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英文标题：
《Detrended Cross-Correlation Analysis Consistently Extended to
  Multifractality》
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作者：
Pawe{\\l} O\\\'swi\\c{e}cimka, Stanis{\\l}aw Dro\\.zd\\.z, Marcin Forczek,
  Stanis{\\l}aw Jadach, Jaros{\\l}aw Kwapie\\\'n
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We propose a novel algorithm - Multifractal Cross-Correlation Analysis (MFCCA) - that constitutes a consistent extension of the Detrended Cross-Correlation Analysis (DCCA) and is able to properly identify and quantify subtle characteristics of multifractal cross-correlations between two time series. Our motivation for introducing this algorithm is that the already existing methods like MF-DXA have at best serious limitations for most of the signals describing complex natural processes and often indicate multifractal cross-correlations when there are none. The principal component of the present extension is proper incorporation of the sign of fluctuations to their generalized moments. Furthermore, we present a broad analysis of the model fractal stochastic processes as well as of the real-world signals and show that MFCCA is a robust and selective tool at the same time, and therefore allows for a reliable quantification of the cross-correlative structure of analyzed processes. In particular, it allows one to identify the boundaries of the multifractal scaling and to analyze a relation between the generalized Hurst exponent and the multifractal scaling parameter $\\lambda_q$. This relation provides information about character of potential multifractality in cross-correlations and thus enables a deeper insight into dynamics of the analyzed processes than allowed by any other related method available so far. By using examples of time series from stock market, we show that financial fluctuations typically cross-correlate multifractally only for relatively large fluctuations, whereas small fluctuations remain mutually independent even at maximum of such cross-correlations. Finally, we indicate possible utility of MFCCA to study effects of the time-lagged cross-correlations.
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中文摘要：
我们提出了一种新算法——多重分形互相关分析（MFCCA）——它是去趋势互相关分析（DCCA）的一致扩展，能够正确识别和量化两个时间序列之间多重分形互相关的细微特征。我们引入该算法的动机是，现有的方法，如MF-DXA，对于大多数描述复杂自然过程的信号，充其量也有严重的局限性，并且在没有多重分形互相关的情况下，往往指示多重分形互相关。当前扩展的主要部分是将涨落的符号适当地并入它们的广义矩。此外，我们对模型分形随机过程以及真实信号进行了广泛的分析，并表明MFCCA同时是一种稳健和选择性的工具，因此可以可靠地量化分析过程的交叉相关结构。特别是，它可以识别多重分形标度的边界，并分析广义赫斯特指数和多重分形标度参数$\\lambda_q$之间的关系。这种关系提供了有关互相关中潜在多重分形特征的信息，因此能够比迄今为止任何其他相关方法更深入地了解所分析过程的动力学。通过使用股票市场的时间序列的例子，我们表明，金融波动通常仅在相对较大的波动中以多重分形的方式相互关联，而小的波动即使在这种相互关联的最大值下仍然是相互独立的。最后，我们指出了MFCCA在研究时滞互相关效应方面的可能用途。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
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关键词：相关分析 互相关 去趋势 Multifractal correlations

通过使用股票市场时间序列的例子，我们表明，金融波动通常只对相对较大的波动进行多重分形交叉关联，而小的波动即使在这种交叉关联的最大值下仍保持相互独立。最后，我们指出了MFCCA在研究时滞互相关效应方面的可能用途。PACS编号：05.10-a、 05:45。Df，05.45。TpI。引言具有非线性长期相关性的时间序列分析通常基于对其多重分形结构的研究[1–8]。suchan分析中使用的现有算法允许根据时间序列的统计特性[9,10]或时频信息[3,11]确定广义分形维数或H¨older指数。由于实现的简单性和实用性，这些算法已经被应用于物理[12,13]、生物学[14-16]、化学[17,18]、地球物理学[19,20]、经济学[21-28]、水文学[29]、大气物理学[30]、定量语言学[31,32]、音乐[33,34]和人类通信[35]等科学领域的数据关联结构特征。作为量化复杂性的一个重要步骤，近年来提出了用于研究分形互相关的算法[36,37]，随后进行了新的统计互相关测试[38,39]。这些发展基于去趋势互相关分析（DCCA），它构成了分形自相关（DFA）[40]在分形互相关信号情况下的直接推广。在这种情况下，可以获得互相关标度指数λ。然而，文献仍然缺乏对这一点的全面解释*电子地址：pawel。oswiecimka@ifj.edu.plquantity.Subsequently，提出了DCCA方法的多重分形扩展（MF-DXA）[41]。

还介绍了处理多重分形互相关的其他密切相关方法[42]。然而，这些扩展自然涉及交叉协方差的任意幂的计算，这导致了严重的限制。通常，这种交叉协方差可能变为负。在这种情况下，用通常的函数表示的净结果就变成了复杂值，不允许用常规方法确定标度指数。到目前为止，文献中对这一困难的解决方案过于简单，其基础是取互协方差函数的模[43–46]，以去除其负符号。在大多数情况下，正如我们下面的分析所示，这严重扭曲甚至虚假地放大了多重分形互相关度量。因此，我们的动机是详细阐述一种算法，我们称之为多重分形交叉相关分析（MFCCA），这样，对于任意两个信号，它允许计算它们的任意阶协方差函数，同时适当地考虑信号中的相对符号。所提出的方法允许我们计算表征互协方差多重分形性质的指数λq的谱。然而，与之前提出的方法不同，在我们的过程中，qth阶互协方差函数的标度性质是相对于互协方差的原始符号估计的。这个过程使得该方法对互相关结构更加敏感，并且不受其他算法的限制。结果还表明，提出的方法比MF-DXA更自然地推广了单分形DCCA。我们算法的鲁棒性使其适用于不同科学领域的不同数据类型。二、

MFCCA算法的描述多重分形互相关分析由以下几个步骤组成，详细描述如下。如上所述，MFCCA是根据DCCA程序[36]开发的，因此初始步骤是相同的。考虑两个时间序列xi，其中i=1，2。。。N.首先，必须计算其中每一项的信号特性：X（j）=jXi=1[xi- hxi]，Y（j）=jXi=1[yi- hyi]。（1） 这里，hi表示整个时间序列的平均值。然后，将两个信号文件分为长度为s的Ms=N/s不相交段ν。对于每个方框ν，通过拟合阶数为m（P（m）X，ν代表X，P（m）Y，ν代表Y）的多项式来估计假设趋势。根据我们自己的经验[11]，作为优化，我们在本文中使用了一个m=2阶多项式，但建议的程序并不局限于这个特定的阶数，并且可以在需要时用于更大的阶数（例如，在涉及高周期分量的信号[47,48]）。接下来，从数据中减去趋势，并计算每个框内的去趋势交叉协方差：Fxy（ν，s）=s∑sk=1{（X（（ν）- 1） s+k）- P（m）X，ν（k））××（Y（（ν）- 1） s+k）- P（m）Y，ν（k））}（2）与在Fdfa程序[9]中计算的去趋势方差相比，在本例中，Fxy（ν，s）可以同时取正值和负值（例如，参见第三节C图12）。因此，通过增加阶的协方差逐步研究从小到大的函数的标度特性，也应考虑Fxy（ν，s）的符号。因此，qth阶协方差函数的最自然形式由以下等式假设：Fqxy（s）=Ms∑Msν=1sign（Fxy（ν，s））| Fxy（ν，s）| q/2，（3）其中符号（Fxy（ν，s））表示Fxy（ν，s）的符号。参数q可以取除零以外的任何实数。然而，对于q=0，等式的对数版本。

（3） 可以使用[9]：Fxy（s）=Ms∑Msν=1sign（Fxy（ν，s））ln | Fxy（ν，s）|。（4） 正如我们在等式（3）中所看到的，对于负q值，协方差函数Fxy（ν，s）的小值被放大，而对于大q>0，其大值占主导地位。此外，计算Fqxy的公式尊重去趋势互协方差函数（等式（2））的放大（或抑制）函数的真实符号，同时允许避免与负函数的任意幂相关的复数。对于不同的标度，应重复上述MFCCA步骤。如果所获得的函数fqxy没有形成标度，例如，在零度附近流动，对于q的考虑值，研究中的时间序列之间不存在分形互相关。多重分形互相关预计将在Fqxy（s）的幂律依赖性中表现出来（如果每s的qth阶协方差函数为负，我们可以取Fqxy（s）-→ -Fqxy（s）[36]），并填写以下关系：Fqxy（s）1/q=Fxy（q，s）~ sλq（5）（或exp（Fxy（s））=Fxy（0，s）~ sλ表示q=0），其中λq是定量表征互协方差分形特性的指数。对于单分形互相关，指数λqa与q无关，等于从DCCA方法获得的λ。然而，在多重分形互相关的情况下，λqq随q变化，λ在q=2时检索。最小和最大尺度（分别为Smi和smax）取决于所研究时间序列的长度N。在实践中，取smax<N/5是合理的。三、 为了验证MFCCA算法的有效性，我们使用人工生成的交叉相关时间序列和真实信号对其进行了测试。

为了避免由于函数分布中的厚尾导致的发散力矩，我们将q限制为h-4，4i，astep 0.2贯穿本文。对于计算机生成的信号，每个过程的结果在其20个独立实现中是平均的。A.ARFIMA过程我们从分析众所周知的Narfima过程[49]开始研究，这些过程是单分形、长程相关信号的例子。在参考文献[36]中，这些过程被用来证明DCCA算法的有效性。我们的目标是更完整地展示上述过程的互相关结构。为了生成一对（xi，yi）相互关联的ARFIMAP过程，我们使用以下等式：xi=∑∞j=1aj（dx）xi-j+i（6）Fxy（q，s）0.540.5450.550.5550.560.565λq，hxyFxy（q，s）0.5850.590.5950.60.605λq，hxy100 1000 10000sFxy（q，s）-4-20 2 4q0。680.6850.690.6950.70.705λq，hxyH=0.5，H=0.6H=0.5，H=0.7H=0.5，H=0.9图。1：（彩色在线）（左）为ARFIMA过程计算的三种不同参数组合H的qth阶互协方差函数Fxy（q，s）族。每个面板中的最低和最高行指的是q=-分别为4和q=4。（右）多重分形互相关标度指数λq（黑圈）和平均广义赫斯特指数hxy（q）（红方块）。误差条表示根据相应过程的20个独立实现计算出的标准偏差。yi=∑∞j=1aj（dy）yi-j+i（7），其中dx和dy是表征时间序列线性长程自相关的参数。这些量可以通过关系H=1/2+dx（y）与赫斯特指数[40]相关(-1/2<dx（y）<1/2）。正相关（持续）时间序列的特征是H>0.5，而负自相关（反持续信号）的特征是H<0.5；H=0.5表示无线性自相关。

数量aj（dx（y））称为重量，由aj（dx（y））=Γ（j）定义-dx（y））/[Γ(-dx（y））Γ（1+j）]，其中Γ（）代表Gammafunction。是一个i.i.d.高斯随机变量。由于等式（6）和等式（7）中都使用了相同的分量，因此过程xind-yi是相互关联的。我们生成三对互相关信号：（H=0.5，H=0.6），（H=0.5，H=0.7）和（H=0.5，H=0.9），其中H分别表征第一个和第二个时间序列的长程自相关。为了获得具有统计意义的结果，我们生成了长度N=100000点的时间序列。在图1的左面板中，我们给出了所有信号对的计算fxy（q，s）。每条线对应一个不同的q值。可以看出，在所有情况下，Fxy（q，s）是标度s的幂函数。这表明了互相关的分形性质。此外，对于所有类型的信号，函数Fxy（q，s）几乎彼此平行，这意味着相应的互相关在很大程度上是同质的。实际上，如图1的右面板所示，λqe的极值之间的差异λq=最大值（λq）- 对于顶部、中部和底部面板，最小值（λq）分别约为0.005、0.007和0.011。λq的这些窄范围表明，无论信号的线性自相关类型如何，ARFIMA过程都显示出单分形的相关性。在文献中，估计的分形互相关通常与单个信号本身的分形特性有关[36,50,51]。因此，在图1中，我们还显示了广义赫斯特指数[9]的平均值：hxy（q）=（hx（q）+hy（q））/2，（8），其中hx（q）和hy（q）分别表示单个时间序列的分形特性，对于q=2，它们对应于赫斯特指数H。

值得注意的是，λq和hxy（q）之间的关系取决于信号的时间组织，由它们的厄尔赫斯特指数决定。对于Hurst指数sh相似的两个信号，由λqa和hxy（q）描述的多重分形互相关特性几乎相同，而对于自相关差异较大（不同的Hurst指数H）的时间序列，λqa和hxy（q）之间的差异更大。这个结果意味着，在ARFIMAP过程的情况下，关系λ≈ 参考文献[36]中介绍的（hx（2）+hy（2））/2仅适用于hx和HYA之间的差异可以忽略不计的情况。B.马尔科夫切换多重分形模型作为多重分形过程的一个例子，我们考虑马尔科夫切换多重分形模型（MSM）[52]。MSM是一种迭代模型，能够复制真实数据的分层乘法结构，从而确保生成的时间序列具有多重分形特性。由于其特性，MSM通常用于金融领域，其中价格波动的多重分形是主要的程式化事实之一[53,54]。同样好的是，该模型可以用来模拟代表自然现象的许多其他多重分形时间序列，因为它能够生成导致潜在非线性时间相关性的波动率聚类[7]。下面，我们将介绍模型构建的主要阶段。在MSM中，可观测rtin时间t的演化由公式[53]建模：rt=σt·ut，（9），其中ut代表高斯随机变量，σt（多重分形过程）代表瞬时波动性分量。

波动率σ是k乘数M（t），M（t）。。。，Mk（t）使得σt=σkYi=1Mi（t），（10）0.60.811.21.41.61.822.22.4λq，hxy-4-20-2 4q-0.1-0.0500.050.1hxy-λq-4-20-2 4q0。60.811.21.41.61.822.22.4λq，hxy-4-20 2 4q-0.1-0.0500.050.1hxy-λq0。0010.010.11101001000Fxy（q，s）10100100010000S0。0010.010.11101001000Fxy（q，s）图2：（彩色在线）（左）为两对对应于m（1）=1.2，m（2）=1.35（顶部）和m（1）=1.2，m（2）=1.6（底部）的THEMM时间序列计算的qth阶互协方差函数Fxy（q，s）系列。每个面板上的最低和最高行表示q=-分别为4和q=4。（右）多重分形互相关标度指数λq（黑圈）和平均广义赫斯特指数hxy（q）（红方块）。插图显示了λqa和hxy之间的差异。其中σ是常数。该模型的一个常见版本假设乘数Mi（t）来自二项分布或对数正态分布。这里，我们使用带有Mi（t）的二项式~ {m，2- m} ，1≤ m<2。波动性层次结构中乘数的任何变化都由转移概率[52]：γi=1决定- (1 - γk）bi-k、 i=1,2。。。k、 （11）因此，乘数Mi（t）以概率γi更新，而以概率1保持不变- γi.参数γkis取自范围（0,1），b>1。我们把γk=0.5，b=2，这就得到了关系式：γi=1- （0.5）i-k、 i=1,2。。。k、 （12）因此，对于叶栅的初始阶段，多重钳子Mi（t）以相对较小的概率发生更新，而最大的γi=0.5出现在i=k.1时。MSM模型的无符号版本为了进行分析，我们生成了一组长度为131072点的多重分形时间序列（σt）。

然而，在模型的所有实现中，我们保留了乘法器的层次结构，因为Mi（t）的更新出现在每个生成序列中的相同i和t上。本程序确保不同m.0.1 0.2 0.3 0.40.50.820.840.860.880.90.920.940.960.981hxy（2）0.1 0.2 0.3 0.40.5 0.6系列之间的相互关联m120。010.020.030.040.050.06λ-hxy（2）0.1 0.2 0.3 0.40.5m120。820.840.860.880.90.920.940.960.981λ图3：（在线颜色）（插图）平均λ=λ和平均hxy（2）作为m=m（2）- m（1）。黑色圆圈和红色方块分别对应于λ和hxy（2）。误差条表示根据相应过程的20个独立实现计算出的标准偏差。（主要）平均λ和平均hxy（2）的差异作为m、 在图2中，我们给出了两对MSM系列的MFCCA样本结果，参数分别为SM（1）=1.2和m（2）=1.35（顶部面板）和m（1）=1.2和m（2）=1.6（底部面板）。qth阶协方差函数Fxy（q，s）（本图左侧）在整个范围内显示出清晰的多重分形标度(-4，4）的q值。由此产生的λq是q的递减函数，这是多重分形的一个标志。此外，λqd的下降速度取决于多个变量的值。对于第一对信号（m（2）=1.35），指数λqa包含在范围（0.81,1.25）内，而对于第二对信号（m（2）=1.6），则为0.75≤ λq≤ 1.7. 在同一图2中，我们还显示了每个时间序列独立计算的广义赫斯特指数的平均值（红色方块）。有趣的是，对于差异相对较小的信号m=m（2）- m（1）——换句话说，对于类似的多重分形——λqa近似等于hxx（q）和hy（q）的平均值。hxy（q）和λqi之间的微小差异仅在q>0时可见。