潜在代理人及其对价格波动的反馈效应

当y<0很小时，f（y）趋于正，如果y远低于零，f（y）趋于大。换句话说，如果Yi是正的，在expection上，Yi+1将是负的，如果Yi是负的，在expection上，Yi+1将是正的。对于波动性g，其gra ph显示“U形”笑脸。3数据校准局部多项式回归[27][8]用于估计漂移（f）和波动（g）f函数。假设{Yt}是一个时间序列，我们想要建立一个ARCHmodel，使Yi=f（Yi）-1） +g（易）-1） i，其中i是i.i.d.N（0，1）个随机变量。程序如下：我们寻找一个满足g（x）=E（Yi | Yi）的函数g（x）-1=x）- E（Yi | Yi）-1=x）。-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.03fYi（a）f-0.1-0.05 0.05 0.1 0.150.010.0150.020.0250.030.0350.040.045gYi（b）g-0.1-0.05 0.05 0.1 0.1500.20.40.60.811.21.41.61.8x 10-3g2Yi（c）g图4:Drif t和volatility function的大小为{Yt}，然后对于每个x，考虑以下两个最小化问题：[α（x），α（x），α（x）]=arg minα，α，αnXi=1Yi- α- α易-1.- xh-α易-1.- xh!K易-1.- xh,（4） [β（x），β（x），β（x）]=arg minβ，β，βnXi=1Yi- β- β易-1.- xh-β易-1.- xh!K易-1.- xh,（5） 其中，K（·）表示一个非负权重函数，h是一个正数，称为带宽。我们选择K作为标准的普通pdf。通过^g（x）=α（x）估计g（x）-β（x），f的估计由^f（x）=β（x）给出。设{Pi}为S&P500指数的日数据，其中最后一个日期为2013年5月2日，设{Yi}为收益率过程，即Yi=log Pi- 对数Pi-1.对于每个数据大小S，我们选择带宽h为h={max（Yi）-min（Yi）}/γ，其中所有Yi都属于这个集合，γ是一个选定的正常数。

在接下来的内容中，我们将选取不同的数据大小和γ的不同值，并绘制^f和^g的图形。-0.08-0.06-0.04-0.02 0 0.02 0.04 0.06-0.00500.0050.010.0150.020.025S=1000，γ=2Yi（a）^f-0.08-0.06-0.04-0.02 0.02 0.04 0.060123456789x10-4S=1000，γ=2Yi（b）^g图5:S=10 00，γ=2从图5到图13，我们可以观察到以下现象。观察结果：1。这里有一个^f的模式。如果Yi=y>0，则f（Yi）略为负。如果i<0，则f（Yi）为正。这意味着，如果Yi>0，即在时间ti上有一个增益，那么根据预期，Yi+1将变为略微负的值，即在时间ti+1上会有轻微的损耗。然而，如果Yi<0，即在时间ti有很多，那么根据预期，Yi+1将变大，即在时间ti+1将有很大的增益。这代表了一种均值回复模式。-0.08-0.06-0.04-0.02 0 0.02 0.04 0.06-0.00500.0050.010.0150.020.0250.030.035S=1000，γ=3.5Yi（a）^f-0.08-0.06-0.04-0.02 0.02 0.04 0.060123456789x10-4S=1000，γ=3.5Yi（b）^g图6:S=1000，γ=3.5-0.08-0.06-0.04-0.02 0 0.02 0.04 0.06-0.0100.010.020.030.040.05S=1000，γ=5Yi（a）^f-0.08-0.06-0.04-0.02 0.02 0.04 0.06012345678x 10-4S=1000，γ=5Yi（b）^g图7:S=1000，γ=52。^gshow U形“笑脸”的所有图形，以及在接近于零的点处达到的最小值。事实上，一个稍微接近零度的点。更重要的是，在每个“笑脸”上，曲线的左侧比右侧高。所以这些都是倾斜的“笑脸”，或歪斜的。3.当da t a尺寸较小时，例如S=1000，我们观察区间边缘的边界效应，例如，参见^g的图表。

[27]中也观察到了这种现象，并给出了解释。-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.03S=2000，γ=2Yi（a）^f-0.1-0.05 0.05 0.1 0.1500.20.40.60.811.21.41.61.82x10-3S=2000，γ=2Yi（b）^g图8:S=2000，γ=2-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.030.035S=2000，γ=3.5Yi（a）^f-0.1-0.05 0.05 0.1 0.1500.20.40.60.811.21.41.61.8x 10-3S=2000，γ=3.5Yi（b）^g图9:S=20 00，γ=3.5如果我们将图5到13与图4进行比较，我们可以看到模型（3）提供了一个很好的结果。4隐含的挥发性Yi=log Pi- 对数Pi-我们可以将模型（3）重写为log Pi+1- 对数Pi=f（对数Pi- 对数Pi-1） +g（对数π）- 对数Pi-1） i，i=1，2。。。-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04S=2000，γ=5Yi（a）^f-0.1-0.05 0.05 0.1 0.1500.511.5x 10-3S=2000，γ=5Yi（b）^g图10:S=2000，γ=5-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.00500.0050.010.0150.020.025S=3000，γ=2Yi（a）^f-0.1-0.05 0.05 0.1 0.1500.511.522.5x 10-3S=3000，γ=2Yi（b）^g图11:S=3000，γ=2，这为我们提供了过程日志Pias followslog Pi+1=log Pi+f（log Pi）的拱形模型-对数Pi-1） +g（对数π）-对数Pi-1） i，i=1，2。。。（6） 我们将以此模型为基础来研究期权定价问题。

在这样做时，使用简单的多项式可能更容易-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.030.035S=3000，γ=3.5Yi（a）^f-0.1-0.05 0.05 0.1 0.1500.20.40.60.811.21.41.61.8x 10-3S=3000，γ=3.5Yi（b）^g图12:S=3000，γ=3.5-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04S=3000，γ=5Yi（a）^f-0.1-0.05 0.05 0.1 0.1500.511.5x 10-3S=3000，γ=5Yi（b）^g图13:S=3000，γ=5回归到近似f和g，我们得到以下ARCH modellog Pi+1=log Pi- 8.948 × 10-5.- 7.557 × 10-2Yi+0.8305Yi- 13.60Yi+52.84Yi+1.288 × 10-2.- 0.1138Yi+5.503Yi+6.492Yi- 3.306×10Yii，（7）式中Yi=log Pi- 对数Pi-1.也就是说，f（Yi）=-8.948 × 10-5.- 7.557 × 10-2Yi+0.8305Yi- 13.60Yi+52.84Yi，~g（Yi）=1.288×10-2.- 0.1138Yi+5.503Yi+6.492Yi- 3.306×10Yi，其中f，~g分别表示f，g的多项式近似值。图（14）显示了<<f、<<g和>>g的曲线图。-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.030.035Yi（a）~f-0.1-0.05 0.05 0.1 0.150.010.0150.020.0250.030.0350.040.045Yi（b）~g-0.1-0.05 0.05 0.1 0.1500.20.40.60.811.21.41.61.8x 10-3Yi（c）~g图14:f，g，gIt的多项式近似可以看出，该模型是一个局部波动率模型，但与大多数著名的局部波动率模型不同，该模型旨在仅复制隐含的波动率表面，我们的模型通过使用局部多项式回归技术的真实数据校准，复制漂移项和波动项。现在模型（10）很容易在蒙特卡罗模拟中使用。

为了得到欧式看涨期权的公平价格，我们在风险中性测度和g etlog Pi+1下改写了该模型- 对数Pi=（r-σ（Yi））t+σ（Yi）√ti，（8）其中r是无风险利率，Yi=对数Pi-对数Pi-1、iis为风险中性测度下的标准正态随机变量，σ（Yi）=g（Yi）/√t、 为了找到适当数量的路径，我们使用蒙特卡罗模拟对具有以下参数设置的欧洲看涨期权进行定价：年利率r=0.03，到期时间t=60个月，履约价格K=800，基础价格P=1462.42，P=1459.37。我们选择这个选项是因为它在我们的模型中有最大的差异。路径数从10,000到1000000不等，对于每个设置，运行20次试验，并计算期权价格的标准偏差。结果如图15.4.5.5 601234567路径数，log10标准偏差图15：标准偏差我们现在可以将路径数设置为200000。图16显示了在200,00个样本路径下对看涨期权价格的aMonte Carlo模拟。我们选择区域1100≤ K≤ 2000年和2006年≤ T≤ 60从Black-Scholes公式中恢复隐含的波动表面。原因是，在这个区域，计算被认为是稳定的，因为egav不太接近零。关于这个问题的详细解释见附录。图17显示了Black-Scholes公式的隐含波动率表面。102030405060100012001400160018002000220001002000300400500600700到期时间（以月为单位）履约价格看涨期权价格图16：看涨期权价格204060100012001400100012001400180020000.220.240.260.280.30.320.340.36到期时间（以月为单位）隐含波动率定价图17：隐含波动率表面5外汇市场在本节中，我们将为货币市场上的风险资产建立一个ARCH模型。

设Pi为美元/英镑汇率，我们再次使用相同的模型：Yi+1=f（Yi）+g（Yi）i，（9），其中f（Yi）=D′（Yi）Yi- D（易）tξ+D′（Yi），g（Yi）=-ν√252（ξ+D′（Yi）），Yi=log-Pi-对数Pi-1和i=√252Wi，i=1，2。。。是i.i.d N（0，1）随机变量。货币市场显然存在一些差异。事实上，与股市不同的是，我们不能期望Pi（美元/英镑）以一定的速度呈指数级增长。人们普遍认为Pishow是一种均值回复动力学。因此，如果某一天股价大幅上涨，由于前景理论，更多的股东倾向于出售股票以实现利润，表现出极端的风险规避行为，反之亦然。因此，货币市场上的需求被认为比股票市场上的需求表现出更强的前景现象。这里，函数D（y）假定为以下形式：D（y）=（5.381+4.039×10y+2.169×10y+2.802×10y，y 6 0- 3.27+3.391×10y- 1.056×10y+7.935×10y，y>0，其gr aph如图18所示。可以看出，如果Yi比零大得多，则D会增加，表现出极端的风险规避行为；如果Yi远低于零，则会增加，表现出极端的风险寻求行为。该模型中的函数D′由byD′（y）=（220e）给出-250 | x+0.002 | 1.36，x 6-0.00220E-100 | x+0.002 | 1.35，x>-0.02，D（y）是D′（y）与D的数值积分(-0.002) = 0 .

中心点-0.002非常接近，甚至略小于零，表明Pi预计不会以一定速度呈指数增长，但-0.04-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-300-200-1000100200300400需求D1Yi图18：作为产量函数的过度需求-0.04-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-4.-3.-2.-10123456（a）D-0.04-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03 0.042040608010012014016001020020020D2’Yi（b）D’图19：作为产量函数的累积需求，Yi=log Pi-对数Pi-1预计将保持在0左右。图19显示了fD，D′的曲线图。参数设置ξ=60，ν=-20，我们绘制了函数sf，g，gin图20。g、gshow“笑脸”的图形再次出现，它们相对而言比图4中的对称性更强。然而，f的图形显示了非常不同的模式。可以看出，f（Yi）在Yi中是一个递增函数，这意味着，如果Yi是正的，那么在期望值上，Yi+1将变为正的，并且这种趋势预计会持续几天。相反，如果Yi为负值，Yi+1则变为负值，这种模式可能会持续-0.04-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015 FYI（a）f-0.04-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03 0.0400.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.016gYi（b）g-0.04-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03 0.04012x10-4g2Yi（c）g图20：漂移和波动函数预期会持续一段时间。我们还注意到f（Yi）的斜率小于1，这表明Yi+1=f（Yi）（i）→ ∞) 如果只考虑位移项，则收敛到零。我们使用真实市场数据和局部多项式回归来估计函数f和g。假设Pibe是美元/英镑汇率，其中数据集中的最后日期是2013年5月21日。选择了不同的数据大小和带宽，结果如图21-29所示。观察结果：1。

当数据量很小时，例如S=1000，bo undar y的影响非常大。[27]中有类似的图表。当S=2000或S=3000时，^f（Yi）增加，并且几乎是线性的-0.015-0.01-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02-4.-3.-2.-10123x10-3S=1000，γ=2Yi（a）^f-0.015-0.01-0.005 0.005 0.01 0.015 0.020.511.522.533.544.5x 10-5S=1000，γ=2Yi（b）^g图21:S=1000，γ=2-0.015-0.01-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.500.511.52x10-3S=1000，γ=3.5Yi（a）^f-0.015-0.01-0.005 0.005 0.01 0.015 0.020.511.522.533.5x 10-5S=1000，γ=3.5Yi（b）^g图22:S=1000，γ=3.5Yi，但图的斜率小于1.3。^gall的图表显示了“笑脸”。为了构造Pi的ARCH模型，我们使用函数f a和g的多项式近似。

设f，g分别是函数f，g的多项式逼近，其中f（Yi）=0.33Yi，~g（Yi）=4.328×10-3+ 6.422 × 10-2Yi+15.73Yi- 2.934×10Yi- 6.987×10Yi+1.542×10Yi，-0.015-0.01-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02-4.-3.-2.-1012x 10-3S=1000，γ=5Yi（a）^f-0.015-0.01-0.005 0.005 0.01 0.015 0.0200.511.522.53x 10-5S=1000，γ=5Yi（b）^g图23:S=1000，γ=5-0.04-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015S=2000，γ=2Yi（a）^f-0.04-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03 0.04011X 10-4S=2000，γ=2Yi（b）^g图24:S=2000，γ=2然后我们可以画出图30中的g的图。通过该设置，可获得以下ARCH模型：对数Pi+1=对数Pi+0.33Yi+（4.328×10-3+ 6.422 × 10-2Yi+15.73Yi- 2.934×10Yi- 6.987×10Yi+1.542×10Yi）i，（10）式中Yi=log Pi- 对数Pi-1.为了说明我们观察到的性质，我们根据模型（10）随机生成一些PIA的样本路径，起点P=0.6493，-0.04-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015S=2000，γ=3.5Yi（a）^f-0.04-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03 0.04012x10-4S=2000，γ=3.5Yi（b）^g图25:S=2000，γ=3.5-0.04-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015S=2000，γ=5Yi（a）^f-0.04-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03 0.04012x10-4S=2000，γ=5Yi（b）^g图26:S=2000，γ=5P=0.6492，结果如图31.6结论所示。在本文中，我们引入了潜在代理人作为市场参与者。基于资产价格是由供求之间的时间平衡产生的事实，我们通过微观经济学方法对价格波动进行建模。潜在客户对收益和损失的反应通过反馈效应影响价格过程。

如果他们有收获-0.04-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-0.01-0.00500.0050.010.015S=3000，γ=2Yi（a）^f-0.04-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03 0.04012x10-4S=3000，γ=2Yi（b）^g图27:S=3000，γ=2-0.04-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015S=3000，γ=3.5Yi（a）^f-0.04-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03 0.04012x10-4S=3000，γ=3.5Yi（b）^g图28:S=3000，γ=3.5基于他们的预期，潜在客户代理人根据他们的需求展示了风险规避行为，而如果他们遭遇损失，他们往往表现出风险寻求行为。然后分别为标准普尔500指数过程和美元/英镑汇率构建ARCH模型。通过该模型，我们可以重现在实际金融市场中观察到的期权波动微笑现象。据我们所知，我们是第一个通过前景理论解释波动率微笑/歪斜的人。本文提供了一种构建dis的新方法和框架-0.04-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015S=3000，γ=5Yi（a）^f-0.04-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03 0.04012x10-4S=3000，γ=5Yi（b）^g图29:S=3000，γ=5-0.04-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03 0.0400.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.016Yi（a）~g-0.04-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03 0.04012x10-4Yi（b）~g图30：g、gcrete的多项式近似，以及资产价格的可能连续模型。未来的研究可能侧重于参数估计，并将该方法扩展到其他金融产品的价格波动模型。附录在本节中，我们将讨论一个从Black-Scholes公式中恢复隐含熵面的数值问题。