状态依赖偏好下的最优收益

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英文标题：
《Optimal Payoffs under State-dependent Preferences》
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作者：
Carole Bernard, Franck Moraux, Ludger Rueschendorf, Steven Vanduffel
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Most decision theories, including expected utility theory, rank dependent utility theory and cumulative prospect theory, assume that investors are only interested in the distribution of returns and not in the states of the economy in which income is received. Optimal payoffs have their lowest outcomes when the economy is in a downturn, and this feature is often at odds with the needs of many investors. We introduce a framework for portfolio selection within which state-dependent preferences can be accommodated. Specifically, we assume that investors care about the distribution of final wealth and its interaction with some benchmark. In this context, we are able to characterize optimal payoffs in explicit form. Furthermore, we extend the classical expected utility optimization problem of Merton to the state-dependent situation. Some applications in security design are discussed in detail and we also solve some stochastic extensions of the target probability optimization problem.
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中文摘要：
大多数决策理论，包括预期效用理论、秩相关效用理论和累积前景理论，都假设投资者只对收益的分布感兴趣，而不关心获得收入的经济状态。当经济低迷时，最优回报的结果最低，这一特点往往与许多投资者的需求不符。我们引入了一个投资组合选择框架，在这个框架内，可以适应依赖于状态的偏好。具体来说，我们假设投资者关心最终财富的分配及其与某些基准的相互作用。在这种情况下，我们能够以明确的形式描述最优报酬。此外，我们将经典的默顿期望效用优化问题推广到状态相关的情形。详细讨论了在安全设计中的一些应用，并解决了目标概率优化问题的一些随机扩展。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Optimal_Payoffs_under_State-dependent_Preferences.pdf (2.47 MB)

2022-5-4 20:29:20 上传

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关键词：Optimization distribution Quantitative Applications QUANTITATIV

状态依赖偏好下的最优支付。伯纳德*, F.Moraux+、L.R¨uschendorf¨和S.Vandu ff el§2018年9月18日摘要大多数决策理论，包括预期效用理论、秩依赖理论和累积前景理论，都假设投资者只对收益分配感兴趣，而不感兴趣于获得收入的经济状态。当经济低迷时，最优回报的结果最低，这一特点往往与许多投资者的需求不符。我们引入了一个投资组合选择的框架，在这个框架内，可以容纳依赖于状态的偏好。具体而言，我们假设投资者关心最终财富的分配及其与某些基准的相互作用。在这种情况下，我们能够以明确的形式描述最优支付。此外，我们将经典的默顿期望效用优化问题推广到状态相关的情形。详细讨论了在安全设计中的一些应用，并解决了目标概率优化问题的一些随机扩展。关键词：最优投资组合选择，依赖于状态的偏好，条件分布，套期保值，依赖于状态的约束。*通讯作者：卡罗尔·伯纳德，滑铁卢大学，加拿大安大略省滑铁卢大学大道西200号，N2L3G1。（电邮：c3bernar@uwaterloo.ca)Carole Bernard感谢NSERC的支持。+弗朗克·莫劳克斯，法国雷恩大学雷恩1号，让麦克街11号，雷恩35000号。（电邮：franck。moraux@univ-rennes1。fr）。Franck Moraux感谢CREM（CNRS研究中心）和雷恩大学IAE的财政支持Ludger R¨uschendorf，弗赖堡大学，埃克斯特拉1号，79104弗赖堡，德国。（电邮：ruschen@stochastik.uni-弗莱堡。de）。§Steven Vandu Affeel，比利时布鲁塞尔市普莱因兰2 1050布鲁塞尔大学。（电子邮件：史蒂文。vanduffel@vub.ac.be).

Steven Vandu Affeel感谢法国巴黎银行的支持。引言最优投资策略的研究通常基于对预期效用、目标概率或其他（递增）定律不变量测度的优化。假设投资者具有法律不变的偏好，就相当于支持他们只关心收益的分配，而不关心获得收益的经济状况。例如，这是在预期效用理论、Yaari对偶理论、秩相关效用理论、均值-方差优化和累积前景理论下的情况。显然，最优策略具有一定的终端财富分配，并且必须是实现这种分配的最廉价策略。否则，就有可能严格地改进目标，并与其最优性相矛盾。Dybvig（1988）是第一个研究以尽可能低的成本达到给定回报分布的策略。Bernard和Boyle（2010）称这些策略具有成本效益，Bernard、Boyle和Vandu ff el（2014a）对这些策略的性质进行了进一步研究。在一个相当普遍的市场环境中，这些作者表明，产生给定分配的最便宜方式是通过一个合同获得的，该合同的支付在定价核心中是递减的（见Alsocarier和Dana（2011））。基本的直觉是，投资者在经济衰退状态下消费较少，因为在这种情况下，确保回报的成本更高。在Black-Scholes框架中，这一特征也很明显，在该框架中，时间范围T的最优支付被证明是时间范围T的therisky资产（作为经济的代表）价格的递增函数。

特别是，这种支付是路径独立的。在大多数标准框架下，关于优化标准和结果回报的一个重要问题是，当市场下跌时，它们会得到最坏的结果。可以说，这种最优回报的性质并没有满足投资者的期望，他们可能会寻求保护以抵御市场下跌，或者更普遍地说，在做出投资决策时可能会考虑基准。换句话说，对于一个给定的投资者来说，具有相同分布的两个收益不一定具有相同的“价值”。Bernard和Vandu ff el（2014b）表明，保险合同通常可以被具有相同支付分布但更便宜的金融合同取代。针对特定事件提供保护的保险合同的存在表明，对于投资者来说，这些工具必须比缺乏这一特征的金融支付提供更多的价值。这一观察结果支持了一个普遍的观察结果，即投资者在“危机”（例如，当他们的财产被烧毁或经济衰退时）比在“正常”条件下更倾向于获得收入。本文对最优投资策略的研究做出了一些理论贡献，并强调了其发现在投资组合管理和安全设计领域的重要应用。首先，我们阐明了临时投资策略必然表现出路径独立性的背景。这些发现补充了Cox和Leland（1982年，2000年）和Dybvig（1988年）的开创性结果，并强调了路径独立性在传统最佳组合选择中的重要作用。

此后，作为我们的主要贡献，我们引入了一个投资组合选择框架，使我们能够考虑收入来自哪个州。更准确地说，假设投资者针对他们的终端财富进行某种分配，并另外针对与随机基准的某种（期望的）互动。例如，投资者可能希望其策略在基准下降时与基准无关，但在表现良好时遵循该基准。使用我们的框架，我们可以在这种情况下明确描述最优支付（定理3.2和3.4）。高桥和山本（2013）的Orems 3.1和3.3中独立推导了此类显式特征，但仅在存在可计数状态数的情况下证明。此外，我们还表明，在这种情况下，最优策略成为潜在风险资产的终端价值的条件递增函数。本文的另一个主要贡献是对期望效用下投资组合优化的经典结果（Cox和Huang（1989））的推广。具体而言，我们在依赖约束下确定预期效用最大化者的最优支付，反映出与基准的期望交互（定理5.2）。证明建立在等渗近似及其性质的基础上（Barlowet al.（1972））。我们还解决了Browne（1999）和Cvitani`c以及Spivak（1999）在给定的状态相关背景下的经典目标优化问题的两个随机推广。最后，我们展示了这些理论结果如何在证券设计中有用，并有助于简化（和改善）金融市场中常见的支付。我们展示了如何用依赖于两种基础资产（我们称之为“双胞胎”）的支付来替代高度路径依赖的产品。

对亚式期权最优性的广泛讨论说明了这一结果。我们还建设了其他具有吸引力的酒店。论文的结构如下。第一节概述了所研究的投资问题的背景。在第2节中，我们重申了具有法律不变偏好的投资者的路径独立支付的基本最优性结果。我们还详细讨论了分配财富时路径独立支付的效率。在第3节中，我们指出了最优路径独立支付的缺点，并介绍了以下章节中使用的状态依赖概念。我们发现，“双胞胎”被定义为仅依赖于两个基础资产价值的支付，是国家相关偏好的最佳选择。在第4节中，我们将讨论改进安全性设计的应用程序。特别是，我们提出了几项关于几何卡森选项设计的改进。在第5节中，我们解决了标准的默顿问题，即当投资者限制最终财富的相互作用时，最终财富的预期效用最大化。本文的灵感来源于Bernard、Boyle和Vandu ff el（2014a）的最后一节，其中，当财富和某个基准之间的联合分布在某个特定区域（局部依赖约束）确定时，解决了一个受约束的成本效率问题。Takahashi和Yamamoto（2013）的结果在一般市场中陈述，但附录a.1中对其基本定理3.1的证明仅在状态数可数时成立。他们的主要定理，定理3.3（附录A.3.）的证明，基于与理论3相同的想法。1（见第1571页声明A.3），因此在可数状态的情况下也有效。

他们的设置也不同于我们的设置，因为这些作者假设股票价格遵循不同的过程，并且他们在这种设置下得出了特定形式的状态价格密度过程（第1561页）。在本文中，我们不假设基础股票价格是扩散过程，因此国家价格过程不需要是特定形式（另请参见我们的最后评论）。具有给定基准的最终财富。在此背景下，我们还推广了Browne（1999）、Cvitani`c和Spivak（1999）关于目标概率最大化的结果。最后的评论见第6节。附录中提供了大部分证据。1框架和注释考虑具有给定有限投资期限T且无中间消费的投资者。我们在过滤概率空间上对金融市场进行建模(Ohm, F、 P），其中P是真实世界的概率度量。市场由支付恒定无风险利率r>0的银行账户B组成，因此在时间0时归属于银行账户会产生时间t时的Bt=Bert。此外，还有一种风险资产（比如股票投资），其价格过程由S=（St）06t6T表示。我们假设St（0<t<t）具有连续分布FSt。在T>0时支付的无套利价格由c（XT）=E[ξTXT]，（1）给出，其中（ξT）是确保（ξtSt）是鞅的状态价格密度过程。此外，基于标准经济理论，我们在本文中假设，国家价格随着资产价格的下降而下降，即ξt=gt（St），t>0，（2）其中，gt在下降（在e[St]>SerT的市场中）。有经验证据表明，这种关系在实践中可能并不成立，这被称为定价核心难题（Brown and Jackwerth（2004），Grith等人（2013））。

文献中提供了许多解释（Brown和Jackwerth（2004）、Hens和Reichlin（2013）），包括偏好的国家依赖性（Chabi-Yo等人（2008））。因此，（2）不符合一个由国家依赖偏好的投资者组成的市场。然而，我们不解决均衡问题，而是研究一个小投资者的情况，其依赖于国家的偏好不会影响市场中外源性给出的定价。这是自Karatzas等人（1987年）的工作以来经常研究的情况。（ξt）的函数形式（2）使我们能够使用（St）tas作为参考来展示关于最优投资组合的结果，这是实用的。我们将在章节中解释，我们认为所有的支付都默认为平方可积，以确保文中提到的所有预期都存在。特别是，c（XT）<+∞ 对于本文所考虑的任何报酬。这个过程通常是这样指定的。然而，严格来说，这不是一个有争议的密度，而是贴现因子（通常严格小于1）和物理度量和风险中性度量之间的theRadon-Nikodym导数的乘积。例如，见Cox、Ingersoll和Ross（1985年）和Bondarenko（2003年），他们指出，如果市场不允许统计套利机会，房地产（2）必须持有，其中统计套利机会被定义为零成本交易策略，在T时无条件提供正预期收益，以及非负预期支付的条件取决于ξT。6支付的最优性的结果和特征如何与ξTand的（条件）反单调性联系起来，并不取决于函数形式（2）本身。

请注意，许多流行的定价模型（包括CAPM、基于消费的模型）以及市场参与者使用Esscher定价的指数市场（Vandu ff el et al.（2008）、Von Hammerstein et al.（2014））都满足了假设（2）。也可以使用一个市场模型，其中价格是使用增长最优投资组合（GOP）作为num’eraire（Platen and Heath（2006））获得的，如第6节中进一步讨论的。布莱克-斯科尔斯模型可以被视为后一种情况的特例。由于我们将用它来说明我们的理论结果，我们在这里回顾它的主要性质。在Black–Scholes市场中，在实际概率P下，价格过程（St）tsatis fiestst=udt+σdZt，解St=Sexpu -σt+σZt. 这里，（Zt）是标准的布朗运动，u（>r）是漂移，σ>0是波动。STisgiven asFST（x）=P（ST6 x）=Φ的分布（cdf）自然对数xS- (u -σ） Tσ√T, （3） 其中Φ是标准正态随机变量的cdf。在Black-Scholesmarket中，状态价格密度过程（ξt）是唯一的，且ξt=e-rte-θZt-θt此处θ=u-rσ。因此，ξt也可以表示为股价St的递减函数，ξt=αtStS-β、 （4）式中αt=expθσu -σT-r+θT, β=θσ>0（因为我们假设e[ST]=SeuT>SerT）。2法律不变偏好和路径无关支付的最优性在本节中，投资者有法律不变（状态无关）偏好。这意味着它们在具有相同支付分布的两个支付之间是不同的（P）。在这种情况下，任何随机支付（可能取决于标的资产价格的路径）都允许一条具有相同价格的独立替代路径，这至少对这些投资者有利（即，在他们看来是可取的）。

回想一下，如果存在某种函数f，使得XT=f（ST）几乎肯定成立，那么payoff是路径独立的。因此，具有法律不变性偏好的投资者在做出投资决策时只需要考虑路径无关的收益。在偏好增加的附加（典型）假设下，任何依赖路径的支付都可以严格由风险资产中增加的路径无关支付支配。请注意，本节中的结果与Coxand Leland（1982年、2000年）、Dybvig（1988年）、Bernard、Boyle和Vandu ff el（2014a）以及Carlier和Dana（2011年）的原著密切相关。本文回顾了这些概述结果，以便于对以下章节中开发的扩展进行说明。2.1路径独立支付的效率建议2.1表明，对于任何给定的支付，都存在一个路径独立的替代方案，其价格相同，至少对具有法律不变性偏好的投资者同样好。因此，这样的投资者只需要考虑路径独立的支付。所有其他支付实际上都是多余的，因为不需要它们来优化投资者的目标。命题2.1的证明提供了一个与路径无关的等价支付的明确构造。命题2.1（路径独立支付的效率）。让XT成为价格c和cdf的回报。然后，至少存在一个路径独立的支付f（ST），价格c:=c（f（ST））和cdf。命题2.1的证明见附录A.1。然而，命题2.1并没有得出结论，即给定的路径依赖支付可以严格由路径独立支付支配。下一节显示，随着偏好的增加，支配地位变得越来越严格。2.2与路径无关的支付函数F的最优性是（左连续）逆定义asF的支付函数分布-1（p）=inf{x | F（x）>p}。