对数正态随机变量和与差的尾部行为

，Sm和Xbt=Pni=m+1ξ是第二个区域的市场指数。压力是事件的起因XatXa-XbtXb=x.对数正态和差的尾部43在我们的框架中可以通过取xt=mXi=1ξiXaSit来替代-nXi=m+1ξixbsit，应力情景{Xt=x}。这里x的值很大两个基准在性能上存在一定差异。例如，当投资者的投资组合严重低于市场表现时，投资者可能会感兴趣。这与上面的cas e cons ide red类似，只是这两个基准可能包含相同的股票。让这两个基准由Xat=Pni=1ξaisitan和Xbt=Pni=1ξbiSit给出。我们再次对压力情景感兴趣-XbtXb=x}。这相当于takingXt=nXi=1ξaiXa-ξbiXb使用压力场景{Xt=x}和x大。我们的下一个目标是，在上述压力情景下，用（76）给出的价格过程来刻画投资组合的各种条件期望值的渐近行为。这可以针对单个股票或整个投资组合进行。在前一种情况下，我们近似地计算了formei（t，x）=E“Sit的条件概率nXk=1ξkSkt=x#，（77），而在后一种情况下，我们处理以下条件概率：E[Vt | Xt=x]=nXi=1viei（t，x）。（78）由于ei（t，x）=ξiE“exp{Yit}，可以使用条件空间变换的公式（16）和（42）估计量ei（t，S）nXk=1exp{Ykt}=x#（79）对于所有1≤ 我≤ n、 因此，以下结果是推论1和4的直接结果。定理4。假设权重ξ。，ξnare为正，且假设（A）适用于协方差矩阵B。那么以下为真：44 A.Gulisashvili和P.Tankov1。如果1≤ 我≤ \'n，然后作为x→0，ei（t，x）=xξi\'Ai\'A+·A+·A\'n1+Ologx-1.= x′wiξi1+Ologx-1..2.

如果n<i≤n、 然后作为x→ 0，ei（t，x）=xP\'nj=1\'AjbijSiexp（θit-\'nXp，q=1bpi\'apq对数A+·n+Aq+uq，t)×exp(-t\'nXp，q=1\'apqbpibqi）1+Ologx-1..备注8。SinceP\'nj=1\'Ajbij>1表示i/∈“I（见备注3），根据定理4，市场指数中的资产可分为两类，这取决于它们在条件法则下的条件预期行为。”“安全资产”，其条件预期与市场指数的x值成比例衰减。正是这些资产，以严格的正权重进入马科维茨最小方差投资组合（问题（6）的解决方案）“危险资产”，其条件支出比指数衰减更快。下一个断言涉及上文描述的第二个和第三个典型压力场景。定理5。那是为了m≤ n权重ξ。，ξmare正和ξm+1，ξn为负，假设（Ai）适用于矩阵B，每i=1，m、 在（38）中定义的集Pde是一个单态，P={P}。那么以下是正确的。1.如果我∈ I（p），然后作为x→ +∞,ei（t，x）=xξi|A（p）i|p|n（p）j=1|A（p）j×1+Ologx-1.= x|wi|ξi×1+Ologx-1..2.如果我/∈I（p），然后作为x→ +∞,ei（t，x）=SixP\'n（p）j=1\'A（p）jb\'k（p）（j），对数正态和差的iTails 45×exp（θit-\'n（p）Xj，k=1\'a（p）jkb\'k（p）（j），ilogP\'n（p）l=1\'A（p）l|A（p）k |+uk（p）（k），t)×exp(-t\'n（p）Xj，k=1\'a（p）jkb\'k（p）（j），ib\'k（p）（k），i）1+Ologx-1..备注9。根据假设（Ap）和注释7，对于/∈I（p），\'n（p）Xj=1\'A（p）jb\'k（p）（j），I<1。因此，一旦获得收益，基准中的资产可分为以下两类：o那些资产，其条件预期在压力情景下按比例增长至x。该类资产仅包括一项资产，Sm，关于Sm+1的相对渐近方差高的那个。

，Sn。它可能包括也可能不包括Sm+1等中的某些资产。，序号考虑到压力情景，这些资产的条件预期增长速度比x慢。换句话说，投资组合S+···+SM强于投资组合M+1+···+SN的事实可以渐近地归因于S中的一只股票表现非常强劲。，Sm，这可能部分取决于第二组股票的表现。5.2. 对数正态投资组合和风险价值我们在本小节中的目标是为第5节中描述的投资组合的风险价值（VaRα）找到一个精确的渐近公式。此portfoliois在时间t的价格定义为（73）。我们研究了信心水平α趋于一的情况，并将自己限定为只有正权重的投资组合。同时具有正权重和负权重的投资组合的情况可以类似地处理。对于投资组合，t>0期间的风险价值VaRα，0<α<1被定义为最小的数字k，使得t期间损失大于k的概率等于α。不难看出varα=inf{k:P（Xt≤十、-k） =1- α}.下一个定理提供了一个n作为函数α7的符号公式→ VaRα作为置信水平α趋于1。46 A.古利萨什维利和P.坦科维奇定理6。假设协方差矩阵B的假设（A）成立，那么下面的渐近公式是有效的：VaRα=X-经验-r2t“A+··+”A“nlog1-α+P\'nk=1\'Ak（对数（\'A+·A+·A\'n）/\'Ak+uk，t）\'A+·A+·A\'n(80)×1+O日志1/（1）- α） 扑通一声/（1）-α)作为α→ 1.证据。让我们假设t>0，并用F表示-函数Ft（x）=P（Xt）的广义逆函数≤x） 。然后我们得到Varα=X-F-1t（1-α).

（81）因此，为了描述函数α7的渐近行为→ VaRαasα→ 1.有必要为函数y 7找到一个渐近公式→F-1t（y）为y→0.我们将首先研究反函数F在零附近的渐近性-1任何函数F，具有以下形式：F（x）=c十、Clogxcexp-clogx1+Ologx-1.（82）作为x→ 0.在（82）中，假设常数满足以下条件：c>0，c∈ R、 c∈ R、 a和c>0。我们还假设函数F的连续性和可逆性接近于零。引理3。在前面的限制条件下，下面的渐近公式成立→0:F-1（y）=exp{-pφ（y）}1+O迟缓的-1., （83）式中φ（y）=clogy+cc-3/2逻辑+2逻辑阻塞c2c+c2clogc+CLOGC+ccc-3/2log log 1/yplog 1/y.使用函数u 7的泰勒公式→√1+u加上两项，我们从（83）中得到一个公式的样本。对数正态和与差的尾部476。下面的渐近公式成立：F-1（y）=exp-医学-c2c1+O日志1/yplog 1/y（84）作为y→0.注意公式（84）只使用常数c.引理3的证明。让y>0，让F（uy）=y，然后是F-1（y）=uy。接下来，使用（82），我们得到了cology=cloguy-克罗盖-木屐-日志c+O洛古-1.（85）作为y→ 0.前面的公式暗示了以下双边估计：arlogy≤洛古≤arlogy，0<y<y，对于某些常数a>0和a>0。把zy=loguy放进去。那么公式（85）giveszy=clogy+cc√zy+c2clog zy+clog c+O迟缓的-1/2（86）作为y→ 我们的下一个目标是使用公式（86）中的迭代。我们将用（86）右侧的整个表达式替换（86）右侧出现的任何zy。以下简单公式将需要在序列中：log（1+s）=O（s）和√1+s=1+s+O（s）作为s→ 0.让我们假设=c2clog zy+log c+O迟缓的-1/2, （87）其中O项与式（86）中相同。

我们有log zy=logclogy+cc√zy+h（88）=logc+logy+O迟缓的-1/2就像我一样→ 0.此外，√zy=√crlogys1+c√zylog 1/y+chlog 1/y48 A.Gulisashvili和P.Tankov=√c语言+c√C√zyplog 1/y+√chplog 1/y+O迟缓的-1/2就像我一样→ 接下来，我们迭代一个增益，得到√zy=√c语言+c√cplog 1/y（89）×√c语言+c√zy√cplog 1/y+√chplog 1/y+O迟缓的-1/2+√c^hplog 1/y+O迟缓的-1/2就像我一样→ 0.在（89）中，符号^h代表将（88）中给出的表达式Zylog代入公式（87）的结果。不难看出这一点√c^hplog 1/y=c√堵塞日志1/yplog 1/y+O迟缓的-1/2（90）作为y→ 现在，考虑到（89）和（90），我们得到√zy=√CROGY+c2c+c4clog日志1/yplog 1/y+O迟缓的-1/2（91）作为y→ 最后，我们可以估计zy。使用（86）、（88）和（91），我们可以看到thatzy=clogy+cc-3/2逻辑+2逻辑阻塞c2c+c2clogc+CLOGC+ccc-3/2日志1/yplog 1/y+O迟缓的-1/2（92）=φ（y）+O迟缓的-1/2就像我一样→ 0.接下来我们将找到函数F的渐近公式-1.我们将使用公式F-1（y）=uy=e xp{-√zy}（93）和下面的简单引理。对数正态和和差的尾部49引理4。设zy=φ（y）+O（ψ（y））为y→ 0，其中函数φ和ψ为正，且φ（y）→ ∞ 和ψ（y）√φ（y）→ 0为y→ 0.Thenuy=exp{-pφ（y）}1+Oψ（y）pφ（y）就像我一样→0.引理的证明4。我们有-√zy=-qφ（y）+O（ψ（y））=-φO（y+s1）ψ（y）φ（y）= -pφ（y）1+Oψ（y）φ（y）,因此，uy=exp{-√zy}=exp{-pφ（y）}expOψ（y）pφ（y）= 经验{-pφ（y）}1+Oψ（y）pφ（y）.现在，考虑（93）、（92）和引理4，函数φ如in（92），函数ψ由ψ（y）=（logy）给出-1/2，我们建立了外稃3。我们现在准备完成定理的证明。将定理1应用于（73）给出的随机变量XT，我们看到条件（82）成立。注意C=-t\'nXk=1\'Ak对数A+·n+·Ak+·μm，t和c=\'A+··+\'A\'n2t。现在，很容易看出（81）和推论6暗示了公式（80）。

致谢我们想感谢两位匿名推荐人和主编埃里克·莫莱恩斯，他们富有洞察力的评论使论文有了实质性的改进。参考文献[1]艾奇森，J.和布朗，J.A.C.（1957）。对数正态分布，特别是它在经济学中的应用。剑桥：剑桥大学出版社。MR008496650 A.Gulisashvili和P.Tankov[2]Albrecher，H.，Asmussen，S.和Kortschak，D.（2012年）。依赖指数变量的尾部渐近性。兄弟姐妹。数学J.53 965–983。[3] Albrecher，H.，Asmussen，S.和Kortschak，D.（2006年）。两个重尾相依风险之和的尾渐近性。极端9 107–130。MR2329800[4]Asmussen，S.，Blanchet，J.，Juneja，S.和Rojas Nandayapa，L.（2011年）。有效模拟相关对数正态和的尾部概率。安。奥普。第1895-23号决议。MR2833609[5]Asmussen，S.和Glynn，P.W.（2007）。随机模拟：算法与分析。随机建模和应用概率57。纽约：斯普林格。MR2331321[6]Asmussen，S.和Rojas Nandayapa，L.（2008）。对数正态随机变量之和与高斯copula的一个辛。统计学家。Probab。莱特。78 2709–2714.MR2465111[7]Avellaneda，M.，Boyer Olson，D.，Busca，J.和Friz，P.（2003）。大偏差法在金融指数期权定价中的应用。C.R.数学。阿卡德。Sci。巴黎336 263–266。MR1968270[8]国际清算银行（1996年）。资本协议修正案，将市场风险纳入其中。[9] 巴鲁克，E.和考夫曼，G.M.（1976）。关于对数正态随机变量之和。工作文件，第831-76号。麻省理工学院阿尔弗雷德·P·斯隆管理学院。[10] 巴鲁克，E.，考夫曼，G.M.和格拉瑟，M.L.（1986）。关于对数正态随机变量之和。螺柱。阿普尔。数学75 37–55.MR0850438[11]拜耳，C.，弗里兹，P.和劳伦斯，P.关于篮子的概率密度函数。预印本。

可在atarXiv获得：1306.2793。[12] 拜耳，C.和劳伦斯，P.（2014）。渐近性优于蒙特卡罗：相关局部vol篮子的情况。通信纯应用程序。数学67 1618–1657.[13] N.布莱斯汀和R.A.汉德尔曼（1995年）。积分的渐近展开。纽约：霍尔特、林哈特和温斯顿。[14] 卡莫纳，R.和杜勒曼，V.（2003年）。定价和对冲差价期权。西亚姆雷夫。45 627–685.MR2047349[15]Crow，E.L.和英国清水出版社（1988年）编辑。对数正态分布：理论与应用。教材和统计：88本。纽约：德克尔。MR0939191[16]杜弗雷恩，D.（2004）。财务和其他计算中的对数正态近似。Adv.在应用中。Probab。36 747–773.MR2079912[17]Embrechts，P.和Puccetti，G.（2010）。具有超额边际的从属风险之和的界限。J.多变量肛门。101 177–190.MR2557627[18]Foss，S.，Korshunov，D.和Zachary，S.（2011）。重尾和次指数分布简介。斯普林格运筹学和金融工程系列。纽约：斯普林格。MR2810144[19]福斯，S.和理查兹，A.（2010）。关于条件独立次指数随机变量的和。数学奥普。第35 102-119号决议。MR2676758[20]高，X.，许，H.和叶，D.（2009）。相关对数正态变量和的尾密度的渐近行为。国际数学杂志。数学Sci。艺术身份证630857，28。MR2533549[21]格鲁克，邓安德，Q.（2009）。相依次指数随机变量和的渐近尾概率。J.Theoret。Probab。22 871–882.MR2558656[22]约翰逊，N.L.和d Kotz，S.（1970年）。统计中的分布。连续单变量分布。1.马萨诸塞州波士顿：Houghton Mi Freeu in Co.MR0270475[23]Kahane，J.-P.（1985）。混沌上的乘法。安。Sci。数学魁北克。9 105–150.MR0829798对数正态和与差的尾部51[24]Ko，B.和Tang，Q.（2008）。

负随机变量上的依赖n之和，具有次指数t-ails。J.阿普尔。Probab。45 85–94.MR2409312[25]Kortschak，D.和Albrecher，H.（2009）。依赖于同分布随机变量之和的渐近结果。Methodol。计算机。阿普尔。Probab。11 279–306.MR2511246[26]林伯特，E.，斯塔尔，W.A.和阿伯特，M.（2001）。跨科学的对数正态分布：关键和线索。生物科学51 341–352。[27]卢政发（2012）。两个对数正态随机变量的SUM和差。J.阿普尔。玛莎。2012 838397.[28]Rhodes，R.和Vargas，V.高斯乘性混沌及其应用：综述。预印本。可在atarXiv获得：1305.6221。[29]Rojas Nandayapa，L.（2008）。风险概率：渐近性和模拟。阿尔胡斯大学理学院数学科学系博士论文。[30]塞纳拉特内，D.和特兰布拉，C.（2009）。对数正态和分布的数值计算。在GLOBECOM 2009年1-6月。[31]Szyszkowicz，S.S.和Yanikomeroglu，H.（2007）。对数正态和分布的尾部。IEEE国际通信会议记录（ICC\'07）。[32]Tellambura，C.（2008）。相关对数正态随机变量和分布的界及其应用。IEEE Trans。公社。56 1241–1248.[33]Tellambura，C.和Senaratne，D.（2010年）。对数正态分布MGF的精确计算及其在对数正态和中的应用。IEEE Trans。公社。58 1568–1577.[34]Vanduffel，S.，Chen，X.，Dhaene，J.，Goovaerts，M.，Henrard，L.和Kaas，R.（2008）。基于条件期望的对数正态和风险度量的最佳近似。J.计算机。阿普尔。数学221 202–218.MR2458764[35]Yuen，K.C.和Yin，C.（2012）。相依和重尾随机变量和的尾概率的渐近结果。颏安。数学爵士。

B 33 557–568。2013年10月收到MR2996531，2014年5月修订