状态依赖偏好下的最优收益

（5） 伯纳德·瓦斯夫（Bernard Wasig）于1988年提供了基本结果，博伊尔·瓦斯夫（Boyle Wasig）于2011年提供了基本结果。它展示了如何构建一个以最低价格生成分布F的支付函数。Bernard和Boyle（2010）将这种支付称为成本效益。定理2.2（路径无关支付的成本最优性）。让F成为cdf。优化问题~Fc（XT）（6）几乎肯定有一个独特的解决方案X*t这是路径独立的，几乎可以肯定的是，在给定的byX中会增加*T=F-1（FST（ST））（7）这种优势在实践中很容易实现，因为所有路径独立的支付都可以在统计上与欧洲看涨期权和看跌期权相复制，如卡尔和周（1997）以及布里登和利岑伯格（1978）所示。这个定理可以看作是引理A.1中重新定义的Hoe fff-ding–Fr’echet界限的一个应用，见附录。这一结果表明，法律不变偏好增加的投资者在做出投资决策时，可能会严格将其优化限制在与路径无关的收益集上。在圣路易斯，支付（7）明显增加。事实上，由于定理2.2中建立的成本效率支付的a.s.唯一性，该属性表征了成本效率。因此，这意味着以下推论。推论2.3（成本效益回报）。当且仅当报酬在ST中几乎肯定增加时，它才是成本效益的。定理2.2还意味着，具有递增定律不变偏好的投资者只会投资于在ST中增加的路径无关报酬。这与最优投资问题的文献一致，在最优投资问题中，使用各种技术得出的最优报酬总是表现出这种性质。推论2.4（增加定律不变偏好的最佳回报）。

对于价格c几乎不一定会增加的任何支付，都存在路径独立的支付*这对任何投资者来说都是一个严格的改进，而且偏好不断增加且法律不变。对Y来说，这是一个可能的选择*这是Y给出的*T:=F-1（FST（ST））+（c- C*)呃，在哪*表示7的价格。请注意，支付*它的价格是c，在圣路易斯几乎肯定会上涨。它包括投资c*< c在成本效益支出中（也与F一起分配），剩下的资金c- C*> 银行账户中的0，因此这是对支付效率的严格改进。3.国家相关偏好下的最优支付。法律投资者选择的许多合同在经济困难时期不提供保护。事实上，由于观察到的单调性，当股票价格达到最低水平时，最优（因此，成本效益）回报的最低结果就会出现。更具体地说，用f（ST）表示成本效益报酬（函数f递增），用X表示另一种报酬，以便两者在到期时都与f一起分配。然后，f（ST）在较低时产生较低的结果，并且对所有a>0的E[f（ST）| ST<a]6E[XT | ST<a]都有效。（8） 在Dana和Jeanblanc（2005）以及Burgertand R¨uschendorf（2006）中，在凸序小于F的可受理索赔类别中给出了与定理2.2中类似的最优性结果。我们在此提供（8）的简短证明。很明显，偶（f（ST），1ST<a）具有与（XT，1ST<a）相同的边缘分布，但E[f（ST）1ST<a]6e[XTST<a]，因为f（ST）和1ST<a是反单调的（引理a.1）。设F是payoff XT=（K）的看跌期权的分布- ST）+=max（K）-ST，0）。Bernard、Boyle和Vandu Off el（2014a）表明，cdf最便宜策略的收益可按（7）计算。

它由X给出*T=（K）-a S-1T）+a:=Sexp（2（u）- σ/2）T），是一个幂次看跌期权（幂次为-1）。十、*这是实现F分配的最有效的方法，而第一种“普通”看跌期权策略（带Payoff-XT）实际上是最昂贵的方法。这些薪酬与STin的互动方式基本上是不同的，因为一种薪酬在ST中增加，而另一种薪酬在ST中减少。看跌期权可以保护投资者免受衰退市场的影响，在衰退市场中，消费比通常情况下更为昂贵，而成本效率较高的看跌期权则是X*t不提供保护，而是强调市场恶化对所获财富的影响。如引言所述，看跌期权的使用和保险需求（Bernard and Vandu ff el（2014b））是许多投资者关心从投资策略中获得收入的经济状况的信号。尤其是，他们可能会寻求针对市场下跌提供保护的策略，或者更普遍地说，寻求对某些基准表现出期望的依赖性的策略。因此，在本文的剩余部分中，我们考虑那些表现出依赖国家偏好的投资者，即他们寻求具有期望分布的回报，以及具有基准资产的期望依赖性。换句话说，他们将随机偶的联合分布G（XT，AT）进行了拟合。最佳状态依赖策略是求解formin（XT，AT）的策略~Gc（XT）。（9） 请注意，当ATis是确定性的时，该设置还包括法律不变的首选项，作为一种特殊（限制）情况。在这种情况下，我们有效地回到了我们在上一节讨论的独立于状态的偏好框架。在下文中，我们将基础风险资产或市场上的任何其他资产视为基准，在最终或中期考虑。

此外，为了确保依赖于国家的偏好对最优支付结构的影响是明确的，我们按照与第2节类似的思路组织了本节的其余部分。备注3.1。人们可以使用copula作为工具来模拟支付和基准之间的相互作用。可以用copula C来表示偶（XT，AT）的联合分布G。根据Sklar定理，G（x，a）=C（FXT（x），FAT（a）），其中C是copula（这种表示对于连续分布的随机变量是唯一的）。很明显，（9）中最优策略的确定也可以公式化为minxt~F、 C（XT，AT）=Cc（XT），（10）其中“C（XT，AT）=C”表示支付函数XT和基准ATis C之间的连接。特别是，（10）表明，为了确定最佳状态相关策略，无需了解ATis的分布。3.1 twin的效率在本文中，任何写为f（ST，AT）或f（ST，ST）的报酬都被称为twin。我们首先要说明的是，在我们依赖于州的环境中，对于任何报酬来说，都存在一种至少同样好的双生效应。在假设偏好增加的情况下，我们发现最佳报酬是双胞胎，并且我们能够明确描述他们的特征。有条件地，在AT条件下，最优孪生子在风险集ST的终值中增加。以下定理表明，对于任何给定的支付，有一个孪生子至少对具有依赖于国家偏好的投资者同样有利。定理3.2。（孪生兄弟作为报酬，以给定的联合分销为基准，价格为c）。假设Xt是一个Payoff，其价格c具有联合分布G，其中（ST，AT）假设具有与Lebesgue测度相关的联合密度。

然后，至少存在一个孪生f（ST，at），其pricec=c（f（ST，at））具有与at相同的联合分布G。定理3.2没有涵盖STP发挥基准作用的情况（因为（ST，ST）没有密度）。下面的定理（定理3.3）考虑了这个有趣的例子。定理3.3（孪生兄弟作为报酬，具有给定的联合分布和标准价格C）。让XT成为一个回报，价格c与基准测试联合分配G。假设（ST，ST）对于约0<t<t，有一个关于勒贝格测度的关节密度。然后，至少存在一个孪生f（St，St），其pricec=c（f（St，St））具有与St的联合分布G。例如，byf（St，St）：=f-1XT|ST（FSt|ST（ST））。（11） 定理3.2和3.3的证明见附录A.3和A.4。定理3.2和3.3意味着，关心终端财富与某个基准AT的联合分布的投资者只需在两种情况下考虑这对双胞胎，即当（AT，ST）连续分布时，如定理3.2所示，或当AT等于ST时，如定理3.3所示。这些结果将命题2.1扩展到基准和依赖于状态的偏好的存在。所有其他的回报都是无用的，因为这些投资者本身并不需要这些回报。注意，在定理3.3中，t可以在（0，t）中自由选择，并且与STI的依赖关系不固定。例如，将FSt（St）替换为1-（11）中的FSt（St）也将导致适当的属性。因此，有一定数量的双胞胎f（St，St）与St具有联合分布G。它们都具有相同的价格。接下来的问题是：如何从中选择一个。

这一发现与高桥和山本（2013）得出的结果一致，他们将其应用于对冲基金行业的联合分销。要看到这一点，回想一下孪生兄弟f（St，St）和STI之间的联合分布是固定的，以及孪生兄弟和ξT之间的联合分布（因为ξ是STdueto（2）的递减函数）。具有这种性质的所有孪生f（St，St）具有相同的价格E[ξTf（St，St）]。可能性是通过施加额外的标准来确定最佳孪生XT=f（St，St）。例如，我们可以将最好的一对X定义为最小化的一对X（XT）- （HT）, （12） 其中，HTF是另一种不属于ST功能的报酬。在简化合同设计的背景下，这种方法显得很自然。例如，从一个几何亚式期权开始，计算其与ST的联合分布G。然后，如（11）所示的所有双胞胎都有相同的价格，但其中一个可能更接近原始亚式导数（在最小化距离的意义上，如（12））。请注意，由于所有边际分布都是固定的，因此标准（12）相当于最大化XT和HT之间的相关性。我们在其中一个应用中使用了这个标准（见第4.1节）。3.2双胞胎的最优性下一步，我们研究双胞胎的成本最优性。如上所述，如果基准AT与ST一致，则满足（XT，AT）的所有双胞胎~ G拥有相同的成本，而寻找最便宜的成本的问题是没有意义的。然而，当基准AThas密度为ST时，这种观察不再成立。在这种情况下，最便宜的孪晶由定理3.4确定，该定理将定理2.2扩展到与状态相关的情况。定理2.2发现，在给定分布F的固定数量的付款中，最便宜的付款在ST增加。

在依赖于州的情况下，人们会发现，ST中的最优薪酬在有条件地增加。定理3.4（双胞胎的成本最优性）。假设（ST，AT）具有与勒贝格测度有关的节理密度。设G为二元累积分布函数。由min（XT，AT）确定的最优状态依赖策略~Gc（XT）（13）几乎肯定有唯一的解决方案X*T是f型（ST，AT）的双胞胎。十、*几乎可以肯定的是，在ST、AT和byX的条件下，这一数字在增加*T:=F-1XT | AT（FST | AT（ST））。（14） 定理3.4的证明见附录A.5。回想第2节，当偏好是规律不变的时，最优支付是路径独立的，并且在ST中增加。当偏好是状态依赖的时，我们从表达式（14）中观察到，最优状态依赖的支付可能成为路径依赖的，并且在ST中增加，有条件地取决于AT。我们以定理3.4的推论来结束这一节。这一结果与上一节（推论2.4）和推论3.5（最便宜的双胞胎）中为具有法律不变偏好的投资者建立的结果一致。假设（ST，AT）具有与勒贝格测度相关的关节密度。设G为二元累积分布函数。让我们来支付（XT，AT）~ G.那么，当且仅当有条件地在圣路易斯增加时，XT是最便宜的支付。推论3.5的证明见附录A.6。4.改进证券设计在本节中，我们表明上述结果有助于为散户投资者和金融机构设计平衡、透明的投资政策：1。如果购买金融合同的投资者具有法律不变的优先权，并且如果合同在ST中没有增加，则存在一个对该投资者更有利的严格廉价衍生（成本效益合同）。

我们通过应用定理2.2.2来确定其设计。如果投资者购买合同是因为与市场资产的相互作用，而合同依赖于另一种资产，那么我们可以应用定理3.3简化其设计，同时保持其“至少同样好”例如，合同的签订取决于展台上的部分展台∈ （0，T）。如果投资者购买合同是因为他喜欢基准为的依赖性，而不是ST，如果合同不仅依赖于AT和ST，那么我们使用定理3.2来构造一个更简单的合同，它“至少是好的”，作为替代的函数。最后，如果所获得的合同不是在有条件地增加，那么也可以使用定理3.4和推论3.5构造一个严格更便宜的替代方案。我们现在用布莱克-斯科尔斯市场来说明这三种情况。Webegin以具有固定行使权的亚式期权为例，然后以具有浮动行使权的亚式期权为例。4.1具有固定罢工的几何亚裔双胞胎考虑固定罢工（持续监控）的几何亚裔通话，支付方式为YT:=（GT- K） +。（15） 这里，K表示固定的罢工，GT是股票价格从0到T的几何平均值，定义为asln（GT）：=TZTln（Ss）ds。（16） 现在，我们可以将上面得出的结果应用于设计改进uponYT的产品。为法律不变量偏好不断增加的投资者提供成本效益回报。通过将定理2.2应用于支付（15），我们发现与固定罢工（持续监控）几何呼叫相关的成本支付是Y*T=dS1/√T-杜兰特+, （17） 其中d=S1-√E-√u-σT

这也是电力认购期权的回报，其价格众所周知*T） =Se(√-1） rT+(-√)uT-σTΦ（h）- 柯-rTΦ（h）（18），其中h=lnSK+ (-√)uT+r√T+σTσqT，h=h- σrT.虽然上述结果也可以在Bernard、Boyle和Vandu ff el（2014a）中找到，但为了与下文进行比较，这里值得考虑。请注意，让K为零可以提供与几何平均GT相当的成本效益。这对关心与ST之间依赖关系的投资者很有用。通过将定理3.3应用于Payoff GT，我们可以找到一个孪生Payoff（t）=f（ST，ST），这样（ST，RT（t））~ （圣彼得堡）。（19） 根据定义，这对孪生兄弟保留了GTST和ST之间现有的依赖关系。然而，与原始合同相比，它更简单，“更少”依赖于路径，因为它只依赖于股票价格路径的两个值。有趣的是，RT（t）上的看涨期权和GT上的看涨期权与ST具有相同的联合分布，ST，（RT（t）- （K）+~圣（GT）- （K）+. （20） （RT（t）- K） 因此，+相当于固定走向几何亚洲呼叫（如定理3.3所示）。我们可以应用定理3.3计算RT（t），我们发现RT（t）=S-√√T-ttSTt√√tT-ttS-√√tT-tT，（21），其中t在（0，t）中自由选择。附录B.1中提供了关于（11）如何变成（21）的详细信息。（20）中揭示的联合分布的相等性意味着公式（21）基于依赖于林分的双胞胎的表达式（11）。请注意，没有唯一性。例如，1- FSt | ST（ST）也独立于ST，因此我们可以考虑HT（t）：=F-1XT |街（1）- FSt | ST（ST））作为一对合适的双胞胎（0<t<t），满足关节分布，如（19）所示。在这种情况下，我们得到HT（t）=S+√√T-ttS-Tt√√tT-ttS+√√tT-tT。RT（t）上的买入期权与原始固定行使（持续监控）几何亚洲买入期权（15）的价格相同。

时间-0两份合同的价格均为（RT（t）- K） +）=Se-rT-σTΦ（~d）- 柯-rTΦ（~d），（22），其中~d=ln（S/K）+rT/2+σT/12σ√T/3和?d=?d-σpT/3（见Kemna和Vorst（1990））。在双胞胎中选择。定理3.3中的构造依赖于t。最大化ln（RT（t））和ln（GT）之间的相关性仍然是选择特定t的一种可能方式。ln（RT（t））和ln（GT）之间的协方差由cov（ln（RT（t）），ln（GT））=σ提供T+√T√T- T√通过构造RT（t），ln（RT（t））和ln（GT）的标准偏差都等于σqT。因此，最大化相关系数相当于最大化协方差，因此f（t）=（t- t） t.该最大值为t*=T、 ln（RT（T））和ln（GT）之间的最大相关系数为ρmax=+√p（T）- T*) T*4T=+√≈ 0.9665，这表明最佳双胞胎与最初的亚洲人高度相关，但要简单得多。请注意，最大相关性和最佳关联度（T）对市场参数的变化都是稳健的。4.2几何亚洲人孪生兄弟与浮动罢工现在浮动罢工（持续监测）亚洲看跌期权定义为YT=（GT- ST）+。（23）为了增加法律不变偏好，推论2.4可用于确定依赖于实际情况的合同。与cdf FYTISF签订的最便宜合同是-1YTΦ自然对数STS-(u-σ） Tσ√T. 注意F-1由于两个对数正态分布之间的差异分布未知，因此Yt只能进行数值近似。如果投资者关心与ST的依赖关系，通过应用定理3.3，可以发现双胞胎F-1YT | ST（FSt | ST（ST））作为展台ST的函数，明确给出s-√√T-ttSTt√√tT-ttS-√√tT-tT- 装货单+.