状态依赖偏好下的最优收益

（24）详情见附录B.2。最后，如果投资者关心GT的依赖性，那么就有可能构建一个更便宜的孪生兄弟，因为报酬（23）不是有条件地增加的。因此，可以使用定理3.4对其进行严格改进。原因是，我们可以通过降低成本，同时保持对GT的依赖，从而提高支付。因此，我们引用定理3.4（表达式14）来展示另一个payoff XT=F-1YT | GTFST | GT（ST）这样（YT，GT）~ （XT，GT），但严格来说，XT更便宜。经过一些计算，我们发现XtWritesXt=燃气轮机- aGTST+, （25）式中a=eu-σTS.详情见附录B.3。最后，你可以很容易地评估双胞胎（25岁）比最初的支付更便宜的程度。为了做到这一点，我们回顾了具有浮动行使的几何亚式期权的价格（YT的无套利价格）：c（YT）=e-rTEQ（GT）- ST）+=Se-rTΦ（f）e-σT- erTΦf- σrT！！，（26）式中f=σT-rTσ√T.同样，我们发现C（XT）=e-rTEQ燃气轮机- aGTST+= 硒-rTΦ（d）e-σT- euTΦd- σrT！！（27）式中d=σT-uTσ√T、 我们需要将其与（26）进行数字比较。例如，当u=0.06、r=0.02、σ=0.3和T=1时，c（YT）=6.74和c（XT）=5.86，这表明成本节约是可观的。还要注意公式（26）和（27）之间的密切对应关系。这些公式的证明见附录B.4.5投资组合管理。本节提供了对投资组合管理领域的一些贡献。我们首先推导出一个期望效用最大化者的最优投资，该期望效用最大化者对给定基准的依赖性有约束。接下来，我们回顾了目标概率最大化器的最优策略（见Browne（1999）和Cvitani`c and Spivak（1999）），并通过添加依赖约束和考虑随机目标，将该问题扩展到两个方向。

在这两种情况下，我们推导出双胞胎给出的解析解。从现在起，我们用最初的财富来表示。5.1依赖约束下的预期效用最大化冯·诺依曼和莫根斯特恩（1947）的预期效用理论（EUT）是经济学各个领域中最著名的决策理论。在预期效用框架（expected utilityframework）中，投资者将效用u（x）分配给每一个可能的财富水平x。增加偏好相当于增加效用函数u（·）。假设u（·）是concave相当于假设投资者是规避风险的，因为在给定的预算中，他们更喜欢可靠的收入，而不是具有相同均值的随机收入。在关于最优投资组合选择的开创性论文中，Cox和Huang（1989）展示了如何获得风险规避预期效用最大化的最优策略；参见阿尔索默顿（1971）和他与皮尔森（1991a），（1991b）。我们在下面的定理中回忆起这个经典结果。定理5.1（EUT中的最佳支付）。考虑（a，b）上定义的效用函数u（·）使得u（·）是连续可微分且严格递增的，u（·）是严格递减的，limx和au（x）=+∞ limx%bu（x）=0。考虑以下投资组合优化问题：maxE[ξTXT]=WE[u（XT）]。（28）这个问题的最优解由byX给出*T=（u）-1（λξT），（29）式中λ等于ξT（u）-1.λξT= W.注意，最佳EUT支付*在ξTand中减少，因此在ST中增加（第2节中得出的结果的说明），这突出了当市场下跌时，最优投资组合缺乏保护。为了说明这一点，我们为投资者提供了一个机会，以保持对基准投资组合（例如代表金融市场）的期望依赖性。

这扩展了关于预期效用最大化的早期结果，包括Brennan和Solanki（1981）、Brennan和Schwartz（1989）、He和Pearson（1991a）、（1991b）、Basak（1995）、Grossman和Zhou（1996）、Sorensen（1999）以及Jensen和Sorensen（2001）的结果。这些研究大多涉及预期效用最大化问题，当投资者希望在到期日或某个时间间隔内获得最优财富的下限时。当这个界限是确定的，这对应于经典的投资组合保险。Boyle和Tian（2007）通过让基准在一定程度上被击败，扩展并统一了各种结果。他们考虑了以下所有收益的最大化问题：maxP（XT>AT）>α，c（XT）=WE[u（XT）]，（30），其中ATis是一些基准（例如，市场中另一位经理的投资组合）。在Boyle和Tian（2007）的定理2.1（第327页）中，最优契约X*它是显式推导出来的（在一些确保statedproblem可行性的正则条件下），它是一个最优孪生子。这也是我们的结果。假设（30）的解存在，并用X表示*然后设G为（X）的二元cdf*T、 在）。保留这种联合双变量cdf最便宜的方法是通过双f（AT，ST）获得，它在AT上有条件地增加（见推论3.5）。因此，X*t也必须是这种形式，否则很容易与X的最优性相矛盾*这就是问题所在。因此，具有附加概率约束（当它存在时）的最优期望效用最大化的解是一对最优孪生子。

通过类似的推理，当存在多个涉及终端投资组合价值XT和基准AT联合分布的概率约束时，该结果也适用。以下定理通过考虑预期效用最大化问题，扩展了定理5.1和上述参考文献，在该问题中，投资者通过基准实现依赖性。这样做相当于预先指定（XT，AT）的关节copula。因此，让我们假设XT和ATIS之间的copula被指定为C，即C（XT，AT）=C。我们制定了以下投资组合优化问题MaxC（XT）=WC（XT，AT）=CE（u（XT））。（31）为了解决具有依赖性约束的预期效用优化问题（31），我们用C1 |表示第一个成分的条件分布，给定AT（或等效给定FAT（AT）），deneut=FST | AT（ST）和ZT=C-11 | AT（UT）。（32）注意，当（AT，ST）有关节密度时，Utan和ZT均匀分布在（0，1）上，（ZT，AT）有连接词C（也见引理a.2）。定理5.2还利用了凸锥上的投影↓:= {f∈ L[0,1]；f递减}，（33）是L[0，1]的子集，配备了勒贝格测度和标准| |·| |范数。对于一个元素∈ L[0，1]，我们用bа=πM表示↓（~n）在M上的投影↓. b|可以通过| |·| |范数的递减函数来解释为|的最佳近似值。定理5.2（具有依赖约束的EUT中的最优支付）。

考虑定理5.1中的自性函数u（·），并假设（AT，ST）具有关节密度。设HT=E（ξT | ZT）=（ZT）和bht=b（ZT），其中ZT定义为（32）。然后，优化问题（31）的解由bxt=（u）给出-1.λbHT, （34）式中λ等于EhξT（u）-1.λbHTi=W。在给定的背景下，最佳报酬以双胞胎形式写入的观察结果也与Bernard、Chen和Vandu-ffel（2014d）以及Bernard和Vandu-ffel（2014c）中考虑的约束投资组合优化问题的解决方案一致。定理5.2的证明见附录C.1。备注5.3。在HT=E（ξT | ZT）在ZT中递减的情况下，我们得到（31）的解bXT=（u）-1（λHT）。（35）在这种情况下，可以简化定理5.2的证明，并将其简化为定理5.1中的经典优化结果，因为根据定理3.4，最优解XTisunique且满足XtisXt=F-1XT | AT（FST | AT（ST））。通过引理A.2可以得出结论，XT=F-1XT（ZT），即XT是ZT的递增函数。定理5.1允许我们在这个类中找到最佳元素。备注5.4。等渗近似bа的确定是一个研究得很好的问题（见Barlow等人（1972）中的定理1.1）。b k是а中最小凹的主要SCM（а）的斜率，即bа=（SCM（а））。在Barlow等人（1972年）的著作中↑给出的斜率为φ的最大凸最小值GCM（φ）。已知快速算法可确定b~n。备注5.5。当copula约束是Fr′echet下界或上界时，一些特殊情况与最优解的研究有关。如果在定理5.2中，C群是Fr’echet上界，那么ZT=FAT（AT）。当AT=ST时，ht=E[ξT | AT]=ξ，我们发现bxt等于无依赖约束时的最优投资组合（定理5.1）。

这个结果是直观的，因为我们施加的依赖约束意味着最优值是递增的，这是无约束问题中自然产生的一个特征。如果AT=St，则HT=E[ξT | St]在St中减少。因此，bHT=HT和最佳值可以显式计算（另见下面的示例）。最后，如果在定理5.2中，C群是Fr’echet下界，那么ZT=1-脂肪（AT）。假设AT=ST，然后HT=E[ξT | ZT]=ξT，其在林分中增加，因此在ZT中减少。等渗近似是常数。因此，最优投资组合也是恒定的，即预算完全投资于无风险资产。示例（CRRA投资者）接下来，我们通过在依赖约束（定理5.2）下导出的最优财富Bx与最优财富X的比较来说明定理5.2？t不受依赖性的约束（定理5.1）。我们将基准ATequal设为ST0<t<t。我们还假设，林分与最终财富之间的相关性由相关系数ρ为的高斯copula C描述∈H-q1-tT，1.考虑风险规避η>0:u（x）的CRRA效用函数：=x1-η1-当η6=1ln（x）时，η=1。定理5.1中暴露的标准默顿问题（28）不涉及对最终财富的依赖。答案是X？T=（u）-1（λξT），其中λ满足初始财富约束（E[ξTX？T]=W）。很容易验证，对于所有η>0的情况，最佳财富是由byX给出的？T（η）=λ-ηξ-ηT=WerTe-ηθσu-σT+η-2ηθTSTSηθσ（36）观察到X*T（η）和STI的特征是具有相关参数corr（ln（X）的高斯分布*T（η），ln（St））=rtT。

（37）当依赖性存在约束时，我们在附录C.2中表明，优化问题（31）（即满足初始预算和依赖性约束的最优财富）的解被给出为bxt（η）=WerTe-ηθσu-σρ√t+√(1-ρ） （T）-（t）+η-2ηθρ√t+√(1-ρ） （T）-（t）×STSθησρ√t+√(1-ρ） （T）-（t）√1.-ρ√T-TStSθησρ√t+√(1-ρ） （T）-（t）ρ√T-√1.-ρ√T-T.（38）注意，当ρ=qtT时，表达式（36）和（38）重合。这一特性的基本原因是无约束最优解与St有相关性。当η6=1时，X的预期效用？T（η）和bxt（η）由[u（X？T（η））]=1给出- ηW1-ηe（1）-η） rT+1-ηθTandEhubXT（η）i=1- ηW1-ηe（1）-η） rT+1-ηηθρ√t+√(1-ρ） （T）-（t）,分别地在η=1的情况下，即对数效用情况u（x）：=ln（x），我们发现ehubXTi=ln（W）+rT+θρ√t+p1- ρ√T- TandE[u（X？T）]=ln（W）+rT+θT。假设数值应用程序的t=t/2，因此ST/2是基准。使用初始财富W=100和与前一节中相同的参数集，u=0.06，r=0.02，σ=0.3和T=1。图1将预期效用绘制为受约束Payoff（bXT）的ρ函数，我们有一条与预期效用X对应的水平线*T.注意，它们只有一个共同点，对应于（37）中发现的相关性水平。E@uHX`TLDE@uHXT*LD-0.50.00.51.04.6204.6254.6304.6354.640ΡE@uHXTLDE@uHX`THΗLLDE@uHXT*HΗLLD-0.50.00.51.0-0.982-0.981-0.980-0.979-0.978-0.977-0.976-0.975ΡE@uHXTHΗLLDη=1（对数效用）η=2图1：CRRA投资者的预期效用作为ρ的函数，有和没有依赖约束。5.2目标概率最大化目标概率最大化者是指在给定预算（初始财富）和给定时间范围内，希望最大化最终财富实现某些固定目标b的概率的投资者。

在Black-Scholes金融市场模型中，Browne（1999）、Cvitani`c和Spivak（1999）利用随机控制理论推导出了这些投资者的最优投资策略，并表明购买基于风险资产的数字期权是最优的。我们以更直接的方式证明了他们的结果遵循定理2.2。命题5.6（布朗的原始问题）。让Wbe成为最初的财富，让B>成为期望的目标。以下目标概率最大化问题的解，maxXT>0，c（XT）=WP[XT>b]，（39）由payoff X给出*T=b1{ST>λ}，（40），其中λ由bE给出ξT{ST>λ}= W.附录C.3提供了这一命题的证明。在Black-Scholes市场中，我们很容易验证λ=Sexp（r）-σ） T- σ√TΦ-1.韦特布. 目标概率最大化策略本质上是一种全有或全无策略。直觉上，投资者可能不会被最优回报的设计所吸引，如果b 6是有效的，那么这个问题就不有趣了，因为对无风险资产的投资使投资者达到100%超过目标b的概率。最大化超过固定目标的概率。获得的财富完全取决于潜在风险资产的最终价值，这使其高度依赖于最终市场行为，因此容易发生意外和残酷的变化。我们的第一个扩展涉及随机目标的情况，因此偏好取决于状态。定理5.7（随机目标的目标概率最大化）。设wb为初始财富，B为随机目标，使得（B，ST）具有密度。随机目标概率最大化问题的解，maxXT>0，c（XT）=WP[XT>B]，（41）由payoff X给出*T=B1{BξT<λ}，（42），其中λ由E隐式给出BξT{BξT<λ}= W.附录C.4提供了这一命题的证明。

我们的第二个扩展假设金融市场的基准具有固定的依赖性。我们现在考虑的问题是，对于给定的预算，投资者的目标是最大限度地提高最终财富实现某些固定目标的可能性，同时保持对基准的某种依赖性。定理5.8（随机基准下的目标概率最大化）。让b>成为初始财富，让b>成为最终财富的理想目标。假设这对（AT，ST）有一个密度。然后用x给出了目标概率优化问题在随机基准点AT，maxXT>0，c（XT）=W，c（XT，AT）=CP[XT>b]，（43）下的解*T=b1{ZT>λ}，（44），其中λ由bE确定ξT{ZT>λ}= Wand Zt的定义如（32）所示。附录C.5中提供了该结果的证明。当AT=St（0<t<t）和C是具有相关系数ρ的高斯copula时，定理5.8中导出的结果尤其适用。然后，最优解是显式的、等价的toX*T=b1{SαtST>λ}，（45）带α=qT-tt（1-ρ)ρ - 1，λ=Sα+1exp（r）-σ） （αt+t）- σ√kΦ-1.韦特布k=（α+1）t+（t- t） =t-t1-ρ. 附录C.6中提供了（45）的证明。目标概率最大化图解让我们比较定理5.6中的无约束目标概率最大化问题和定理5.8中的约束最大化问题产生的收益。我们使用与第5.1节相同的参数集，即u=0.06，r=0.02，σ=0.3和T=1。取S=100和b=106。在图2中，我们将两种支付的预期值绘制为ρ的函数。定理5.6中无约束目标优化问题的最优解由b1{ST>λ}给出，其中λ满足预算约束。

它的期望值为asEb1{ST>λ}= bΦθ√T+Φ-1.韦特布.通过类似的推理，我们找到了定理5.8，E的最优值的期望值b1{SαtST>λ}= bΦθαt+t√k+Φ-1.韦特布,其中α=qT-tt（1-ρ)ρ - 1，k=T-t1-ρ和λ使得预算约束满足。请注意，预期值与超过目标值b的概率成正比。我们观察到，在受约束的目标概率最大化问题中，预期值（以及相应的成功概率）小于无约束问题。E@b.18ST>Λ1<DE@b.19StΑST>∧2=D-1.0-0.50.00.51.0101.5102.0102.5103.0ΡE@XTDFigure2：对于定理5.6和定理5.8.6中考虑的不同目标概率最大化策略，预期收益作为ρ的函数。在本文中，我们介绍了最优投资问题的状态依赖型。我们的目标投资者是在到期时（在传统环境中）已知的财富分配，并且还希望与随机基准进行特定的互动。我们证明了最优契约最多取决于两个基础资产，或者取决于在两个不同日期评估的一个资产，并且我们能够明确地描述和确定它们。我们对最优策略的描述允许我们将经典的默顿期望效用优化问题推广到状态相关的情况。在整篇论文中，我们假设状态价格密度过程ξ是风险资产价格的递减函数，即存在单个风险资产。可以放松这些假设，但仍然可以提供最优支付的明确表示。然而，最优不再与路径独立性相关。在整篇论文中，我们假设ξ在ST（in（2））中减少。