图显示了在这两种情况下都是x和x。这表明，一次急剧的库存高峰可能导致类似幅度的高峰或下降。-30-20-10 0 10 20 30 40 50 60-80-60-40-20020406080xxslope=-1.3±0.05图2:t时小麦x与x的变化。

t=1/4。2.1时间信号估计对于长度为N的时间序列，库存波动时间信号的傅里叶近似表示为离散形式asx（t）=a+N/2Xk=1akcos（ωkt）+bksin（ωkt）（2）。傅里叶变换[10]是F（k）=NPn=1x（tn）e-iωktn1≤ K≤ 这里ωk=2πk/N=kω，ω是基本角频率。F（k）是一个复数，用于计算傅里叶系数a、ak和bk。时间序列的主频是使用周期图获得的，周期图定义为单位时间的功率谱密度orN | F |。此估计中白噪声的存在是针对131个数据点的移动时区进行测试的，尽管谱方法最适用于平稳时间序列，但这里的N近似值不是很大。每一个都使用Durbin的测试[15]。该测试采用了累积周期图（详情见附录A），并揭示了在0.1显著水平下，对于每个子周期，一些频率（包括主导频率）是无噪声的。本分析选择的频率为功率更大且无明显噪声的频率。以季度为单位，分别为1/4.06和1/3.93- 年-1.这意味着大约一年后，波动幅度至少会重复大约一次。然而，这种变化的范围可能会使随后的时区彼此不同。2.2用关联维数检测非线性本论文的一个重要特点是分析小麦库存波动的复杂性，并研究它们是否可能是混沌的。然而，混沌需要一个非线性动力学过程。关联维数是一种有助于检测生成给定时间序列的过程的非线性的度量[10,16]。它测量指定模型动力学属性所必需的最小变量数。

使用标准程序，估算长度为N asCD=limr的atime系列的CD→0limN→∞dlog（C（r））d（logr）（3）相关和C（r））=N（N）-1） NPj=1NPj=i+1Θ（r）- 通过距离rij=p（m）计算嵌入尺寸m的rij-1Pk=0（Xi）-K- Xj-k） ）。当m的值增加时，C（r）与r的对数图上直线的斜率给出了CD的值。然而，噪声的存在在一定程度上削弱了该测量检测非线性的能力。因此，相位随机替代数据测试[17]用于比较CD（Q）的观察值与通过随机信号相位信息生成的替代数据获得的值（平均值=hQsi，标准偏差=σs）。根据相应的z分数，即z=| Q，在显著水平ρ下进行双边测试时，拒绝原始时间序列与噪声相关的零假设-hQsi |σs。下表1总结了试验结果。就小麦而言，CD随m的增加有限。这证实了低维非线性的存在。表1：通过使用随机相位法生成100个替代物，在ρ=0.1下进行CD和替代物测试的结果。观察到的CD测试结果1 0.91无噪音2 1.92无噪音3 2无噪音4 2.75无噪音5 2.88无噪音2。3李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数量化了系统对初始条件的敏感依赖性。因此，它也决定了可预测性的水平。指数的正值表示混沌，负值表示非混沌行为。本小节使用众所周知的算法[5]计算时间序列的指数，用于移动长度为N=131个四分之一年的时间窗口。它需要重建每个时间窗口的吸引子动力学。一般来说，对于长度为N，{t，t…，tN}的时间序列，系统离散时间i的状态为Ai=[titi+J。

ti+（m-1） J]当i=1时，MJ是重建延迟，m是嵌入维数。重建的轨迹a=[AA…AM]是一个M=N的M×M矩阵- （m）- 1） J.虽然时间序列中没有关于m的知识，但已知算法必须在m中改变，只要它至少等于系统的拓扑维数。从上面的小节来看，在这种情况下，m=3似乎是一个合理的选择。J被计算为自相关函数下降到1的滞后- 初始值的1/e。在这里，它发生在所有时间窗口的J=44，因此M=43。最大Lyapunov外成分λobserved计算为线b（i）=hdj（i）i的最小平方t、 dj（i）表示在i个时间步之后，最近邻居的jthpair之间的距离(四分之一=1T）。在这种情况下，随着时间窗口向前滑动四分之一年，弱混沌行为往往与非混沌行为交替出现。这阐明了长期可预测性的变化。从自相关函数中也可以明显看出，可预测性的损失率相对较低。库存变化的时间序列以一些较大的正值的形式出现异常，这些正值几乎定期出现，负值相对适中，少数值相对较小。此外，这些积极变化的幅度变化范围不可忽视，并且可能会在时区的单点移动时充分扭曲设置。这些数据的特征似乎是观测到的非混沌和混沌行为之间转变的原因。3库存动态的DOM供需动态在解释观察到的库存波动时往往比较复杂。

重要的是金融投机、外部力量（如政策）和其他可能导致商品系统不稳定的干扰的相互作用。商品生产周期的基本结构[14]由两个负反馈回路组成，因为消费和生产都会将库存调整到所需水平。随着库存的增加，价格下降，从而促使生产减少，消费增加。当库存降至适当水平以下时，情况正好相反。因此，价格-库存关系是一种推挽效应，其中价格变化作为一种恢复力，由库存变化在零水平左右的振荡驱动。然而，对价格上涨的预期可能会增加需求或消费，因为生产商倾向于储存库存，以投机价格波动。因此，股票的微小变化可能只会轻微地改变价格，而大的变化可能会在相反的方向上彻底取代价格。这与下面的非线性模型表现出的行为相似。˙p=αx+αxα<0（4）这里˙p代表每年的价格变化。附录B给出了公式（5）中这种关系的解释和证据。价格变化被认为是一种非线性恢复力。生产周期的动力学[8]≈P（P，x）- C（p，x），并使用经验关系式˙x∝ -x（图2），一个arrivesat˙x=r（P（P，x）- C（p，x））（5）p，C分别代表生产函数和消费函数≤ 0是比例常数。Eqs。（4） ，（5）表示商品振荡的耦合反馈回路。外力可能是一种政策干预，通常以经验信号的感知主频运行，以稳定波动。

如果一个信号中有多个主频，这种选择可能会对合成的动力学产生至关重要的影响，当信号噪声较大时，影响甚至更大。力遵循规则D（t），它是周期性的，形式为asin（ωt）。如果力[3]在时间t时启动，则D（t）=0需要t=nπ；n=0,1,2。。通过这种叠加，等式（5）可以写成˙x=r{P（P（t），x（t））- C（p（t），x（t））+asin（ω（π）- t） ）}（6）重新调整时间τ=π- 假设n=1初始条件sp（0）和x（0）可以确定，我们有˙x=r{P（P（t），x（t））- C（p（t），x（t））+asin（ωt）}t≥ τ=0（7）取上述方程中的时间导数得到¨x=rPp˙p+Px˙x-Cp˙p-Cx˙x+aωcos（ωt）（8） 使用公式（4）并替换δ=-R（P-C）x、 β=-rα（P-C）x、 α=-rα（P-C）x、 γ=raω，¨x+δ˙x+βx+αx=γcos（ωt）（9）等式（9）是确定性的杜芬振子方程，是阻尼物理振荡的一个例子，它可能是混沌的，也可能不是混沌的。它近似于具有扭转恢复力的阻尼驱动倒立摆，并描述了较大的挠度。虽然之前[13]已经将其应用于大宗商品市场的波动，但这里它代表了周期性干预（如政策）对立方价格-存量关系的叠加效应。参数δ、β、α、γ决定了波动是混沌的还是规则的。它们代表：δ经济阻尼程度（由于投机）；β、 α——分别为线性和非线性价格股票推拉效应；γ——外力的振幅。4分析这些参数决定了系统的状态和外部叠加的结果响应。由于其频率含量可能不同，因此需要对商品进行唯一确定。上述获得的傅里叶时间信号可作为杜芬方程的近似解，尤其是当非线性度较低时。