对数正态随机变量和与差的尾部行为

公式（15）、（41）和（43）可以用类似的方式修改。注意，由于对数奇点的消除，推论1、3和4的条件定律的公式s不包含避免渐近线。4.2. 使用渐近公式直接从数值上说明定理1和定理2的渐近公式的性能，我们得到了一个4×4协方差矩阵，其条目如下：bij=σiσjρ（常数相关），其中σ={2,2.3,3,3}。分布函数sp[X]≤x] =P[eY+eY+eY+eY≤x] andP[x（2）≥x] =P[eY+eY-嗯-嗯≥x] 首先，使用Theo rems1和2中给出的a交感公式进行计算，并进行公式（63）中建议的修改。下面分别用Fa（x）和F（2）a（x）表示相应的渐近近似。然后，我们评估了这些量的蒙特卡罗估计值Fmc（x）和F（2）mc（x）（本节后面详细描述了蒙特卡罗算法）。为了评估渐近近似的质量，我们绘制了范围广泛的x值的比率Fmc（x）Fa（x）和F（2）mc（x）F（2）a（x）。这些比率，绘制为对数x的函数，在图1中显示了两个相关系数ρ值。P[X]渐近公式的计算≤ x] ，需要解决（6）中的二次规划问题。对于First t值，ρ=0.2，该问题的解决方案为“w”≈ {0.44 0.30 0.13 0.13}. 因此，我们在“特殊情况”的设置中，通过拉普拉斯方法（见Lemma1）直接获得渐近性。对于第二个值，ρ=0.8，s解为‘w≈{0.83 0.17 0}，因此只有前两个成分对as症状有贡献。34 A.Gulisashvili和P.Tankov图1。分布函数（生存函数）的蒙特卡罗估计与使用渐近公式获得的估计的比率。

左：P[X≤ x] 。右：P[X（2）≥ x] 。曲线中的波动是由于蒙特卡罗误差造成的。P[X（2）的渐近公式的计算≥x] 对于p=1和p=2，需要两次求解（36）中的问题，并比较所得的最小值。这里，对于ρ=0.2，解为‘w=’w={1 0}，且p=2给出了更大的最小值，因此分布函数的渐近行为仅由向量Y的第二分量决定。当ρ=0.8时，解为w≈{1.32 -0.16-0.16}和“w”≈ {1.1 -0.05-0.05}，同样，p=2的最小值更大。因此，在这种情况下，渐近行为是由Y的第二、第三和第四分量决定的。分析图1，可以得出以下观察结果，结果证明是错误的：o正如预期的那样，分布函数的比率收敛到一，但这种收敛非常缓慢。这一观察结果与理论1和2中的对数误差范围一致虽然估计值的比率收敛到1的速度非常慢，但这个比率与1的距离并不远（与概率本身的值相比），这意味着渐近公式为大范围的概率提供了正确的数量级。对于不稳定性nc e，对于ρ=0.8，左图所示的x值与以下概率范围相关：~5 ×10-93对于日志x=-40到0.2 forlog x=0.4.3。正如我们已经看到的，由于收敛缓慢，Theo rems1和2中的渐近公式通常只提供对数正态随机变量s um/d差的分布函数的数量级近似。当需要更精确的估计，且维数n较大时，可以使用蒙特卡罗估计。

对数正态和与差的总和在这种情况下，正如我们接下来将解释的那样，渐近公式可以用来构造非常有效的变量约简程序。为了节省空间，我们将只讨论分布函数的情况。类似的想法可用于减少密度、条件期望或其他感兴趣的质量的蒙特卡罗估计的方差。分布函数F（x）=P[x的左t尾≤x] 标准估计如下：bFN（x）=NNXk=1{Pni=1exp{Y（k）i}≤x} ，其中Y（1）。，Y（N）是具有N（u，B）定律的i.i.d.向量。然而，这种估计并不是分布函数尾部的合适近似值。实际上，方差fbfn（x）由varbfn（x）=F（x）给出-F（x）N~F（x）N，x→0和相对误差，即qVarbFN（x）F（x）~pNF（x）像x一样迅速爆炸→ 0（它的行为类似于某些常量c的ec LOGX）。在高斯背景下，通常减少方差的方法是通过重要抽样。其思想是将F的公式改写为：F（x）=E经验-Λ⊥B-1（Y）-u) -Λ⊥B-1Λ{Pni=1exp{Yi+i}≤x},在哪里∧∈ RN是一个向量，将在以后选择。注意，如果∧=0，则恢复标准估计。目标是找到一个非零∧，这样对应的Ingestimatebf∧N（x）=NNXk=1exp-Λ⊥B-1（Y（k）-u) -Λ⊥B-1Λ{Pni=1exp{Y（k）i+i}≤x} （65）方差小于标准估计值。简单计算表明，BF∧N（x）的方差由VARBF∧N（x）=NVar给出经验-Λ⊥B-1（Y）-u) -Λ⊥B-1Λ{Pni=1exp{Yi+i}≤x}=N{E[exp{-2Λ⊥B-1（Y）-u) -Λ⊥B-1∧}1{Pni=1exp{Yi+i}≤x} ]-F（x）}36 A.Gulisashvili和P.Tankov=N经验Λ⊥B-1ΛE[exp{-Λ⊥B-1（Y）-u）}1{Pni=1exp{Yi}≤x} ]-F（x）=N（exp{∧）⊥B-1∧}P“nXi=1exp{Yi-∧i}≤ x#-F（x））。LetV（λ，x）=exp{⊥B-1∧}P“nXi=1eYi-∧i≤x#。由于F（x）不依赖于∧，因此通过最小化V（λ，x）作为∧的函数来获得最佳方差缩减。

我们的想法是通过将前一表达式中的概率替换为定理1中给出的渐近等价表达式来获得一个精确估计。换句话说，我们通过最小化ev（λ，x）=∧来计算最优∧的近似值⊥B-1Λ -\'nXi，j=1\'aij对数“A+··+”A“n”Ai+ui-对数x-∧i×对数A+·A+·n+Aj+uj-对数x-λj.为了得到上面的表达式，我们省略了定理1中公式中不依赖于∧的所有因子，并取结果表达式的对数。最优值∧*通过求解以下方程组，可以找到∧的表达式：电动汽车∧i（λ）*) = 0, 1 ≤ 我≤ n、 这个系统可以重写如下：nXj=1aij∧*j+\'nXj=1\'aij对数A+·A+·n+Aj+uj-对数x-λj= 0, 1 ≤我≤ \'n，nXj=1aij∧*j=0，`n<i≤ n、 将矩阵B应用于之前的系统，我们得到了2∧*k+\'nXi，j=1bki\'aij对数A+·A+·n+Aj+uj-对数x-Λ*J= 0，（66）对数正态和差的尾部，对于所有k=1，n、 当k≤ n，将（66）中的公式简化为∧*k+对数A+·A+·n+Ak+uk-对数x=0。将其代入（66），我们看到对于所有k，最佳值∧*kis由∧给出*k=\'nXi，j=1bki\'aij对数x-日志“A+··+”A“n”Aj- uj. （67）注意，由于最优向量∧*依赖于x，我们不能直接应用定理1来刻画函数V（λ）的渐近行为*, x） 作为x→ 0

然而，这个函数可以用Jens-en不等式从上面估算，如下所示：*, 十）≤ e∧*⊥B-1Λ*P“nXi=1”wi（Yi-Λ*我-日志（wi）≤ 对数x#=e∧*⊥B-1Λ*N“w”⊥Λ*+ 对数x+Pni=1’wi（对数’wi-ui）√“w”⊥B\'w,其中w是（6）的解，N是标准正态分布函数。将（67）中的表达式替换为∧*使用（9），我们得到了⊥Λ*= 对数x+nXi=1’wi（对数’wi-ui）和∧*⊥B-1Λ*=\'nXi，j=1\'aij（对数x+对数wi- ui）（对数x+对数wj- uj）=w⊥B’w（对数x+nXi=1’wi（对数’wi）-ui））+\'nXi，j=1\'aij（对数wi- ui（对数）wj- uj）-“w”⊥B’w（nXi=1’wi（对数’wi）-ui））。因此，作为x→0，V（λ）*, x） 。Cexp{-（1/（\'w）⊥B\'w）{logx+Pni=1\'wi（logwi）-ui）}log 1/x，38 A.Gulisashvili和P.Tankov表2。方差缩减估计（65）与∧值的相对误差*给定（67），以及使用方差缩减算法ρ=0.2ρ=0.8x P[X]减少估计标准偏差的系数≤ x]rel。红色错误。因子x P[x≤ x]rel。红色错误。因子0。0.01831 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0%1.078其中常数C与x无关。比较之前用F（x）的共形估计（见公式（13）），我们看到，对于不同的常数C，V（λ）*, x） 。CF（x）logx\'n（68）为x→ 0.这尤其意味着，我们的估计器在Asmussen和Glynn[5]第VI.1节的意义上是对数有效的。为了测试所提出的方差缩减算法的性能，我们使用与上述相同的参数数值，计算了不同水平X的方差缩减前后的蒙特卡罗估计。

表2显示了估算值（65）的相对误差，其中∧的值*由（67）以及估计值（64）的标准偏差与估计值（65）的比值给出。相对误差看起来相当稳定，对于x的所有值，折减系数s都大于1，并且总体上相当惊人，对于1%的不太小概率，折减系数s的范围为4–5，对于10阶概率，折减系数s的范围为数百-6.图2显示了估算值（65）与∧值的相对误差*由（67）给出（标准偏差除以估计值，在10条轨迹上计算）。如方差的理论分析所示，相对误差在x中呈对数增长，这意味着即使对于非常小的概率（例如-100），我们的估计器需要合理数量的轨迹才能获得足够的精度。额外测试为了评估我们的方差缩减方法在模型参数选择和变量数量n方面的稳健性，我们进行了额外测试，假设这一次Y。，y与定律N（0，σ）相同分布，且具有常数相关系数ρ。表3显示了σ、ρ和n的正常值的标准偏差折减系数。对于每项测试，选择x的值，以便对数正态和和和差异的轨迹如图2所示。方差缩减估计（65）与∧值的相对误差*由（67）给出。概率≤ x] 大约等于10-3（属于区间（0.9×1）-3, 1.1 ×10-3)).

我们看到，除了一个测试外，所有测试的标准偏差都减少了一个大于10的因子，这意味着，对于相同的精度，计算将加速一个大于100的事实。对数正态差的右尾在这种情况下，生存函数的标准估计的形式为bfn（x）=NNXk=1{Pmi=1exp{Y（k）i}-Pni=m+1exp{Y（k）i}≥x} ，（69）和可能降低方差的替代估计如下：bF∧N（x）=NNXk=1exp-Λ⊥B-1（Y（k）-u) -Λ⊥B-1Λ（70）×1{Pmi=1exp{Y（k）i+λi}-Pni=m+1exp{Y（k）i+i}≥x} 。表3。附加测试的标准偏差折减系数。概率P[X≤ x] 大约等于10-3对于所有试验，σ0.3 1.0 0 0.3 1.0 0 0.3 1.0ρ0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0 0.0n 5 5 20 20 20 20 x 2.5 0.55 3.4 1.6 10.5 2.7 16.9 14.3红色。系数15.7 14.7 14.0 10.1 15.2 14.2 11.4 4.840 A.Gulisashvili和P.Tankov为了找到∧的最佳值，我们需要最小化Eexp{⊥B-1∧}P“mXi=1exp{Y（k）i-∧i}-nXi=m+1exp{Y（k）i-∧i}≥ 再一次，主要思想是最小化这个函数的渐近逼近，在orem2中给出。为简单起见，假设（38）中定义的集Pde为单态，P={P}，问题归结为最小化以下函数：eV（λ，x）=∧⊥B-1Λ -\'n（p）Xi，j=1\'a（p）ij对数A（p）+·A（p）n（p）| A（p）i |+？（p）i-对数x-∧k（p）（i）×对数A（p）+·A（p）n（p）| A（p）j |+？（p）j-对数x-∧k（p）（j）.接下来，根据（67）的证明，我们看到最佳值∧*的∧是由∧给出的*k=n（p）Xi，j=1bk，\'k（p）（i）\'a（p）ij对数x-对数A（p）+·A（p）n（p）| A（p）j|- u（p）j. （71）然而，这里的计算仍然只是试探性的，因为对于具有最优∧的估计量的方差没有简单的上界*.数值试验（见表4）的结论性远不如前一段中给出的左尾。

对于中等的x值，该算法不会导致任何方差减少，甚至可能会增加方差。然而，在很大程度上，当所讨论的概率非常小，以至于无法在合理的时间内用传统的蒙特卡罗估计进行计算时，方差缩减估计变得非常有效。我们得出的结论是，对于对数和异常差异的情况，见表4。方差缩减估计（70）与∧值的相对误差*由（71）和普通蒙特卡罗估计（69）给出，只要可用ρ=0.2ρ=0.8x P[X（2）≥ x] 雷尔。错误rel。错误，xp[x（2）≥ x] 雷尔。错误rel。错误，普通MC普通MCe 0.2672 0.153%0.166%e 0.1121 0.74%0.281%e0。01564 2.37%00.792%e2。134 × 10-34.26%2.17%e6。771 × 10-657.1%29.5%e3。759 × 10-71.15%376%e3。459 × 10-110.274%–e9。765 × 10-130.44%–e1。724 × 10-180.318%——e2。654 × 10-200.502%–e8。050 × 10-280.358%——e6。872 × 10-300.561%–对数正态和和差的尾部41我们的方差缩减算法可能非常有用，用于模拟极端罕见事件（概率小于10-6） 但是，在将该算法应用于概率为10的事件中之前，还需要对其进行进一步的研究和改进-2–10-3例如，财务风险管理中的风险价值计算。5.多维Black-Scholes模型中的风险管理本文得到的尾部估计可以应用于n维Black-Scholes模型中的风险管理。假设资产价格向量St=（S，…）的动态。

n维随机过程描述为：log St=log S+θt-diag（B）t+B1/2Wt，（72），其中W是n维标准布朗运动，B是协方差矩阵，θ是漂移向量，diag（B）代表B的主diagona l。考虑一个包含asse ts Si，1的投资组合≤ 我≤ n带权ξ，ξn，价格过程X定义为xt=nXi=1ξiSit，t≥0.（73）过程X的初始条件为X=Pni=1ξiSi。过程X可以交替地表示为Xt=Pni=1sgnξiexp{Yit}，其中Yit=log Si+log |ξi |+θit-biit+nXj=1γijWjt，1≤ 我≤ n、 （74）在（74）中，符号代表矩阵B1/2的元素。我们还设置了ui，t=log Si+log |ξi |+θit-biit，1≤ 我≤n、 （75）在续集中，t将被固定，第2节和第3节中得到的渐近公式将应用于（73）中定义的随机变量。与上述情况相关的高斯数据如下所示：平均向量为∨u=（u1，t，…，un，t），协方差矩阵为tB。出于风险管理的目的，解决与投资组合X有关的两类问题很重要：42 A.Gulisashvili和P.Tankovo量化一个投资组合在市场演变的特定不利情景中的行为，通常根据另一个投资组合（基准）来定义。这可以通过我们对高斯向量在其分量的指数和或指数差（推论3和4）上的渐近行为的描述来实现。我们将在下一段中详细讨论这个问题评估投资组合X的各种风险度量，例如agiven量级的损失概率或风险价值（分位数函数）。

损失概率可以使用第2部分（仅具有正权重的投资组合）或第3部分（具有正权重和负权重的投资组合）的渐近公式进行近似。第5节描述了当置信水平趋于1时，Ris k值的渐近行为。2.5.1. 不利情景下对数正态投资组合的行为假设投资者持有的投资组合包含资产S，SNSV的重量，越南。此类投资组合的价值由VT=nXi=1viSit给出。（76）1996年对Ba sel I[8]的市场风险修正案以及巴塞尔协议II和巴塞尔协议III资本协议要求银行和投资公司进行压力测试，以确定其应对不利市场事件的能力。这些不利情景通常是特定基准性能的定义，对应于过去观察到的特定cris事件的程式化版本。接下来，我们将描述一些可能出现的压力情景的例子，并解释如何定义相应的基准流程X股市下跌到一定程度。这是最常见的压力情景。基准过程{X}t≥0在这种情况下，标准化市场指数（normalized marketindex）的初始值为1，对于s ome t>0和x，不良事件为{Xt=x}，假设为小。然后，权重ξi为正，等于股票的标准化市场资本化两个地区或两个行业的股票市场在表现上存在一定差异。例如，人们可能会认为美国市场的表现优于欧洲市场，或者小盘股优于大盘股。假设Xat=Pmi=1ξ是第一个ar ea的市场指数，其中ξ，ξ为股票的正市场资本化权重S。