去趋势互相关分析一直延伸到

图2的插图更定量地描述了这种影响，其中hxy（q）- λqi表示为q的函数。当q=2.2时，可以看到与零的最大偏差，达到0.02。对于第二对信号，差值hxy（q）- λqis更明显，并且与负q和正q有关。在这种情况下，hxy（q）和λqis的最大差异为q=-等于0.07.2。λqa和hxy之间的关系为了深入了解λqa和hxy（q）之间的关系，我们对这组时间序列对进行了系统的MFCCA研究，其中一个时间序列对是从范围h1中用m（1）=1.2生成的，另一个时间序列对是用m（2）生成的。25,1.9i（步长为0.05）。然而，多重分形特征仅可用于m<0.6。就m> 0.6，fqxy同时取正值和负值，等式（5）不满足。首先，我们关注λ=λ与平均赫斯特指数hxy（2）之间的关系。在图3的插图中，我们将这些量表示为m、 很明显，这两个量都是单调递减的，它们的值几乎相同m、 然而m> 0.25，λ(m） 下降速度慢于Hurstindex（因此λ>H），统计数据发散。为了强调这一结果，我们还计算了这两个量之间的差异，如图3所示。

正如人们所看到的，λ- hxy（2）是m、 这一结果表明，对于多重分形特征彼此相差较大的时间序列，λ和平均赫斯特指数之间的差异变得更大，而当这些特征相似时，观察到相反的情况，这同时导致更强的互相关。为了更好地理解这种影响，我们分析了协方差函数Fxy（2，s）~ sλ和基于函数[9]的表达式：pFxx（2，s）Fyy（2，s）~shx（2）+hy（2）=shxy（2）。在图4中，我们展示了为不同的m、 很容易注意到，对于小尺寸的零件，所给出的函数几乎是相同的m、 然而，更大的更明显的是，分析统计学之间的差异。在所有情况下，Fxy（2，s）的值都在最大相等的topFxx（2，s）Fyy（2，s）处，并且估计的λ大于hxy（2）。这些数值结果符合以下关系：Fxy（2，s）≤qFxx（2，s）Fyy（2，s），（13），这直接源于这些量的定义，这些量是根据基本时间序列形成的向量的标量积来考虑的[44]。为了更清楚地看到λ和hxy（2）之间的关系，我们可以在Fxy（2，s）=axysλ、Fxx（2，s）=axshx（2）和Fyy（2，s）=ayshy（2）的关系适用的情况下重新计算公式（13），以获得：axysλ≤ （axay）1/2shx（2）+hy（2）。（14） 这导致：λ≤ 原木（（axay）1/2axy）+hx（2）+hy（2）。（15） 对于两个相同的时间序列，等式（13）中的等式成立，导致明显的λ=hx（2）+hy（2）。一般来说，Fxy（2，s），√（Fxx（2，s）Fyy（2，s））Fxy（2，s），√（Fxx（2，s）Fyy（2，s））100 1000 10000s100 1000 10000sm=0.05m=0.15m=0.35m=0.25m=0.45m=0.55图。

4：（在线彩色）比较协方差函数Fxy（2，s）（黑圈）及其等价物FXX（2，s）Fyy（2，s）（红方块），后者来自单个MSM时间序列的方差函数。该函数的斜率分别指λ和hxy（2）。然而，Ar=（axay）1/2axy6=1，（16），因此λ和hxy（2）在任何方向上的差异都是允许的，甚至是强制的，这取决于测井信号（Ar）。对于这个量的负值，λ必须小于hxy（2），而对于正值，它可以变大。一个例子说明ln（Ar）的变化率与图5中显示了q=2的最大值。在这种情况下，ln（Ar）为正，并随时间迅速增加m、 因此，这两个系列之间的不同程度。相关的依赖关系甚至更为复杂，并且似乎与参数q有很大的差异，如图6所示。ln（Ar）在q>0时为正值，最大值随时间增加而增加m、 随着Q的增加，变化幅度更大。q<0的情况类似，但符号相反，变化幅度更大。这些结果很好地吻合——因此指出了它们与图2中所示结果的来源，其中λqi大于hxy（q）表示q的正值，小于hxy（q）表示负值。甚至这些差异的最大值也出现在q的值上，如图6所示，它们在q的负方向上更大。当然，对于更大的值，它们也更大m、 λqa和hxy（q）之间的差异有其反映——也与图中给出的结果一致。2和6——在另一种流行的多重分形测度中，即在标度指数范围内。在图7中，我们显示λqa是M适用于0.1 0.2 0.3 0.40.50.6的两个范围m1200。20.40.60.8ln（Ar）图。

5:q=2计算的ln（Ar）曲线图，作为相似性参数的函数mof MSM时间序列。问：-2.≤ Q≤ 2和-4.≤ Q≤ 4.为了比较，在同一个图中，我们显示hxy=最大值（hxy）- 对于相同的q值范围，计算出最小值（hxy）hxy（q）和λqare被认为是把所有的箱子都拆了。然而-4.≤ Q≤ 4.这些特征几乎相同，而-2.≤ Q≤ 2.两者之间的差异hxyandλq系统地随时间增加m、 这表明，对于相对较大的| q |值（放大瞬时波动成分的最大和最小波动），所考虑的过程的分形特征是相似的，这可能反映了为所有生成的多重分形保留相同的乘数层次结构的效果，在这种情况下，只有波动的相对变化是可能的。因此，上述结果表明，xy（q）和λqi之间的差异被认为是衡量两个时间序列之间分形互相关的一个重要因素。3.MFCCA和MF DX的性能比较在我们研究MSM生成的σttime序列的下一阶段，如果一对时间序列中的一个时间序列相对于另一个时间序列在时间上逐渐移动，我们将分析MFCCA的输出。然后相关性，尤其是它们的分形特征，应该经历明显的减弱。该测试旨在进一步验证算法的性能。作为输入，我们使用m=1.2的时间序列和相同的时间序列，但移动了一定数量的点。我们注意到，时间序列之间的相对位移越大，Fxy的标度范围越短。然而，在所有情况下，估计的λ等于为单个系列计算的广义赫斯特指数。

这种缩放范围的缩短在缩放范围的两侧不是对称的，而是完全从小的缩放侧逐渐达到。scal-4-3-2-101234q-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81ln（Ar（q））下界的移位依赖性m12=0.05m12=0.1m12=0.15m12=0.2m12=0.25m12=0.3m12=0.35m12=0.4m12=0.45m12=0.5m12=0.55图。6：ln（Ar）作为q函数的曲线图。每条线对应不同程度的相似性mof时间序列。0 0.1 0.2 0.3 0.40.50.6m12 00.20.40.60.811.21.41.6λq，hxyq∈[2,2]q∈[-4,4]图7：（在线彩色）λq（黑圈）和hxy（红方块）作为乘数差的函数m=m（2）-m（1）为参数q.ing区域的两个范围计算，可用于确定图中所示的λqi。8.正如预期的那样，这个下限的提升被认为几乎是线性的。在同一个图中，我们还展示了类似分析的结果，但通过MF-DXA程序的常见变体执行，为了解决符号问题，该程序利用了函数的绝对值[43–46]。在这种情况下，该程序被认为对这种替代物不敏感，因此，显然会产生虚假的交叉相关性。为了更详细地阐述最后一个问题，我们生成了一对MSM时间se1 2 3 45 678 9 10 11Shift[点]0102030405060Min的示例。比例MFCCA MF-DXA variantFIG。8：（在线彩色）标度区域的下限可用于计算λqas，即m=1.2的MSM时间序列的两个独立实现之间的位移函数。

黑色圆圈和红色方块分别指通过MFCCA和MF-DXA程序的常用“模数”变体进行的计算。独立绘制m=1.2的乘法器，即使用注释法，注意保持乘法器的层次结构。即使这两个序列各自都是具有相同多重分形特征的多重分形，也没有理由期望它们是多重分形交叉相关的。事实上，在目前的情况下，通过等式（3）确定的相应qth阶协方差函数不会缩放，对于小尺度和中等尺度，它们甚至会通过在零附近的波动假设负值。图9的左面板中显示了展示这种行为的Fxy示例。事实上，这种依赖性非常类似于在两个不相关系列的类似情况下获得的CCA结果（参考文献[36]中的图1b）。因此，这种对应关系提供了MFCCA在此提出的另一个论点，它构成了DCCA的一个自然而正确的多重分形推广。在本例中，应用之前假设的[41]DCCA扩展将导致复数qth阶协方差。正如在导言中已经提到的，解决这一难题的一种常见方法是在计算其qth阶数之前获取互协方差的模。图9的右面板显示了应用于我们两个独立生成的MSM时间序列（m=1.2）示例的这种过程的结果，它清楚地表明了令人信服的多重分形标度。当然，这是一个错误的信号，因为这些序列预计不会是多重分形相关的。100 1000 s-300-200-1000100200300400 Fxy2（s）10 100 1000 10000 s110100Fxy（q，s）100500 s-2-1012 Fxy2（s）图。

9：（左）通过MFCCA获得的两个独立生成的m=1.2的MSM时间序列的二阶协方差函数Fxy（s）。（插图）在较短的标度范围内使用相同的函数。（右）通过MFDXA的“模数”变量计算的Fxy（q，s）函数族。最低和最高行表示q=-分别为4和Q=4。4.MSM模型的签署版本上述σt的时间序列代表未签署的波动（财务方面的波动），因此其个别赫斯特指数显著大于0.5。通过合并从N（0，1）到EQ得出的高斯随机变量UTQ。（9） ，我们可以得到赫斯特指数接近0.5的签名时间序列RTR（例如财务回报）。将原始无符号函数乘以随机抽取的+1或-1.对于与之前相同的MSM时间序列对，即m=1.2、m=1.35和m=1.2、m=1.6，图10显示了这些步骤对广义赫斯特指数h（q）的影响。圆圈表示原始无符号序列的h（q），而正方形和三角形分别表示由高斯随机变量和纯随机符号签名的序列。引入符号可以明显地相对于无符号情况下移行，这样通常的赫斯特指数H=H（2）假设所有有符号序列的值为0.5。对于较大的m，q依赖性自然更强，但在引入符号后仍然基本保持不变，这反映了这样一个事实，即这种操作主要影响序列中的线性时间相关性，而保留了与波动性聚类相关的非线性时间相关性[7]。就SENCH系列之间的多重分形互相关而言，需要更多的注意。在等式中绘制术语utin。

（9） 对于两个序列，独立地破坏了它们的原始（无符号）互相关，并通过等式（3）计算出相应的qth阶协方差，得到了与图9左面板中类似的结果。保持多重分形互相关的一个最直接的方法是对所考虑的两个序列使用相同的UT。为同一com-6-4-2 0 2 4 q0准备的系列对示例。20.40.50.60.811.21.41.61.822.22.4h（q）无符号（高斯）有符号（随机{+1，-1}）m0=1.2m0=1.35m0=1.6图。10：（在线彩色）为单个MSM时间序列计算的广义赫斯特指数h（q）。圆指的是原始的无符号序列，而正方形和三角形分别指的是由高斯随机变量和纯随机符号签名的序列。图11中根据λqa和hxy（q）分析了无符号序列的参数mas之前的组合，即m=1.2对m=1.35和m=1.2对m=1.6。对于这些对中的第一对，无论符号添加变量如何，多重分形互相关基本上保持在与图2上面板所示的相应无符号信号相同的强度水平上。有符号序列的另一对（m=1.2和m=1.6）的λqa和hxy（q）之间的偏差相对于其无符号对应项而言更大，这表明它们的多重分形互相关略微减弱。这实际上与图10所示的广义赫斯特指数h（q）一致。当符号应用于序列时，与无符号情况相比，相应h（q）路径之间的距离增加，尤其是在负EQ侧。C

股票市场数据示例金融波动可以被视为一个物理过程，它构成了传统布朗运动最复杂的概括之一，同时令人信服地表现出非平凡的分形特征[55–57]。因此，他们提供了一个非常苛刻的领域来测试相关的概念和算法。因此，作为MFCCA方法实用性的最后例子，我们对来自德国证券交易所的经验数据进行了分析。此外，由于金融数据的多重分形分析是研究这类复杂系统的最具信息性的方法之一[6、24、26、54、58]，我们相信MFCCA在这一领域也会非常有用。我们考虑对数价格增量g（i）和线性时间增量t（i）0.40.50.60.811.21.4λq，hxy-4-3-2-101234q0。40.50.60.811.2λq，hxy0。40.50.60.811.21.4λq，hxy-4-3-2-10012345q0。40.50.60.811.2λq，hxyFIG。11：（彩色在线）qth阶次函数标度指数λq（黑圈）和平均广义hurst指数hxy（q）（红色方块），计算两对有符号MSM时间序列，对应于m（1）=1.2，m（2）=1.35（顶部）和m（1）=1.2，m（2）=1.6（底部）。（左）由高斯随机变量签名的MSM时间序列。（右）MSM时间序列由纯随机符号签名。代表德国股票样本的动态——E.ON（股票代码：EOA）和德意志银行（股票代码：DBK）（与[6]之前使用的数据库相同）是DAX30指数的一部分。这些量是根据以下公式得出的：g（i）=ln（p（i+1））- ln（p（i）），（17）t（i）=t（i+1）- t（i），（18），其中p（i），i=1。。。，N是离散交易时间t（i）中的报价时间序列。正如之前[6]所述，g（i）和t（i）是具有自相似结构的过程，可以用多重分形方法进行分析。

量化金融动态的这两个特征之间的相互关系特征，对于预测资产回报的多重分形模型等模型中的波动性也具有特别重要的意义[2,55,59–61]。我们对1997年11月28日至1999年12月31日期间的时间序列进行了分析。时间序列分别由T=294、862和T=497、513个forEOA和DBK点组成。因此，时间序列足够长，可以产生具有统计意义的结果。在图12中，我们展示了我们算法的第一步之一，即去趋势互协方差函数fxy（ν，500）（对于标度s=500）作为盒数ν（等式（2））的函数。为了进行比较，在同一个图12中，我们描绘了分别针对价格增量和等待时间的单个时间序列计算的去趋势方差函数Fxx（ν，500）和Fyy（ν，500）（从MFDFA获得）。很容易注意到，为单个时间序列计算的去趋势方差只取正数值，而去趋势互协方差051015FXX2（ν，500）0510Fyy2（ν，500）01000200400500ν-6-3036Fxy2（ν，500）价格增量为时间图。12：顶部和中部：去趋势方差函数分别计算E.ON stock（股票代码：EOA）的价格增量和等待时间的时间序列。底部：为相同数据计算的去趋势互协方差函数fxy（ν，500）。对长度为500点的路段进行了计算。函数Fxy（ν，s）同时取负值和正值。这构成了在直接计算奇数qs的qth阶互协方差函数Fxy（q，s）时已经提到的主要问题，该函数会产生复值（见等式（5））。