具有随机利率和相关跳跃的LSV模型

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英文标题：
《LSV models with stochastic interest rates and correlated jumps》
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作者：
Andrey Itkin
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Pricing and hedging exotic options using local stochastic volatility models drew a serious attention within the last decade, and nowadays became almost a standard approach to this problem. In this paper we show how this framework could be extended by adding to the model stochastic interest rates and correlated jumps in all three components. We also propose a new fully implicit modification of the popular Hundsdorfer and Verwer and Modified Craig-Sneyd finite-difference schemes which provides second order approximation in space and time, is unconditionally stable and preserves positivity of the solution, while still has a linear complexity in the number of grid nodes.
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中文摘要：
在过去十年中，利用局部随机波动率模型对奇异期权进行定价和套期保值引起了人们的高度重视，如今几乎成为解决这一问题的标准方法。在本文中，我们展示了如何通过在模型中加入随机利率和所有三个组成部分的相关跳跃来扩展这个框架。我们还对流行的Hundsdorfer和Verwer有限差分格式以及改进的Craig-Sneyd有限差分格式提出了一种新的全隐式修改，该格式在空间和时间上提供了二阶近似，无条件稳定并保持了解的正性，同时在网格节点数上仍然具有线性复杂性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> LSV_models_with_stochastic_interest_rates_and_correlated_jumps.pdf (1.02 MB)

2022-5-9 10:46:11 上传

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关键词：SV模型 LSV Quantitative Applications Modification

具有随机利率和相关跳跃的LSV模型Sandrey Itkin纽约大学坦顿工程学院2016年11月24日摘要使用本地随机波动率模型的奇异期权定价和对冲在过去十年中受到了严重关注，如今几乎成为解决这一问题的标准方法。在本文中，我们展示了如何通过在模型中加入随机利率和所有三个组成部分的相关跳跃来扩展这个框架。我们还对流行的Hundsdorfer和Verwer以及改进的Craig-Sneyd有限差分格式提出了一种新的全隐式修改，该格式在空间和时间上提供了二阶近似，无条件稳定并保持了解的正性，同时在网格节点数上仍然具有线性复杂性。近十年来，利用局部随机波动率（LSV）模型对奇异期权进行定价和套期保值引起了广泛关注，如今几乎成为解决这一问题的标准方法。关于在多个可用参考文献中对LSV的详细介绍，我们在Homescu（2014）中提到了近期的综合文献综述。请注意，同一模型或其影响以不同的名称出现在文献中，例如随机局部波动模型、利普顿（2002）的通用波动模型、Halperin和Itkin（2013）的非退火随机局部波动模型（USLV）等。尽管LSV有许多吸引人的特点，允许同时对普通和异国期权进行定价和校准，据观察，在许多情况下，例如短期到期，需要考虑现货价格和瞬时方差的跳跃，以便更好地复制股票或外汇衍生品的市场数据。

贝茨（1996）率先提出了这种方法，他通过在现货价格中引入具有有限活动的跳跃（跳跃-扩散模型），扩展了赫斯顿模型。ThenLipton（2002）进一步扩展了这种方法，将局部随机波动性纳入跳跃扩散模型（关于对任意L’evy模型的扩展，参见Pagliarani和Pascucci（2012））。后来，Sepp（2011a，b）研究了基础现货价格S和瞬时方差v的指数和离散跳跃，并得出结论，后者很少出现负跳跃，这对股票期权的市场数据是必要的。Durhama和Park（2013）提出了一种类似的方法，使用一般跳跃扩散方程对S和v进行建模。注意，在文献中，S和v的跳跃扩散模型也被称为SVCJ（具有同时跳跃的随机波动性）。Salmi等人（2014年）、Shirava和Takahashi的forbasket期权（2013年）对这些用于美式期权定价的模型进行了深入研究。扩展LSV模型的另一种方法是假设短期利率是随机的。在这种方法下，跳跃被忽略，但考虑了一个由三个随机微分方程（SDE）组成的系统，其中包含漂移和相关的微分，见博亚琴科亚和列文多斯基（2013）、基亚雷拉和康（2013）、吉斯（2006）、格泽拉坎德·奥斯泰利（2011）、海恩特延斯和因特·霍特（2012）、希尔皮什（2011）、梅德韦杰夫和斯盖勒（2010）以及其中的参考文献。正如我们已经提到的，考虑跳跃可能对根据市场数据校准LSV模型很重要。将利率随机化并不违背这一结论。此外，利率本身的跳跃可能很重要。

例如，inChen和Scott（2004）根据四种主要货币的期货利率的每日数据校准了利率和波动率均出现跳跃的随机波动率模型，该模型为经验分布提供了更好的拟合。Johannes（2004）使用国库券利率得出的结果也为跳跃的存在找到了证据，跳跃在统计上起着重要作用。Johannes（2004）也发现跳跃通常对收益率的影响较小，但对利率期权的定价很重要。在外汇市场中，所讨论的模型存在一些变化。例如，inDo ffou和Hillard（2001）的国外和国内利率是随机的，没有跳跃，而汇率是由跳跃差异建模的。在Carr和Wu（2004年）中，国内和国外的利率都被表示为一个L’evy过程，使用时间变化方法进行差异化。与其他成分相比，差异成分可以相互关联。在债券市场，如Das（2002）所示，信息意外导致利率不连续。在那篇论文中，开发了一类美联储基金利率的泊松-高斯模型来捕捉意外效应。结果表明，这些模型对短期行为有很好的统计描述，并有助于理解许多经验现象。跳跃（泊松）过程捕捉了高斯模型无法捕捉到的数据的经验特征。此外，有强有力的证据表明，跳跃和拱形过程会很好地增强现有的高斯模型。总的来说，希望有一个模型，其中LSV框架可以与所有三个随机驱动因素中的随机率和跳跃相结合。

我们还希望将这些跳跃视为一般的L’evy过程，因此不只是通过跳跃扩散模型来限制我们。此外，我们认为布朗成分是相关的，所有随机驱动中的跳跃也是相关的，而扩散和跳跃仍然是不相关的。最后，由于当模型的参数在这里时，这样的模型很难进行分析处理，所以我们不讨论这个结论。然而，为了便于参考，这可能是由赫斯顿模型的一些灵活性决定的，其中vol的vol与v0成正比。5.Gathereal（2008年）、Itkin（2013年）认为体积功率的体积是校准参数的更灵活的模型可能不需要在v中跳跃。另见Sepp（2014年）和其中的讨论。时间相关（这通常有助于更好地将模型校准为一组不同到期日的工具，或某些工具的期限结构），我们需要一种有效的定价和校准方法。为此，在本文中，我们建议利用我们在inItkin和Lipton（2015）中首次阐述的方法对信用衍生品进行建模。特别是，在前一篇论文中，我们考虑了一组银行间相互负债，其资产由相关的L’evy过程驱动的银行。对于每一项资产，跳跃都被表示为共同部分和特殊部分的加权总和。这两个部分都可以用任意evy模型来模拟，该模型是之前考虑离散或指数跳跃的方法的扩展，或者使用了L’evy copula方法。我们提出了一种新的高效（每个维度的线性复杂度）数值（分裂）算法来求解相应的二维和三维跳跃扩散方程，并证明了其在空间和时间上的收敛性和二阶精度。

给出了Koumodel的测试示例，而该方法不受该模型的限制。在本文中，我们演示了如何将类似的方法与Schoutens（2001）、Schoutens和Teugels（1998）提出的theMetzler模型结合使用。它建立在梅克斯纳分布的基础上，梅克斯纳分布属于不完全可分分布。因此，它产生了一个L’evy过程——Meixner过程。Meixnerprocess是一种灵活且易于分析的流程，即其pdf和CF以封闭形式已知（更多详细信息，请参见Itkin（2014b）和其中的参考文献）。众所周知，Meixner模型非常丰富，能够根据市场数据进行校准。同样，选择这个模型只是一个例子，因为一般来说，使用的方法是相当普遍的。我们还对流行的Hundsdorfer和Verwerand改进的Craig-Sneyd有限差分格式提出了一种新的全隐式修改，该格式在空间和时间上提供了二阶近似，无条件稳定，并保持了解的正性，同时在网格节点数量上仍然具有线性复杂性。这种修改允许消除最初的几个Rannacher步骤，正如文献中通常所做的那样，以提供更好的稳定性（参见调查，例如，在Haentjens和in\'t Hout（2012））中），并提供整个方案更好的稳定性，这在解决多维问题时非常重要。论文的其余部分组织如下。在下一节中，我们将描述该模型。第2节由两个小节组成。第一种方法引入了新的拆分方法，它隐式地处理混合导数项，从而提供了更好的稳定性。第二小节描述了如果使用Meixner模型，如何处理跳跃。

然而，这种方法绝不仅仅受到这种模型的限制，例如，在Itkin和Lipton（2015）中，我们使用了对跳跃项进行相同处理的Kou跳跃模型。这里，梅克斯纳模型是另一个例子。第3节介绍了一些数值实验的结果，其中欧洲香草和障碍期权的价格是使用这些模型和数值方法计算的。最后一节结束。1模型我们通过引入变量St、vt、rt的随机动力学来考虑具有随机利率和跳跃的LSV模型。我们假设它可以包括扩散和跳跃成分，如下所示：dSt=（rt- q） Stdt+σs（St，t）Sct√vtWs+StdLSt，t，（1）dvt=κv（t）[θv（t）- vt]dt+ξvvatWv+vtdLvt，t，drt=κr（t）（θr（t）- rt）dt+ξrrbtWr+rtdLrt，t。这里q是连续红利，t是时间，σ是局部波动函数，Ws，Wv，Wrare相关布朗运动，因此<dWi，dWj>=ρijdt，i，j∈ [s，v，r]，κv，θv，ξvare瞬时方差vt，κr，θr，ξ的平均回复率，平均回复水平和波动率（vol of vol）的波动率，κr，θr，ξ为随机利率rt，0的相应参数≤ a<2,0≤ b<2,0≤ c<2是一些功率常数，与流行的Heston（a=0.5）、对数正态分布（a=1）和3/2（a=1.5）模型相比，引入这些常数可以增加模型的灵活性。过程Ls，Lv，lr是纯不连续跳跃过程，其生成元为AAf（x）=ZRf（x+y）- f（x）- y1 | y |<1u（dy），其中u（dy）为L’evy度量，z | y |>1eyu（dy）<∞.在这个阶段，跳变度量u（dx）没有具体规定，因此所有类型的跳变，包括具有有限和有限变化的跳变，以及有限和有限活动的跳变，都可以在这里考虑。继Itkin和Lipton（2015）之后，我们介绍了所有跳跃之间的相关性，正如Ballotta和Bon Figlioli（2014）所做的那样。

他们将跳跃过程构造为两个独立的L’evy过程的线性组合，分别代表系统因素和异向冲击（另见Cont和Tankov（2004））。它具有直观的经济解释，并保持了良好的可操作性，因为该模型中的多元特征函数是基于巴洛塔和邦菲格利奥利（2014）的以下命题以封闭形式提供的：命题1.1让Zt，Yj，t，j=1。。。，n是概率空间（Q，F，P）上的独立L′evy过程，具有特征函数φZ（u；t）和φYj（u；t），对于j=1。。。，n分别是。那么，对于bj来说∈ R、 j=1。。。，nXt=（X1，t，…，Xn，t）>=（Y1，t+bZt，…，Yn，t+bnZt）>但是，如果有人想通过校准来确定这些参数，她必须小心，因为在同一扩散项中同时拥有vol的vol和功率常数会给校准过程带来歧义。然而，如果使用一些额外的金融工具进行校准，例如，将奇异期权价格与方差互换价格相结合，则可以解决这种模糊性，参见Itkin（2013）。是Rn上的一个L’evy过程。得到的特征函数是φX（u；t）=φZnXi=1biui；TnYi=1φYj（uj；t），u∈ 注册护士。通过构造，每个因子Xi，t，i=1。。。，n包括公因数Zt。因此，所有成分Xi，t，i=1。。。，n可以一起跳，载荷因子决定了Xi跳的幅度（强度），tdue为Zt。因此，多元L'evy过程x的所有成分都是相关的，它们的成对相关性由ρj，i=Corr（Xj，t，Xi，t）=bjbiVar（Z）qVar（Xj，1）qVar（Xi，1）给出（再次参见Ballotta和Bon figlioli（2014）及其参考文献）。这样的建设有多重优势，即：1。作为符号（ρi，j）=符号（bibj），正相关和负相关都可以调节。

在极限情况下→ 0或bj→ 0或Var（Z）=0，边距变得独立，ρi，j=0。另一个限制是bi→ ∞ 或者bj→ ∞ 表示一个完全正相关的情况，所以ρi，j=1。因此，bi→ ∞, b3-我→ ∞, i=1，2表示完全负相关情况，如该极限ρi，j=-1.根据这一设置，资产Xind xjreads Ballotta和Bon Figlioli（2014）之间的总瞬时相关性ρij=ρσiσj+bibjVar（Z）qσi+Var（Xi，1）qσj+Var（Xj，1）。（2） 通过使用Cont和Tankov（2004）中的标准技术，为未定权益定价，例如，在标的现货价格上书写的普通期权或异国期权，可以推导出以下多维PIDE，该PIDE描述了期权价格V在风险中性度量下的演变τ=[D+J]V，（3），其中τ=T- t是向后的时间，t是合同到期的时间，D是形式D=F+F+F+F，（4）F=（r）的三维线性对流扩散算子- q） SS+σsS2cvs-r、 F=κv（t）[θv（t）- v]v+ξvv2a五、-r、 F=κr（t）[θr（t）- r]r+ξrr2bR-r、 F=~ρs，vpVar（St）Var（vt）sv+~ρs，rpVar（St）Var（Rt）sR+~ρv，rpVar（vt）Var（Rt）Rv、 Var（St）=σs（s，t）S2cv+s（Var（Ys，1）+bsVar（Z（1）），Var（vt）=ξvv2a+v（Var（Yv，1）+bvVar（Z（1）），Var（rt）=ξrr2b+r（Var（Yr，1）+brVar（Z（1）），J是跳跃运算符jv=Z∞-∞hV（xs+ys，xv+yv，xr+yr，τ）- V（xs，xv，xr，τ）（5）-Xχ∈[s，v，r]（eyχ- 1)V（xs，xv，xr，τ）χiu（dysdyvdyr），其中u（dysdyvdyr）是三维L’evy度量，xs=log S/S，xv=log v/v，xr=log r/r。该PIDE必须根据边界和终端条件进行求解。我们假设权益衍生工具的最终条件readsV（S，v，r，T）=P（S），其中P（S）是相应合同规定的期权支付。可以设置边界条件，例如在海恩斯和因特霍特（2012年）中。

然而，在存在跳跃的情况下，这些条件应扩展如下。假设我们想要使用有限差分法来求解上述PIDE，并构造一个跳跃网格，它是用于求解差分方程的有限差分网格的一个超网格（即当J=0时，参见Itkin（2014a））。然后，这些边界条件应该设置在这个跳跃网格上以及扩散域的边界上。2皮埃托解方程的解。（3）我们使用Itkin和Lipton（2015）中描述的分裂算法。算法提供了时间上的二阶近似（假设在每个拆分步骤中，相应的问题都以相同的近似阶解决）和readsV（τ+τ） =e0。5.τDe0。5.τJse0。5.τJve0。5.τJreτJ（6）·e0。5.τJre0。5.τJve0。5.τJse0。5.τDV（τ），Jχ=φχ(-iOχ），J=φZ(-iXχ∈[x，v，r]bχOχ），Oχ≡χ.因此，这需要在每个时间步连续求解9个方程。第一步和最后一步是纯平流扩散问题，可以使用Haentjens和in\'t Hout（2012）提出的有限差分法来解决。然而，我们通过将混合导数算子的显式方案替换为隐式方案进行了略微修改。下一节将详细介绍这种方法以及我们这样做的原因。2.1平流扩散问题我们关注In\'t Hout和Welfert（2007），他们考虑了用于数值求解包含混合空间导数的多维扩散问题的二阶有限差分格式的无条件稳定性。他们调查了Craigand Sneyd提出的ADI方案（见本文参考文献）、Craig和Sneyd的ADI方案的修改版本，以及Hundsdorfer和Verwer引入的ADI方案。